Վեկտորների գումարի վեկտորային արտադրյալը: Վեկտորային արվեստի գործեր
Անկյուն վեկտորների միջև
Որպեսզի մենք ներկայացնենք երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հայեցակարգը, մենք նախ պետք է հասկանանք այնպիսի հասկացություն, ինչպիսին է այս վեկտորների միջև եղած անկյունը:
Եկեք մեզ տրվի երկու վեկտոր $\overline(α)$ և $\overline(β)$: Եկեք վերցնենք $O$-ի ինչ-որ կետ տարածության մեջ և գծենք $\overline(α)=\overline(OA)$ և $\overline(β)=\overline(OB)$ վեկտորները, այնուհետև $AOB$ անկյունը: կկոչվի այս վեկտորների միջև ընկած անկյուն (նկ. 1):
Նշում. $∠(\overline(α),\overline(β))$
Վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հայեցակարգը և գտնելու բանաձևը
Սահմանում 1
Երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր է, և դրա երկարությունը հավասար կլինի այս վեկտորների երկարությունների արտադրյալին այս վեկտորների միջև անկյան սինուսի հետ, ինչպես նաև այս վեկտորը երկու սկզբնականով ունի. նույն կողմնորոշումը, ինչ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգը:
Նշում. $\overline(α)х\overline(β)$:
Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը.
- $|\overline(α)х\overline(b)|=|\overline(a)||\overline(b)|sin∠(\overline(α),\overline(β))$
- $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(a)$, $\overline(a)х\overline(β)⊥\overline(β)$
- $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ and $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ են նույն կողմնորոշումը (նկ. 2)
Ակնհայտ է, որ վեկտորների արտաքին արտադրյալը երկու դեպքում հավասար կլինի զրոյական վեկտորի.
- Եթե մեկ կամ երկու վեկտորների երկարությունը զրո է:
- Եթե այս վեկտորների միջև անկյունը հավասար է $180^\circ$ կամ $0^\circ$ (քանի որ այս դեպքում սինուսը զրո է):
Հստակ տեսնելու համար, թե ինչպես է գտնվել վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, հաշվի առեք լուծումների հետևյալ օրինակները.
Օրինակ 1
Գտե՛ք $\overline(δ)$ վեկտորի երկարությունը, որը կլինի վեկտորների վեկտորային արտադրյալի արդյունքը՝ $\overline(α)=(0,4,0)$ և $\overline(β) կոորդինատներով։ =(3,0,0 )$.
Լուծում.
Եկեք այս վեկտորները պատկերենք դեկարտյան կոորդինատային տարածության մեջ (նկ. 3).
Նկար 3. Վեկտորները դեկարտյան կոորդինատային տարածության մեջ: Հեղինակ24՝ ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում
Մենք տեսնում ենք, որ այս վեկտորները համապատասխանաբար գտնվում են $Ox$ և $Oy$ առանցքների վրա: Հետեւաբար, նրանց միջեւ անկյունը կլինի $90^\circ$: Գտնենք այս վեկտորների երկարությունները.
$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$
$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$
Այնուհետև, ըստ սահմանման 1-ի, մենք ստանում ենք $|\overline(δ)|$ մոդուլը
$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Պատասխան՝ $12$։
Խաչաձև արտադրյալի հաշվարկ վեկտորային կոորդինատներից
Սահմանում 1-ն անմիջապես ենթադրում է երկու վեկտորների համար վեկտորի արտադրյալը գտնելու մեթոդ: Քանի որ վեկտորը, բացի իր արժեքից, ունի նաև ուղղություն, այն հնարավոր չէ գտնել միայն սկալյար մեծության միջոցով։ Բայց բացի սրանից, կա նաև կոորդինատների միջոցով մեզ տրված վեկտորները գտնելու միջոց։
Մեզ տրվեն $\overline(α)$ և $\overline(β)$ վեկտորները, որոնք համապատասխանաբար կունենան $(α_1,α_2,α_3)$ և $(β_1,β_2,β_3)$ կոորդինատներ։ Այնուհետև խաչաձև արտադրյալի վեկտորը (մասնավորապես դրա կոորդինատները) կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևով.
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\վերջ (vmatrix)$
Հակառակ դեպքում, ընդլայնելով որոշիչը, ստանում ենք հետևյալ կոորդինատները
$\ overline(α)х\ overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Օրինակ 2
Գտե՛ք $\overline(α)$ և $\overline(β)$ համագիծ վեկտորների վեկտորային արտադրյալի վեկտորը՝ $(0,3,3)$ և $(-1,2,6)$ կոորդինատներով։
Լուծում.
Եկեք օգտագործենք վերը տրված բանաձևը. Մենք ստանում ենք
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$
Պատասխան՝ $(12,-3,3)$:
Վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունները
կամայական խառը երեք վեկտորների համար՝ $\overline(α)$, $\overline(β)$ և $\overline(γ)$, ինչպես նաև $r∈R$, պահպանվում են հետևյալ հատկությունները.
Օրինակ 3
Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը, որի գագաթներն ունեն կոորդինատներ $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ և $(3,8,0) $.
Լուծում.
Նախ, եկեք պատկերենք այս զուգահեռագիծը կոորդինատային տարածության մեջ (նկ. 5).
Նկար 5. Զուգահեռագիծ կոորդինատային տարածության մեջ: Հեղինակ24՝ ուսանողական աշխատանքների առցանց փոխանակում
Մենք տեսնում ենք, որ այս զուգահեռագծի երկու կողմերը կառուցված են համագիծ վեկտորների միջոցով՝ $\overline(α)=(3,0,0)$ և $\overline(β)=(0,8,0)$ կոորդինատներով: Օգտագործելով չորրորդ հատկությունը՝ մենք ստանում ենք.
$S=|\overline(α)х\overline(β)|$
Գտնենք $\overline(α)х\overline(β)$ վեկտորը:
$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$
Ուստի
$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$
Անգլերեն:Վիքիպեդիան ավելի ապահով է դարձնում կայքը։ Դուք օգտագործում եք հին վեբ դիտարկիչ, որն ապագայում չի կարողանա միանալ Վիքիպեդիային: Խնդրում ենք թարմացնել ձեր սարքը կամ կապվել ձեր ՏՏ ադմինիստրատորի հետ:
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法迕以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Իսպաներեն: Wikipedia-ն ունի իր դիրքը: Օգտագործված է վեբ կայքի նավարկություն, որը չի կարող միացնել Վիքիպեդիան և ապագայում: Փաստացիորեն տրամադրվում է տեղեկատվության ադմինիստրատորի հետ կապվելու համար: Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Ֆրանսերեն: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se conecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Լրացուցիչ տեղեկությունների և տեխնիկայի և անգլիական հասանելիության համար:
日本語: ???す るか情報は以下に英語で提供しています。
Գերմաներեն: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Իտալերեն: Wikipedia-ն ներկայացնում է sito più sicuro: Վեբ զննարկիչի օգտագործմամբ մնացեք վեբ զննարկիչի համար, որպեսզի կարողանաք միացնել Վիքիպեդիան ապագայում: Ըստ բարենպաստության, լրացվում է ձեր տրամադրվածությունը կամ հաղորդակցվում է ձեր ադմինիստրատիվ տեղեկատվության հետ: Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico in English.
Մագյար. Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Սվենսկա: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet կամ կապի մեջ IT-administrator. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
Մենք հեռացնում ենք անապահով TLS արձանագրության տարբերակների աջակցությունը, մասնավորապես՝ TLSv1.0 և TLSv1.1, որոնց վրա հիմնվում է ձեր դիտարկիչի ծրագրակազմը՝ մեր կայքերին միանալու համար: Դա սովորաբար առաջանում է հնացած բրաուզերների կամ հին Android սմարթֆոնների պատճառով: Կամ դա կարող է լինել կորպորատիվ կամ անձնական «Վեբ անվտանգություն» ծրագրաշարի միջամտությունը, որն իրականում նվազեցնում է կապի անվտանգությունը:
Մեր կայքեր մուտք գործելու համար դուք պետք է թարմացնեք ձեր վեբ դիտարկիչը կամ այլ կերպ շտկեք այս խնդիրը: Այս հաղորդագրությունը կմնա մինչև 2020 թվականի հունվարի 1-ը: Այդ ամսաթվից հետո ձեր դիտարկիչը չի կարողանա կապ հաստատել մեր սերվերների հետ:
Այս դասում մենք կանդրադառնանք վեկտորներով ևս երկու գործողությունների. վեկտորների վեկտորային արտադրյալԵվ վեկտորների խառը արտադրյալ (անմիջական հղում նրանց համար, ովքեր դրա կարիքն ունեն). Ոչինչ, երբեմն պատահում է, որ լիակատար երջանկության համար, ի լրումն վեկտորների սկալյար արտադրյալ, ավելի ու ավելի են պահանջվում։ Սա վեկտորային կախվածություն է: Կարող է թվալ, որ մենք մտնում ենք վերլուծական երկրաչափության ջունգլիներում: Սա սխալ է։ Բարձրագույն մաթեմատիկայի այս բաժնում, ընդհանուր առմամբ, քիչ փայտ կա, բացառությամբ, թերևս, բավարար Պինոքիոյի համար: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է և պարզ, հազիվ թե ավելի բարդ, քան նույնը կետային արտադրանք, նույնիսկ ավելի քիչ բնորոշ առաջադրանքներ կլինեն։ Վերլուծական երկրաչափության մեջ գլխավորը, ինչպես շատերը կհամոզվեն կամ արդեն համոզվել են, ՀԱՇՎԱՐԿՈՒՄ ՍԽԱԼ ՉԱՆԵԼՆ Է։ Կրկնեք ուղղագրության պես և երջանիկ կլինեք =)
Եթե վեկտորները փայլում են ինչ-որ հեռու, ինչպես կայծակը հորիզոնում, ապա դա կարևոր չէ, սկսեք դասից Վեկտորներ կեղծամների համարվերականգնել կամ ձեռք բերել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողները կարող են ընտրողաբար ծանոթանալ տեղեկատվությանը: Փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հանդիպում են գործնական աշխատանքում
Ի՞նչը ձեզ անմիջապես կուրախացնի: Երբ ես փոքր էի, կարող էի երկու կամ նույնիսկ երեք գնդակ ձեռնածություն անել: Լավ ստացվեց։ Այժմ դուք ընդհանրապես ստիպված չեք լինի ձեռնածություն անել, քանի որ մենք կքննարկենք միայն տարածական վեկտորներ, և երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները դուրս կմնան: Ինչո՞ւ։ Ահա թե ինչպես են ծնվել այս գործողությունները. վեկտորների վեկտորը և խառը արտադրյալը սահմանվում են և աշխատում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ է!
Այս գործողությունը, ինչպես և սկալյար արտադրանքը, ներառում է երկու վեկտոր. Թող սրանք լինեն անապական տառեր։
Ակցիան ինքնին նշվում էհետևյալ կերպ. Կան այլ տարբերակներ, բայց ես սովոր եմ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը նշել այսպես՝ քառակուսի փակագծերում խաչով:
Եվ անմիջապես հարց: եթե ներս վեկտորների սկալյար արտադրյալերկու վեկտոր է ներգրավված, և այստեղ երկու վեկտոր նույնպես բազմապատկվում են, ապա ինչ տարբերություն? Ակնհայտ տարբերությունն առաջին հերթին ԱՐԴՅՈՒՆՔԻ մեջ է.
Վեկտորների սկալյար արտադրյալի արդյունքը NUMBER է.
Վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալի արդյունքը ՎԵԿՏՈՐ է:, այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք վեկտորները և նորից ստանում վեկտոր։ Փակ ակումբ. Փաստորեն, հենց այստեղից է գալիս վիրահատության անվանումը։ Տարբեր ուսումնական գրականության մեջ նշանակումները կարող են տարբեր լինել.
Խաչի արտադրանքի սահմանում
Նախ կլինի նկարով սահմանում, հետո մեկնաբանություններ։
ՍահմանումՎեկտորային արտադրանք ոչ գծայինվեկտորներ, վերցված այս կարգով, որը կոչվում է ՎԵԿՏՈՐ, երկարությունըորը թվային է հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին, կառուցված այս վեկտորների վրա; վեկտոր ուղղանկյուն դեպի վեկտորներ, և ուղղված է այնպես, որ հիմքն ունենա ճիշտ կողմնորոշում. 
Եկեք բաժանենք սահմանումը մաս առ մաս, այստեղ շատ հետաքրքիր բաներ կան:
Այսպիսով, կարելի է առանձնացնել հետևյալ կարևոր կետերը.
1) Բնօրինակ վեկտորները, որոնք նշված են կարմիր սլաքներով, ըստ սահմանման ոչ համագիծ. Համաձև վեկտորների դեպքը տեղին կլինի դիտարկել մի փոքր ավելի ուշ:
2) վերցված են վեկտորներ խստորեն սահմանված կարգով: – «ա»-ն բազմապատկվում է «լինել»-ով, և ոչ թե «ա»-ով «լինել»: Վեկտորի բազմապատկման արդյունքըՎԵԿՏՈՐ է, որը նշված է կապույտով: Եթե վեկտորները բազմապատկվում են հակառակ հերթականությամբ, մենք ստանում ենք երկարությամբ հավասար և ուղղությամբ հակառակ վեկտոր (ազնվամորու գույն): Այսինքն՝ հավասարությունը ճիշտ է 
.
3) Այժմ եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրյալի երկրաչափական նշանակությանը։ Սա շատ կարևոր կետ է։ Կապույտ վեկտորի (հետևաբար՝ բոսորագույն վեկտորի) ԵՐԿՈՒՅԹԸ թվայինորեն հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերևույթին։ Նկարում այս զուգահեռագիծը երանգավորված է սևով:
Նշում գծագիրը սխեմատիկ է, և, բնականաբար, վեկտորի արտադրյալի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագծի մակերեսին:
Հիշենք երկրաչափական բանաձևերից մեկը. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է հարակից կողմերի արտադրյալին և նրանց միջև անկյան սինուսին. Հետևաբար, ելնելով վերը նշվածից, վեկտորային արտադրյալի ԵՐԿՈՒՅԹԸ հաշվարկելու բանաձևը վավեր է.
Շեշտում եմ, որ բանաձեւը վերաբերում է վեկտորի ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆԸ, այլ ոչ թե բուն վեկտորի։ Ո՞րն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այն է, որ վերլուծական երկրաչափության խնդիրներում զուգահեռագծի տարածքը հաճախ հայտնաբերվում է վեկտորային արտադրյալ հասկացության միջոցով.
Ստացնենք երկրորդ կարևոր բանաձևը. Զուգահեռագծի անկյունագիծը (կարմիր կետագիծ) այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։ Հետևաբար, վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու տարածքը (կարմիր ստվերում) կարելի է գտնել բանաձևով.
4) Ոչ պակաս կարևոր փաստ այն է, որ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն 
. Իհարկե, հակառակ ուղղված վեկտորը (ազնվամորու սլաքը) նույնպես ուղղանկյուն է սկզբնական վեկտորների նկատմամբ։
5) Վեկտորն ուղղված է այնպես, որ հիմքունի ճիշտկողմնորոշում. մասին դասում անցում դեպի նոր հիմքԵս բավական մանրամասն խոսեցի դրա մասին հարթության կողմնորոշում, և հիմա մենք կպարզենք, թե որն է տիեզերական կողմնորոշումը: Ես կբացատրեմ ձեր մատների վրա աջ ձեռքը. Հոգեպես միավորել ցուցամատըվեկտորով և միջին մատըվեկտորով։ Մատանի մատը և փոքր մատըսեղմեք այն ձեր ափի մեջ: Արդյունքում բութ մատը- վեկտորային արտադրանքը կանդրադառնա: Սա աջ կողմնորոշված հիմք է (սա է նկարում): Այժմ փոխեք վեկտորները ( ցուցամատ և միջին մատներ) որոշ տեղերում, արդյունքում բթամատը կշրջվի, և վեկտորային արտադրյալն արդեն ներքև կնայվի: Սա նույնպես ճիշտ կողմնորոշված հիմք է։ Ձեզ մոտ կարող է հարց առաջանալ՝ ո՞ր հիմքում է ձախ կողմնորոշումը։ «Նշանակիր» նույն մատներին ձախ ձեռքըվեկտորներ և ստացիր տարածության ձախ հիմքը և ձախ կողմնորոշումը (այս դեպքում բթամատը կգտնվի ստորին վեկտորի ուղղությամբ). Պատկերավոր ասած՝ այս հիմքերը «ոլորում» կամ կողմնորոշում են տարածությունը տարբեր ուղղություններով։ Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի ինչ-որ հեռուն կամ վերացականը, օրինակ, տարածության կողմնորոշումը փոխվում է ամենասովորական հայելու միջոցով, և եթե դուք «արտացոլված առարկան դուրս եք հանում ապակուց», ապա ընդհանուր դեպքում դա հնարավոր չի լինի այն համատեղել «բնօրինակի» հետ։ Ի դեպ, երեք մատը պահեք հայելու մոտ և վերլուծեք արտացոլումը ;-)
...որքան լավ է, որ դուք հիմա գիտեք դրա մասին աջ և ձախ կողմնորոշվածհիմքեր, քանի որ որոշ դասախոսների հայտարարությունները կողմնորոշման փոփոխության մասին սարսափելի են =)
Կոլգծային վեկտորների խաչաձև արտադրյալ
Սահմանումը մանրամասն քննարկվել է, մնում է պարզել, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ վեկտորները համագիծ են։ Եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա, և մեր զուգահեռագիծը նույնպես «ավելացնում» է մեկ ուղիղ գծի մեջ: Նման տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկոսները. այլասերվածզուգահեռագիծը հավասար է զրոյի: Նույնը հետևում է բանաձևից՝ զրոյի կամ 180 աստիճանի սինուսը հավասար է զրոյի, ինչը նշանակում է, որ տարածքը զրո է։
Այսպիսով, եթե, ապա 
Եվ 
. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ խաչաձև արտադրյալն ինքնին հավասար է զրոյական վեկտորի, բայց գործնականում դա հաճախ անտեսվում է և գրվում է, որ այն նույնպես հավասար է զրոյի:
Հատուկ դեպք է վեկտորի խաչաձև արտադրյալն ինքն իր հետ.
Օգտագործելով վեկտորային արտադրանքը, դուք կարող եք ստուգել եռաչափ վեկտորների համակցվածությունը, և մենք, ի թիվս այլոց, կվերլուծենք նաև այս խնդիրը:
Գործնական օրինակներ լուծելու համար ձեզ կարող է անհրաժեշտ լինել եռանկյունաչափական աղյուսակդրանից գտնել սինուսների արժեքները:
Դե, եկեք վառենք կրակը.
Օրինակ 1
ա) Գտե՛ք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը, եթե 
բ) Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը, եթե 
ԼուծումՈչ, սա տառասխալ չէ, ես միտումնավոր սկզբնական տվյալները դարձրել եմ նույնը։ Որովհետև լուծումների դիզայնը տարբեր կլինի։
ա) Ըստ պայմանի՝ պետք է գտնել երկարությունըվեկտոր (խաչ արտադրանք): Համապատասխան բանաձևի համաձայն.
Պատասխանել:
Եթե ձեզ հարցրել են երկարության մասին, ապա պատասխանում մենք նշում ենք չափը՝ միավորներ։
բ) Ըստ պայմանի՝ պետք է գտնել քառակուսիվեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ: Այս զուգահեռագծի տարածքը թվայինորեն հավասար է վեկտորի արտադրյալի երկարությանը.
Պատասխանել:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ պատասխանն ընդհանրապես չի խոսում վեկտորային արտադրանքի մասին գործչի տարածքը, համապատասխանաբար, չափը քառակուսի միավոր է:
Մենք միշտ նայում ենք, թե ԻՆՉ պետք է գտնենք ըստ պայմանի, և, դրանից ելնելով, ձևակերպում ենք պարզպատասխանել. Դա կարող է թվալ բառացիություն, բայց ուսուցիչների մեջ շատ են տառասերները, և առաջադրանքը վերանայվելու լավ հնարավորություն ունի: Թեև սա առանձնապես հեռու խոսակցություն չէ. եթե պատասխանը սխալ է, ապա տպավորություն է ստեղծվում, որ մարդը չի հասկանում պարզ բաները և/կամ չի հասկացել առաջադրանքի էությունը: Այս կետը միշտ պետք է վերահսկվի բարձրագույն մաթեմատիկայի, ինչպես նաև այլ առարկաների ցանկացած խնդիր լուծելիս:
Ո՞ւր գնաց մեծ «en» տառը: Սկզբունքորեն դա կարող էր հավելյալ կցվել լուծմանը, բայց մուտքը կրճատելու համար ես սա չարեցի։ Հուսով եմ, որ բոլորը դա հասկանում են և նույն բանի նշանակումն է:
DIY լուծման հանրաճանաչ օրինակ.
Օրինակ 2
Գտե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե 
Վեկտորային արտադրանքի միջոցով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևը տրված է սահմանման մեկնաբանություններում: Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։
Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունները կարող են ընդհանրապես տանջել ձեզ:
Այլ խնդիրներ լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի.
Վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունները
Մենք արդեն դիտարկել ենք վեկտորային արտադրանքի որոշ հատկություններ, այնուամենայնիվ, ես դրանք կներառեմ այս ցանկում:
Կամայական վեկտորների և կամայական թվերի համար ճշմարիտ են հետևյալ հատկությունները.
1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս կետը սովորաբար չի ընդգծվում հատկությունների մեջ, բայց այն շատ կարևոր է գործնական առումով: Ուրեմն թող լինի։
2) 
– վերևում խոսվում է նաև գույքի մասին, երբեմն կոչվում է հակակոմուտատիվություն. Այսինքն՝ վեկտորների հերթականությունը նշանակություն ունի։
3) – ասոցիատիվ կամ ասոցիատիվվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Հաստատությունները կարող են հեշտությամբ տեղափոխվել վեկտորային արտադրանքից դուրս: Իսկապես, ի՞նչ պետք է անեն այնտեղ։
4) – բաշխում կամ բաշխիչվեկտորի արտադրանքի օրենքները. Փակագծերը բացելու հետ կապված նույնպես խնդիրներ չկան։
Ցույց տալու համար եկեք նայենք մի կարճ օրինակի.
Օրինակ 3
Գտեք, եթե 
Լուծում:Պայմանը կրկին պահանջում է գտնել վեկտորի արտադրանքի երկարությունը: Եկեք նկարենք մեր մանրանկարչությունը. 
(1) Համաձայն ասոցիատիվ օրենքների, մենք հաստատունները վերցնում ենք վեկտորի արտադրյալի շրջանակից դուրս:
(2) Մենք հաստատունը տեղափոխում ենք մոդուլից դուրս, և մոդուլը «ուտում» է մինուս նշանը: Երկարությունը չի կարող բացասական լինել:
(3) Մնացածը պարզ է.
Պատասխանել: 
Ժամանակն է կրակին ավելի շատ փայտ ավելացնել.
Օրինակ 4
Հաշվե՛ք վեկտորների վրա կառուցված եռանկյան մակերեսը, եթե 
ԼուծումԳտեք եռանկյան մակերեսը բանաձևով 
. Բռնությունն այն է, որ «ցե» և «դե» վեկտորներն իրենք ներկայացվում են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է և ինչ-որ չափով հիշեցնում է դասի թիվ 3 և 4 օրինակները. Վեկտորների կետային արտադրյալ. Պարզության համար մենք լուծումը կբաժանենք երեք փուլի.
1) Առաջին քայլում վեկտորային արտադրյալն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրյալի միջոցով, փաստորեն. վեկտորն արտահայտենք վեկտորի տեսքով. Երկարությունների մասին դեռ խոսք չկա:
(1) Փոխարինել վեկտորների արտահայտությունները:
(2) Բաշխիչ օրենքների օգնությամբ բացում ենք փակագծերը՝ ըստ բազմանդամների բազմապատկման կանոնի։
(3) Օգտագործելով ասոցիատիվ օրենքներ՝ մենք բոլոր հաստատունները տեղափոխում ենք վեկտորային արտադրյալներից այն կողմ: Մի փոքր փորձի դեպքում 2-րդ և 3-րդ քայլերը կարող են իրականացվել միաժամանակ:
(4) Առաջին և վերջին անդամները հավասար են զրոյի (զրոյական վեկտոր)՝ շնորհիվ գեղեցիկ հատկության։ Երկրորդ տերմինում մենք օգտագործում ենք վեկտորային արտադրանքի հակակոմուտատիվության հատկությունը.
(5) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ:
Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, ինչը պահանջվում էր հասնել. 
2) Երկրորդ քայլում մենք գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է Օրինակ 3-ին. 
3) Գտեք պահանջվող եռանկյունու մակերեսը. 
Լուծման 2-3 փուլերը կարելի էր գրել մեկ տողով։
Պատասխանել:
Դիտարկված խնդիրը թեստերում բավականին տարածված է, ահա ինքներդ լուծելու օրինակ.
Օրինակ 5
Գտեք, եթե
Դասի վերջում կարճ լուծում և պատասխան. Տեսնենք, թե որքան ուշադիր էիք նախորդ օրինակներն ուսումնասիրելիս ;-)
Վեկտորների խաչաձև արտադրյալ կոորդինատներում
, նշված է օրթոնորմալ հիմունքներով, արտահայտված բանաձևով:
Բանաձևն իսկապես պարզ է՝ որոշիչի վերին տողում գրում ենք կոորդինատների վեկտորները, երկրորդ և երրորդ տողերում «դնում» ենք վեկտորների կոորդինատները և դնում. խիստ կարգով– նախ «ve» վեկտորի կոորդինատները, ապա «double-ve» վեկտորի կոորդինատները: Եթե վեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ հերթականությամբ, ապա տողերը պետք է փոխանակվեն. 
Օրինակ 10
Ստուգեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.
Ա)
բ) 
ԼուծումՍտուգումը հիմնված է այս դասի պնդումներից մեկի վրա. եթե վեկտորները համագիծ են, ապա դրանց վեկտորային արտադրյալը հավասար է զրոյի (զրոյական վեկտոր). 
.
ա) Գտեք վեկտորի արտադրյալը. 
Այսպիսով, վեկտորները համակողմանի չեն:
բ) Գտեք վեկտորի արտադրյալը. 
Պատասխանելա) ոչ համագիծ, բ)
Այստեղ է, հավանաբար, բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մասին։
Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ քիչ խնդիրներ կան, որտեղ օգտագործվում է վեկտորների խառը արտադրյալը: Իրականում ամեն ինչ կախված կլինի սահմանումից, երկրաչափական իմաստից և մի քանի աշխատանքային բանաձևից։
Վեկտորների խառը արտադրյալը երեք վեկտորի արտադրյալն է:
Այսպիսով, նրանք շարվեցին գնացքի պես և չեն կարող սպասել, որ իրենց ճանաչեն:
Նախ, կրկին, սահմանում և նկար.
ՍահմանումԽառը աշխատանք ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված այս կարգով, կանչեց զուգահեռածավալ ծավալ, կառուցված այս վեկտորների վրա, հագեցած «+» նշանով, եթե հիմքը ճիշտ է, և «–» նշանով, եթե հիմքը մնացել է:
Եկեք նկարենք: Մեզ համար անտեսանելի գծերը գծված են կետավոր գծերով. 
Եկեք սուզվենք սահմանման մեջ.
2) վերցված են վեկտորներ որոշակի հերթականությամբ, այսինքն՝ արտադրյալում վեկտորների վերադասավորումը, ինչպես կարող եք կռահել, անհետևանք չի լինում։
3) Նախքան երկրաչափական իմաստը մեկնաբանելը, նկատեմ մի ակնհայտ փաստ. վեկտորների խառը արտադրյալը ԹԻՎ է: Ուսումնական գրականության մեջ ձևավորումը կարող է փոքր-ինչ տարբեր լինել, ես սովոր եմ խառը արտադրյալը նշելով, իսկ հաշվարկների արդյունքը՝ «պե» տառով:
Ըստ սահմանման խառը արդյունքը զուգահեռականի ծավալն է, կառուցված վեկտորների վրա (նկարը գծված է կարմիր վեկտորներով և սև գծերով)։ Այսինքն՝ թիվը հավասար է տրված զուգահեռականի ծավալին։
Նշում Նկարը սխեմատիկ է:
4) Եկեք նորից չանհանգստանանք հիմքի և տարածության կողմնորոշման հայեցակարգից: Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ ծավալին կարելի է մինուս նշան ավելացնել։ Պարզ բառերով, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.
Անմիջապես սահմանումից հետևում է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը:
Վեկտորային արտադրյալ հասկացությունը տալուց առաջ անդրադառնանք a →, b →, c → վեկտորների դասավորված եռյակի կողմնորոշման հարցին եռաչափ տարածության մեջ։
Սկսելու համար, մի կետից մի կողմ դնենք a → , b → , c → վեկտորները: a → , b → , c → եռակի կողմնորոշումը կարող է լինել աջ կամ ձախ՝ կախված c → վեկտորի ուղղությունից։ a → , b → , c → եռակի տեսակը կորոշվի այն ուղղությունից, որով ամենակարճ պտույտը կատարվում է a → վեկտորից b → c վեկտորի վերջից։
Եթե ամենակարճ պտույտը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա a → , b → , c → վեկտորների եռապատիկը կոչվում է. ճիշտ, եթե ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - ձախ.
Այնուհետև վերցրեք երկու ոչ գծային վեկտոր a → և b →: Ապա եկեք գծենք A B → = a → և A C → = b → վեկտորները A կետից: Կառուցենք A D → = c → վեկտորը, որը միաժամանակ ուղղահայաց է և՛ A B →, և՛ A C →: Այսպիսով, վեկտորն ինքնին A D → = c → կառուցելիս մենք կարող ենք դա անել երկու եղանակով՝ տալով նրան կամ մեկ ուղղություն, կամ հակառակը (տես նկարազարդումը):
a → , b → , c → վեկտորների դասավորված եռապատիկը կարող է լինել, ինչպես պարզեցինք, աջ կամ ձախ՝ կախված վեկտորի ուղղությունից։
Վերոնշյալից մենք կարող ենք ներկայացնել վեկտորային արտադրանքի սահմանումը: Այս սահմանումը տրված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սահմանված երկու վեկտորների համար։
Սահմանում 1
a → և b → երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալը Մենք կանվանենք այնպիսի վեկտոր, որը սահմանված է եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այնպես, որ.
- եթե a → և b → վեկտորները համագիծ են, ապա այն կլինի զրո;
- այն ուղղահայաց կլինի ինչպես a → վեկտորին, այնպես էլ b վեկտորին → այսինքն. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
- դրա երկարությունը որոշվում է բանաձևով՝ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- a → , b → , c → վեկտորների եռապատիկը ունի նույն կողմնորոշումը, ինչ տրված կոորդինատային համակարգը։
a → և b → վեկտորների վեկտորային արտադրյալն ունի հետևյալ նշումը՝ a → × b →:
Վեկտորային արտադրանքի կոորդինատները
Քանի որ ցանկացած վեկտոր ունի որոշակի կոորդինատներ կոորդինատների համակարգում, մենք կարող ենք ներկայացնել վեկտորային արտադրյալի երկրորդ սահմանումը, որը թույլ կտա մեզ գտնել նրա կոորդինատները՝ օգտագործելով վեկտորների տրված կոորդինատները:
Սահմանում 2
Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալ a → = (a x ; a y ; a z) և b → = (b x ; b y ; b z) կոչվում է վեկտոր c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , որտեղ i → , j → , k → կոորդինատային վեկտորներ են։
Վեկտորային արտադրյալը կարող է ներկայացվել որպես երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցայի որոշիչ, որտեղ առաջին տողը պարունակում է i → , j → , k → վեկտորները, երկրորդ շարքը պարունակում է a → վեկտորի կոորդինատները, իսկ երրորդ տողը: պարունակում է b → վեկտորի կոորդինատները տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, սա մատրիցայի որոշիչն ունի հետևյալ տեսքը՝ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z.
Ընդլայնելով այս որոշիչն առաջին շարքի տարրերի մեջ՝ ստանում ենք հավասարություն՝ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →
Խաչի արտադրանքի հատկությունները
Հայտնի է, որ վեկտորի արտադրյալը կոորդինատներում ներկայացված է որպես c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z մատրիցի որոշիչ, ապա հիմքի վրա. մատրիցային որոշիչի հատկություններըցուցադրվում են հետևյալը վեկտորային արտադրանքի հատկությունները.
- հակակոմուտատիվություն a → × b → = - b → × a →;
- բաշխվածություն a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → կամ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- ասոցիատիվություն λ a → × b → = λ a → × b → կամ a → × (λ b →) = λ a → × b →, որտեղ λ կամայական իրական թիվ է։
Այս հատկությունները ունեն պարզ ապացույցներ.
Որպես օրինակ՝ մենք կարող ենք ապացուցել վեկտորային արտադրյալի հակակոմուտատիվ հատկությունը։
Հակակոմուտատիվության ապացույց
Ըստ սահմանման՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z and b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Եվ եթե մատրիցայի երկու տողերը փոխանակվում են, ապա մատրիցայի որոշիչի արժեքը պետք է փոխվի հակառակը, հետևաբար, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y. - b → × a → , որը և ապացուցում է, որ վեկտորի արտադրյալը հակակոմուտատիվ է։
Վեկտորային արտադրանք - օրինակներ և լուծումներ
Շատ դեպքերում կան երեք տեսակի խնդիրներ.
Առաջին տիպի խնդիրներում սովորաբար տրվում են երկու վեկտորների երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, և անհրաժեշտ է գտնել վեկտորի արտադրյալի երկարությունը։ Այս դեպքում օգտագործեք հետևյալ բանաձևը c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Օրինակ 1
Գտե՛ք a → և b → վեկտորների վեկտորի արտադրյալի երկարությունը, եթե գիտեք a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4։
Լուծում
Որոշելով a → և b → վեկտորների վեկտորի արտադրյալի երկարությունը՝ լուծում ենք այս խնդիրը՝ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15. 2 2 .
Պատասխան. 15 2 2 .
Երկրորդ տիպի խնդիրները կապ ունեն վեկտորների կոորդինատների հետ, դրանցում վեկտորային արտադրյալը, դրա երկարությունը և այլն։ որոնվում են տվյալ վեկտորների հայտնի կոորդինատների միջոցով a → = (a x; a y; a z) Եվ b → = (b x; b y; b z) .
Այս տեսակի խնդիրների համար դուք կարող եք լուծել առաջադրանքների բազմաթիվ տարբերակներ: Օրինակ՝ կարելի է նշել ոչ թե a → և b → վեկտորների կոորդինատները, այլ դրանց ընդլայնումները ձևի կոորդինատային վեկտորների մեջ։ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → և c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, կամ a → և b → վեկտորները կարող են սահմանվել դրանց սկզբի կոորդինատներով. և վերջնակետեր:
Դիտարկենք հետևյալ օրինակները.
Օրինակ 2
Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված է երկու վեկտոր՝ a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1): Գտեք նրանց խաչի արտադրանքը:
Լուծում
Երկրորդ սահմանմամբ մենք գտնում ենք երկու վեկտորների վեկտորի արտադրյալը տրված կոորդինատներում. a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2) · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Եթե վեկտորային արտադրյալը գրենք մատրիցայի որոշիչի միջոցով, ապա այս օրինակի լուծումն այսպիսի տեսք ունի՝ a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1. 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
Պատասխան. a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.
Օրինակ 3
Գտե՛ք i → - j → և i → + j → + k → վեկտորների վեկտորի արտադրյալի երկարությունը, որտեղ i →, j →, k → ուղղանկյուն Դեկեկարտյան կոորդինատային համակարգի միավոր վեկտորներն են։
Լուծում
Նախ՝ գտնենք տրված վեկտորային արտադրյալի i → - j → × i → + j → + k → տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կոորդինատները։
Հայտնի է, որ i → - j → և i → + j → + k → վեկտորներն ունեն համապատասխանաբար (1; - 1; 0) և (1; 1; 1) կոորդինատներ։ Գտնենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը՝ օգտագործելով մատրիցայի որոշիչը, ապա ունենք i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Հետեւաբար, i → - j → × i → + j → + k → վեկտորային արտադրյալը տրված կոորդինատային համակարգում ունի կոորդինատներ (- 1 ; - 1 ; 2):
Մենք գտնում ենք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (տե՛ս վեկտորի երկարությունը գտնելու բաժինը). i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.
Պատասխան. i → - j → × i → + j → + k → = 6. .
Օրինակ 4
Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում տրված են A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) երեք կետերի կոորդինատները։ Գտե՛ք միաժամանակ A B → և A C → մի քանի վեկտորներ:
Լուծում
A B → և A C → վեկտորները համապատասխանաբար ունեն հետևյալ կոորդինատները (- 1 ; 2 ; 2) և (0 ; 4 ; 1): Գտնելով A B → և A C → վեկտորների վեկտորային արտադրյալը, ակնհայտ է, որ այն ըստ սահմանման ուղղահայաց վեկտոր է և՛ A B →, և՛ A C →, այսինքն՝ դա մեր խնդրի լուծումն է։ Գտնենք այն A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →:
Պատասխան. - 6 i → + j → - 4 k → . - ուղղահայաց վեկտորներից մեկը:
Երրորդ տիպի խնդիրները ուղղված են վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունների օգտագործմանը: Որը կիրառելուց հետո կստանանք տվյալ խնդրի լուծումը։
Օրինակ 5
a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, իսկ երկարությունները՝ համապատասխանաբար 3 և 4։ Գտեք վեկտորի արտադրյալի երկարությունը 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →.
Լուծում
Վեկտորային արտադրյալի բաշխիչ հատկությամբ կարող ենք գրել 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →
Ասոցիատիվության հատկությամբ վերջին արտահայտության մեջ վեկտորային արտադրյալների նշանից հանում ենք թվային գործակիցները՝ 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → +. - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →
a → × a → և b → × b → վեկտորային արտադրյալները հավասար են 0-ի, քանի որ a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 և b → × b → = b → · b → · sin. 0 = 0, ապա 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Վեկտորի արտադրյալի հակակոմուտատիվությունից հետևում է - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → ×. բ → . .
Օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի հատկությունները, մենք ստանում ենք 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → հավասարությունը:
Ըստ պայմանի՝ a → և b → վեկտորները ուղղահայաց են, այսինքն՝ նրանց միջև անկյունը հավասար է π 2-ի։ Այժմ մնում է միայն գտնված արժեքները փոխարինել համապատասխան բանաձևերով. b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Պատասխան. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60:
Վեկտորների վեկտորային արտադրյալի երկարությունը ըստ սահմանման հավասար է a → × b → = a → · b → · sin ∠ a →, b →: Քանի որ արդեն հայտնի է (դպրոցական դասընթացից), որ եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի երկարությունների արտադրյալի կեսին՝ բազմապատկված այս կողմերի միջև անկյան սինուսով։ Հետևաբար, վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է զուգահեռագծի մակերեսին՝ կրկնապատկված եռանկյունին, այն է՝ կողմերի արտադրյալը a → և b → վեկտորների տեսքով, որոնք դրված են մեկ կետից, սինուսով: նրանց միջև եղած անկյունը sin ∠ a →, b →.
Սա վեկտորային արտադրանքի երկրաչափական նշանակությունն է:
Վեկտորային արտադրանքի ֆիզիկական նշանակությունը
Մեխանիկայում՝ ֆիզիկայի ճյուղերից մեկը, վեկտորային արտադրյալի շնորհիվ կարող եք որոշել ուժի մոմենտը տարածության կետի նկատմամբ։
Սահմանում 3
B կետի վրա կիրառված F → ուժի պահով, A կետի նկատմամբ, մենք կհասկանանք հետևյալ վեկտորային արտադրյալը A B → × F →.
Եթե տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter
