Ի՞նչ է նշանակում ֆունկցիայի արժեքների մի շարք նշել: Գտեք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը

Ֆունկցիան մոդել է: Եկեք սահմանենք X-ը որպես անկախ փոփոխականի արժեքների հավաքածու // անկախ նշանակում է ցանկացած:

Ֆունկցիան կանոն է, որի օգնությամբ X բազմության անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել կախյալ փոփոխականի եզակի արժեքը։ // այսինքն. յուրաքանչյուր x-ի համար կա մեկ y:

Սահմանումից հետևում է, որ գոյություն ունի երկու հասկացություն՝ անկախ փոփոխական (որը մենք նշում ենք x-ով և այն կարող է վերցնել ցանկացած արժեք) և կախյալ փոփոխական (որը նշանակում ենք y կամ f (x) և այն հաշվարկվում է այն ֆունկցիայից, երբ. մենք փոխարինում ենք x):

ՕՐԻՆԱԿ y=5+x

1. Անկախ x է, ինչը նշանակում է, որ մենք վերցնում ենք ցանկացած արժեք, թող x=3

2. Այժմ հաշվենք y, որը նշանակում է y=5+x=5+3=8: (y-ը կախված է x-ից, քանի որ ինչ x-ին փոխարինում ենք, ստանում ենք նույն y-ն)

y փոփոխականը ֆունկցիոնալորեն կախված է x փոփոխականից և նշվում է հետևյալ կերպ. y = f (x):

ՕՐԻՆԱԿ.

1.y=1/x. (կոչվում է հիպերբոլիա)

2. y=x^2. (կոչվում է պարաբոլա)

3.y=3x+7. (կոչվում է ուղիղ գիծ)

4. y= √ x. (կոչվում է պարաբոլայի ճյուղ)

Անկախ փոփոխականը (որը մենք նշում ենք x-ով) կոչվում է ֆունկցիայի արգումենտ։

Գործառույթի տիրույթ

Բոլոր արժեքների բազմությունը, որը վերցնում է ֆունկցիայի փաստարկը, կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթ և նշվում է D(f) կամ D(y):

Դիտարկենք D(y) 1.,2.,3.,4 համար:

1. D (y)= (∞; 0) և (0;+∞) //իրական թվերի ամբողջ բազմությունը, բացի զրոյից:

2. D (y)= (∞; +∞)//իրական թվերի բոլոր թիվը

3. D (y)= (∞; +∞)//իրական թվերի բոլոր թիվը

4. D(y)=. Գտնենք այս հատվածի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։

Ածանցյալը դրական է բոլորի համար xընդմիջումից (-1; 1) , այսինքն՝ arcsine ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում։ Հետեւաբար, այն վերցնում է ամենափոքր արժեքը, երբ x = -1, և ամենամեծը ժամը x = 1.

Մենք ստացել ենք արկսինային ֆունկցիայի տիրույթ .

Գտեք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը հատվածի վրա .

Լուծում.

Գտնենք տվյալ հատվածի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։

Եկեք որոշենք հատվածին պատկանող ծայրահեղ կետերը :

Բազմաթիվ խնդիրներ մեզ ստիպում են որոնել ֆունկցիայի արժեքների մի շարք որոշակի հատվածում կամ սահմանման ողջ տիրույթում: Նման առաջադրանքները ներառում են արտահայտությունների տարբեր գնահատումներ և անհավասարությունների լուծում:

Այս հոդվածում մենք կսահմանենք ֆունկցիայի արժեքների շրջանակը, կդիտարկենք այն գտնելու մեթոդները և մանրամասն կվերլուծենք օրինակների լուծումը պարզից մինչև ավելի բարդ: Հստակության համար ամբողջ նյութը կտրամադրվի գրաֆիկական նկարազարդումներով: Այսպիսով, այս հոդվածը մանրամասն պատասխան է այն հարցին, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի տիրույթը:

Սահմանում.

y = f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը X միջակայքումֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն է, որն անհրաժեշտ է բոլորի վրա կրկնելիս:

Սահմանում.

Ֆունկցիայի միջակայք y = f(x)ֆունկցիայի բոլոր արժեքների բազմությունն է, որը այն վերցնում է սահմանման տիրույթից բոլոր x-երի վրա կրկնելիս:

Ֆունկցիայի տիրույթը նշվում է որպես E(f):

Ֆունկցիայի տիրույթը և ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը նույնը չեն: Այս հասկացությունները մենք կհամարենք համարժեք, եթե y = f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելիս X միջակայքը համընկնում է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի հետ:

Նաև մի շփոթեք ֆունկցիայի տիրույթը x փոփոխականի հետ y=f(x) հավասարության աջ կողմի արտահայտության համար: x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը f(x) արտահայտության համար y=f(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթն է:

Նկարը ցույց է տալիս մի քանի օրինակ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկները ցուցադրվում են հաստ կապույտ գծերով, բարակ կարմիր գծերը ասիմպտոտներ են, կարմիր կետերը և Oy առանցքի գծերը ցույց են տալիս համապատասխան ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

Ինչպես տեսնում եք, ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը ստացվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը y առանցքի վրա նախագծելով: Այն կարող է լինել մեկ առանձին թիվ (առաջին դեպք), թվերի մի շարք (երկրորդ դեպք), հատված (երրորդ դեպք), միջակայք (չորրորդ դեպք), բաց ճառագայթ (հինգերորդ դեպք), միություն (վեցերորդ դեպք) և այլն։ .

Այսպիսով, ինչ պետք է անեք գործառույթի արժեքների միջակայքը գտնելու համար:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից. մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է որոշել y = f(x) շարունակական ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը հատվածի վրա:

Հայտնի է, որ ինտերվալի վրա շարունակական ֆունկցիան դրա վրա հասնում է իր առավելագույն և նվազագույն արժեքներին: Այսպիսով, հատվածի վրա սկզբնական ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն կլինի հատվածը . Հետևաբար, մեր խնդիրն ուղղված է սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելուն:

Օրինակ, եկեք գտնենք arcsine ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը:

Օրինակ.

Նշեք y = arcsinx ֆունկցիայի տիրույթը:

Լուծում.

Արկսինի սահմանման տարածքը [-1; 1]. Գտնենք այս հատվածի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։

Ածանցյալը դրական է բոլոր x-ի համար (-1; 1) միջակայքից, այսինքն՝ արկսինի ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում: Հետևաբար, այն վերցնում է ամենափոքր արժեքը x = -1, իսկ ամենամեծը՝ x = 1:

Մենք ստացել ենք արկսինային ֆունկցիայի տիրույթ .

Օրինակ.

Գտեք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը հատվածի վրա։

Լուծում.

Գտնենք տվյալ հատվածի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը։

Եկեք որոշենք հատվածին պատկանող ծայրահեղ կետերը.

Մենք հաշվարկում ենք սկզբնական ֆունկցիայի արժեքները հատվածի ծայրերում և կետերում :

Հետևաբար, ինտերվալի վրա ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը միջակայքն է .

Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գտնել y = f(x) շարունակական ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը (a; b) , .

Նախ, մենք որոշում ենք ծայրահեղ կետերը, ֆունկցիայի ծայրահեղությունները, ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը տվյալ ինտերվալի վրա: Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք միջակայքի ծայրերում և (կամ) անսահմանության սահմանները (այսինքն ուսումնասիրում ենք ֆունկցիայի վարքագիծը միջակայքի սահմաններում կամ անվերջության վրա): Այս տեղեկատվությունը բավական է նման ընդմիջումներով գործառույթի արժեքների հավաքածուն գտնելու համար:

Օրինակ.

Սահմանեք ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն (-2; 2) միջակայքում:

Լուծում.

Գտնենք ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը, որոնք ընկնում են (-2; 2) միջակայքի վրա.

Կետ x = 0-ը առավելագույն կետն է, քանի որ ածանցյալը դրա միջով անցնելիս փոխում է պլյուսից մինուս նշանը, իսկ ֆունկցիայի գրաֆիկը մեծացումից դառնում է նվազման:

կա ֆունկցիայի համապատասխան առավելագույնը:

Եկեք պարզենք ֆունկցիայի վարքագիծը, երբ x-ը աջ կողմում հակված է -2-ի, իսկ ձախում՝ x-ը դեպի 2, այսինքն՝ գտնում ենք միակողմանի սահմաններ.

Ինչ ստացանք. երբ արգումենտը փոխվում է -2-ից զրոյի, ֆունկցիայի արժեքները մինուս անսահմանությունից բարձրանում են մինչև մինուս մեկ չորրորդը (ֆունկցիայի առավելագույնը x = 0-ում), երբ արգումենտը զրոյից փոխվում է 2-ի, ֆունկցիայի արժեքները նվազում են մինչև մինուս անսահմանություն: Այսպիսով, ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն (-2; 2) միջակայքում կազմում է.

Օրինակ.

Նշեք y = tgx շոշափող ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը միջակայքում:

Լուծում.

Ինտերվալի վրա շոշափող ֆունկցիայի ածանցյալը դրական է , որը ցույց է տալիս ֆունկցիայի բարձրացում։ Եկեք ուսումնասիրենք ֆունկցիայի պահվածքը միջակայքի սահմաններում.

Այսպիսով, երբ արգումենտը փոխվում է մինչև-ից, ֆունկցիայի արժեքները մեծանում են մինուս անսահմանությունից մինչև գումարած անվերջություն, այսինքն՝ այս միջակայքի շոշափող արժեքների բազմությունը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է:

Օրինակ.

Գտե՛ք y = lnx բնական լոգարիթմի ֆունկցիայի միջակայքը:

Լուծում.

Բնական լոգարիթմի ֆունկցիան սահմանվում է փաստարկի դրական արժեքների համար . Այս միջակայքում ածանցյալը դրական է , սա ցույց է տալիս դրա վրա ֆունկցիայի ավելացումը։ Եկեք գտնենք ֆունկցիայի միակողմանի սահմանը, քանի որ արգումենտն աջ կողմում հակված է զրոյի, իսկ x-ի սահմանը դեպի գումարած անսահմանություն.

Մենք տեսնում ենք, որ երբ x-ը փոխվում է զրոյից դեպի գումարած անսահմանություն, ֆունկցիայի արժեքները մինուս անսահմանությունից ավելանում են գումարած անսահմանության: Հետևաբար, բնական լոգարիթմի ֆունկցիայի միջակայքը իրական թվերի ամբողջությունն է։

Օրինակ.

Լուծում.

Այս ֆունկցիան սահմանված է x-ի բոլոր իրական արժեքների համար: Եկեք որոշենք ծայրահեղ կետերը, ինչպես նաև ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Հետևաբար, ֆունկցիան նվազում է, մեծանում է ժամը, x = 0 առավելագույն կետն է, ֆունկցիայի համապատասխան առավելագույնը։

Դիտարկենք ֆունկցիայի պահվածքը անսահմանության վրա.

Այսպիսով, անսահմանության դեպքում ֆունկցիայի արժեքները ասիմպտոտիկորեն մոտենում են զրոյին:

Մենք գտանք, որ երբ արգումենտը փոխվում է մինուս անսահմանությունից զրո (առավելագույն կետ), ֆունկցիայի արժեքները զրոյից ինը (մինչև ֆունկցիայի առավելագույնը), և երբ x-ը զրոյից փոխվում է գումարած անսահմանության, ֆունկցիայի արժեքները։ իննից զրոյի նվազում:

Նայեք սխեմատիկ գծագրին.

Այժմ հստակ երևում է, որ ֆունկցիայի արժեքների տիրույթն է.

y = f(x) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելը ընդմիջումներով պահանջում է նմանատիպ հետազոտություն: Այս դեպքերի վրա հիմա մանրամասն չենք անդրադառնա։ Նրանց կրկին կհանդիպենք ստորև բերված օրինակներում:

Թող y = f(x) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը լինի մի քանի ինտերվալների միություն: Նման ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը գտնելիս յուրաքանչյուր ինտերվալի վրա որոշվում են արժեքների հավաքածուները և վերցվում դրանց միավորումը:

Օրինակ.

Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը:

Լուծում.

Մեր ֆունկցիայի հայտարարը չպետք է գնա զրոյի, այսինքն՝ .

Նախ, եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն բաց ճառագայթում:

Ֆունկցիայի ածանցյալ բացասական է այս միջակայքում, այսինքն՝ ֆունկցիան նվազում է դրա վրա։

Մենք գտանք, որ քանի որ փաստարկը հակված է մինուս անսահմանությանը, ֆունկցիայի արժեքները ասիմպտոտիկորեն մոտենում են միասնությանը: Երբ x-ը փոխվում է մինուս անսահմանությունից երկուսի, ֆունկցիայի արժեքները նվազում են մեկից մինուս անվերջություն, այսինքն՝ դիտարկվող միջակայքում ֆունկցիան ընդունում է արժեքների մի շարք: Մենք չենք ներառում միասնությունը, քանի որ ֆունկցիայի արժեքները չեն հասնում դրան, այլ միայն ասիմպտոտիկ կերպով հակված են դրան մինուս անսահմանության վրա:

Մենք նույն կերպ վարվում ենք բաց ճառագայթի համար:

Այս միջակայքում ֆունկցիան նույնպես նվազում է։

Այս միջակայքում ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը բազմությունն է:

Այսպիսով, ֆունկցիայի արժեքների ցանկալի տիրույթը բազմությունների և .

Գրաֆիկական նկարազարդում.

Հատուկ ուշադրություն պետք է դարձնել պարբերական գործառույթներին: Պարբերական ֆունկցիաների արժեքների միջակայքը համընկնում է այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանին համապատասխանող միջակայքի արժեքների բազմության հետ:

Օրինակ.

Գտե՛ք y = sinx սինուսային ֆունկցիայի միջակայքը:

Լուծում.

Այս ֆունկցիան պարբերական է երկու pi պարբերությամբ: Եկեք մի հատված վերցնենք և դրա վրա սահմանենք արժեքների հավաքածու:

Հատվածը պարունակում է երկու ծայրահեղ կետեր և .

Մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի արժեքները այս կետերում և հատվածի սահմաններում, ընտրում ենք ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները.

Հետևաբար, .

Օրինակ.

Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը .

Լուծում.

Մենք գիտենք, որ աղեղի կոսինուսի միջակայքը զրոյից մինչև pi հատվածն է, այսինքն. կամ մեկ այլ գրառման մեջ: Գործառույթ կարելի է ստանալ arccosx-ից՝ տեղաշարժվելով և ձգվելով abscissa առանցքի երկայնքով: Նման փոխակերպումները չեն ազդում արժեքների միջակայքի վրա, հետևաբար. . Գործառույթ ստացված երեք անգամ ձգվելով Oy առանցքի երկայնքով, այսինքն. . Եվ փոխակերպման վերջին փուլը չորս միավորի տեղաշարժն է դեպի ներքև օրդինատի երկայնքով: Սա մեզ տանում է դեպի կրկնակի անհավասարություն

Այսպիսով, արժեքների պահանջվող միջակայքն է .

Եկեք լուծումը տանք մեկ այլ օրինակի, բայց առանց բացատրությունների (դրանք պարտադիր չեն, քանի որ լրիվ նման են)։

Օրինակ.

Սահմանել Ֆունկցիայի տիրույթը .

Լուծում.

Եկեք գրենք բնօրինակ գործառույթը ձևով . Հզորության ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը միջակայքն է: Այսինքն, . Հետո

Հետևաբար, .

Պատկերը լրացնելու համար մենք պետք է խոսենք սահմանման տիրույթում ոչ շարունակական ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը գտնելու մասին: Այս դեպքում մենք սահմանման տիրույթը բաժանում ենք ընդմիջումների՝ ըստ ընդմիջման կետերի և դրանցից յուրաքանչյուրի վրա գտնում ենք արժեքների հավաքածուներ: Ստացված արժեքների հավաքածուները համադրելով՝ մենք ստանում ենք սկզբնական ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը: Խորհուրդ ենք տալիս հիշել 3-ը ձախ կողմում, ֆունկցիայի արժեքները հակված են մինուս մեկին, և քանի որ x-ը աջում է 3-ի, ֆունկցիայի արժեքները հակված են գումարած անսահմանության:

Այսպիսով, մենք ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը բաժանում ենք երեք ինտերվալների։

Ընդմիջման վրա մենք ունենք ֆունկցիան . Այդ ժամանակից ի վեր

Այսպիսով, սկզբնական ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը միջակայքում [-6;2] է:

Կիսինտերվալի վրա մենք ունենք հաստատուն ֆունկցիա y = -1: Այսինքն, սկզբնական ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն ինտերվալի վրա բաղկացած է մեկ տարրից:

Ֆունկցիան սահմանված է բոլոր վավեր արգումենտ արժեքների համար: Եկեք պարզենք ֆունկցիայի ավելացման և նվազման միջակայքերը։

Ածանցյալը անհետանում է x=-1 և x=3 ժամանակներում: Նշենք թվային տողի վրա այս կետերը և ստացված միջակայքերի վրա որոշենք ածանցյալի նշանները։

Ֆունկցիան նվազում է , աճում է [-1; 3] , x=-1 նվազագույն միավոր, x=3 առավելագույն միավոր։

Հաշվարկենք ֆունկցիայի համապատասխան նվազագույնը և առավելագույնը.

Եկեք ստուգենք ֆունկցիայի պահվածքը անսահմանության վրա.

Երկրորդ սահմանաչափը հաշվարկվել է օգտագործելով .

Եկեք սխեմատիկ գծագրություն կատարենք.

Երբ արգումենտը մինուս անսահմանությունից փոխվում է -1, ֆունկցիայի արժեքները գումարած անսահմանությունից նվազում են մինչև -2e, երբ արգումենտը փոխվում է -1-ից մինչև 3, ֆունկցիայի արժեքները մեծանում են -2e-ից մինչև, երբ փաստարկը փոխվում է: 3-ից մինչև անսահմանություն, ֆունկցիայի արժեքները նվազում են զրոյի, բայց դրանք չեն հասնում զրոյի:

Մի փոփոխականի կախվածությունը մյուսից կոչվում է ֆունկցիոնալ կախվածություն.Կախվածության փոփոխական yփոփոխականից xկանչեց ֆունկցիան, եթե յուրաքանչյուր արժեք xհամապատասխանում է մեկ արժեքի y.

Նշանակում:

Փոփոխական xկոչվում է անկախ փոփոխական կամ փաստարկ, և փոփոխականը y- կախված. Նրանք դա ասում են y-ի ֆունկցիա է x. Իմաստը y, որը համապատասխանում է նշված արժեքին x, կանչեց ֆունկցիայի արժեքը.

Բոլոր այն արժեքները, որոնք նա ընդունում է x, ձև ֆունկցիայի տիրույթ; այն բոլոր արժեքները, որոնք անհրաժեշտ են y, ձև ֆունկցիայի արժեքների հավաքածու.

Նշումներ:

D(f)- փաստարկների արժեքներ. E(f)- ֆունկցիայի արժեքները. Եթե ​​ֆունկցիան տրվում է բանաձևով, ապա սահմանման տիրույթը համարվում է, որ բաղկացած է այն փոփոխականի բոլոր արժեքներից, որոնց համար այս բանաձևը իմաստ ունի:

Ֆունկցիայի գրաֆիկկոորդինատային հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց աբսցիսները հավասար են փաստարկի արժեքներին, և որոնց օրդինատները հավասար են ֆունկցիայի համապատասխան արժեքներին: Եթե ​​որոշ արժեք x=x 0համընկնում է մի քանի արժեքների հետ (ոչ միայն մեկ) y, ուրեմն նման նամակագրությունը ֆունկցիա չէ։ Որպեսզի կոորդինատային հարթության կետերի բազմությունը լինի որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ Oy առանցքին զուգահեռ ցանկացած ուղիղ հատվի գրաֆիկի հետ ոչ ավելի, քան մեկ կետում։

Գործառույթը նշելու մեթոդներ

1) Ֆունկցիան կարող է սահմանվել վերլուծական կերպովբանաձևի տեսքով. Օրինակ՝

2) Ֆունկցիան կարող է սահմանվել բազմաթիվ զույգերի աղյուսակով (x; y).

3) Ֆունկցիան կարող է նշվել գրաֆիկորեն: Արժեքային զույգեր (x; y)պատկերված են կոորդինատային հարթության վրա։

Ֆունկցիայի միապաղաղություն

Գործառույթ f(x)կանչեց աճողտրված թվային միջակայքում, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Պատկերացրեք, որ որոշակի կետ շարժվում է գրաֆիկի երկայնքով ձախից աջ: Այնուհետև կետը կարծես «բարձրանում է» գրաֆիկի վրա:

Գործառույթ f(x)կանչեց նվազում էտրված թվային միջակայքում, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին: Պատկերացրեք, որ որոշակի կետ շարժվում է գրաֆիկի երկայնքով ձախից աջ: Այնուհետև կետը կարծես «գլորվում է» գրաֆիկի վրա:

Այն ֆունկցիան, որը միայն մեծանում կամ նվազում է տվյալ թվային միջակայքում, կոչվում է միապաղաղայս միջակայքում:

Ֆունկցիայի զրոները և հաստատուն նշանի միջակայքերը

Արժեքներ X, որի ժամանակ y=0, կանչեց ֆունկցիայի զրոներ. Սրանք ֆունկցիայի գրաֆիկի Ox առանցքի հետ հատման կետերի աբսցիսներն են։

Արժեքների այսպիսի միջակայքեր x, որի վրա ֆունկցիայի արժեքները yկոչվում են կա՛մ միայն դրական, կա՛մ միայն բացասական ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը:

Զույգ և կենտ ֆունկցիաներ

Նույնիսկ գործառույթ
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ, այսինքն, եթե կետը. ապատկանում է սահմանման տիրույթին, ապա կետին -անույնպես պատկանում է սահմանման տիրույթին։
2) ցանկացած արժեքի համար x f(-x)=f(x)
3) Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիաունի հետևյալ հատկությունները.
1) Սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է (0; 0) կետի նկատմամբ:
2) ցանկացած արժեքի համար x, սահմանման տիրույթին պատկանող հավասարությունը f(-x)=-f(x)
3) Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (0; 0):

Ամեն ֆունկցիա չէ, որ զույգ է կամ կենտ: Գործառույթներ ընդհանուր տեսարանոչ զույգ են, ոչ էլ կենտ:

Պարբերական ֆունկցիաներ

Գործառույթ զկոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ, որ որևէ մեկի համար xսահմանման տիրույթից՝ հավասարությունը f(x)=f(x-T)=f(x+T). Տֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։

Յուրաքանչյուր պարբերական ֆունկցիա ունի անսահման թվով պարբերություններ: Գործնականում սովորաբար համարվում է ամենափոքր դրական շրջանը:

Պարբերական ֆունկցիայի արժեքները կրկնվում են ժամանակաշրջանին հավասար ընդմիջումից հետո: Սա օգտագործվում է գրաֆիկներ կառուցելիս:

Այսօր դասի ընթացքում կանդրադառնանք մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից մեկին՝ ֆունկցիա հասկացությանը; Եկեք մանրամասն նայենք ֆունկցիայի հատկություններից մեկին՝ նրա արժեքների բազմությանը:

Դասի առաջընթաց

Ուսուցիչ. Խնդիրները լուծելիս մենք նկատում ենք, որ երբեմն այն ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն է, որը մեզ դնում է բարդ իրավիճակներում: Ինչո՞ւ։ Կարծես թե 7-րդ դասարանից մի ֆունկցիա ուսումնասիրելով՝ մենք բավականին շատ բան գիտենք դրա մասին։ Ուստի մենք բոլոր հիմքերն ունենք նախաձեռնողական քայլ անելու։ Եկեք այսօր ինքներս «խաղանք» բազմաթիվ գործառույթների արժեքների հետ, որպեսզի առաջիկա քննությանը պատասխանենք այս թեմայի վերաբերյալ բազմաթիվ հարցերի:

Տարրական գործառույթների արժեքների հավաքածուներ

Ուսուցիչ. Նախ, դուք պետք է կրկնեք հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկները, հավասարումները և արժեքների հավաքածուները սահմանման ողջ տիրույթում:

Էկրանի վրա նախագծված են ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ գծային, քառակուսի, կոտորակային-ռացիոնալ, եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական, որոնցից յուրաքանչյուրի համար բանավոր որոշվում է արժեքների մի շարք: Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրեք այն փաստի վրա, որ E(f) = գծային ֆունկցիան Ռկամ մեկ թիվ, կոտորակային գծի համար

Սա մեր այբուբենն է։ Դրան ավելացնելով գրաֆիկների փոխակերպումների մեր գիտելիքները՝ զուգահեռ թարգմանություն, ձգում, սեղմում, արտացոլում, մենք կկարողանանք լուծել առաջին մասի խնդիրները. Միասնական պետական ​​քննությունն էլ մի փոքր ավելի բարդ է. Եկեք ստուգենք այն:

Անկախ աշխատանք

U Յուրաքանչյուր ուսանողի համար տպագրվում են խնդրի տերմիններ և կոորդինատային համակարգեր.

1. Գտեք ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն ամբողջ սահմանման տիրույթում.

Ա) y= 3 մեղք X ;
բ) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
է) y= | arctg x |;
դ)

2. Գտեք ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը y = x 2-ի միջև Ջ, Եթե:

Ա) Ջ = ;
բ) Ջ = [–1; 5).

3. Սահմանեք ֆունկցիան վերլուծական կերպով (հավասարմամբ), եթե դրա արժեքների բազմությունը հետևյալն է.

1) Ե(զ(x)) = (–∞ ; 2] և զ(x) - գործառույթ

ա) քառակուսի,
բ) լոգարիթմական,
գ) ցուցադրական;

2) Ե(զ(x)) = Ռ \{7}.

Առաջադրանք քննարկելիս 2ինքնուրույն աշխատանք, ուսանողների ուշադրությունը հրավիրել այն փաստի վրա, որ y ֆունկցիայի միապաղաղության և շարունակականության դեպքում.=զ(x)որոշակի ընդմիջումով[ա;բ],դրա բազմաթիվ իմաստները-ընդմիջում,որի ծայրերը f-ի արժեքներն են(ա)և զ(բ).

Պատասխանեք առաջադրանքի տարբերակներին 3.

1.
Ա) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= ա(x – xգ) 2 + 2 ժամը Ա < 0.

բ) y= –| մատյան 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
ա) բ)

V) y = 12 – 5x, Որտեղ x ≠ 1 .

Գործառույթի բազմաթիվ արժեքներ գտնելը ածանցյալի միջոցով

Ուսուցիչ. 10-րդ դասարանում մենք ծանոթացանք հատվածի վրա շարունակական ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու և դրա արժեքների բազմությունը գտնելու ալգորիթմին՝ առանց ֆունկցիայի գրաֆիկին հենվելու։ Հիշո՞ւմ եք, թե ինչպես մենք դա արեցինք: ( Օգտագործելով ածանցյալ.) Եկեք հիշենք այս ալգորիթմը .

Այս ալգորիթմի օգտագործման հետ կապված խնդիրները հայտնաբերված են Միասնական պետական ​​քննության տարբերակներում: Օրինակ՝ 2008 թվականին նման առաջադրանք է առաջարկվել. Դուք պետք է լուծեք այն Տներ .

Առաջադրանք Գ1.Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը

զ(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

ժամը | x + 1| ≤ 3.

Յուրաքանչյուր ուսանողի համար տպագրվում են տնային աշխատանքների պայմանները .

Գտնել բարդ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը

Ուսուցիչ. Մեր դասի հիմնական մասը լինելու են բարդ ֆունկցիաներ պարունակող ոչ ստանդարտ խնդիրները, որոնց ածանցյալները շատ բարդ արտահայտություններ են։ Իսկ այդ ֆունկցիաների գրաֆիկները մեզ անհայտ են։ Հետևաբար, լուծելու համար մենք կօգտագործենք բարդ ֆունկցիայի սահմանումը, այսինքն՝ փոփոխականների միջև կախվածությունը տվյալ ֆունկցիայի մեջ դրանց տեղադրման կարգով և դրանց արժեքների միջակայքի գնահատումը (դրանց փոփոխության միջակայքը. արժեքներ): Այս տիպի խնդիրներ կան միասնական պետական ​​քննության երկրորդ մասում։ Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Առաջադրանք 1.Գործառույթների համար y = զ(x) Եվ y = է(x) գրել բարդ ֆունկցիա y = զ(է(x)) և գտե՛ք դրա արժեքների հավաքածուն.

Ա) զ(x) = –x 2 + 2x + 3, է(x) = մեղք x;
բ) զ(x) = –x 2 + 2x + 3, է(x) = մատյան 7 x;
V) է(x) = x 2 + 1;
է)

Լուծում.ա) Կոմպլեքս ֆունկցիան ունի ձև. y= – մեղք 2 x+ 2 մեղք x + 3.

Ներկայացնելով միջանկյալ փաստարկ տ, այս ֆունկցիան կարող ենք գրել այսպես.

y= –տ 2 + 2տ+ 3, որտեղ տ= մեղք x.

Ներքին ֆունկցիայի վրա տ= մեղք xփաստարկն ընդունում է ցանկացած արժեք, և դրա արժեքների բազմությունը [–1; 1].

Այսպիսով, արտաքին ֆունկցիայի համար y = –տ 2 +2տ+ 3 մենք պարզեցինք դրա արգումենտի արժեքները փոխելու միջակայքը տ: տ[–1; 1]. y = –տ 2 +2տ + 3.

Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը տՄենք նշում ենք, որ քառակուսի ֆունկցիան ժամը y[–1; 1] իր ծայրերում վերցնում է ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները. yանուն = y(–1) = 0 և yնաիբ =

(1) = 4. Եվ քանի որ այս ֆունկցիան շարունակական է [–1; 1], ապա այն ընդունում է նրանց միջև եղած բոլոր արժեքները:: y .

Պատասխանել

y= –տ 2 + 2տ+ 3, որտեղ տբ) Այս ֆունկցիաների կազմը մեզ տանում է դեպի բարդ ֆունկցիա, որը միջանկյալ փաստարկ ներկայացնելուց հետո կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. x,

= մատյան 7 տԳործառույթ x

x (0; +∞ ), տ (–∞ ; +∞ ).

= մատյան 7 y = –տ 2 + 2տ= մատյան 7 տ+ 3 (տես գրաֆիկ) փաստարկ

(1) = 4. Եվ քանի որ այս ֆունկցիան շարունակական է [–1; 1], ապա այն ընդունում է նրանց միջև եղած բոլոր արժեքները:: y (–∞ ; 4].

վերցնում է ցանկացած արժեք, իսկ քառակուսի ֆունկցիան ինքնին վերցնում է բոլոր արժեքները 4-ից ոչ ավելի:

գ) Կոմպլեքս ֆունկցիան ունի հետևյալ ձևը.

Ներկայացնելով միջանկյալ փաստարկ՝ մենք ստանում ենք. տ = x 2 + 1.

Որտեղ x Ռ Քանի որ ներքին ֆունկցիայի համար տ .

(1) = 4. Եվ քանի որ այս ֆունկցիան շարունակական է [–1; 1], ապա այն ընդունում է նրանց միջև եղած բոլոր արժեքները:: y (0; 3].

, Ա

դ) Այս երկու ֆունկցիաների կազմությունը մեզ տալիս է բարդ ֆունկցիա

որը կարելի է գրել այսպես

Նշենք, որ

Ներկայացնելով միջանկյալ փաստարկ՝ մենք ստանում ենք. Այսպիսով, երբ կ , տ [–1; 0) (0; 1].

Զ Նկարելով ֆունկցիայի գրաֆիկը տ

yմենք դա տեսնում ենք այս արժեքներով

(–∞; –4] գ;

Լուծում.բ) սահմանման ողջ տարածքում: տՆախ, մենք ուսումնասիրում ենք այս գործառույթը միապաղաղության համար: Գործառույթ x= arcctg Ռ - շարունակական և նվազում է yև դրա արժեքների հավաքածուն (0; π): Գործառույթ տ= մատյան 5 Ռ սահմանված է (0; π) միջակայքի վրա, շարունակական է և դրա վրա մեծանում է։ Սա նշանակում է, որ այս կոմպլեքս ֆունկցիան լրակազմում նվազում է Ռ .

. Եվ այն, որպես երկու շարունակական ֆունկցիաների բաղադրություն, շարունակական է լինելու

Լուծենք «ա» խնդիրը։

Քանի որ ֆունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, այն շարունակական է նրա ցանկացած մասում, մասնավորապես՝ տվյալ հատվածում։ Եվ այնուհետև այն ունի այս հատվածի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները և վերցնում է բոլոր արժեքները նրանց միջև.

Ստացված արժեքներից որն է ավելի մեծ: Ինչո՞ւ։ Իսկ ինչպիսի՞ն է լինելու արժեհամակարգը։

Պատասխան.

Լուծենք «բ» խնդիրը։

Պատասխան. ժամը(–∞; մատյան 5 π) սահմանման ողջ տարածքում:

Պարամետրի հետ կապված խնդիր

Հիմա փորձենք ձևի պարամետրով ստեղծել և լուծել պարզ հավասարում զ(x) = ա, Որտեղ զ(x) - նույն գործառույթը, ինչ առաջադրանք 4-ում:

Առաջադրանք 5.Որոշեք log 5 հավասարման արմատների թիվը (arcctg x) = Այուրաքանչյուր պարամետրի արժեքի համար Ա.

Լուծում.Ինչպես արդեն ցույց ենք տվել առաջադրանք 4-ում, ֆունկցիան ժամը= մատյան 5 (arcctg x) - նվազում է և շարունակական է Ռ և վերցնում է log 5 π-ից պակաս արժեքներ: Այս տեղեկությունը բավական է պատասխան տալու համար։

Պատասխան.Եթե Ա < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Եթե Ա≥ log 5 π, ապա արմատներ չկան:

Ուսուցիչ. Այսօր մենք դիտարկեցինք գործառույթի արժեքների բազմությունը գտնելու հետ կապված խնդիրները: Այս ճանապարհին մենք հայտնաբերեցինք հավասարումների և անհավասարությունների լուծման նոր մեթոդ՝ գնահատման մեթոդը, ուստի ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը գտնելը դարձավ ավելի բարձր մակարդակի խնդիրների լուծման միջոց: Դրանով մենք տեսանք, թե ինչպես են կառուցվում նման խնդիրները և ինչպես են գործառույթի միապաղաղության հատկությունները հեշտացնում դրանց լուծումը:

Եվ ես կցանկանայի հուսալ, որ այն տրամաբանությունը, որը կապում էր այսօր քննարկված խնդիրները, ապշեցրեց կամ առնվազն զարմացրեց ձեզ։ Այլ կերպ լինել չի կարող. նոր գագաթ բարձրանալը ոչ մեկին անտարբեր չի թողնում: Մենք նկատում և գնահատում ենք գեղեցիկ նկարներ, քանդակներ և այլն։ Բայց մաթեմատիկան նույնպես ունի իր գեղեցկությունը՝ գրավիչ ու կախարդիչ՝ տրամաբանության գեղեցկությունը։ Մաթեմատիկոսներն ասում են, որ գեղեցիկ լուծումը սովորաբար ճիշտ լուծում է, և սա պարզապես արտահայտություն չէ։ Այժմ դուք ինքներդ պետք է նման լուծումներ գտնեք, և մենք այսօր մատնանշել ենք դրանց տանող ճանապարհներից մեկը։ Հաջողություն ձեզ: Եվ հիշիր՝ քայլողը կտիրապետի ճանապարհին: