4 fungsi trigonometri. Identitas trigonometri dasar

Pada artikel ini kita akan melihat secara komprehensif. Identitas trigonometri dasar adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, dan memungkinkan Anda menemukan salah satu dari ini fungsi trigonometri melalui orang lain yang dikenal.

Yuk langsung kita daftar identitas trigonometri utama yang akan kita analisa pada artikel kali ini. Mari kita tuliskan dalam sebuah tabel, dan di bawah ini kami akan memberikan keluaran dari rumus-rumus tersebut dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan cosinus satu sudut

Terkadang mereka tidak berbicara tentang identitas trigonometri utama yang tercantum pada tabel di atas, tetapi tentang satu identitas trigonometri identitas trigonometri dasar baik . Penjelasan mengenai fakta ini cukup sederhana: persamaan diperoleh dari identitas trigonometri utama setelah membagi kedua bagiannya dengan dan, berturut-turut, dan persamaan tersebut Dan mengikuti definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membicarakan hal ini lebih detail di paragraf berikut.

Artinya, persamaan itulah yang menjadi perhatian khusus, yang diberi nama identitas trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identitas trigonometri utama, kita berikan rumusannya: jumlah kuadrat sinus dan kosinus suatu sudut identik sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identitas dasar trigonometri sangat sering digunakan ketika transformasi ekspresi trigonometri . Hal ini memungkinkan jumlah kuadrat sinus dan cosinus dari satu sudut diganti dengan satu. Identitas trigonometri dasar juga sering digunakan urutan terbalik: satuan diganti dengan jumlah kuadrat sinus dan kosinus sudut mana pun.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identitas yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus salah satu sudut pandang dan langsung saja simak pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen. Memang menurut definisi, sinus adalah ordinat dari y, cosinus adalah absis dari x, tangen adalah perbandingan ordinat terhadap absis, yaitu, , dan kotangen adalah perbandingan absis terhadap ordinat, yaitu, .

Berkat kejelasan identitas dan Tangen dan kotangen seringkali ditentukan bukan melalui perbandingan absis dan ordinat, melainkan melalui perbandingan sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut adalah perbandingan sinus dengan kosinus sudut tersebut, dan kotangen adalah perbandingan kosinus dengan sinus.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, perlu dicatat bahwa identitas dan berlaku untuk semua sudut yang fungsi trigonometrinya masuk akal. Jadi rumusnya berlaku untuk semua , selain (jika tidak, penyebutnya akan nol, dan kami tidak mendefinisikan pembagian dengan nol), dan rumusnya - untuk semua , berbeda dari , dimana z adalah any .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Bahkan lebih jelas lagi identitas trigonometri dibandingkan dua sebelumnya, merupakan identitas yang menghubungkan garis singgung dan kotangen suatu sudut bentuk . Jelas bahwa garis ini berlaku untuk semua sudut selain , jika tidak maka garis singgung atau kotangen tidak akan terdefinisi.

Bukti rumusnya sangat sederhana. Menurut definisi dan dari mana . Pembuktiannya bisa saja dilakukan dengan cara yang sedikit berbeda. Sejak , Itu .

Jadi, garis singgung dan kotangen pada sudut yang sama yang masuk akal adalah .

Jika kita membahas masalah penyelesaian segitiga siku-siku, saya berjanji akan menyajikan teknik menghafal definisi sinus dan kosinus. Dengan menggunakannya, Anda akan selalu dengan cepat mengingat sisi mana yang termasuk sisi miring (berdekatan atau berlawanan). Saya memutuskan untuk tidak menundanya terlalu lama, bahan yang dibutuhkan di bawah, silakan baca 😉

Faktanya adalah saya telah berulang kali mengamati bagaimana siswa di kelas 10-11 mengalami kesulitan dalam mengingat definisi-definisi tersebut. Mereka ingat betul bahwa kaki mengacu pada sisi miring, tapi yang mana- mereka lupa dan bingung. Harga sebuah kesalahan, seperti yang Anda ketahui dalam ujian, adalah kehilangan poin.

Informasi yang akan saya sampaikan secara langsung tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini terkait dengan pemikiran figuratif dan metode komunikasi verbal-logis. Persis seperti itulah yang saya ingat, untuk selamanyadata definisi. Jika Anda lupa, Anda selalu dapat mengingatnya dengan mudah menggunakan teknik yang disajikan.

Izinkan saya mengingatkan Anda tentang definisi sinus dan cosinus pada segitiga siku-siku:

Kosinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring:

Sinus Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:

Jadi, apa kaitan Anda dengan kata cosinus?

Mungkin setiap orang punya miliknya masing-masing 😉Ingat tautannya:

Dengan demikian, ekspresi akan segera muncul di ingatan Anda -

«… perbandingan kaki yang BERDEKATAN dengan sisi miring».

Masalah penentuan kosinus telah terpecahkan.

Jika Anda perlu mengingat definisi sinus pada segitiga siku-siku, maka dengan mengingat definisi cosinus, Anda dapat dengan mudah menetapkan bahwa sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi miring. Lagi pula, hanya ada dua kaki; jika kaki yang berdekatan “ditempati” oleh kosinus, maka hanya kaki yang berlawanan yang tersisa dengan sinus.

Bagaimana dengan tangen dan kotangen? Kebingungannya sama. Siswa mengetahui bahwa ini adalah hubungan kaki, tetapi masalahnya adalah mengingat mana yang mengacu pada yang mana - apakah berlawanan dengan yang berdekatan, atau sebaliknya.

Definisi:

Garis singgung Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:

Kotangens Sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dan sisi yang berhadapan:

Bagaimana cara mengingatnya? Ada dua cara. Yang satu juga menggunakan hubungan verbal-logis, yang lain menggunakan hubungan matematis.

METODE MATEMATIKA

Ada definisi seperti itu - garis singgung sudut lancip adalah rasio sinus sudut terhadap kosinusnya:

*Setelah menghafal rumusnya, Anda selalu dapat menentukan bahwa garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Juga.Kotangen sudut lancip adalah perbandingan kosinus sudut dengan sinusnya:

Jadi! Dengan mengingat rumus ini, Anda selalu dapat menentukan bahwa:

- Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan

— kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.

METODE KATA-LOGIS

Tentang garis singgung. Ingat tautannya:

Artinya, jika Anda perlu mengingat definisi tangen, dengan menggunakan koneksi logis ini, Anda dapat dengan mudah mengingat apa itu tangen

“…perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan”

Jika kita berbicara tentang kotangen, maka mengingat definisi garis singgung Anda dapat dengan mudah menyuarakan definisi kotangen -

“...perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan”

Ada trik menarik untuk mengingat garis singgung dan kotangen pada website " Tandem matematika " , Lihat.

METODE UNIVERSAL

Anda tinggal menghafalnya saja.Tetapi seperti yang diperlihatkan oleh praktik, berkat koneksi verbal-logis, seseorang mengingat informasi untuk waktu yang lama, dan tidak hanya informasi matematika.

Saya harap materinya bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Saya tidak akan mencoba meyakinkan Anda untuk tidak menulis lembar contekan. Menulis! Termasuk contekan trigonometri. Nanti saya berencana untuk menjelaskan mengapa contekan diperlukan dan mengapa contekan berguna. Dan berikut adalah informasi tentang bagaimana untuk tidak belajar, tetapi mengingat beberapa rumus trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa lembar contekan! Kami menggunakan asosiasi untuk menghafal.

1. Rumus penjumlahan:

Kosinus selalu “berpasangan”: kosinus-kosinus, sinus-sinus. Dan satu hal lagi: cosinus “tidak memadai”. Bagi mereka “semuanya salah”, jadi mereka mengubah tanda: “-” menjadi “+”, dan sebaliknya.

Sinus - “campuran”: sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Rumus jumlah dan selisih:

cosinus selalu “berpasangan”. Dengan menambahkan dua kosinus - "kolobok", kita mendapatkan sepasang kosinus - "kolobok". Dan dengan melakukan pengurangan pasti kita tidak akan mendapatkan kolobok apapun. Kami mendapatkan beberapa sinus. Juga dengan minus di depan.

Sinus - “campuran” :

3. Rumus untuk mengubah suatu hasil kali menjadi jumlah dan selisih.

Kapan kita mendapatkan pasangan cosinus? Saat kita menjumlahkan cosinus. Itu sebabnya

Kapan kita mendapatkan beberapa sinus? Saat mengurangkan cosinus. Dari sini:

"Pencampuran" diperoleh dengan menjumlahkan dan mengurangkan sinus. Mana yang lebih menyenangkan: menambah atau mengurangi? Itu benar, lipat. Dan untuk rumusnya mereka mengambil tambahan:

Pada rumus pertama dan ketiga, jumlahnya ada di dalam tanda kurung. Menata ulang tempat suku-suku tersebut tidak mengubah jumlahnya. Urutannya penting hanya untuk rumus kedua. Namun agar tidak bingung, agar mudah diingat, pada ketiga rumus pada tanda kurung pertama kita ambil selisihnya.

dan kedua, jumlahnya

Lembar contekan di saku Anda memberi Anda ketenangan pikiran: jika Anda lupa rumusnya, Anda dapat menyalinnya. Dan mereka memberi Anda kepercayaan diri: jika Anda gagal menggunakan lembar contekan, Anda dapat dengan mudah mengingat rumusnya.

• 2. Rentang nilai: [-1;1]
• 3. Fungsi ganjil.
• 7. Interval di mana fungsinya positif: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. Interval di mana fungsinya negatif: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. Peningkatan interval: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. Penurunan interval:
• 11. Poin minimum: -pi/2 +2*pi*n
• 12. Fungsi minimal: -1
• 13. Poin maksimum: pi/2 +2*pi*n
• 14. Fungsi maksimal: 1

Sifat-sifat kosinus

• 1. Daerah definisi: sumbu bilangan bulat
• 2. Rentang nilai: [-1;1]
• 3. Fungsi genap.
• 4. Periode positif terkecil: 2*pi
• 5. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ox: (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Oy: (0;1)
• 7. Interval di mana fungsinya positif: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. Interval di mana fungsinya negatif: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. Peningkatan interval: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. Penurunan interval:
• 11. Poin minimum: pi+2*pi*n
• 12. Fungsi minimal: -1
• 13. Poin maksimum: 2*pi*n
• 14. Fungsi maksimal: 1

Sifat-sifat garis singgung

• 1. Area definisi: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. Fungsi ganjil.
• 5. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ox: (pi*n; 0)
• 6. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Oy: (0;0)
• 9. Fungsi bertambah pada interval (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Sifat-sifat kotangen

• 1. Domain: (pi*n; pi +pi*n)
• 2. Rentang nilai: seluruh sumbu bilangan
• 3. Fungsi ganjil.
• 4. Periode positif terkecil: pi
• 5. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Ox: (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Koordinat titik potong grafik fungsi dengan sumbu Oy : no
• 7. Interval dimana fungsinya positif: (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. Interval di mana fungsinya negatif: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. Fungsi menurun pada interval (pi*n; pi +pi*n)
• 10. Tidak ada poin maksimum dan minimum.

Gambar di bawah menunjukkan beberapa lingkaran satuan yang menunjukkan tanda sinus, kosinus, tangen, dan kotangen pada berbagai koordinat koordinat.

1. Fungsi trigonometri mewakili fungsi dasar, yang argumennya sudut. Menggunakan fungsi trigonometri, hubungan antara sisi dan sudut tajam dalam segitiga siku-siku. Area penerapan fungsi trigonometri sangat beragam. Misalnya, setiap proses periodik dapat direpresentasikan sebagai jumlah fungsi trigonometri (deret Fourier). Fungsi-fungsi ini sering muncul ketika menyelesaikan persamaan diferensial dan fungsional.

2. Fungsi trigonometri meliputi 6 fungsi sebagai berikut: sinus, kosinus, garis singgung,kotangens, garis potong Dan kosekans. Untuk setiap fungsi yang ditentukan ada fungsi trigonometri terbalik.

3. Definisi geometris fungsi trigonometri dapat dengan mudah dimasukkan menggunakan lingkaran satuan. Gambar di bawah menunjukkan sebuah lingkaran dengan jari-jari r=1. Titik M(x,y) ditandai pada lingkaran. Sudut antara vektor jari-jari OM dan arah positif sumbu Ox sama dengan α.

4. Sinus sudut α adalah perbandingan ordinat y titik M(x,y) dengan jari-jari r:
dosaα=y/r.
Karena r=1, maka sinusnya sama dengan ordinat titik M(x,y).

5. Kosinus sudut α adalah perbandingan absis x titik M(x,y) dengan jari-jari r:
cosα=x/r

6. Garis singgung sudut α adalah perbandingan ordinat y suatu titik M(x,y) dengan absisnya x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens sudut α adalah perbandingan absis x suatu titik M(x,y) dengan ordinatnya y:
cotα=x/y,y≠0

8. Garis potong sudut α adalah perbandingan jari-jari r terhadap absis x titik M(x,y):
detikα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekans sudut α adalah perbandingan jari-jari r dengan ordinat y dari titik M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Pada lingkaran satuan, proyeksi x, y, titik M(x,y) dan jari-jari r membentuk segitiga siku-siku, dengan x,y adalah kaki-kakinya, dan r adalah sisi miringnya. Oleh karena itu, definisi fungsi trigonometri di atas ada pada lampiran segitiga siku-siku dirumuskan sebagai berikut:
Sinus sudut α adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring.
Kosinus sudut α adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Garis singgung sudut α disebut kaki yang berhadapan dengan kaki yang berdekatan.
Kotangens sudut α disebut sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.
Garis potong sudut α adalah perbandingan sisi miring dengan kaki yang berdekatan.
Kosekans sudut α adalah perbandingan sisi miring dengan kaki yang berhadapan.

11. Grafik fungsi sinus
y=sinx, domain definisi: x∈R, rentang nilai: −1≤sinx≤1

12. Grafik fungsi kosinus
y=cosx, domain: x∈R, rentang: −1≤cosx≤1

13. Grafik fungsi tangen
y=tanx, rentang definisi: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rentang nilai: −∞

14. Grafik fungsi kotangen
y=cotx, domain: x∈R,x≠kπ, rentang: −∞

15. Grafik fungsi garis potong
y=secx, domain: x∈R,x≠(2k+1)π/2, rentang: secx∈(−∞,−1]∪∪)