Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը. Հիմնարար եռանկյունաչափական ինքնություն

Հետևյալ նկարում պատկերված է Oxy կոորդինատային համակարգը, որի մեջ պատկերված է միավոր կիսաշրջանի ACB մասը՝ կենտրոնով O կետում: Այս մասը միավոր շրջանագծի աղեղն է: Միավոր շրջանագիծը նկարագրվում է x^2+y^2 = 1 հավասարմամբ։

Հիմնարար եռանկյունաչափական ինքնություն

Օրդինատները y և abscissa x-ը կարող են ներկայացվել որպես անկյան սինուս և կոսինուս՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևերը.

Այս արժեքները փոխարինելով միավորի շրջանագծի հավասարումների մեջ՝ ունենք հետևյալ հավասարությունը.

(sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1, որը կբավարարվի a-ի ցանկացած արժեքի համար 0 աստիճանից մինչև 180 աստիճան: Այս հավասարությունը կոչվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.

Կրճատման բանաձևեր

Կրճատման բանաձևերը օգտագործվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներն արտահայտելու համար (90˚ ±a), (180˚ ±a) ձևի արգումենտներից sin(a), cos(a), tg(a) արժեքների միջոցով: ) և ctg(a):

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման երկու կանոն կա.

1. Եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (90˚ ±a), ապա ֆունկցիայի անվանումը փոխում է sin-ը՝ cos, cos-ը՝ sin, tg-ը՝ ctg, ctg-ը՝ tg: Եթե ​​անկյունը կարող է ներկայացվել (180˚ ±a) ձևով, ապա ֆունկցիայի անվանումը մնում է անփոփոխ:

Նայեք ստորև ներկայացված նկարին, որը սխեմատիկորեն ցույց է տալիս, թե երբ փոխել նշանը և երբ ոչ:

2. «Ինչպես էիր, այնպես էլ մնում ես» կանոնը։

Կրճատված ֆունկցիայի նշանը մնում է նույնը։ Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ գումարած նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև գումարած նշան։ Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ մինուս նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև մինուս նշան։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները՝ կախված քառորդից:

Սահմանում. Կրճատման բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք թույլ են տալիս ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից անցնել արգումենտի ֆունկցիաների: Նրանց օգնությամբ կամայական անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը կարող են կրճատվել 0-ից մինչև 90 աստիճան (0-ից մինչև ռադիաններ) ինտերվալից մինչև անկյան սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս: Այսպիսով, կրճատման բանաձևերը թույլ են տալիս անցնել 90 աստիճանի անկյունների հետ աշխատելուն, ինչը, անկասկած, շատ հարմար է։

Կրճատման բանաձևեր.

Կրճատման բանաձևերի օգտագործման երկու կանոն կա.

1. Եթե ​​անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π/2 ±a) կամ (3*π/2 ±a), ապա ֆունկցիայի անվանումը փոխվում էմեղքը cos, cos մեղքը, tg դեպի ctg, ctg to tg. Եթե ​​անկյունը կարելի է ներկայացնել (π ±a) կամ (2*π ±a) տեսքով, ապա Գործառույթի անվանումը մնում է անփոփոխ։

Նայեք ստորև նկարին, այն սխեմատիկորեն ցույց է տալիս, թե երբ պետք է փոխեք նշանը և երբ ոչ

2. Նվազեցված ֆունկցիայի նշան մնում է նույնը. Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ գումարած նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև գումարած նշան։ Եթե ​​սկզբնական ֆունկցիան ուներ մինուս նշան, ապա կրճատված ֆունկցիան ունի նաև մինուս նշան։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանները՝ կախված քառորդից:

Օրինակ՝

Հաշվիր

Եկեք օգտագործենք կրճատման բանաձևերը.

Sin (150˚) երկրորդ քառորդում է, որից տեսնում ենք, որ մեղքի նշանն այս քառորդում հավասար է «+»-ի: Սա նշանակում է, որ տվյալ ֆունկցիան կունենա նաև «+» նշան։ Մենք կիրառեցինք երկրորդ կանոնը.

Այժմ 150˚ = 90˚ +60˚: 90˚-ը π/2 է: Այսինքն՝ գործ ունենք π/2+60 դեպքի հետ, հետեւաբար, ըստ առաջին կանոնի, ֆունկցիան sin-ից փոխում ենք cos-ի։ Արդյունքում մենք ստանում ենք Sin(150˚) = cos(60˚) = ½:

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք համապարփակ տեսք: Հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները հավասարություններ են, որոնք կապ են հաստատում մի անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև և թույլ են տալիս գտնել այս եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից որևէ մեկը հայտնի մյուսի միջոցով:

Եկեք անմիջապես թվարկենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները, որոնք մենք կվերլուծենք այս հոդվածում: Եկեք դրանք գրենք աղյուսակում, իսկ ստորև մենք կտանք այս բանաձևերի արդյունքը և կտրամադրենք անհրաժեշտ բացատրությունները:

Էջի նավարկություն.

Մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի կապը

Երբեմն նրանք խոսում են ոչ թե վերը նշված աղյուսակում թվարկված հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունների, այլ մեկ սինգլի մասին հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունըբարի . Այս փաստի բացատրությունը բավականին պարզ է. հավասարությունները ստացվում են հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից՝ դրա երկու մասերը և, համապատասխանաբար, և հավասարությունների վրա բաժանելուց հետո։ Եվ հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Այս մասին ավելի մանրամասն կխոսենք հաջորդ պարբերություններում:

Այսինքն, դա այն հավասարությունն է, որն առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում, որին տրվել է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության անվանումը։

Մինչև հիմնականը ապացուցելը եռանկյունաչափական ինքնություն, բերենք դրա ձևակերպումը. մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը նույնականորեն հավասար է մեկի։ Հիմա եկեք ապացուցենք.

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը շատ հաճախ օգտագործվում է, երբ եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպում. Այն թույլ է տալիս մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը փոխարինել մեկով: Ոչ պակաս հաճախ օգտագործվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը հակառակ կարգըմիավորը փոխարինվում է ցանկացած անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարով:

Շոշափող և կոտանգենս սինուսի և կոսինուսի միջոցով

Տանգենսը և կոտանգենսը կապող նույնականացումներ դիտման մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի հետ և անմիջապես հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Իրոք, ըստ սահմանման, սինուսը y-ի օրդինատն է, կոսինուսը x-ի աբսցիսն է, շոշափողը օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերությունն է, այսինքն. , իսկ կոտանգենսը աբսցիսայի հարաբերակցությունն է օրդինատին, այսինքն. .

Ինքնությունների այսպիսի ակնհայտության շնորհիվ և Տանգենսը և կոտանգենսը հաճախ սահմանվում են ոչ թե աբսցիսայի և օրդինատի, այլ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցության միջոցով: Այսպիսով, անկյան շոշափողը սինուսի և այս անկյան կոսինուսի հարաբերությունն է, իսկ կոտանգենսը կոսինուսի և սինուսի հարաբերությունն է:

Եզրափակելով այս պարբերությունը, հարկ է նշել, որ ինքնությունները և տեղի են ունենում բոլոր անկյունների համար, որոնցում ընդգրկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաները իմաստ ունեն: Այսպիսով, բանաձևը վավեր է ցանկացած , բացի (հակառակ դեպքում հայտարարը կունենա զրո, իսկ մենք բաժանում չենք սահմանել զրոյի), և բանաձևը - բոլորի համար, տարբեր, որտեղ z-ը ցանկացած է:

Կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջև

Նույնիսկ ավելի ակնհայտ եռանկյունաչափական նույնականությունը, քան նախորդ երկուսը, ձևի մեկ անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը կապող նույնությունն է։ . Հասկանալի է, որ այն պահպանվում է ցանկացած այլ անկյունի համար, քան , հակառակ դեպքում կամ շոշափողը կամ կոտանգենսը չեն սահմանվում:

Բանաձևի ապացույց շատ պարզ. Ըստ սահմանման և որտեղից . Ապացույցը կարող էր մի փոքր այլ կերպ իրականացվել։ Քանի որ , Դա .

Այսպիսով, միևնույն անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը, որով դրանք իմաստ ունեն, .