Դիֆերենցիալ ֆունկցիաներ և մասնակի ածանցյալներ կեղծամների համար: Մասնակի ածանցյալ, լրիվ դիֆերենցիալ FNP

Թող ֆունկցիան սահմանվի ինչ-որ (բաց) տիրույթում Դ միավորներ
ծավալային տարածություն և
– կետ այս ոլորտում, այսինքն.
Դ.

Գործառույթի մասնակի ավելացումՑանկացած փոփոխականի համար շատ փոփոխականներից այն աճն է, որը ֆունկցիան կստանա, եթե այս փոփոխականին ավելացում տանք՝ ենթադրելով, որ մնացած բոլոր փոփոխականներն ունեն հաստատուն արժեքներ:

Օրինակ՝ ֆունկցիայի մասնակի ավելացում ըստ փոփոխականի կամք

Մասնակի ածանցյալ՝ անկախ փոփոխականի նկատմամբ կետում
ֆունկցիան կոչվում է մասնակի աճի հարաբերակցության սահման (եթե այն գոյություն ունի):
գործառույթներ դեպի ավելացում
փոփոխական ձգտելիս
զրոյի:

Մասնակի ածանցյալը նշվում է խորհրդանիշներից մեկով.

;
.

Մեկնաբանություն.Ցուցանիշ ստորև նշված նշումներում միայն ցույց է տալիս, թե որ փոփոխականներից է վերցված ածանցյալը և որ կետի հետ կապված չէ
այս ածանցյալը հաշվարկվում է.

Մասնակի ածանցյալների հաշվարկը նորություն չէ, համեմատած սովորական ածանցյալի հաշվարկի հետ, պարզապես պետք է հիշել, որ ցանկացած փոփոխականի նկատմամբ ֆունկցիան տարբերելիս բոլոր մյուս փոփոխականները վերցվում են որպես հաստատուններ: Սա ցույց տանք օրինակներով։

Օրինակ 1.Գտեք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ
.

Լուծում. Ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը հաշվարկելիս
փաստարկով հաշվի առեք գործառույթը որպես միայն մեկ փոփոխականի ֆունկցիա , այսինքն. մենք հավատում ենք դրան ունի հաստատուն արժեք. Ժամը ֆիքսված ֆունկցիան
փաստարկի ուժային ֆունկցիան է .

Օգտագործելով հզորության ֆունկցիայի տարբերակման բանաձևը, մենք ստանում ենք. Նմանապես, մասնակի ածանցյալը հաշվարկելիս մենք ենթադրում ենք, որ արժեքը ֆիքսված է
և հաշվի առեք գործառույթը որպես փաստարկի էքսպոնենցիալ ֆունկցիա

.. Արդյունքում մենք ստանում ենք.Օրինակ 2 Ն ՏՏ մասնակի ածանցյալներ
.

Եվգործառույթները Լուծում. նկատմամբ մասնակի ածանցյալը հաշվարկելիս տրված գործառույթը մենք այն կդիտարկենք որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա
, և պարունակող արտահայտություններ , կլինեն մշտական ​​գործոններ, այսինքն. (
գործում է որպես հաստատուն գործակից հզորության ֆունկցիայով

.

) Տարբերակելով այս արտահայտությունը , ստանում ենք. Հիմա, ընդհակառակը, գործառույթը դիտարկվում է որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա
(
, մինչդեռ պարունակող արտահայտությունները , գործակիցի դերում

Տարբերակող Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների տարբերակման կանոնների համաձայն՝ ստանում ենք.
Օրինակ 3.
.

ԵվՀաշվել ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալները
դրա սահմանման տիրույթը: նկատմամբ մասնակի ածանցյալը հաշվարկելիս մենք հավատում ենք դրան
մշտական ​​են.

երբ տարբերվում է ըստ կլինի մշտական
:

և մասնակի ածանցյալ գործիքները հաշվարկելիս և ըստ , նույնպես, համապատասխանաբար, հաստատուն կլինի,
Ն
, այսինքն.

Այժմ եկեք հաշվարկենք այս ածանցյալների արժեքները տվյալ կետում
, փոխարինելով հատուկ փոփոխական արժեքները իրենց արտահայտությունների մեջ: Արդյունքում մենք ստանում ենք.

11. Մասնակի և ամբողջական դիֆերենցիալ ֆունկցիաներ

Եթե ​​հիմա մասնակի աճին
կիրառել Լագրանժի թեորեմը փոփոխականի վերջավոր հավելումների վերաբերյալ , ապա հաշվի առնելով շարունակական, մենք ստանում ենք հետևյալ հարաբերությունները.

Որտեղ
,
- անսահման փոքր արժեք:

Մասնակի դիֆերենցիալ ֆունկցիաըստ փոփոխականի կոչվում է մասնակի աճի հիմնական գծային մասը
, հավասար է մասնակի ածանցյալի արտադրյալին այս փոփոխականի և այս փոփոխականի աճի նկատմամբ և նշվում է.

Ակնհայտ է, որ մասնակի դիֆերենցիալը մասնակի աճից տարբերվում է ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքրությամբ:

Ամբողջական ֆունկցիայի ավելացումշատ փոփոխականներից կոչվում է այն աճը, որը նա կստանա, երբ մենք ավելացում տանք բոլոր անկախ փոփոխականներին, այսինքն.

որտեղ են բոլորը
, կախված են եւ նրանց հետ միասին հակված են զրոյի։

Տակ անկախ փոփոխականների դիֆերենցիալները համաձայնվել է ակնարկել կամայականավելացումներ
և նշանակիր նրանց
.

Այսպիսով, մասնակի դիֆերենցիալի արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը. Օրինակ՝ մասնակի դիֆերենցիալ Ըստ

.

սահմանվում է այսպես.
Ամբողջական դիֆերենցիալ
մի քանի փոփոխականների ֆունկցիան կոչվում է ընդհանուր աճի հիմնական գծային մասը , հավասար, այսինքն.

նրա բոլոր մասնակի դիֆերենցիալների գումարը.
Եթե ​​ֆունկցիան

ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ
կետում ապա նա.

տարբերվող տվյալ կետում
Երբ բավական փոքր է տարբերվող ֆունկցիայի համար

,

կան մոտավոր հավասարություններ

որոնցով կարելի է մոտավոր հաշվարկներ կատարել։Օրինակ 4.
Գտեք ֆունկցիայի լրիվ դիֆերենցիալը
.

Եվերեք փոփոխական

Առաջին հերթին մենք գտնում ենք մասնակի ածանցյալները.
Նկատելով, որ դրանք շարունակական են բոլոր արժեքների համար

, մենք գտնում ենք. Ն Շատ փոփոխականների ֆունկցիաների դիֆերենցիալների համար ճշմարիտ են բոլոր թեորեմները դիֆերենցիալների հատկությունների մասին, որոնք ապացուցված են մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների դեպքում, օրինակ.
- փոփոխականների շարունակական գործառույթներ Ն , ունենալով շարունակական մասնակի ածանցյալներ բոլոր փոփոխականների նկատմամբ, և

(6)

կամայական հաստատուններ են, ապա՝

Գործնական աշխատանք թիվ 2

«Դիֆերենցիալ ֆունկցիա»Դասի նպատակը

Սովորեք լուծել այս թեմայի օրինակներ և խնդիրներ:

Տեսության հարցեր (բազային).

1. Ածանցյալների կիրառում էքստրեմում ֆունկցիաները ուսումնասիրելու համար:

3. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ամբողջական դիֆերենցիալ:

4. Մարմնի վիճակը՝ որպես բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիա:

5. Մոտավոր հաշվարկներ.

6. Գտնելով մասնակի ածանցյալներ և ընդհանուր դիֆերենցիալներ:

7. Այս հասկացությունների կիրառման օրինակներ ֆարմակոկինետիկայի, մանրէաբանության և այլնի մեջ:

(ինքնապատրաստում)

1. պատասխանել դասի թեմայի վերաբերյալ հարցերին.

2. լուծել օրինակներ.

Օրինակներ

Գտեք հետևյալ ֆունկցիաների դիֆերենցիալները.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Գործառույթներն ուսումնասիրելու համար ածանցյալների օգտագործումը

Պայման, որ y = f(x) ֆունկցիան մեծանա [a, b] միջակայքում:

[a, b] հատվածում y=f(x) ֆունկցիայի նվազման պայմանը:

Առավելագույն y=f(x)at x=a ֆունկցիայի պայման

f"(a)=0 և f"" (a)<0

Եթե ​​x=a-ում f"(a) = 0 և f"(a) = 0 ածանցյալները, ապա անհրաժեշտ է ուսումնասիրել f"(x) x = a կետի մոտակայքում: y=f( ֆունկցիան: x) x=a-ում ունի առավելագույն , եթե x = a կետով անցնելիս f"(x) ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «-»-ի, նվազագույնի դեպքում՝ «-»-ից: դեպի «+» Եթե f»(x) նշանը չի փոխում x = a կետով անցնելիս, ապա այս պահին ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի.

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ:

Անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալը հավասար է դրա աճին.

y=f(x) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) դիֆերենցիալ y=u±v

Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի դիֆերենցիալ y=uv

Երկու ֆունկցիաների քանորդի դիֆերենցիալ y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Ֆունկցիայի ավելացում

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

որտեղ Δx: - արգումենտի ավելացում:

Ֆունկցիայի արժեքի մոտավոր հաշվարկ.

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Դիֆերենցիալի կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում

Դիֆերենցիալն օգտագործվում է անուղղակի չափումների բացարձակ և հարաբերական սխալները հաշվարկելու համար u = f(x, y, z.): Չափման արդյունքի բացարձակ սխալ

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Չափման արդյունքի հարաբերական սխալ

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՖՈՒՆԿՑԻԱ.

Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ՝ որպես ֆունկցիայի աճի հիմնական մաս Եվ.Ածանցյալ հասկացության հետ սերտորեն կապված է ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հասկացությունը: Թող գործառույթը f(x)շարունակական է տրված արժեքների համար Xև ունի ածանցյալ

Դ f/Dx = f¢(x) + a(Dx), որտեղից էլ ֆունկցիայի աճը Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx,Որտեղ a(Dx) ® 0ժամը Dх ® 0. Եկեք որոշենք անվերջ փոքրի կարգը f¢ (x)Dx Dx.:

Հետեւաբար, անսահման փոքր f¢ (x)DxԵվ Dxունեն փոքրության նույն կարգը, այսինքն f¢ (x)Dx = O.

Եկեք որոշենք անվերջ փոքրի կարգը a(Dх)Dхհամեմատ անսահման փոքրի հետ Dx:

Հետեւաբար, անսահման փոքր a(Dх)Dхունի փոքրության ավելի բարձր կարգ՝ համեմատած անվերջ փոքրի հետ Dx, այսինքն a(Dx)Dx = o.

Այսպիսով, անսահման փոքր աճը Դֆդիֆերենցիալ ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել երկու տերմինի տեսքով՝ անվերջ փոքր f¢ (x)Dxնույն կարգի փոքրության հետ Dxև անսահման փոքր a(Dх)Dхփոքրության ավելի բարձր կարգ՝ համեմատած անսահման փոքրի հետ Dx.Սա նշանակում է, որ հավասարության մեջ Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxժամը Dx® 0երկրորդ անդամը հակված է զրոյի «ավելի արագ», քան առաջինը, այսինքն a(Dx)Dx = o.

Առաջին ժամկետը f¢(x)Dx,գծային նկատմամբ Dx, կանչեց դիֆերենցիալ ֆունկցիա f(x) կետում Xև նշել դիկամ դֆ(կարդացեք «de igrek» կամ «de ef»): Այսպիսով,

dy = df = f¢ (x)Dx:

Դիֆերենցիալի վերլուծական նշանակությունըայն է, որ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը ֆունկցիայի աճի հիմնական մասն է Դֆ, գծային՝ արգումենտի ավելացման նկատմամբ Dx. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալը տարբերվում է ֆունկցիայի աճից անվերջ փոքրությամբ ավելի մեծ փոքրության, քան Dx. Իսկապես, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxկամ Df = df + a(Dx)Dx . Փաստարկային դիֆերենցիալ dxհավասար է դրա աճին Dx: dx = Dx:

Օրինակ.Հաշվեք ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արժեքը f(x) = x 3 + 2x,Երբ Xտատանվում է 1-ից մինչև 1,1:

ԵվԳտնենք այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալի ընդհանուր արտահայտությունը.

Փոխարինող արժեքներ dx=Dx=1,1–1= 0,1Եվ x = 1Վերջին բանաձևի մեջ մենք ստանում ենք դիֆերենցիալի ցանկալի արժեքը. դֆ½ x=1; = 0,5.

ՄԱՍՆԱԿԻ ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ.

Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ. z = f(x,y) ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալ ) փաստարկով Xխնդրո առարկա կետում (x;y)կոչվում է սահմանաչափ

եթե այն գոյություն ունի:

Ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալ z = f (x, y)փաստարկով Xնշվում է հետևյալ նշաններից մեկով.

Նմանապես, մասնակի ածանցյալը նկատմամբ ժամընշվում և սահմանվում է բանաձևով.

Քանի որ մասնակի ածանցյալը մեկ արգումենտի ֆունկցիայի սովորական ածանցյալն է, դժվար չէ հաշվարկել: Դա անելու համար հարկավոր է օգտագործել մինչ այժմ դիտարկված տարբերակման բոլոր կանոնները՝ յուրաքանչյուր դեպքում հաշվի առնելով, թե փաստարկներից որն է ընդունվում որպես «հաստատուն թիվ», որը ծառայում է որպես «տարբերակման փոփոխական»։

Մեկնաբանություն.Գտնել մասնակի ածանցյալը, օրինակ, փաստարկի նկատմամբ x – df/dx, բավական է գտնել ֆունկցիայի սովորական ածանցյալը f (x,y),վերջինս համարելով մեկ փաստարկի ֆունկցիա X, Ա ժամը- մշտական; գտնել df/dy- հակառակը:

Օրինակ.Գտեք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալների արժեքները f(x,y) = 2x 2 + y 2կետում P(1;2).

Լուծում.Հաշվելով f(x,y)մեկ փաստարկի գործառույթ Xև օգտագործելով տարբերակման կանոնները՝ գտնում ենք

Կետում P(1;2)ածանցյալ արժեք

Համարելով f(x;y) y արգումենտի ֆունկցիա՝ մենք գտնում ենք

Կետում P(1;2)ածանցյալ արժեք

ՈՒՍԱՆՈՂԻ ԱՆԿԱԽ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ.

Գտե՛ք հետևյալ ֆունկցիաների դիֆերենցիալները.

Լուծեք հետևյալ խնդիրները.

1. Որքա՞ն կնվազի x=10 սմ կողմ ունեցող քառակուսու մակերեսը, եթե կողմը փոքրացվի 0,01 սմ-ով:

2. Տրված է մարմնի շարժման հավասարումը` y=t 3 /2+2t 2, որտեղ s-ն արտահայտված է մետրերով, t-ն՝ վայրկյաններով։ Գտե՛ք մարմնի անցած ճանապարհը t=1,92 վրկ-ում՝ շարժման սկզբից:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Լոբոցկայա Ն.Լ. Բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմունքներ - Մ.: «Բարձրագույն դպրոց», 1978.C198-226.

2. Բեյլի Ն. Մաթեմատիկա կենսաբանության և բժշկության մեջ: Պեր. անգլերենից Մ.՝ «Միր», 1970։

3. Ռեմիզով Ա.Ն., Իսակովա Ն.Խ., Մաքսինա Լ.Գ. Բժշկական և կենսաբանական ֆիզիկայի խնդիրների ժողովածու - Մ., «Բարձրագույն դպրոց», 1987. P16-20.

Մասնակի ածանցյալֆունկցիաներ z = f(x, y x փոփոխականովԱյս ֆունկցիայի ածանցյալը y փոփոխականի հաստատուն արժեքով կոչվում է, այն նշանակվում է կամ z» x-ով:

Մասնակի ածանցյալֆունկցիաներ z = f(x, y) y փոփոխականովկոչվում է ածանցյալ y-ի նկատմամբ y փոփոխականի հաստատուն արժեքով. այն նշանակված է կամ z" y.

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը մեկ փոփոխականի նկատմամբ սահմանվում է որպես այդ ֆունկցիայի ածանցյալ՝ համապատասխան փոփոխականի նկատմամբ՝ պայմանով, որ մնացած փոփոխականները մնան հաստատուն:

Ամբողջական դիֆերենցիալ z = f(x, y) ֆունկցիան ինչ-որ կետում M(X, y) կոչվում է արտահայտություն

,

Որտեղ և-ը հաշվարկվում են M(x, y) կետում, իսկ dx = , dy = y:

Օրինակ 1

Հաշվեք ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը:

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 M(1; 2) կետում

Լուծում:

1) Գտեք մասնակի ածանցյալներ.

2) Հաշվել մասնակի ածանցյալների արժեքը M(1; 2) կետում.

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Հարցեր ինքնատիրապետման համար.

1. Ի՞նչ է կոչվում հակաածանցյալ: Թվարկե՛ք հակաածանցյալի հատկությունները:

2. Ի՞նչ է կոչվում անորոշ ինտեգրալ:

3. Թվարկե՛ք անորոշ ինտեգրալի հատկությունները:

4. Թվարկե՛ք ինտեգրման հիմնական բանաձևերը:

5. Ինտեգրման ի՞նչ մեթոդներ գիտեք:

6. Ո՞րն է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի էությունը:

7. Տրե՛ք որոշակի ինտեգրալի սահմանումը:

8. Ո՞րն է փոխարինման մեթոդով որոշակի ինտեգրալի հաշվարկման էությունը:

9. Ո՞րն է որոշիչ ինտեգրալի մասերով հաշվելու մեթոդի էությունը:

10. Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում երկու փոփոխականի ֆունկցիա: Ինչպե՞ս է այն նշանակված:

11. Ո՞ր ֆունկցիան է կոչվում երեք փոփոխականների ֆունկցիա:

12. Ո՞ր բազմությունն է կոչվում ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ:

13. Ի՞նչ անհավասարություններ օգտագործելով կարող եք հարթության վրա սահմանել փակ տարածք D:

14. Որքա՞ն է z = f(x, y) ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը x փոփոխականի նկատմամբ: Ինչպե՞ս է այն նշանակված:

15. Որքա՞ն է z = f(x, y) ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը y փոփոխականի նկատմամբ: Ինչպե՞ս է այն նշանակված:

16. Ո՞ր արտահայտությունն է կոչվում ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ

Թեմա 1.2 Սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Դիֆերենցիալ հավասարումների տանող խնդիրներ. Դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ բաժանելի փոփոխականներով: Ընդհանուր և կոնկրետ լուծումներ. Առաջին կարգի միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ. Երկրորդ կարգի գծային միատարր հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով.

Գործնական դաս թիվ 7 «Բաժանելի փոփոխականներով դիֆերենցիալ հավասարումների ընդհանուր և առանձին լուծումների որոնում»*

Գործնական դաս թիվ 8 «Գծային և միատարր դիֆերենցիալ հավասարումներ».

Գործնական դաս թիվ 9 «2-րդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծում հաստատուն գործակիցներով»*

Լ4, գլուխ 15, էջ 243 – 256

Ուղեցույցներ

Սղագրություն

1 ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ N Ընդհանուր դիֆերենցիալ, մասնակի ածանցյալներ և ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալ Ընդհանուր դիֆերենցիալ Մասնակի դիֆերենցիալ Բարձրագույն կարգի մասնակի ածանցյալներ Բարձր կարգի դիֆերենցիալներ 4 բարդ ֆունկցիաների ածանցյալներ 4 ընդհանուր դիֆերենցիալ Մասնակի դիֆերենցիալներ Եթե z=f(,) ֆունկցիան դիֆերենցիալ է, ապա դրա ընդհանուր դիֆերենցիալ dz-ը հավասար է dz= a +B () z z Նկատելով, որ A=, B =, մենք գրում ենք բանաձևը () հետևյալ ձևով z z dz= + () Եկեք ընդլայնենք ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հասկացությունը անկախ փոփոխականների վրա՝ դնելով. անկախ փոփոխականների դիֆերենցիալները, որոնք հավասար են դրանց աճին. d= ; d= Դրանից հետո ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալի բանաձեւը կունենա z z dz= d + d () d + d Օրինակ Թող =ln(+) Ապա dz= d + d = Նմանապես, եթե u=f( , n) n անկախ n փոփոխականների տարբերվող ֆունկցիա է, ապա du= d (d =) = d z=f (,)d (4) արտահայտությունը կոչվում է z=f(,) ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալ։ դեպի փոփոխական; d z=f (,)d (5) արտահայտությունը կոչվում է z=f(,) ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալ փոփոխականի նկատմամբ (), (4) և (5) բանաձևերից հետևում է, որ ընդհանուր դիֆերենցիալ Ֆունկցիայի մասնակի դիֆերենցիալների գումարն է. dz=d z+d z Նկատի ունեցեք, որ z=f(,) ֆունկցիայի ընդհանուր աճը, ընդհանուր առմամբ, հավասար չէ մասնակի ավելացումների գումարին, եթե տվյալ կետում (,) z=f(,) ֆունկցիան դիֆերենցելի է, իսկ դիֆերենցիալը dz 0 այս պահին, ապա դրա ընդհանուր աճը z= z z + + α (,) + β (,) տարբերվում է իր գծային մասից dz= z z + միայն α + β վերջին անդամների գումարով, որոնք 0-ում և 0-ում ավելի մեծ կարգի անվերջ փոքրեր են, քան գծային մասի անդամները, հետևաբար dz 0-ում դիֆերենցիալ ֆունկցիայի աճի գծային մասը կոչվում է հիմնական մաս: Օգտագործվում է ֆունկցիայի աճի և z dz մոտավոր բանաձևը, որն ավելի ճշգրիտ կլինի, այնքան բացարձակ արժեքով փոքր կլինեն արգումենտների հավելումները,97 Օրինակ Հաշվարկել մոտավորապես arctg(),0:

2 Լուծում Դիտարկենք f(,)=arctg() ֆունկցիան Կիրառելով f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz բանաձևը՝ ստանում ենք arctg(+) arctg() + [. arctg() ] + [ arctg()] կամ + + arctg() arctg() () + () Թող =, =, ապա =-0.0, =0.0 Հետևաբար, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0,0 = արկտան 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Կարելի է ցույց տալ, որ z dz մոտավոր բանաձևի կիրառման արդյունքում առաջացած սխալը չի ​​գերազանցում = M (+) թիվը, որտեղ M-ն ամենամեծն է: երկրորդ մասնակի ածանցյալների բացարձակ արժեքների արժեքը f (,), f (,), f (,), երբ արգումենտները փոխվում են +-ից և +-ից մինչև + Բարձրագույն կարգերի մասնակի ածանցյալներ Եթե ֆունկցիան u =f(, z) ունի մասնակի ածանցյալ D որոշ (բաց) տիրույթի փոփոխականներից մեկի նկատմամբ, այնուհետև գտնված ածանցյալը, որն ինքնին z-ի ֆունկցիա է, իր հերթին կարող է մասնակի ածանցյալներ ունենալ ինչ-որ կետում (0, 0, z 0) նույն կամ որևէ այլ փոփոխականի նկատմամբ սկզբնական u=f(, z) ֆունկցիայի համար այս ածանցյալները կլինեն երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ, եթե առաջին ածանցյալը վերցված է, օրինակ, նրա հետ առնչությամբ, z-ը նշանակվում է հետևյալ կերպ. f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = or u, u, u z z z Երրորդ, չորրորդ և այլն կարգերի ածանցյալները որոշվում են նույն կերպ, որ վերցված են ամենաբարձր կարգի մասնակի ածանցյալները, օրինակ՝ . կոչվում է խառը մասնակի ածանցյալ Օրինակ u= 4 z, ապա, u =4 z ; u = 4 z; u z = 4 z; u = z; u =6 4 z ; u zz = 4; u = z; u = z; u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z Նկատի ունեցեք, որ միևնույն փոփոխականների նկատմամբ վերցված խառը ածանցյալները, բայց տարբեր կարգով, համընկնում են բոլոր, ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիաների համար, բայց այն տեղի է ունենում ֆունկցիաների լայն դասում ) f(,) ֆունկցիան սահմանվում է (բաց) D տիրույթում,) այս տիրույթում կան առաջին ածանցյալները f և f, ինչպես նաև երկրորդ խառը ածանցյալները f և f, և վերջապես,) այս վերջին ածանցյալները f և f, քանի որ և-ի ֆունկցիաները շարունակական են D տիրույթի ինչ-որ կետում (0, 0) Այնուհետև այս կետում f (0, 0)=f (0, 0) Ապացույց Դիտարկենք արտահայտությունը.

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, որտեղ զրոյական չեն, օրինակ՝ դրական, և այնքան փոքր են, որ D-ն պարունակում է ամբողջ ուղղանկյուն [ 0, 0 + 0, 0 +] Ներկայացնենք օժանդակ ֆունկցիա՝ f (, 0 f (, 0) ϕ()=-ից, որը ()-ի պատճառով [0, 0 +] միջակայքում ունի a. ածանցյալ՝ f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= և հետևաբար շարունակական Այս ֆունկցիայով f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) W արտահայտությունը, որը. հավասար է W=-ի, կարելի է վերաշարադրել ϕ (0 +) ϕ (0) W= Քանի որ [0, 0 +] միջակայքում ϕ() ֆունկցիայի համար բավարարված են Լագրանժի թեորեմի բոլոր պայմանները, մենք. կարող է, օգտագործելով վերջավոր աճման բանաձևը, փոխակերպել W f արտահայտությունն այսպես՝ W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 +θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Մենք տեսնում ենք, որ du-ն նաև որոշ ֆունկցիա է, եթե ենթադրենք u-ի համար երկրորդ կարգի շարունակական մասնակի ածանցյալների առկայությունը, ապա du-ն կունենա առաջին կարգի շարունակական մասնակի ածանցյալներ և կարող ենք խոսել այս դիֆերենցիալ du-ի ընդհանուր դիֆերենցիալի մասին։ , d(du), որը կոչվում է u-ի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ (կամ երկրորդ դիֆերենցիալ); այն նշանակվում է d u-ով Շեշտում ենք, որ d, d, d հավելումները համարվում են հաստատուն և մնում են նույնը մի դիֆերենցիալից մյուսին անցնելիս (և d, d-ը զրո կլինի) Այսպիսով, d u=d(du)=d( d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d կամ d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Նմանապես, երրորդ կարգի դիֆերենցիալը սահմանվում է d u և այլն, եթե u ֆունկցիայի համար կան մինչև n-րդ ներառյալ բոլոր կարգերի շարունակական մասնակի ածանցյալները, ապա n-րդ դիֆերենցիալի առկայությունը: երաշխավորված է, բայց նրանց համար արտահայտություններն ավելի ու ավելի բարդ են դառնում: Կարող եք պարզեցնել նշումը: Եկեք առաջին դիֆերենցիալի արտահայտության մեջ հանենք «u» տառը: Այնուհետև նշումը կլինի խորհրդանշական. du=(d + d + + d): ) u d u=(d + d + + d) u d n n u=(d + d) + + դ) u, որը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. հանրահաշվի կանոններին, այնուհետև ստացված բոլոր տերմինները «բազմապատկվում են» u-ով (որը n-ն ավելացվում է համարիչներին), և միայն դրանից հետո Սա նշանակում է, որ բոլոր նշանները վերադարձվում են իրենց իմաստին որպես ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ u d) d u 4 Ածանցյալներ. Կոմպլեքս ֆունկցիաներ Եկեք ունենանք D տիրույթում սահմանված u=f(, z) ֆունկցիա, և փոփոխականներից յուրաքանչյուրը, z, իր հերթին, որոշակի միջակայքում t փոփոխականի ֆունկցիա է՝ =φ(t), =ψ։ (t), z=λ(t) Բացի այդ, երբ t փոխվում է, (, z) կետերը դուրս չեն գալիս D շրջանի սահմաններից: Փոխարինելով արժեքները, իսկ z-ը u ֆունկցիայի մեջ, ստանում ենք կոմպլեքս: ֆունկցիա՝ u=f(φ(t), ψ(t), λ(t)) Ենթադրենք, որ u և z-ն ունեն u, u և u z շարունակական մասնակի ածանցյալներ, և որ t, t և z t գոյություն ունեն, ապա մենք կարող ենք ապացուցել դրա գոյությունը։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը և հաշվում ենք t փոփոխականին, համապատասխանաբար, z-ն կստանա հավելումներ, իսկ u ֆունկցիան կստանա u ֆունկցիայի աճը հետևյալ կերպ կարելի է անել, քանի որ մենք ենթադրեցինք u, u և u z) շարունակական քանորդների առկայություն, u=u +u +u z z+α +β +χ z, որտեղ α, β, χ 0 at, z 0 Բաժանեք երկու կողմերը. հավասարությունը t-ով, մենք ստանում ենք u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Այժմ t-ի աճը ուղղենք զրոյի. այնուհետև z-ն հակված կլինի զրոյի, քանի որ t-ի z ֆունկցիաները շարունակական են (մենք ենթադրում էինք t, t, z t ածանցյալների առկայությունը), և, հետևաբար, α, β, χ նույնպես միտում ունեն։ մինչև զրո սահմանում մենք ստանում ենք u t =u t +u t +u z z t () Մենք տեսնում ենք, որ արված ենթադրությունների համաձայն, բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը իսկապես գոյություն ունի, եթե օգտագործենք դիֆերենցիալ նշում, ապա du d dz () կունենա ձև. = + + () dt dt dt z dt Այժմ դիտարկենք z կախվածության դեպքը t մի քանի փոփոխականներում. =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) In Բացի f(, z) ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալների առկայությունից և շարունակականությունից, այստեղ ենթադրում ենք ֆունկցիաների ածանցյալների առկայություն, z-ն t և v-ում: Այս դեպքը էապես չի տարբերվում արդեն դիտարկվածից, քանի որ մասնակիը հաշվարկելիս երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ածանցյալ, մենք ամրագրում ենք փոփոխականներից մեկը, և մեզ մնում է միայն մեկ փոփոխականի ֆունկցիա, () բանաձևը կլինի նույնը z, a ()-ը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ ձևով. + (a) t t z t z = + + (b) v v v z v Օրինակ u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Մի քանի փոփոխականների գործառույթներ Երկրաչափության, բնական գիտությունների և այլ առարկաների բազմաթիվ հարցերում պետք է գործ ունենալ երկու երեք կամ ավելի փոփոխականների ֆունկցիաների հետ, օրինակ՝ S a եռանկյան մակերեսը, որտեղ a-ն հիմքն է

13. Ավելի բարձր կարգի մասնակի ածանցյալներ Let = ունեն և սահմանված են D O-ի վրա։ Ֆունկցիաները և կոչվում են նաև ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ կամ ֆունկցիայի առաջին մասնակի ածանցյալներ։ և ընդհանրապես

Հավելված Ածանցյալի սահմանում Թող և լինեն արգումենտի արժեքները, իսկ f) և f) - ((f ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները) Տարբերությունը կոչվում է արգումենտի աճ, իսկ տարբերությունը՝ հատվածի վրա ֆունկցիայի ավելացում,

Գործնական դաս ՀԱՄԱԼԻՐ ԵՎ ՀԱՆԳԱՄԱՑՎԱԾ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑՈՒՄ Կոմպլեքս ֆունկցիաների տարբերակում Մեկ հավասարմամբ որոշված ​​իմպլիցիտ ֆունկցիաների տարբերակում Իմպլիցիտ և պարամետրականորեն սահմանված համակարգեր

ՄԻ քանի ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ Մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիաները չեն ներառում բնության մեջ գոյություն ունեցող բոլոր կախվածությունները։ Ուստի բնական է ընդլայնել ֆունկցիոնալ կախվածության հայտնի հասկացությունը և ներմուծել

6. Իմպլիցիտ ֆունկցիաներ 6.1 Սահմանումներ, նախնական տեղեկատվություն Մի փոփոխականի կախվածությունը մյուսից (կամ մյուսներից) չի կարող պարտադիր արտահայտվել այսպես կոչված բացահայտ ներկայացման միջոցով, երբ.

1. Հիմնական հասկացություններ. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ: Մենք կուսումնասիրենք մի քանի փոփոխականների ֆունկցիան՝ օգտագործելով երկու և երեք փոփոխականների ֆունկցիաների օրինակներ, քանի որ այս բոլոր սահմանումները և ստացված արդյունքները

2.2.7. Դիֆերենցիալի կիրառում մոտավոր հաշվարկներում. y = ֆունկցիայի դիֆերենցիալը կախված է x-ից և x-ի աճի հիմնական մասն է։ Կարող եք նաև օգտագործել բանաձևը՝ dy d Ապա բացարձակ սխալը հետևյալն է.

Դասախոսություն 9. Բարձրագույն կարգերի ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ, դրանց հատկությունները: Ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը. Ֆերմայի և Ռոլի թեորեմներ. Թող y ֆունկցիան լինի տարբերակելի [b] միջակայքում: Այս դեպքում դրա ածանցյալը

5 Այն կետը, որտեղ F F F կամ այդ ածանցյալներից գոնե մեկը գոյություն չունի, կոչվում է մակերեսի եզակի կետ Նման կետում մակերեսը կարող է չունենալ շոշափող հարթություն Սահմանում Նորմալ մակերեսին

ՈՐՈՇ ԻՆՏԵԳՐԱԼ. Ինտեգրալ գումարներ և որոշակի ինտեգրալ Թող տրվի y = f () ֆունկցիա՝ սահմանված [, b] միջակայքում, որտեղ.< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ԱՌԱՋԻՆ ԿԱՐԳԻ ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ Հիմնական հասկացություններ Դիֆերենցիալ հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտ ֆունկցիան հայտնվում է ածանցյալ կամ դիֆերենցիալ նշանի տակ:

6. Ֆունկցիայի դիֆերենցիալ 1. Սահմանում և երկրաչափական նշանակություն ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. y = f(x) ֆունկցիան կոչվում է տարբերակելի x 0 կետում, եթե դրա աճն այս կետում կարող է գրվել որպես գծայինի գումար:

Դասախոսություններ Գլուխ Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ Հիմնական հասկացություններ Մի քանի փոփոխականների որոշ ֆունկցիաներ լավ հայտնի են Եկեք մի քանի օրինակ բերենք Եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար հայտնի է Հերոնի S բանաձևը.

~ 1 ~ ԲԱԶՄ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱ 3 Երկու փոփոխականների ֆունկցիա, սահմանման տիրույթ, սահմանման մեթոդներ և երկրաչափական նշանակություն։ Սահմանում. z f, կոչվում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա, եթե արժեքների յուրաքանչյուր զույգ,

Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք լուծված են լուծման գոյության և եզակիության ածանցյալ թեորեմի նկատմամբ Ընդհանուր դեպքում, առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումն ունի F ձև ()

Դասախոսություն 3 Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն Թող D տիրույթում որոշվի u = f (x, x) մի քանի փոփոխականների ֆունկցիա, իսկ x (x, x) = կետը պատկանում է այս տիրույթին. u = f ֆունկցիան ( x, x) ունի

Մոդուլի թեմա Ֆունկցիոնալ հաջորդականություններ և շարքեր Հերթականությունների և շարքերի միատեսակ կոնվերգենցիայի հատկությունները Ուժերի շարք Դասախոսություն Ֆունկցիոնալ հաջորդականությունների և շարքերի սահմանումներ Միատեսակ

9 Ածանցյալ և դիֆերենցիալ 91 Խնդիրների լուծման հիմնական բանաձևեր և սահմանումներ Սահմանում Թող y f () ֆունկցիան որոշվի f (Δ) f () Դy կետի որոշ հարևանության վրա Դ Δ Δ հարաբերության սահմանը, եթե.

1 Թեմա 1. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ 1.0. Հիմնական սահմանումներ և թեորեմներ Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարում. անկախ փոփոխական; y = y() պահանջվող ֆունկցիա; y = y() նրա ածանցյալն է:

Դասախոսություն 8 Կոմպլեքս ֆունկցիայի տարբերակում Դիտարկենք t t t f կոմպլեքս ֆունկցիան, որտեղ ϕ t t t t t t f t t t t t t t թեորեմ Թող ֆունկցիաները լինեն տարբերվող ինչ-որ կետում N t t t, իսկ f ֆունկցիան՝ տարբերվող:

ՄՈՍԿՎԱՅԻ ՔԱՂԱՔԱՑԻԱԿԱՆ ԱՎԻԱՑԻԱՅԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՏԵԽՆԻԿԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ Վ.Մ. Լյուբիմովը, Է.Ա. Ժուկովա, Վ.Ա. Ուխովա, Յու.Ա. Շուրինովի ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՁԵՌՆԱՐԿ՝ կարգապահության և թեստային առաջադրանքների ուսումնասիրության համար

II ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ Սահմանում Այն հարաբերությունները, որոնցում անհայտ փոփոխականները և նրանց ֆունկցիաները գտնվում են ածանցյալ կամ դիֆերենցիալ նշանի տակ, կոչվում են.

6 Ածանցյալ հասկացությանը տանող խնդիրներ Թող նյութական կետը շարժվի ուղիղ գծով մեկ ուղղությամբ՝ համաձայն s f (t) օրենքի, որտեղ t-ն ժամանակն է, իսկ s-ը՝ t ժամանակի անցած ուղին որոշակի կետ

Դասախոսություն 3. Անորոշ ինտեգրալ. Հակածանցյալ և անորոշ ինտեգրալ Դիֆերենցիալ հաշվում խնդիրը լուծված է՝ տրված f( ֆունկցիայի տրված) ածանցյալը (կամ դիֆերենցիալը): Ինտեգրալ հաշվարկ

1 Դասախոսություն 7 Բարձրագույն կարգերի ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ Վերացական. Ներկայացվում է դիֆերենցիալ ֆունկցիայի հայեցակարգը, տրվում է առաջին դիֆերենցիալի երկրաչափական մեկնաբանությունը և ապացուցվում է դրա անփոփոխությունը։

Մի քանի արգումենտների գործառույթներ Ֆունկցիայի հայեցակարգ. X բազմությունից յուրաքանչյուր x տարրին, ըստ y = f(x) օրենքի, վերագրվում է y փոփոխականի եզակի արժեքը Y բազմությունից յուրաքանչյուր զույգ թվերին:

Կազմել է VPBelkin-ը 1 Դասախոսություն 1 Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիա 1 Հիմնական հասկացություններ Փոփոխականի կախվածությունը = f (1, n) փոփոխականներից 1, n կոչվում է n արգումենտի ֆունկցիա 1, n Հետևյալում մենք կքննարկենք.

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ Ընդհանուր հասկացություններ Դիֆերենցիալ հավասարումները ունեն բազմաթիվ և բազմազան կիրառություններ մեխանիկայի, ֆիզիկայի, աստղագիտության, տեխնոլոգիայի և բարձրագույն մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում (օրինակ.

I Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի սահմանում Սահմանման տիրույթը Շատ երևույթներ ուսումնասիրելիս պետք է գործ ունենալ երկու կամ ավելի անկախ փոփոխականների ֆունկցիաների հետ, օրինակ՝ մարմնի ջերմաստիճանը տվյալ պահին

Դասախոսություն 8 Ֆերմայի, Ռոլի, Կոշիի, Լագրանժի և Լ'Հոպիտալի թեորեմները. Այս բոլոր թեորեմներն ապացուցված են և բերված են անորոշությունների բացահայտման օրինակներ՝ համաձայն L'Hopital-ի կանոնի Սահմանում y=f() ֆունկցիան հասնում է

Ս.Ա. Լավրենչենկո wwwlawrencenkoru Դասախոսություն 4 Կոմպլեքս ֆունկցիաների տարբերակում Իմպլիցիտ տարբերակում Եկեք հիշենք մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը, որը նաև կոչվում է շղթայի կանոն (տես.

Բաժին Մեկ և մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների դիֆերենցիալ հաշվարկ Իրական արգումենտի ֆունկցիա Իրական թվեր Դրական ամբողջ թվերը կոչվում են բնական թվեր Ավելացնել բնական թվերին.

Սեմինար. «Ֆունկցիայի տարբերակելիությունը և դիֆերենցիալը» Եթե y f () ֆունկցիան որոշակի կետում ունի վերջավոր ածանցյալ, ապա ֆունկցիայի աճն այս կետում կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ՝ y(,) f () () (), որտեղ () ժամը

Դասախոսություն. Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ և դրանց լուծումը մաթեմատիկական ամենատարածված միջոցներից են

ԹԵՄԱ 1 ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԾՐԱԳՐԻ ՀԱՐՑԵՐ՝ 11 Ֆունկցիոնալ միացում Ֆունկցիայի սահման 1 Ֆունկցիայի ածանցյալ 1 Ածանցյալի մեխանիկական ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն 14 Հիմնական.

ԿԻՐՈՍՅԱՆԻ ՖԵԴԵՐԱՑԻԱՅԻ ԴԱՇՆԱԿԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ԻՆՔՆԱՎՈՐ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍՏԱՏՈՒԹՅԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐ «Ազգային հետազոտություն.

ԴԻՍՑԻՊԼԻՆԱ «ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» դասընթաց, կիսամյակ Հեռակա դասընթաց ԹԵՄԱ Մատրիցային հանրահաշիվ Տնտեսական խնդիրներ լուծելիս օգտագործվում են տնտեսական և մաթեմատիկական մոդելավորման մեթոդներ, որոնք օգտագործում են լուծումը.

Վ.Վ. Ժուկ, Ա.Մ. Կամաչկինի մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների տարբերակումը: Ֆունկցիայի տարբերակելիությունը մի կետում: Տարբերակելիության բավարար պայմաններ մասնակի ածանցյալների առումով: Համալիրի տարբերակում

Գլուխ 4 Ֆունկցիայի սահմանը 4 1 ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ Այս գլուխը կենտրոնանում է ֆունկցիայի սահմանի հայեցակարգի վրա: Որոշվում է, թե որն է ֆունկցիայի սահմանը անսահմանության մեջ, իսկ հետո սահմանը մի կետում՝ սահմաններ

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 23 ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՓՈՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ. ԼՅՈՒՎԻԼԻ ԹԵՈՐԵՄԸ ՓՈՒԼԻ ԾԱՎԱԼԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՄԱՍԻՆ. ԱԶԱՏ ՓՈՓՈԽՄԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ ԳԵՐԱՑՆՈՂ ՖՈՒՆԿՑԻԱ Շարունակենք կանոնական փոխակերպումների ուսումնասիրությունը: Նախ հիշենք հիմնականը

Մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտության բաժին Մաթեմատիկական վերլուծություն Ուսումնական և մեթոդական համալիր հեռավար տեխնոլոգիաների կիրառմամբ սովորող բարձրագույն կրթության ուսանողների համար Մոդուլ 3 Մեկի ֆունկցիաների դիֆերենցիալ հաշվարկ

55-ը գտնվում է փոքրության ավելի բարձր կարգի անվերջ փոքր քանակի վրա՝ համեմատած ρ n (,), որտեղ ρ () + (), դրանք կարող են ներկայացվել Պյանո ձևով n R, ρ Օրինակ Գրել Թեյլորի բանաձևը n-ով.

Թեմա Որոշակի ինտեգրալ Որոշակի ինտեգրալ Խնդիրներ, որոնք տանում են դեպի որոշակի ինտեգրալ հասկացության Խնդիր կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը հաշվարկելու խնդիր Օքսի կոորդինատային համակարգում տրված է կոր trapezoid,

5 Հզորության շարք 5 Հզորության շարք. սահմանում, կոնվերգենցիայի շրջան (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) որտեղ, a, a, K, a ձևի ֆունկցիոնալ շարքեր. ,k որոշ թվեր կոչվում են ուժային շարքեր

Թվերի շարք Թվերի հաջորդականություն Def Թվերի հաջորդականությունը թվային ֆունկցիա է, որը սահմանվում է x բնական թվերի բազմության վրա՝ x =, x =, x =, x =, հաջորդականության ընդհանուր անդամ:

Դիֆերենցիալ հավասարումներ դասախոսություն 4 Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում. Ինտեգրող գործոն Դասախոս Աննա Իգորևնա Շերստնևա 9. Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում d + d = 14 հավասարումը կոչվում է հավասարում.

Մետալուրգիական ֆակուլտետ Բարձրագույն մաթեմատիկայի բաժին RANKS Մեթոդական ցուցումներ Նովոկուզնեցկ 5 Դաշնային կրթության գործակալություն Բարձրագույն մասնագիտական ​​կրթության պետական ​​ուսումնական հաստատություն

Մաթեմատիկական վերլուծություն Բաժին. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիա Թեմա՝ FNP-ների տարբերակելիությունը (վերջ. Կոմպլեքս FNP-ների մասնակի ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ. Իմպլիցիտ ֆունկցիաների տարբերակում Դասախոս Ռոժկովա Ս.Վ.

( Ֆերմայի թեորեմ - Դարբուի թեորեմ - Ռոլի թեորեմ - Լագրանժի թեորեմ միջին արժեքի թեորեմ - միջին արժեքի թեորեմի երկրաչափական մեկնաբանություն - Կոշիի թեորեմ - վերջավոր աճի բանաձև - Լ'Հոպիտալի կանոն

Գլուխ 4 Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական թեորեմներ Անորոշությունների բացահայտում Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական թեորեմներ Ֆերմատի թեորեմ (Պիեռ Ֆերմատ (6-665) ֆրանսիացի մաթեմատիկոս) Եթե y f ֆունկցիան.

Դասախոսություն 7 ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇՎԱՐԿ 1 Ֆունկցիայի ածանցյալի հասկացություն Դիտարկենք y=f() ֆունկցիան, որը սահմանված է (a; b) ինտերվալի վրա սահմանված y=f()) ցանկացած արժեք x (a; b) և սահմանել արգումենտը.

Բելառուսի Հանրապետության կրթության նախարարություն Վիտեբսկի պետական ​​տեխնոլոգիական համալսարան Թեմա. «Տողեր» տեսական և կիրառական մաթեմատիկայի բաժին. մշակվել է դոց. Է.Բ. Դունինա. Հիմնական

Դասախոսություն 3 Թեյլորի և Մակլուրինի շարքերի կիրառում ուժային շարքերի կիրառում Գործառույթների ընդլայնում դեպի ուժային շարքեր Թեյլոր և Մակլուրին շարք Կիրառումների համար կարևոր է, որ կարողանանք տրված ֆունկցիան ընդլայնել ուժային շարքի, այդ ֆունկցիաների:

58 Որոշակի ինտեգրալ Թող ֆունկցիան () տրվի ինտերվալի վրա, մենք ֆունկցիան կհամարենք շարունակական, թեև դա անհրաժեշտ չէ 3, n-ի վրա կամայական թվեր, որոնք բավարարում են.

Բարձր կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Կոնև Վ.Վ. Դասախոսության ուրվագծեր. Բովանդակություն 1. Հիմնական հասկացություններ 1 2. Հավասարումներ, որոնք կարելի է կրճատել ըստ հերթականության 2 3. Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ ավելի բարձր կարգի.

Դասախոսություն 20 ԹԵՈՐԵՄ ածանցյալ կոմպլեքսի ֆունկցիայի մասին. Թող y = f(u), իսկ u= u(x): Մենք ստանում ենք y ֆունկցիա՝ կախված x արգումենտից՝ y = f(u(x)): Վերջին ֆունկցիան կոչվում է ֆունկցիա ֆունկցիայից կամ բարդ ֆունկցիայից։

Անուղղակի տրված ֆունկցիայի տարբերակում Դիտարկենք ֆունկցիան (,) = C (C = const) Այս հավասարումը սահմանում է իմպլիցիտ ֆունկցիան () Ենթադրենք, մենք լուծեցինք այս հավասարումը և գտանք բացահայտ արտահայտությունը = () Այժմ մենք կարող ենք.

Մոսկվայի ավիացիոն ինստիտուտ (Ազգային գիտահետազոտական ​​համալսարան) «Բարձրագույն մաթեմատիկա» ամբիոն սահմանաչափեր Ածանցյալներ Մի քանի փոփոխականների գործառույթներ Մեթոդական հրահանգներ և թեստային տարբերակներ.

ԼԱԲՈՐԱՏՈՐԻԱՅԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 7 ԸՆԴՀԱՆՐԱՑՎԱԾ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ I. ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԵՎ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐ Դ-ով նշանակենք իրական փոփոխականի բոլոր անվերջորեն տարբերվող վերջավոր ֆունկցիաների բազմությունը։ Սա

Գլուխ 3. Գործառույթների ուսումնասիրություն ածանցյալների օգտագործմամբ 3.1. Ծայրահեղություն և միապաղաղություն Դիտարկենք y = f () ֆունկցիան, որը սահմանված է որոշակի I R միջակայքում: Ասում են, որ այն կետում ունի տեղական առավելագույն:

Մոսկվայի պետական ​​տեխնիկական համալսարանի անվան N.E. Բաումանի Հիմնարար գիտությունների ֆակուլտետի մաթեմատիկական մոդելավորման բաժին Ա.Ն. Կասիկով,

Մեթոդական ցուցումներ և տարբերակներ RGR-ի համար Դիզայնի մասնագիտության ուսանողների համար մի քանի փոփոխականների գործառույթ թեմայով: Եթե ​​մեծությունը եզակիորեն որոշվում է՝ նշելով մեծությունների արժեքները և միմյանցից անկախ,

Մոսկվայի պետական ​​տեխնիկական համալսարանի անվան N.E. Բաումանի Հիմնարար գիտությունների ֆակուլտետի մաթեմատիկական մոդելավորման բաժին Ա.Ն. Կավիակովիկով, Ա.Պ. Կրեմենկո

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐ ԲԱՐՁՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԸՆԹԱՑԻ ՀԱՇՎԱՐԿ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ «ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՍԵՐԻԱ ԿՐԿՆԱԿԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼՆԵՐ» ՄԱՍ ԹԵՄԱ ՍԵՐԻԱ Բովանդակություն Շարքի թվերի սերիա Կոնվերգենցիա և շեղում.

Գործառույթների սահմանաչափ. Թվերի հաջորդականության սահմանաչափի սահմանում: Անսահման թվերի հաջորդականությունը (կամ պարզապես թվային հաջորդականությունը) f f ֆունկցիան է (սահմանված է բոլորի բազմության վրա

Դասախոսություն 19 ածանցյալը և դրա Կիրառումները. ածանցյալի սահմանումը. Եկեք որոշ y=f(x) ֆունկցիա ունենանք, որը սահմանված է ինչ-որ միջակայքում: Այս միջակայքից x փաստարկի յուրաքանչյուր արժեքի համար y=f(x) ֆունկցիան

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների դիֆերենցիալ հաշվարկ Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ Մեծությունը կոչվում է n փոփոխական մեծությունների ֆունկցիա, եթե վերագրվում է որոշակի X բազմությանը պատկանող M n կետ։

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ N 7. Ուժային շարքեր և Թեյլորի շարքեր.. Ուժային շարքեր..... Թեյլորի շարք.... 4. Որոշ տարրական ֆունկցիաների ընդլայնում Թեյլորի և Մակլաուրինի շարքերում.... 5 4. Ուժային շարքերի կիրառում... 7 .Իշխանություն

Դասախոսություն 3 Սկալյար հավասարման լուծման գոյության և եզակիության թեորեմ Խնդրի ձևակերպում Հիմնական արդյունք Դիտարկենք Քոշիի խնդիրը d f () d =, () = f (,) ֆունկցիան տրված է հարթության G շրջանում ( ,

Մոսկվայի Գեոդեզիայի և քարտեզագրության պետական ​​համալսարանի կրթության դաշնային գործակալություն (MIIGAiK) ՄԵԹՈԴԻԿԱԿԱՆ ՀՐԱՀԱՆԳՆԵՐ ԵՎ ԱՆԿԱԽ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ Թվային դասընթացում.

Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ:
Լուծումների հայեցակարգ և օրինակներ

Այս դասում մենք կշարունակենք մեր ծանոթությունը երկու փոփոխականի ֆունկցիայի հետ և կդիտարկենք թերևս ամենատարածված թեմատիկ առաջադրանքը՝ գտնելը. առաջին և երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ, ինչպես նաև ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ. Հեռակա ուսանողները, որպես կանոն, մասնակի ածանցյալներ են հանդիպում 1-ին կուրսում՝ 2-րդ կիսամյակում։ Ավելին, ըստ իմ դիտարկումների, գրեթե միշտ քննության վրա հայտնվում է մասնակի ածանցյալներ գտնելու խնդիրը։

Ստորև բերված նյութն արդյունավետ ուսումնասիրելու համար դուք անհրաժեշտկարողանալ քիչ թե շատ վստահորեն գտնել մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների «սովորական» ածանցյալները: Դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես ճիշտ վարվել ածանցյալների հետ դասերի ժամանակ Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:Եվ Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ. Մեզ անհրաժեշտ կլինի նաև տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ և տարբերակման կանոններ, այն առավել հարմար է, եթե այն առկա է տպագիր տեսքով: Էջում կարող եք ստանալ տեղեկատու նյութեր Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներ.

Եկեք արագ կրկնենք երկու փոփոխականի ֆունկցիա հասկացությունը, ես կփորձեմ սահմանափակվել նվազագույնով։ Երկու փոփոխականների ֆունկցիան սովորաբար գրվում է որպես , փոփոխականները կանչվում են անկախ փոփոխականներկամ փաստարկներ.

Օրինակ՝ – երկու փոփոխականի ֆունկցիա:

Երբեմն օգտագործվում է նշում: Կան նաև առաջադրանքներ, որտեղ տառը օգտագործվում է տառի փոխարեն:

Երկրաչափական տեսանկյունից երկու փոփոխականների ֆունկցիան ամենից հաճախ ներկայացնում է մակերես եռաչափ տարածության մեջ (հարթություն, գլան, գնդիկ, պարաբոլոիդ, հիպերբոլոիդ և այլն)։ Բայց, ըստ էության, սա ավելի շատ վերլուծական երկրաչափություն է, և մեր օրակարգում մաթեմատիկական վերլուծությունն է, որը համալսարանի ուսուցչուհիս երբեք թույլ չտվեց դուրս գրել և իմ «ուժեղ կողմն» է։

Անցնենք առաջին և երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ գտնելու հարցին։ Ես մի քանի լավ նորություն ունեմ նրանց համար, ովքեր մի քանի բաժակ սուրճ են խմել և համակերպվում են աներևակայելի դժվար նյութին. մասնակի ածանցյալները գրեթե նույնն են, ինչ մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի «սովորական» ածանցյալները.

Մասնակի ածանցյալների համար վավեր են տարբերակման բոլոր կանոնները և տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը։ Կան միայն մի քանի փոքր տարբերություններ, որոնց մենք կիմանանք հենց հիմա.

...այո, ի դեպ, այս թեմայի համար եմ ստեղծել փոքր pdf գիրք, որը թույլ կտա ընդամենը մի քանի ժամում «ատամներդ մտցնել»։ Բայց օգտագործելով կայքը, դուք, անշուշտ, կստանաք նույն արդյունքը, պարզապես միգուցե մի փոքր ավելի դանդաղ.

Օրինակ 1

Գտե՛ք ֆունկցիայի առաջին և երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները

Նախ, եկեք գտնենք առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները: Դրանք երկուսն են։

Նշանակումներ:
կամ – մասնակի ածանցյալ «x»-ի նկատմամբ
կամ – մասնակի ածանցյալ «y»-ի նկատմամբ

Սկսենք նրանից. Երբ մենք գտնում ենք մասնակի ածանցյալը «x»-ի նկատմամբ, փոփոխականը համարվում է հաստատուն (հաստատուն թիվ).

Կատարված գործողությունների վերաբերյալ մեկնաբանություններ.

(1) Առաջին բանը, որ մենք անում ենք մասնակի ածանցյալը գտնելիս, եզրակացնելն է բոլորըգործառույթը փակագծերում՝ հիմնականի տակ բաժանորդագրությամբ.

Ուշադրություն, կարևոր.ՄԵՆՔ ՉԵՆՔ ԿՈՐՑՆՈՒՄ բաժանորդները լուծման գործընթացում: Այս դեպքում, եթե դուք ինչ-որ տեղ «հարված» եք նկարում առանց , ապա ուսուցիչը, նվազագույնը, կարող է այն դնել առաջադրանքի կողքին (անուշադրության համար անմիջապես կծել կետի մի մասը):

(2) Մենք օգտագործում ենք տարբերակման կանոնները , . Նման պարզ օրինակի համար երկու կանոնները հեշտությամբ կարող են կիրառվել մեկ քայլով: Ուշադրություն դարձրեք առաջին տերմինին՝ քանի որ համարվում է հաստատուն, և ցանկացած հաստատուն կարելի է հանել ածանցյալ նշանից, ապա փակագծերից դուրս ենք դնում։ Այսինքն՝ այս իրավիճակում դա սովորական թվից լավ չէ։ Հիմա նայենք երրորդ տերմինին. այստեղ, ընդհակառակը, հանելու բան չկա։ Քանի որ դա հաստատուն է, այն նաև հաստատուն է, և այս առումով այն ոչնչով լավ չէ վերջին տերմինից՝ «յոթից»:

(3) Մենք օգտագործում ենք աղյուսակային ածանցյալներ և .

(4) Եկեք պարզեցնենք, կամ, ինչպես ես եմ սիրում ասել, «կսմթել» պատասխանը:

Հիմա . Երբ մենք գտնում ենք մասնակի ածանցյալը «y»-ի նկատմամբ, ապա փոփոխականըհամարվում է հաստատուն (հաստատուն թիվ).

(1) Մենք օգտագործում ենք նույն տարբերակման կանոնները , . Առաջին անդամում հաստատունը հանում ենք ածանցյալի նշանից, երկրորդ անդամում ոչինչ չենք կարող հանել, քանի որ այն արդեն հաստատուն է։

(2) Մենք օգտագործում ենք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակը: Եկեք մտովի փոխենք աղյուսակի բոլոր «X»-երը «I»-ի: Այսինքն, այս աղյուսակը հավասարապես վավեր է (և իսկապես գրեթե ցանկացած տառի համար): Մասնավորապես, բանաձևերը, որոնք մենք օգտագործում ենք, ունեն հետևյալ տեսքը.

Ո՞րն է մասնակի ածանցյալների նշանակությունը:

Ըստ էության, 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալները նման են «սովորական» ածանցյալ:

- Սա գործառույթները, որոնք բնութագրում են փոփոխության արագությունըգործում է համապատասխանաբար առանցքների և առանցքների ուղղությամբ: Այսպիսով, օրինակ, գործառույթը բնութագրում է «վերելքների» և «լանջերի» կտրուկությունը. մակերեսներաբսցիսայի առանցքի ուղղությամբ, իսկ ֆունկցիան մեզ պատմում է նույն մակերեսի «ռելիեֆի» մասին օրդինատների առանցքի ուղղությամբ։

! Նշում այստեղ մենք նկատի ունենք ուղղությունները, որ զուգահեռկոորդինատային առանցքներ.

Ավելի լավ հասկանալու համար եկեք դիտարկենք հարթության որոշակի կետ և հաշվենք դրա վրա ֆունկցիայի («բարձրությունը») արժեքը.
– և հիմա պատկերացրեք, որ դուք այստեղ եք (մակերեսի վրա):

Հաշվարկենք մասնակի ածանցյալը «x»-ի նկատմամբ տվյալ կետում.

«X» ածանցյալի բացասական նշանը մեզ ասում է նվազումգործում է աբսցիսային առանցքի ուղղությամբ մի կետում: Այսինքն, եթե մենք փոքր, փոքր (անվերջ փոքր)քայլ դեպի առանցքի ծայրը (այս առանցքին զուգահեռ), ապա մենք կիջնենք մակերեսի թեքությամբ։

Այժմ մենք պարզում ենք «տարածքի» բնույթը օրդինատների առանցքի ուղղությամբ.

«y»-ի նկատմամբ ածանցյալը դրական է, հետևաբար, առանցքի ուղղությամբ մի կետում ֆունկցիան. ավելանում է. Պարզ ասած, այստեղ մեզ սպասվում է վերելք։

Բացի այդ, մասնակի ածանցյալը մի կետում բնութագրում է փոփոխության արագությունըգործում է համապատասխան ուղղությամբ։ Որքան մեծ է ստացված արժեքը մոդուլ– որքան թեք է մակերեսը, և հակառակը, որքան մոտ է զրոյին, այնքան հարթ է մակերեսը: Այսպիսով, մեր օրինակում աբսցիսայի առանցքի ուղղությամբ «թեքությունը» ավելի զառիթափ է, քան օրդինատների առանցքի ուղղությամբ «լեռը»:

Բայց դրանք երկու մասնավոր ճանապարհներ էին: Միանգամայն պարզ է, որ այն կետից, որտեղ մենք գտնվում ենք, (և ընդհանրապես տվյալ մակերեսի ցանկացած կետից)մենք կարող ենք շարժվել այլ ուղղությամբ: Այսպիսով, կա շահագրգռվածություն ստեղծելու ընդհանուր «նավարկության քարտեզ», որը մեզ կտեղեկացնի մակերեսի «լանդշաֆտի» մասին. եթե հնարավոր էամեն կետում այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթըբոլոր հասանելի ուղիներով: Այս և այլ հետաքրքիր բաների մասին կխոսեմ հաջորդ դասերից մեկում, բայց առայժմ վերադառնանք հարցի տեխնիկական կողմին։

Եկեք համակարգենք տարրական կիրառական կանոնները.

1) Երբ մենք տարբերում ենք -ի նկատմամբ, փոփոխականը համարվում է հաստատուն:

2) երբ տարբերակումն իրականացվում է ըստ, ապա համարվում է հաստատուն։

3) Տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների կանոնները և աղյուսակը վավեր և կիրառելի են ցանկացած փոփոխականի (կամ որևէ այլի) համար, որով իրականացվում է տարբերակում.

Քայլ երկու. Մենք գտնում ենք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ: Դրանք չորսն են։

Նշանակումներ:
կամ – երկրորդ ածանցյալը «x»-ի նկատմամբ
կամ – երկրորդ ածանցյալը «y»-ի նկատմամբ
կամ - խառը«x ըստ igr»-ի ածանցյալ
կամ - խառը«Y»-ի ածանցյալ

Երկրորդ ածանցյալի հետ կապված խնդիրներ չկան։ Պարզ բառերով, երկրորդ ածանցյալը առաջին ածանցյալի ածանցյալն է.

Հարմարության համար ես կվերագրեմ արդեն իսկ գտնված առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները.

Նախ, եկեք գտնենք խառը ածանցյալներ.

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ պարզ է. մենք վերցնում ենք մասնակի ածանցյալը և նորից տարբերակում այն, բայց այս դեպքում՝ այս անգամ ըստ «Y»-ի:

Նմանապես.

Գործնական օրինակներում կարող եք կենտրոնանալ հետևյալ հավասարության վրա:

Այսպիսով, երկրորդ կարգի խառը ածանցյալների միջոցով շատ հարմար է ստուգել, ​​թե արդյոք ճիշտ ենք գտել առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները։

Գտե՛ք երկրորդ ածանցյալը «x»-ի նկատմամբ:
Ոչ մի գյուտ, եկեք վերցնենք և կրկին տարբերակեք այն «x»-ով.

Նմանապես.

Հարկ է նշել, որ գտնելիս անհրաժեշտ է ցույց տալ ավելացել է ուշադրությունը, քանի որ դրանք ստուգելու համար հրաշք հավասարություններ չկան։

Երկրորդ ածանցյալները նույնպես լայն գործնական կիրառություն են գտնում, մասնավորապես, օգտագործվում են գտնելու խնդրի մեջ երկու փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղություն. Բայց ամեն ինչ իր ժամանակն ունի.

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները կետում: Գտեք երկրորդ կարգի ածանցյալներ:

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է (պատասխանները դասի վերջում): Եթե ​​դժվարանում եք արմատները տարբերել, վերադառնաք դասին Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:Ընդհանրապես, շուտով դուք կսովորեք գտնել նման ածանցյալներ «թռիչքի վրա»:

Եկեք ավելի լավ դառնանք ավելի բարդ օրինակներով.

Օրինակ 3

Ստուգեք դա: Գրեք առաջին կարգի ընդհանուր դիֆերենցիալը:

Լուծում. Գտե՛ք առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները.

Ուշադրություն դարձրեք մակագրությանը. «X»-ի կողքին չի արգելվում փակագծերում գրել, որ այն հաստատուն է: Այս նշումը կարող է շատ օգտակար լինել սկսնակների համար, որպեսզի ավելի հեշտ լինի նավարկելու լուծումը:

Լրացուցիչ մեկնաբանություններ.

(1) Մենք բոլոր հաստատունները տեղափոխում ենք ածանցյալի նշանից այն կողմ: Այս դեպքում և , և, հետևաբար, նրանց արտադրյալը համարվում է հաստատուն թիվ։

(2) Մի մոռացեք, թե ինչպես ճիշտ տարբերակել արմատները:

(1) Մենք բոլոր հաստատունները հանում ենք ածանցյալի նշանից, հաստատունը .

(2) Հիմնականի տակ մեզ մնում է երկու ֆունկցիայի արտադրյալ, հետևաբար, մենք պետք է օգտագործենք արտադրանքը տարբերակելու կանոնը. .

(3) Մի մոռացեք, որ սա բարդ ֆունկցիա է (թեև ամենապարզը բարդ գործառույթներից): Մենք օգտագործում ենք համապատասխան կանոնը. .

Այժմ մենք գտնում ենք երկրորդ կարգի խառը ածանցյալներ.

Սա նշանակում է, որ բոլոր հաշվարկները ճիշտ են կատարվել։

Եկեք գրենք ընդհանուր դիֆերենցիալը: Քննարկվող առաջադրանքի համատեքստում իմաստ չունի ասել, թե որն է երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը: Կարևոր է, որ այս տարբերությունը շատ հաճախ պետք է գրվի գործնական խնդիրների մեջ:

Առաջին կարգի ընդհանուր դիֆերենցիալԵրկու փոփոխականի ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը.

Այս դեպքում.

Այսինքն, դուք պարզապես պետք է հիմարաբար փոխարինեք արդեն իսկ գտնված առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները բանաձևի մեջ: Այս և նմանատիպ իրավիճակներում ավելի լավ է դիֆերենցիալ նշաններ գրել համարիչներում.

Եվ ըստ ընթերցողների բազմակի խնդրանքների, երկրորդ կարգի ամբողջական դիֆերենցիալ.

Այն կարծես այսպիսին է.

Զգուշորեն գտնենք 2-րդ կարգի «մեկ տառով» ածանցյալները.

և գրիր «հրեշը»՝ զգուշորեն «կցելով» քառակուսիները, արտադրյալը և չմոռանալով կրկնապատկել խառը ածանցյալը.

Լավ է, եթե ինչ-որ բան դժվար է թվում, դուք միշտ կարող եք ավելի ուշ վերադառնալ ածանցյալներին, երբ տիրապետեք տարբերակման տեխնիկային.

Օրինակ 4

Գտեք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները . Ստուգեք դա: Գրեք առաջին կարգի ընդհանուր դիֆերենցիալը:

Դիտարկենք բարդ գործառույթներով մի շարք օրինակներ.

Օրինակ 5

Գտե՛ք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները:

Լուծում:

Օրինակ 6

Գտեք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները .
Գրեք ընդհանուր դիֆերենցիալը:

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է (պատասխանեք դասի վերջում): Ես ձեզ ամբողջական լուծում չեմ տա, քանի որ այն բավականին պարզ է:

Շատ հաճախ վերը նշված բոլոր կանոնները կիրառվում են համակցված:

Օրինակ 7

Գտեք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները .

(1) Մենք օգտագործում ենք կանոնը գումարը տարբերելու համար

(2) Այս դեպքում առաջին անդամը համարվում է հաստատուն, քանի որ արտահայտության մեջ ոչինչ չկա, որը կախված է «x»-ից՝ միայն «y»: Գիտեք, միշտ հաճելի է, երբ կոտորակը կարելի է վերածել զրոյի): Երկրորդ տերմինի համար մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը: Ի դեպ, այս առումով ոչինչ չէր փոխվի, եթե փոխարենը գործառույթ տրվեր՝ կարեւորն այն է, որ այստեղ երկու ֆունկցիայի արդյունք, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է «X», և, հետևաբար, դուք պետք է օգտագործեք արտադրանքի տարբերակման կանոնը: Երրորդ անդամի համար մենք կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը։

(1) և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի առաջին անդամը պարունակում է «Y», հետևաբար, դուք պետք է օգտագործեք գործակիցները տարբերելու կանոնը. . Երկրորդ անդամը կախված է ՄԻԱՅՆ «x»-ից, ինչը նշանակում է, որ այն համարվում է հաստատուն և վերածվում է զրոյի: Երրորդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը։

Այն ընթերցողների համար, ովքեր համարձակորեն հասել են դասի ավարտին, ես ձեզ կպատմեմ հին Մեխմատովի անեկդոտը հանգստանալու համար.

Մի օր ֆունկցիաների տարածության մեջ հայտնվեց մի չար ածանցյալ և սկսեց տարբերել բոլորին։ Բոլոր գործառույթները ցրված են բոլոր ուղղություններով, ոչ ոք չի ցանկանում վերափոխվել: Եվ միայն մեկ գործառույթ չի փախչում. Ածանցյալը մոտենում է նրան և հարցնում.

-Ինչո՞ւ չես փախչում ինձնից։

- Հա. Բայց ինձ չի հետաքրքրում, որովհետև ես «X-ի ուժին» եմ, և դու ինձ ոչինչ չես անի:

Ինչին նենգ ժպիտով չար ածանցյալը պատասխանում է.

-Այստեղ սխալվում ես, ես քեզ կտարբերեմ «Յ»-ով, ուրեմն դու պետք է զրո լինես։

Ով հասկացել է անեկդոտը, նա տիրապետել է ածանցյալներին, գոնե «C» մակարդակի):

Օրինակ 8

Գտեք ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները .

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրի ամբողջական լուծումն ու օրինակը՝ դասի վերջում։

Դե, դա գրեթե բոլորն է: Վերջապես, ես չեմ կարող չխնդրել մաթեմատիկայի սիրահարներին ևս մեկ օրինակով: Խոսքն անգամ սիրողականների մասին չէ, յուրաքանչյուրն ունի մաթեմատիկական պատրաստվածության տարբեր մակարդակ՝ կան մարդիկ (և ոչ այնքան հազվադեպ), ովքեր սիրում են մրցել ավելի բարդ առաջադրանքների հետ։ Թեև այս դասի վերջին օրինակը այնքան էլ բարդ չէ, որքան դժվար է հաշվողական տեսանկյունից: