4 եռանկյունաչափական ֆունկցիա. Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ

Այս հոդվածում մենք կքննարկենք համապարփակ տեսք: Հիմնական եռանկյունաչափական նույնականությունները հավասարություններ են, որոնք հաստատում են կապը մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի միջև և թույլ են տալիս գտնել դրանցից որևէ մեկը: եռանկյունաչափական ֆունկցիաներհայտնի ուրիշի միջոցով:

Եկեք անմիջապես թվարկենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունները, որոնք մենք կվերլուծենք այս հոդվածում: Եկեք դրանք գրենք աղյուսակում, իսկ ստորև մենք կտանք այս բանաձևերի արդյունքը և կտրամադրենք անհրաժեշտ բացատրությունները:

Էջի նավարկություն.

Մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի կապը

Երբեմն նրանք խոսում են ոչ թե վերը նշված աղյուսակում թվարկված հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունների, այլ մեկ սինգլի մասին հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունըբարի . Այս փաստի բացատրությունը բավականին պարզ է. հավասարությունները ստացվում են հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունից՝ դրա երկու մասերը և, համապատասխանաբար, և հավասարությունների վրա բաժանելուց հետո։ Եվ հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Այս մասին ավելի մանրամասն կխոսենք հաջորդ պարբերություններում:

Այսինքն, դա այն հավասարությունն է, որն առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում, որին տրվել է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության անվանումը։

Նախքան հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունն ապացուցելը, մենք տալիս ենք դրա ձևակերպումը. մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը նույնականորեն հավասար է մեկի: Հիմա եկեք ապացուցենք.

Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը շատ հաճախ օգտագործվում է, երբ վերափոխում եռանկյունաչափական արտահայտություններ . Այն թույլ է տալիս մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը փոխարինել մեկով: Ոչ պակաս հաճախ օգտագործվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը հակառակ կարգըմիավորը փոխարինվում է ցանկացած անկյան սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարով:

Շոշափող և կոտանգենս սինուսի և կոսինուսի միջոցով

Տանգենսը և կոտանգենսը կապող նույնականացումներ դիտման մեկ անկյան սինուսի և կոսինուսի հետ և անմիջապես հետևեք սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումներից: Իրոք, ըստ սահմանման, սինուսը y-ի օրդինատն է, կոսինուսը x-ի աբսցիսն է, շոշափողը օրդինատի և աբսցիսայի հարաբերությունն է, այսինքն. , իսկ կոտանգենսը աբսցիսայի հարաբերակցությունն է օրդինատին, այսինքն. .

Ինքնությունների այսպիսի ակնհայտության շնորհիվ և Տանգենսը և կոտանգենսը հաճախ սահմանվում են ոչ թե աբսցիսայի և օրդինատի, այլ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցության միջոցով: Այսպիսով, անկյան շոշափողը սինուսի և այս անկյան կոսինուսի հարաբերությունն է, իսկ կոտանգենսը կոսինուսի և սինուսի հարաբերությունն է:

Եզրափակելով այս պարբերությունը, հարկ է նշել, որ ինքնությունները և տեղի են ունենում բոլոր անկյունների համար, որոնցում ընդգրկված եռանկյունաչափական ֆունկցիաները իմաստ ունեն: Այսպիսով, բանաձևը վավեր է ցանկացած , բացի (հակառակ դեպքում հայտարարը կունենա զրո, իսկ մենք բաժանում չենք սահմանել զրոյի), և բանաձևը - բոլորի համար, տարբեր, որտեղ z-ը ցանկացած է:

Կապը շոշափողի և կոտանգենսի միջև

Նույնիսկ ավելի ակնհայտ եռանկյունաչափական ինքնությունքան նախորդ երկուսը, ձևի մեկ անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը կապող նույնությունն է . Հասկանալի է, որ այն պահպանվում է ցանկացած այլ անկյունի համար, քան , հակառակ դեպքում կամ շոշափողը կամ կոտանգենսը չեն սահմանվում:

Բանաձևի ապացույց շատ պարզ. Ըստ սահմանման և որտեղից . Ապացույցը կարող էր մի փոքր այլ կերպ իրականացվել։ Քանի որ , Դա .

Այսպիսով, միևնույն անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը, որով դրանք իմաստ ունեն, .

Այնտեղ, որտեղ քննարկվում էին ուղղանկյուն եռանկյունի լուծելու խնդիրները, ես խոստացա ներկայացնել սինուսի և կոսինուսի սահմանումները մտապահելու տեխնիկա: Օգտագործելով այն, դուք միշտ արագ կհիշեք, թե որ կողմն է պատկանում հիպոթենուսին (կից կամ հակառակը): Ես որոշեցի դա երկար չհետաձգել, պահանջվող նյութստորև, խնդրում ենք կարդալ 😉

Փաստն այն է, որ ես բազմիցս նկատել եմ, թե ինչպես են 10-11-րդ դասարանների աշակերտները դժվարությամբ հիշում այս սահմանումները: Նրանք շատ լավ հիշում են, որ ոտքը վերաբերում է հիպոթենուսին, բայց որին- մոռանում են և շփոթված. Սխալի գինը, ինչպես գիտեք քննության ժամանակ, կորցրած միավոր է։

Այն տեղեկատվությունը, որը ես ուղղակիորեն կներկայացնեմ, մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։ Այն կապված է փոխաբերական մտածողության և բանավոր-տրամաբանական հաղորդակցության մեթոդների հետ։ Հենց այդպես եմ հիշում, մեկընդմիշտսահմանման տվյալներ: Եթե ​​դուք մոռանաք դրանք, դուք միշտ կարող եք հեշտությամբ հիշել դրանք՝ օգտագործելով ներկայացված տեխնիկան:

Հիշեցնեմ ուղղանկյուն եռանկյունու սինուսի և կոսինուսի սահմանումները.

ԿոսինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է.

ՍինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին.

Այսպիսով, ի՞նչ ասոցիացիաներ ունեք կոսինուս բառի հետ:

Երևի ամեն մեկն ունի իր սեփականը 😉Հիշեք հղումը.

Այսպիսով, արտահայտությունը անմիջապես կհայտնվի ձեր հիշողության մեջ.

«… Հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հիպոթենուսին».

Կոսինուսի որոշման խնդիրը լուծված է։

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հիշել սինուսի սահմանումը ուղղանկյուն եռանկյունում, ապա հիշելով կոսինուսի սահմանումը, կարող եք հեշտությամբ հաստատել, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին: Ի վերջո, կա միայն երկու ոտք, եթե հարակից ոտքը «զբաղված է» կոսինուսով, ապա սինուսի հետ մնում է միայն հակառակ ոտքը:

Ինչ վերաբերում է շոշափողին և կոտանգենսին: Շփոթմունքը նույնն է. Ուսանողները գիտեն, որ սա ոտքերի հարաբերություն է, բայց խնդիրն այն է, որ հիշեն, թե որն է վերաբերում՝ կա՛մ հարակից, կա՛մ հակառակը:

Սահմանումներ:

ՇոշափողՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է.

ԿոտանգենսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հարակից կողմի հարաբերակցությունն է հակառակին.

Ինչպե՞ս հիշել. Երկու ճանապարհ կա. Մեկը օգտագործում է նաև բառային-տրամաբանական կապ, մյուսը՝ մաթեմատիկական։

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴ

Գոյություն ունի այսպիսի սահմանում. սուր անկյան շոշափողը անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունն է.

*Բանաձևը անգիր անելով՝ միշտ կարող եք որոշել, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հակառակ կողմի և հարակից կողմի հարաբերությունն է:

Նմանապես.Սուր անկյան կոտանգենսը անկյան կոսինուսի և նրա սինուսի հարաբերությունն է.

Այսպիսով, Հիշելով այս բանաձևերը, դուք միշտ կարող եք որոշել, որ.

- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան շոշափողը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հարակից կողմի նկատմամբ

- Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենսը հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերությունն է:

ԲԱՌ-ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՄԵԹՈԴ

Շոշափողի մասին. Հիշեք հղումը.

Այսինքն, եթե դուք պետք է հիշեք շոշափողի սահմանումը, օգտագործելով այս տրամաբանական կապը, կարող եք հեշտությամբ հիշել, թե ինչ է դա

«Հակառակ կողմի հարաբերակցությունը հարակից կողմին»

Եթե ​​խոսենք կոտանգենսի մասին, ապա հիշելով շոշափողի սահմանումը, կարող եք հեշտությամբ հնչեցնել կոտանգենսի սահմանումը.

«... հարակից կողմի և հակառակ կողմի հարաբերակցությունը»

Կայքում կա շոշափող և կոտանգենս հիշելու հետաքրքիր հնարք " Մաթեմատիկական տանդեմ " , նայիր.

ՈՒՆԻՎԵՐՍԱԼ ՄԵԹՈԴ

Դուք կարող եք պարզապես անգիր անել այն:Բայց ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, բանավոր-տրամաբանական կապերի շնորհիվ մարդը երկար հիշում է տեղեկատվությունը, և ոչ միայն մաթեմատիկականը։

Հուսով եմ, որ նյութը օգտակար էր ձեզ համար:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր Կրուտիցկիխ

P.S. Ես շնորհակալ կլինեմ, եթե ինձ ասեք կայքի մասին սոցիալական ցանցերում:

Չեմ փորձի ձեզ համոզել, որ խաբեության թերթիկներ չգրեք։ Գրի՛ր Ներառյալ եռանկյունաչափության խաբեության թերթիկները: Ավելի ուշ ես նախատեսում եմ բացատրել, թե ինչու են խաբեբա թերթիկներն անհրաժեշտ և ինչու են խաբեական թերթիկները օգտակար: Եվ ահա տեղեկատվություն այն մասին, թե ինչպես չսովորել, բայց հիշել մի քանիսը եռանկյունաչափական բանաձևեր. Այսպիսով, եռանկյունաչափություն առանց խաբեության թերթիկի Մենք օգտագործում ենք ասոցիացիաներ անգիր անելու համար:

1. Հավելման բանաձևեր.

Կոսինուսները միշտ «զույգ են գալիս»՝ կոսինուս-կոսինուս, սինուս-սինուս: Եվ ևս մեկ բան. կոսինուսները «անադեկվատ» են։ Նրանց մոտ «ամեն ինչ ճիշտ չէ», ուստի նրանք փոխում են «-» նշանները «+» և հակառակը:

Սինուսներ - «խառնել»: սինուս-կոսինուս, կոսինուս-սինուս.

2. Գումարի և տարբերության բանաձևեր.

կոսինուսները միշտ «զույգ են գալիս»: Ավելացնելով երկու կոսինուս՝ «կոլոբոկներ», ստանում ենք զույգ կոսինուսներ՝ «կոլոբոկներ»: Եվ հանելով, մենք հաստատ ոչ մի կոլոբոկ չենք ստանա: Մենք ստանում ենք մի քանի սինուս: Նաև մինուսով առջևում:

Սինուսներ - «խառնել» :

3. Արտադրանքը գումարի և տարբերության վերածելու բանաձևեր.

Ե՞րբ ենք մենք ստանում կոսինուս զույգ: Երբ ավելացնում ենք կոսինուսներ. Ահա թե ինչու

Ե՞րբ ենք մենք ստանում մի քանի սինուս: Կոսինուսները հանելիս. Այստեղից.

«Խառնումը» ստացվում է ինչպես սինուսներ գումարելիս, այնպես էլ հանելիս։ Ի՞նչն է ավելի զվարճալի՝ գումարե՞լ, թե՞ հանել: Ճիշտ է, ծալիր: Իսկ բանաձևի համար նրանք գումարում են.

Առաջին և երրորդ բանաձևերում գումարը փակագծերում է: Ժամկետների տեղերի վերադասավորումը գումարը չի փոխում։ Պատվերը կարևոր է միայն երկրորդ բանաձևի համար. Բայց, որպեսզի չշփոթենք, հիշելու համար, առաջին փակագծերում բոլոր երեք բանաձևերում մենք վերցնում ենք տարբերությունը.

և երկրորդը` գումարը

Գրպանում խաբեբա թերթիկները ձեզ հանգիստ են տալիս. եթե մոռանաք բանաձևը, կարող եք պատճենել այն: Եվ նրանք ձեզ վստահություն են տալիս. եթե չօգտագործեք խաբեության թերթիկը, կարող եք հեշտությամբ հիշել բանաձևերը:

• 2. Արժեքների միջակայք՝ [-1;1]
• 3. Կենտ ֆունկցիա.
• 7. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան դրական է. (2*pi*n; pi+2*pi*n)
• 8. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան բացասական է՝ (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
• 9. Աճող միջակայքերը՝ [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
• 10. Նվազող միջակայքերը.
• 11. Նվազագույն միավորներ՝ -pi/2 +2*pi*n
• 12. Նվազագույն ֆունկցիա՝ -1
• 13. Առավելագույն միավորներ՝ pi/2 +2*pi*n
• 14. Առավելագույն ֆունկցիա՝ 1

Կոսինուսի հատկությունները

• 1. Սահմանման տարածք՝ ամբողջ թվային առանցք
• 2. Արժեքների միջակայք՝ [-1;1]
• 3. Նույնիսկ գործառույթը.
• 4. Ամենափոքր դրական շրջանը՝ 2*pi
• 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները Ox առանցքի հետ՝ (pi/2 +pi*n; 0)
• 6. Գործառույթի գրաֆիկի Oy առանցքի հետ հատման կետերի կոորդինատները՝ (0;1)
• 7. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան դրական է՝ (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
• 8. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան բացասական է՝ (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
• 9. Աճող միջակայքերը՝ [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
• 10. Նվազող միջակայքերը.
• 11. Նվազագույն միավորներ՝ pi+2*pi*n
• 12. Նվազագույն ֆունկցիա՝ -1
• 13. Առավելագույն միավորներ՝ 2*pi*n
• 14. Առավելագույն ֆունկցիա՝ 1

Շոշափողի հատկությունները

• 1. Սահմանման տարածք՝ (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
• 3. Կենտ ֆունկցիա.
• 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները Ox առանցքի հետ՝ (pi*n; 0)
• 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկի Oy առանցքի հետ հատման կետերի կոորդինատները՝ (0;0)
• 9. Ֆունկցիան մեծանում է ընդմիջումներով (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Կոտանգենտի հատկությունները

• 1. Դոմեն՝ (pi*n; pi +pi*n)
• 2. Արժեքների միջակայք՝ ամբողջ թվային առանցք
• 3. Կենտ ֆունկցիա.
• 4. Ամենափոքր դրական շրջանը՝ pi
• 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները Ox առանցքի հետ՝ (pi/2 + pi*n; 0)
• 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկի Oy առանցքի հետ հատման կետերի կոորդինատները՝ ոչ.
• 7. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան դրական է. (pi*n; pi/2 +pi*n)
• 8. Ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան բացասական է՝ (-pi/2 +pi*n; pi*n)
• 9. Ֆունկցիան նվազում է ընդմիջումներով (pi*n; pi +pi*n)
• 10. Չկան առավելագույն և նվազագույն միավորներ:

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս մի քանի միավոր շրջանակներ, որոնք ցույց են տալիս սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի նշանները տարբեր կոորդինատային քառորդներում:

1. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներներկայացնել տարրական գործառույթներ, որի փաստարկն է անկյուն. Օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, կողմերի միջև հարաբերությունները և սուր անկյուններուղղանկյուն եռանկյունու մեջ: Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների կիրառման ոլորտները չափազանց բազմազան են։ Օրինակ, ցանկացած պարբերական գործընթաց կարող է ներկայացվել որպես եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումար (Ֆուրիեի շարք): Այս ֆունկցիաները հաճախ հայտնվում են դիֆերենցիալ և ֆունկցիոնալ հավասարումներ լուծելիս։

2. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներառում են հետևյալ 6 ֆունկցիաները. սինուս, կոսինուս, շոշափող,կոտանգենս, հատվածԵվ զուգորդող. Յուրաքանչյուրի համար նշված գործառույթներըկա հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

3. Երկրաչափական սահմանումեռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են հարմար կերպով մուտքագրվել՝ օգտագործելով միավոր շրջան. Ստորև բերված նկարում պատկերված է r=1 շառավղով շրջան: Շրջանակի վրա նշվում է M(x,y) կետը։ Շառավիղի OM վեկտորի և Ox առանցքի դրական ուղղության միջև անկյունը հավասար է α-ի:

4. Սինուսα անկյունը M(x,y) կետի y օրդինատի հարաբերությունն է r շառավղին.
sinα=y/r.
Քանի որ r=1, ուրեմն սինուսը հավասար է M(x,y) կետի օրդինատին։

5. Կոսինուսα անկյունը M(x,y) կետի աբսցիսայի x-ի հարաբերակցությունն է r շառավղին.
cosα=x/r

6. Շոշափողα անկյունը M(x,y) կետի y օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային x-ին.
tanα=y/x,x≠0

7. Կոտանգենսα անկյունը M(x,y) կետի x աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա y օրդինատին.
cotα=x/y,y≠0

8. Սեկանտα անկյունը r շառավիղի հարաբերակցությունն է M(x,y) կետի x աբսցիսային:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecantα անկյունը r շառավիղի հարաբերությունն է M(x,y) կետի y օրդինատին:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Միավոր շրջանագծի մեջ x, y պրոյեկցիաները, M(x,y) կետերը և r շառավիղը կազմում են ուղղանկյուն եռանկյուն, որի x,y-ը ոտքերն են, իսկ r-ը հիպոթենուսն է: Հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերը նշված սահմանումները հավելվածում ուղղանկյուն եռանկյունձևակերպվում են հետևյալ կերպ.
Սինուսα անկյունը հակառակ կողմի հարաբերությունն է հիպոթենուսին:
Կոսինուսα անկյունը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:
Շոշափողα անկյունը կոչվում է հարակից ոտքի հակառակ ոտքը:
Կոտանգենսα անկյունը կոչվում է հակառակ կողմի կից կողմը:
Սեկանտα անկյունը հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է հարակից ոտքին:
Cosecantα անկյունը հիպոթենուսի և հակառակ ոտքի հարաբերությունն է:

11. Սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=sinx, սահմանման տիրույթ՝ x∈R, արժեքների միջակայք՝ −1≤sinx≤1

12. Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=cosx, տիրույթ՝ x∈R, միջակայք՝ −1≤cosx≤1

13. Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=tanx, սահմանման միջակայք՝ x∈R,x≠(2k+1)π/2, արժեքների միջակայք՝ −∞

14. Կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը
y=cotx, տիրույթ՝ x∈R,x≠kπ, միջակայք՝ −∞

15. Սեկենտային ֆունկցիայի գրաֆիկ
y=secx, տիրույթ՝ x∈R,x≠(2k+1)π/2, միջակայք՝ secx∈(−∞,−1]∪∪)