Izračun visine. Nađi najveću visinu trokuta

Pri rješavanju raznih vrsta problema, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (osobito u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati tu vrijednost (visinu) u trokutu?

Ako kombiniramo 3 točke u parovima koji se ne nalaze na jednoj liniji, tada će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio ravne crte iz bilo kojeg vrha lika koji, sijekući se sa suprotnom stranom, tvori kut od 90°.

Nađite visinu razmjernog trokuta

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada lik ima proizvoljne kutove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje

p – polovica opsega figure, h(a) – isječak stranice a, povučen pod pravim kutom na nju,

p=(a+b+c)/2 – izračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, možete koristiti relaciju h(a)=2S/a da odredite njenu visinu.

Trigonometrijske funkcije

Za određivanje duljine segmenta koji čini pravi kut kada se siječe sa stranicom a, možete koristiti sljedeće relacije: ako su poznata stranica b i kut γ ili stranica c i kut β, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
Gdje:
γ – kut između stranica b i a,
β je kut između stranica c i a.

Odnos s radijusom

Ako je izvorni trokut upisan u krug, možete koristiti polumjer takvog kruga za određivanje visine. Središte mu se nalazi u točki gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je radijus.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c – 2 druge stranice trokuta,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovoj vrsti geometrijske figure, 2 strane, kada se sijeku, tvore pravi kut - 90°. Stoga, ako želite odrediti vrijednost visine u njemu, tada morate izračunati ili veličinu jedne od nogu ili veličinu segmenta koji čini 90 ° s hipotenuzom. Prilikom označavanja:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – okomica na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne izračune pomoću sljedećih odnosa:

• Pitagorin poučak:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jer S=ab/2, tada je h(c)=ab/c.

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Nađi visinu jednakokračnog trokuta

Ova geometrijska figura razlikuje se po prisutnosti dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene na treću, zasebnu stranu, u pomoć dolazi Pitagorin teorem. S notnim zapisom
a – strana,
c – baza,
h(c) je segment na c pod kutom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Kako pronaći najveću ili najmanju visinu trokuta? Što je manja visina trokuta, veća mu je nacrtana visina. To jest, najveća visina trokuta je ona povučena na njegovu najkraću stranicu. - onaj koji je nacrtan na najveću stranicu trokuta.

Da biste pronašli najveću visinu trokuta , možemo podijeliti površinu trokuta s duljinom stranice na koju je povučena ta visina (odnosno s duljinom najmanje stranice trokuta).

Sukladno tome, d Da biste pronašli najmanju visinu trokuta Površinu trokuta možete podijeliti s duljinom njegove najduže stranice.

Zadatak 1.

Odredi najmanju visinu trokuta čije su stranice 7 cm, 8 cm i 9 cm.

dano:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Nađi: najmanju visinu trokuta.

Riješenje:

Najmanja visina trokuta je ona povučena na njegovu najdužu stranicu. To znači da trebamo pronaći visinu AF povučenu na stranicu BC.

Radi lakšeg označavanja, uvodimo oznaku

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Visina trokuta jednaka je kvocijentu dvostruke površine trokuta podijeljene sa stranicom na koju je ta visina povučena. može se pronaći pomoću Heronove formule. Zato

Računamo:

Odgovor:

Zadatak 2.

Odredi najdužu stranicu trokuta sa stranicama 1 cm, 25 cm i 30 cm.

dano:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Pronaći:

najveća visina trokuta ABC.

Riješenje:

Najveća visina trokuta povučena je na njegovu najkraću stranicu.

To znači da trebamo pronaći visinu CD povučenu na stranicu AB.

Radi praktičnosti, označimo

Visina trokuta je okomica spuštena s bilo kojeg vrha trokuta na suprotnu stranicu, odnosno na njegov produžetak (stranica na koju se okomica spušta naziva se u ovom slučaju osnovicom trokuta).

U tupokutnom trokutu dvije visine padaju na produžetke stranica i leže izvan trokuta. Treći je unutar trokuta.

U oštrokutnom trokutu sve tri visine leže unutar trokuta.

U pravokutnom trokutu katete služe kao visine.

Kako pronaći visinu od baze i površine

Prisjetimo se formule za izračunavanje površine trokuta. Površina trokuta izračunava se pomoću formule: A = 1/2 bh.

• A je površina trokuta
• b je stranica trokuta na koju je spuštena visina.
• h - visina trokuta

Pogledajte trokut i razmislite o tome koje količine već znate. Ako ste dobili područje, označite ga s "A" ili "S". Trebalo bi vam dati i značenje strane, označite je "b". Ako vam nije dana površina i strana, upotrijebite drugu metodu.

Imajte na umu da osnovica trokuta može biti bilo koja stranica na koju je visina spuštena (bez obzira na to kako je trokut postavljen). Da biste ovo bolje razumjeli, zamislite da možete rotirati ovaj trokut. Okrenite ga tako da strana koju poznajete bude okrenuta prema dolje.

Na primjer, površina trokuta je 20, a jedna od njegovih stranica je 4. U ovom slučaju, “'A = 20″', ''b = 4'”.

Zamijenite vrijednosti koje su vam dane u formulu za izračunavanje površine (A = 1/2bh) i pronađite visinu. Najprije pomnožite stranicu (b) s 1/2, a zatim podijelite površinu (A) s dobivenom vrijednošću. Na taj način ćete pronaći visinu trokuta.

U našem primjeru: 20 = 1/2(4)h

20 = 2h
10 = h

Prisjetite se svojstava jednakostraničnog trokuta. U jednakostraničnom trokutu sve stranice i svi kutovi su jednaki (svaki kut je 60˚). Ako takvom trokutu nacrtate visinu, dobit ćete dva jednaka pravokutna trokuta.
Na primjer, razmotrite jednakostranični trokut sa stranicom 8.

Sjetite se Pitagorinog poučka. Pitagorin poučak kaže da je u bilo kojem pravokutnom trokutu s katetama “a” i “b” hipotenuza “c” jednaka: a2+b2=c2. Ovaj se teorem može koristiti za pronalaženje visine jednakostraničnog trokuta!

Podijelite jednakostranični trokut na dva pravokutna trokuta (za to nacrtajte visinu). Zatim označite stranice jednog od pravokutnih trokuta. Bočna stranica jednakostraničnog trokuta je hipotenuza "c" pravokutnog trokuta. Krak “a” jednak je 1/2 stranice jednakostraničnog trokuta, a krak “b” je željena visina jednakostraničnog trokuta.

Dakle, u našem primjeru jednakostraničnog trokuta s poznatom stranicom 8: c = 8 i a = 4.

Uključite ove vrijednosti u Pitagorin teorem i izračunajte b2. Prvo stavite u kvadrat "c" i "a" (pomnožite svaku vrijednost sa sobom). Zatim oduzmite a2 od c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Izvadite kvadratni korijen iz b2 da biste pronašli visinu trokuta. Da biste to učinili, koristite kalkulator. Dobivena vrijednost bit će visina vašeg jednakostraničnog trokuta!

b = √48 = 6,93

Kako pronaći visinu pomoću kutova i stranica

Razmislite koja značenja poznajete. Možete pronaći visinu trokuta ako znate vrijednosti stranica i kutova. Na primjer, ako je poznat kut između baze i stranice. Ili ako su poznate vrijednosti sve tri strane. Dakle, označimo strane trokuta: "a", "b", "c", kutove trokuta: "A", "B", "C", a područje - slovo "S".

Ako znate sve tri strane, trebat će vam površina trokuta i Heronova formula.

Ako znate dvije stranice i kut između njih, možete upotrijebiti sljedeću formulu da pronađete površinu: S=1/2ab(sinC).

Ako su vam dane vrijednosti sve tri strane, upotrijebite Heronovu formulu. Koristeći ovu formulu, morat ćete izvršiti nekoliko koraka. Prvo morate pronaći varijablu "s" (ovim slovom označavamo polovicu opsega trokuta). Da biste to učinili, zamijenite poznate vrijednosti u ovu formulu: s = (a+b+c)/2.

Za trokut sa stranicama a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Rezultat je: s=12/2, gdje je s=6.

Zatim, kao drugi korak, nalazimo područje (drugi dio Heronove formule). Površina = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Umjesto riječi "površina", umetnite ekvivalentnu formulu za pronalaženje površine: 1/2bh (ili 1/2ah, ili 1/2ch).

Sada pronađite ekvivalentan izraz za visinu (h). Za naš trokut vrijedit će sljedeća jednadžba: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Gdje je 3/2h=√(6(2(3(1))). Ispada da je 3/2h = √(36). Koristeći kalkulator, izračunajte kvadratni korijen. U našem primjeru: 3/2h = 6. Ispada da je visina (h) jednaka 4, stranica b je baza.

Ako su prema uvjetima problema poznate dvije strane i kut, možete koristiti drugu formulu. Zamijenite površinu u formuli s ekvivalentnim izrazom: 1/2bh. Tako ćete dobiti sljedeću formulu: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Može se pojednostaviti u sljedeći oblik: h = a(sin C) za uklanjanje jedne nepoznate varijable.

Sada preostaje samo riješiti dobivenu jednadžbu. Na primjer, neka je "a" = 3, "C" = 40 stupnjeva. Tada će jednadžba izgledati ovako: “h” = 3(sin 40). Pomoću kalkulatora i tablice sinusa izračunajte vrijednost "h". U našem primjeru h = 1,928.

Izračunavanje visine trokuta ovisi o samom liku (istokračan, jednakostraničan, skalen, pravokutnik). U praktičnoj geometriji složene formule u pravilu se ne nalaze. Dovoljno je poznavati opći princip računanja kako bi bio univerzalno primjenjiv na sve trokute. Danas ćemo vas upoznati s osnovnim principima izračuna visine figure, formulama za izračun na temelju svojstava visina trokuta.

Što je visina?

Visina ima nekoliko karakterističnih svojstava

1. Točka gdje se spajaju sve visine naziva se ortocentar. Ako je trokut zašiljen, tada se ortocentar nalazi unutar figure; ako je jedan od kutova tup, tada se ortocentar, u pravilu, nalazi izvan.
2. U trokutu u kojem jedan kut iznosi 90°, ortocentar i vrh se podudaraju.
3. Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko formula za određivanje visine trokuta.

Tradicionalno računalstvo

1. Ako je p polovina opsega, a, b, c su oznake stranica tražene figure, h je visina, tada će prva i najjednostavnija formula izgledati ovako: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. U školskim udžbenicima često se mogu naći zadaci u kojima je poznata vrijednost jedne od stranica trokuta i veličina kuta između te stranice i baze. Tada će formula za izračun visine izgledati ovako: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Kada je dana površina trokuta - S, kao i duljina baze - a, tada će izračuni biti što jednostavniji. Visina se nalazi pomoću formule: h = 2S/a.
4. Kad je zadan polumjer kružnice opisane oko figure, prvo izračunamo duljine dviju njezinih stranica, a zatim prijeđemo na izračunavanje zadane visine trokuta. Da bismo to učinili, koristimo se formulom: h = b ∙ c/2R, gdje su b i c dvije stranice trokuta koje nisu baza, a R je polumjer.

Sve strane ove figure su jednake, njihove duljine su jednake, stoga će i kutovi na bazi biti jednaki. Iz ovoga slijedi da će i visine koje crtamo na osnovicama biti jednake, one su ujedno i središnje i simetrale. Jednostavno rečeno, visina u jednakokračnom trokutu dijeli osnovicu na dva dijela. Trokut s pravim kutom, koji se dobije nakon crtanja visine, razmatrat ćemo pomoću Pitagorinog teorema. Označimo stranicu s a, a osnovicu s b, tada je visina h = ½ √4 a2 − b2.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trokuta?

Formula za jednakostranični trokut (figura kojoj su sve stranice jednake veličine) može se pronaći na temelju prethodnih izračuna. Potrebno je samo izmjeriti duljinu jedne od stranica trokuta i označiti je kao a. Zatim se visina izvodi formulom: h = √3/2 a.

Kako pronaći visinu pravokutnog trokuta?

Kao što znate, kut u pravokutnom trokutu je 90°. Visina spuštena jednom stranom je također druga strana. Na njima će ležati visine trokuta s pravim kutom. Da biste dobili podatke o visini, morate malo transformirati postojeću pitagorejsku formulu, označavajući noge - a i b, kao i mjerenje duljine hipotenuze - c.

Nađimo duljinu kraka (stranicu na koju će visina biti okomita): a = √ (c2 − b2). Duljina drugog kraka nalazi se pomoću potpuno iste formule: b =√ (c2 − b2). Nakon toga možete početi izračunavati visinu trokuta s pravim kutom, nakon što ste prvo izračunali površinu figure - s. Visinska vrijednost je h = 2s/a.

Izračuni s razmjernim trokutom

Kada trokut u razmjeru ima oštre kutove, vidljiva je visina spuštena na bazu. Ako trokut ima tup kut, tada visina može biti izvan figure i morate je mentalno nastaviti da biste dobili točku spajanja visine i baze trokuta. Najlakši način za mjerenje visine je izračunati je kroz jednu od stranica i veličinu kutova. Formula je sljedeća: h = b sin y + c sin ß.

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut je lik koji se sastoji od tri segmenta i tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, a bodovi su vrhovi.

Zbroj kutova trokut je 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta- ovo je okomica povučena od vrha do suprotne strane.

U oštrokutnom trokutu visina je sadržana unutar trokuta (slika 1).

U pravokutnom trokutu kraci su visine trokuta (slika 2).

U tupokutnom trokutu visina se proteže izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta- ovo je segment koji dijeli kut vrha na pola i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trokuta.

Medijan trokuta- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta- ovo je segment koji povezuje središnje točke njegovih dviju strana (slika 10).

Srednja crta trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici

Vanjski kut trokuta.

Vanjski kut trokuta jednak je zbroju dvaju nesusjednih unutarnjih kutova (sl. 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trokut koji ima pravi kut (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane su tzv noge.

Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu visina povučena iz pravog kuta tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, kutovi koje čini visina jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut je trokut čije su dvije stranice jednake (slika 13).

Te jednake strane nazivaju se strane, a treći - osnova trokut.

U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki. (U našem trokutu kut A jednak je kutu C).

U jednakokračnom trokutu, medijan povučen na osnovicu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju jedinstvena svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme koji uključuju te oblike. Neka od ovih svojstava navedena su gore. Ali mi ih opet ponavljamo, dodajući im još nekoliko prekrasnih značajki:

Znakovi jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i njezini susjedni kutovi jednog trokuta jednaki stranici i njezinim susjednim kutovima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka je stranica manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa kuta između njih:

1
S = — AB · A.C. · grijeh A
2

Trokut opisan krugu.

Kružnicu nazivamo upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (sl. 16 A).

Trokut upisan u krug.

Za trokut se kaže da je upisan u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (sl. 17. a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotan krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutnog trokuta je omjer susjedni krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: cos x.

Tangens oštar kut x- ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Označava se na sljedeći način: tgx.

Kotangens oštar kut x- ovo je omjer susjedne strane prema suprotnoj strani.
Označava se na sljedeći način: ctgx.

Pravila:

Noga nasuprot kutu x, jednak je umnošku hipotenuze i sin x:

b = c grijeh x

Noga uz kut x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga suprotni kut x, jednak je umnošku drugog kraka s tg x:

b = a tg x

Noga uz kut x, jednak je umnošku drugog kraka s ctg x:

a = b· ctg x.

Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x