Najveći broj na svijetu kako je napisano. Najveći brojevi na svijetu

Prije ili kasnije, svakoga muči pitanje koji je najveći broj. Postoji milijun odgovora na dječje pitanje. Što je sljedeće? bilijun. I još dalje? Zapravo, odgovor na pitanje koji su najveći brojevi je jednostavan. Dovoljno je dodati jedan najvećem broju i on više neće biti najveći. Ovaj postupak se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Oni. Ispada da ne postoji najveći broj na svijetu? Je li ovo beskonačnost?

Ali ako postavite pitanje: koji je najveći broj koji postoji i koji je njegov pravi naziv? Sada ćemo sve saznati...

Postoje dva sustava za imenovanje brojeva - američki i engleski.

Američki sustav izgrađen je vrlo jednostavno. Svi nazivi velikih brojeva grade se ovako: na početku je latinski redni broj, a na kraju mu se dodaje sufiks -milijun. Izuzetak je naziv "milijun" koji je naziv broja tisuća (lat. milja) i povećalni sufiks -illion (vidi tablicu). Tako dobivamo brojeve trilijun, kvadrilijun, kvintilijun, sekstilijun, septilijun, oktilion, nonilijun i decilijun. Američki sustav koristi se u SAD-u, Kanadi, Francuskoj i Rusiji. Broj nula u broju napisanom prema američkom sustavu možete saznati pomoću jednostavne formule 3 x + 3 (gdje je x latinski broj).

Engleski sustav imenovanja je najčešći u svijetu. Koristi se, primjerice, u Velikoj Britaniji i Španjolskoj, kao i u većini bivših engleskih i španjolskih kolonija. Imena brojeva u ovom sustavu grade se ovako: ovako: sufiks -milijun dodaje se latinskom broju, sljedeći broj (1000 puta veći) gradi se po principu - isti latinski broj, ali sufiks - milijardi kuna. Odnosno, nakon trilijuna u engleskom sustavu ide bilijun, pa tek onda kvadrilijun, pa kvadrilijun itd. Dakle, kvadrilijun po engleskom i američkom sustavu potpuno su različite brojke! Broj nula u broju napisanom prema engleskom sustavu koji završava sufiksom -milijun možete saznati pomoću formule 6 x + 3 (gdje je x latinski broj) i pomoću formule 6 x + 6 za brojeve završava na - milijardu.

Iz engleskog sustava u ruski je prešao samo broj milijarda (10 9), koji bi ipak bilo ispravnije zvati kako ga Amerikanci zovu - bilijun, budući da smo prihvatili američki sustav. Ali tko kod nas išta radi po pravilima! 😉 Usput, ponekad se riječ trilijun koristi u ruskom (u to se možete uvjeriti ako pretražite Google ili Yandex) i, izgleda, znači 1000 bilijuna, tj. kvadrilijun.

Osim brojeva koji se pišu latiničnim prefiksima prema američkom ili engleskom sustavu, poznati su i tzv. nesistemski brojevi, tj. brojevi koji imaju vlastita imena bez ikakvih latinskih prefiksa. Postoji nekoliko takvih brojeva, ali o njima ću vam reći nešto kasnije.

Vratimo se pisanju latiničnim brojevima. Čini se da mogu zapisivati brojeve do beskonačnosti, ali to nije sasvim točno. Sada ću objasniti zašto. Pogledajmo prvo kako se zovu brojevi od 1 do 10 33:

I sad se postavlja pitanje što dalje. Što je iza deciliona? U načelu je, naravno, moguće kombiniranjem prefiksa generirati takva čudovišta kao što su: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ali to će već biti složena imena, a mi smo bili zanimaju nas brojevi vlastitih imena. Dakle, prema ovom sustavu, osim gore navedenih, još uvijek možete dobiti samo tri vlastita imena - vigintillion (od lat. viginti- dvadeset), centilijun (od lat. centum- sto) i milijun (od lat. milja- tisuću). Rimljani nisu imali više od tisuću vlastitih naziva za brojeve (svi brojevi iznad tisuću bili su složeni). Na primjer, Rimljani su nazivali milijun (1.000.000) decies centena milia, odnosno "deset stotina tisuća". A sada, zapravo, tablica:

Dakle, prema takvom sustavu nemoguće je dobiti brojeve veće od 10 3003, koji bi imali svoj, nesloženi naziv! Ali ipak su poznati brojevi veći od milijun - to su isti nesustavni brojevi. Razgovarajmo konačno o njima.

Najmanji takav broj je mirijada (ima ga čak i u Dahlovom rječniku), što znači stotinu stotina, odnosno 10.000, međutim, ova riječ je zastarjela i praktički se ne koristi, ali je zanimljivo da je riječ "mirijada". rašireno, što uopće ne znači određeni broj, nego neprebrojivo, neprebrojivo mnoštvo nečega. Vjeruje se da je riječ mirijad došla u europske jezike iz starog Egipta.

O podrijetlu ovog broja postoje različita mišljenja. Neki smatraju da potječe iz Egipta, dok drugi vjeruju da je rođen tek u staroj Grčkoj. Kako bilo da bilo, mirijada je stekla slavu upravo zahvaljujući Grcima. Mirijada je bio naziv za 10 000, ali nije bilo naziva za brojeve veće od deset tisuća. Međutim, u svojoj bilješci "Psammit" (tj. pješčani račun), Arhimed je pokazao kako sustavno konstruirati i imenovati proizvoljno velike brojeve. Konkretno, stavljajući 10 000 (bezbroj) zrna pijeska u zrno maka, on otkriva da u svemir (lopta promjera bezbroj promjera Zemlje) ne može stati više od 1063 zrna pijeska (u našem notacija). Zanimljivo je da moderni izračuni broja atoma u vidljivom svemiru dovode do broja 1067 (ukupno bezbroj puta više). Arhimed je predložio sljedeće nazive za brojeve:
1 mirijada = 104.
1 di-mirijada = mirijada mirijada = 108.
1 trimirijada = di-mirijada di-mirijada = 1016.
1 tetra-mirijada = tri-mirijada tri-mirijada = 1032.
itd.

Googol (od engleskog googol) je broj deset na stoti potenciju, odnosno jedinica iza koje slijedi sto nula. O “googolu” je prvi put pisano 1938. godine u članku “Nova imena u matematici” u siječanjskom broju časopisa Scripta Mathematica američkog matematičara Edwarda Kasnera. Prema njegovim riječima, njegov devetogodišnji nećak Milton Sirotta predložio je da se veliki broj nazove "googol". Ovaj broj postao je općepoznat zahvaljujući Google tražilici nazvanoj po njemu. Imajte na umu da je "Google" naziv robne marke, a googol broj.

Edward Kasner.

Na internetu se često spominje da je Google najveći broj na svijetu, ali to nije istina...

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije Krista, broj asankheya (od kineskog. asenzi- nebrojeno), jednako 10.140. Vjeruje se da je ovaj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Googolplex (engleski) googolplex) - broj koji su također izmislili Kasner i njegov nećak i koji znači jedan s googolom nula, odnosno 10 10100. Ovako sam Kasner opisuje ovo "otkriće":

Mudre riječi djeca izgovaraju barem jednako često kao i znanstvenici. Ime "googol" izmislilo je dijete (devetogodišnji nećak dr. Kasnera) koje je zamoljeno da smisli ime za vrlo veliki broj, naime, 1 sa stotinu nula iza njega. Bio je vrlo siguran u to ovaj broj nije bio beskonačan, i stoga je jednako sigurno da je morao imati ime. U isto vrijeme kada je predložio "googol" dao je ime za još veći broj: "Googolplex je mnogo veći od googola." ali je još uvijek konačan, kao što je izumitelj imena brzo istaknuo.

Matematika i mašta(1940.) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Čak i veći broj od googolplexa, Skewesov broj, predložio je Skewes 1933. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) u dokazu Riemannove hipoteze o prostim brojevima. To znači e do stupnja e do stupnja e na potenciju 79, to je eee79. Kasnije, te Riele, H. J. J. "O znaku razlike P(x)-Li(x)." matematika Računanje. 48, 323-328, 1987) smanjio je Skuseov broj na ee27/4, što je otprilike 8,185 10370. Jasno je da budući da vrijednost Skuseovog broja ovisi o broju e, onda to nije cijeli broj, pa ga nećemo razmatrati, inače bismo morali pamtiti druge neprirodne brojeve - broj pi, broj e itd.

Ali treba napomenuti da postoji drugi Skuseov broj, koji se u matematici označava kao Sk2, koji je čak i veći od prvog Skuseovog broja (Sk1). Drugi Skuseov broj uveo je J. Skuse u istom članku da označi broj za koji Riemannova hipoteza ne vrijedi. Sk2 je jednako 101010103, odnosno 1010101000.

Kao što razumijete, što je više stupnjeva, to je teže razumjeti koji je broj veći. Na primjer, gledajući Skewesove brojeve, bez posebnih izračuna, gotovo je nemoguće shvatiti koji je od ova dva broja veći. Stoga, za super-velike brojeve postaje nezgodno koristiti potencije. Štoviše, možete doći do takvih brojeva (i oni su već izmišljeni) kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, to je na stranici! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog Svemira! U tom slučaju postavlja se pitanje kako ih zapisati. Problem je, kao što razumijete, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji se bavio ovim problemom smislio je svoj način pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko, međusobno nepovezanih, metoda zapisivanja brojeva - to su zapisi Knuta, Conwaya, Steinhousea itd.

Razmotrite zapis Huga Stenhousea (H. Steinhaus. Matematičke snimke, 3. izd. 1983), što je prilično jednostavno. Stein House je predložio pisanje velikih brojeva unutar geometrijskih oblika - trokut, kvadrat i krug:

Steinhouse je smislio dva nova supervelika broja. Broj je nazvao - Mega, a broj - Megiston.

Matematičar Leo Moser doradio je Stenhouseovu notaciju, koja je bila ograničena činjenicom da su se pojavile poteškoće i neugodnosti, ako je trebalo zapisati brojeve mnogo veće od megistona, jer je trebalo ucrtati mnogo krugova jedan u drugi. Moser je predložio da se nakon kvadrata ne nacrtaju krugovi, već peterokuti, zatim šesterokuti i tako dalje. Također je predložio formalnu notaciju za te poligone kako bi se brojevi mogli pisati bez crtanja složenih slika. Moserova notacija izgleda ovako:

- n[k+1] = "n V n k-gons" = n[k]n.

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhouseov mega je zapisan kao 2, a megiston kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega nazove - megagon. I predložio je broj "2 u Megagonu", to jest 2. Taj je broj postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao Moser.

Ali Moser nije najveći broj. Najveći broj ikad korišten u matematičkom dokazu je granična veličina poznata kao Grahamov broj, prvi put korištena 1977. u dokazu procjene u Ramseyevoj teoriji. Povezana je s bikromatskim hiperkockama i ne može se izraziti bez posebnog sustava od 64 razine posebni matematički simboli koje je uveo Knuth 1976.

Nažalost, broj zapisan Knuthovom notacijom ne može se pretvoriti u notaciju u Moserovom sustavu. Stoga ćemo i ovaj sustav morati objasniti. U principu, ni u tome nema ništa komplicirano. Donald Knuth (da, da, to je isti Knuth koji je napisao "Umijeće programiranja" i stvorio uređivač TeX-a) došao je do koncepta supermoći, koji je predložio da se napiše sa strelicama usmjerenim prema gore:

Općenito to izgleda ovako:

Mislim da je sve jasno, pa se vratimo na Grahamov broj. Graham je predložio takozvane G-brojeve:

Broj G63 postao je nazvan Grahamov broj (često se označava jednostavno kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu i čak je naveden u Guinnessovoj knjizi rekorda.

Dakle, postoje li brojevi veći od Grahamovog broja? Tu je, naravno, za početak Grahamov broj + 1. Što se tiče značajnog broja... pa, postoje neka vraški složena područja matematike (posebno područje poznato kao kombinatorika) i računalne znanosti u kojima su brojevi čak i veći nego se pojavljuje Grahamov broj. Ali skoro smo došli do granice onoga što se može racionalno i jasno objasniti.

izvori http://ctac.livejournal.com/23807.html
http://www.uznayvse.ru/interesting-facts/samoe-bolshoe-chislo.html
http://www.vokrugsveta.ru/quiz/310/

https://masterok.livejournal.com/4481720.html

Ponekad se ljudi koji se ne bave matematikom pitaju: koji je najveći broj? S jedne strane, odgovor je očit - beskonačnost. Bores će čak pojasniti da matematičari koriste "plus beskonačno" ili "+∞". No, ovaj odgovor neće uvjeriti najnagrizanije, tim više što se ne radi o prirodnom broju, već o matematičkoj apstrakciji. No, nakon što su dobro razumjeli problematiku, mogu otkriti vrlo zanimljiv problem.

Doista, u ovom slučaju nema ograničenja veličine, ali postoji ograničenje ljudske mašte. Svaki broj ima ime: deset, sto, milijarda, sekstilijun i tako dalje. Ali gdje je kraj ljudskoj mašti?

Ne smije se miješati sa zaštitnim znakom Google Corporation, iako imaju zajedničko podrijetlo. Ovaj broj je zapisan kao 10100, odnosno jedinica iza koje slijedi sto nula. Teško je zamisliti, ali se aktivno koristio u matematici.

Smiješno je da ga je izmislilo dijete - nećak matematičara Edwarda Kasnera. Godine 1938. moj je ujak zabavljao svoje mlađe rođake raspravama o vrlo velikim brojevima. Na djetetovo ogorčenje, pokazalo se da tako divan broj nema ime, pa je dao svoju verziju. Kasnije ga je moj ujak ubacio u jednu od svojih knjiga i izraz se zadržao.

Teoretski, googol je prirodan broj, jer se može koristiti za brojanje. Ali malo je vjerojatno da će itko imati strpljenja prebrojati do kraja. Dakle, samo teoretski.

Što se tiče naziva tvrtke Google, tu se potkrala česta greška. Prvi ulagač i jedan od suosnivača bio je u žurbi kada je ispisao ček i propustio slovo "O", ali da bi ga unovčio, tvrtka je morala biti registrirana upravo ovim načinom pisanja.

Googolplex

Ovaj broj je izvedenica od googol, ali je znatno veći od njega. Prefiks "plex" znači podizanje desetice na potenciju jednaku osnovnom broju, tako da je guloplex 10 na potenciju 10 na potenciju 100 ili 101000.

Rezultirajući broj premašuje broj čestica u vidljivom svemiru, koji se procjenjuje na oko 1080 stupnjeva. Ali to nije spriječilo znanstvenike da povećaju broj jednostavnim dodavanjem prefiksa "plex" na njega: googolplexlex, googolplexplex i tako dalje. A za posebno izopačene matematičare, izmislili su varijantu povećanja bez beskrajnog ponavljanja prefiksa "plex" - jednostavno su ispred njega stavili grčke brojeve: tetra (četiri), penta (pet) i tako dalje, do deca ( deset). Zadnja opcija zvuči kao googoldecaplex i znači deseterostruko kumulativno ponavljanje postupka dizanja broja 10 na potenciju njegove baze. Glavna stvar je ne zamišljati rezultat. Još uvijek to nećete moći shvatiti, ali lako je biti mentalno povrijeđen.

48. Mersenov broj

Glavni likovi: Cooper, njegovo računalo i novi prosti broj

Relativno nedavno, prije otprilike godinu dana, uspjeli smo otkriti sljedeći, 48. Mersenov broj. Trenutno je to najveći prost broj na svijetu. Podsjetimo se da su prosti brojevi oni koji su bez ostatka djeljivi samo s jedinicom i samim sobom. Najjednostavniji primjeri su 3, 5, 7, 11, 13, 17 i tako dalje. Problem je u tome što su takvi brojevi sve rjeđi što su dublje u divljini. Ali vrednije je otkriće svakog sljedećeg. Na primjer, novi prosti broj sastoji se od 17 425 170 znamenki ako se predstavi u obliku decimalnog brojevnog sustava koji nam je poznat. Prethodni je imao oko 12 milijuna znakova.

Otkrio ga je američki matematičar Curtis Cooper koji je treći put oduševio matematičku javnost sličnim rekordom. Bilo je potrebno 39 dana pokretanja njegovog osobnog računala samo da bi se provjerio njegov rezultat i dokazalo da je ovaj broj doista prost.

Ovako izgleda Grahamov broj u Knuthovoj strijelici. Teško je reći kako to dešifrirati bez završenog visokog obrazovanja iz teorijske matematike. Također ga je nemoguće zapisati u našem uobičajenom decimalnom obliku: vidljivi svemir jednostavno nije u stanju to primiti. Graditi stupanj po stupanj, kao što je slučaj s googolplexima, također nije rješenje.

Dobra formula, samo nejasna

Pa zašto nam treba ovaj naizgled beskoristan broj? Prvo, za znatiželjne, stavljen je u Guinnessovu knjigu rekorda, a to je već puno. Drugo, korišten je za rješavanje problema uključenog u Ramseyev problem, koji je također nejasan, ali zvuči ozbiljno. Treće, ovaj broj je prepoznat kao najveći ikada korišten u matematici, i to ne u komičnim dokazima ili intelektualnim igrama, već za rješavanje vrlo specifičnog matematičkog problema.

Pažnja! Sljedeće informacije opasne su za vaše mentalno zdravlje! Čitanjem prihvaćate odgovornost za sve posljedice!

Za one koji žele testirati svoj um i meditirati na Grahamov broj, možemo ga pokušati objasniti (ali samo pokušati).

Zamislite 33. Prilično je jednostavno - ispada 3*3*3=27. Što ako sada povećamo tri na ovaj broj? Rezultat je 3 3 na 3. potenciju, ili 3 27. U decimalnom zapisu, to je jednako 7,625,597,484,987 Puno, ali za sada se može realizirati.

U Knuthovom streličastom zapisu ovaj se broj može prikazati nešto jednostavnije - 33. Ali ako dodate samo jednu strelicu, postaje kompliciranije: 33, što znači 33 na potenciju od 33 ili u potenciji. Ako proširimo na decimalni zapis, dobit ćemo 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987. Još uvijek možete pratiti svoje misli?

Sljedeća faza: 33= 33 33 . Odnosno, morate izračunati ovaj divlji broj iz prethodne akcije i podići ga na istu snagu.

A 33 je samo prvi od 64 člana Grahamovog broja. Da biste dobili drugi, trebate izračunati rezultat ove nevjerojatne formule i zamijeniti odgovarajući broj strelica u dijagramu 3(...)3. I tako dalje, još 63 puta.

Pitam se hoće li itko osim njega i još desetak supermatematičara uspjeti doći barem do sredine niza, a da ne poludi?

Jeste li nešto razumjeli? Nismo. Ali kakvog li uzbuđenja!

Zašto su nam potrebni najveći brojevi? To je prosječnom čovjeku teško razumjeti i pojmiti. Ali uz njihovu pomoć, nekoliko stručnjaka može običnim ljudima predstaviti nove tehnološke igračke: telefone, računala, tablete. Obični ljudi također ne mogu razumjeti kako rade, ali ih rado koriste za svoju zabavu. I svi su sretni: obični ljudi dobivaju svoje igračke, "superštreberi" imaju priliku nastaviti igrati svoje umne igre.

“Vidim grozdove nejasnih brojeva koji su skriveni tamo u tami, iza male točke svjetla koju daje svijeća razuma. Šapuću jedno drugome; kujući tko zna što. Možda nas baš i ne vole jer smo zarobili njihovu mlađu braću u našim glavama. Ili možda jednostavno vode jednoznamenkasti život, tamo vani, izvan našeg razumijevanja.
Douglas Ray

Ali ako postavite pitanje: koji je najveći broj koji postoji i koji je njegov pravi naziv?

Sada ćemo sve saznati...

Postoje dva sustava za imenovanje brojeva - američki i engleski.

Iz engleskog sustava u ruski je prešao samo broj milijarda (10 9), koji bi ipak bilo ispravnije zvati kako ga Amerikanci zovu - bilijun, budući da smo prihvatili američki sustav. Ali tko kod nas išta radi po pravilima! ;-) Usput, ponekad se riječ trilijun koristi u ruskom (možete se sami uvjeriti ako pretražite Google ili Yandex) i, izgleda, znači 1000 trilijuna, tj. kvadrilijun.

I sad se postavlja pitanje što dalje. Što je iza deciliona? U načelu je, naravno, moguće kombiniranjem prefiksa generirati takva čudovišta kao što su: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion i novemdecillion, ali to će već biti složena imena, a mi smo bili zanimaju nas brojevi vlastitih imena. Dakle, prema ovom sustavu, osim gore navedenih, još uvijek možete dobiti samo tri vlastita imena - vigintillion (od lat.viginti- dvadeset), centilijun (od lat.centum- sto) i milijun (od lat.milja- tisuću). Rimljani nisu imali više od tisuću vlastitih naziva za brojeve (svi brojevi iznad tisuću bili su složeni). Na primjer, Rimljani su nazivali milijun (1.000.000)decies centena milia, odnosno "deset stotina tisuća". A sada, zapravo, tablica:

Dakle, prema takvom sustavu, brojevi su veći od 10 3003 , koji bi imao svoj, nesloženi naziv nemoguće je dobiti! Ali ipak su poznati brojevi veći od milijun - to su isti nesustavni brojevi. Razgovarajmo konačno o njima.

Najmanji takav broj je mirijada (ima ga čak i u Dahlovom rječniku), što znači stotinu stotina, odnosno 10.000, međutim, ova riječ je zastarjela i praktički se ne koristi, ali je zanimljivo da je riječ "mirijada". naširoko korišten, uopće ne znači određen broj, nego neprebrojivo, neprebrojivo mnoštvo nečega. Vjeruje se da je riječ mirijad došla u europske jezike iz starog Egipta.

O podrijetlu ovog broja postoje različita mišljenja. Neki smatraju da potječe iz Egipta, dok drugi vjeruju da je rođen tek u staroj Grčkoj. Kako bilo da bilo, mirijada je stekla slavu upravo zahvaljujući Grcima. Mirijada je bio naziv za 10 000, ali nije bilo naziva za brojeve veće od deset tisuća. Međutim, u svojoj bilješci "Psammit" (tj. pješčani račun), Arhimed je pokazao kako sustavno konstruirati i imenovati proizvoljno velike brojeve. Konkretno, stavljajući 10 000 (bezbroj) zrnaca pijeska u zrno maka, on otkriva da u svemir (lopta promjera bezbroj promjera Zemlje) ne bi stalo (u našoj notaciji) ne više od 10 63 zrnce pijeska Zanimljivo je da moderni izračuni broja atoma u vidljivom svemiru dovode do broja 10 67 (ukupno bezbroj puta više). Arhimed je predložio sljedeće nazive za brojeve:
1 mirijada = 10 4 .
1 di-mirijada = mirijada mirijada = 10 8 .
1 trimirijada = di-mirijada di-mirijada = 10 16 .
1 tetra-mirijada = tri-mirijada tri-mirijada = 10 32 .
itd.

Google(od engleskog googol) je broj deset na stoti potenciju, odnosno jedinica iza koje slijedi sto nula. O “googolu” je prvi put pisano 1938. godine u članku “Nova imena u matematici” u siječanjskom broju časopisa Scripta Mathematica američkog matematičara Edwarda Kasnera. Prema njegovim riječima, njegov devetogodišnji nećak Milton Sirotta predložio je da se veliki broj nazove "googol". Ovaj broj postao je općepoznat zahvaljujući tražilici nazvanoj po njemu. Google. Imajte na umu da je "Google" naziv robne marke, a googol broj.

Edward Kasner.

Na internetu se često spominje da - ali to nije istina...

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine pr. Kr., pojavljuje se broj asankheya(iz Kine asenzi- nebrojeno), jednako 10 140. Vjeruje se da je taj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Googolplex(Engleski) googolplex) - broj koji su također izmislili Kasner i njegov nećak i koji znači jedan s gugolom nula, to jest 10 10100 . Ovako sam Kasner opisuje ovo “otkriće”:

Mudre riječi djeca izgovaraju barem jednako često kao i znanstvenici. Ime "googol" izmislilo je dijete (devetogodišnji nećak dr. Kasnera) koje je zamoljeno da smisli ime za vrlo veliki broj, naime, 1 sa stotinu nula iza njega. Bio je vrlo siguran u to ovaj broj nije bio beskonačan, i stoga je jednako sigurno da je morao imati ime. U isto vrijeme kada je predložio "googol" dao je ime za još veći broj: "Googolplex je mnogo veći od googola." ali je još uvijek konačan, kao što je izumitelj imena brzo istaknuo.

Matematika i mašta(1940.) Kasnera i Jamesa R. Newmana.

Još veći broj od googolplexa - Skewesov broj (Skewesov broj) predložio je Skewes 1933. (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) u dokazivanju Riemannove hipoteze o prostim brojevima. To znači e do stupnja e do stupnja e na potenciju 79, odnosno ee e 79 . Kasnije, te Riele, H. J. J. "O znaku razlike P(x)-Li(x)." matematika Računanje. 48, 323-328, 1987) smanjio Skuseov broj na ee 27/4 , što je približno jednako 8,185·10 370. Jasno je da budući da vrijednost Skuseovog broja ovisi o broju e, onda to nije cijeli broj, pa ga nećemo razmatrati, inače bismo morali pamtiti druge neprirodne brojeve - broj pi, broj e itd.

Ali treba napomenuti da postoji drugi Skuseov broj, koji se u matematici označava kao Sk2, koji je čak i veći od prvog Skuseovog broja (Sk1). Drugi Skewesov broj, je uveo J. Skuse u istom članku da označi broj za koji Riemannova hipoteza ne vrijedi. Sk2 je 1010 10103 , odnosno 1010 101000 .

Kao što razumijete, što je više stupnjeva, to je teže razumjeti koji je broj veći. Na primjer, gledajući Skewesove brojeve, bez posebnih izračuna, gotovo je nemoguće shvatiti koji je od ova dva broja veći. Stoga, za super-velike brojeve postaje nezgodno koristiti potencije. Štoviše, možete doći do takvih brojeva (i oni su već izmišljeni) kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, to je na stranici! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog Svemira! U tom slučaju postavlja se pitanje kako ih zapisati. Problem je, kao što razumijete, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji je pitao o ovom problemu došao je do vlastitog načina pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko, međusobno nepovezanih, metoda za pisanje brojeva - to su zapisi Knuta, Conwaya, Steinhousea itd.

Steinhouse je smislio dva nova supervelika broja. Nazvao je broj - Mega, a broj je Megiston.

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhouseov mega je zapisan kao 2, a megiston kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega nazove - megagon. I predložio je broj “2 u Megagonu”, to jest 2. Ovaj broj je postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao Moser

Ali Moser nije najveći broj. Najveći broj ikada korišten u matematičkom dokazu je granica poznata kao Grahamov broj(Grahamov broj), prvi put upotrijebljen 1977. u dokazu jedne procjene u Ramseyevoj teoriji. Povezan je s bikromatskim hiperkockama i ne može se izraziti bez posebnog sustava posebnih matematičkih simbola od 64 razine koje je uveo Knuth 1976. godine.

Općenito to izgleda ovako:

Mislim da je sve jasno, pa se vratimo na Grahamov broj. Graham je predložio takozvane G-brojeve:

Počeo se zvati broj G63 Grahamov broj(često se označava jednostavno kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu i čak je naveden u Guinnessovoj knjizi rekorda. Pa, Grahamov broj je veći od Moserovog broja.

p.s. Kako bih cijelom čovječanstvu donio veliku korist i postao poznat kroz stoljeća, odlučio sam sam smisliti i nazvati najveći broj. Ovaj broj će biti pozvan spajalica a jednak je broju G100. Zapamtite ga i kada vaša djeca pitaju koji je najveći broj na svijetu, recite im da se taj broj zove spajalica

Dakle, postoje li brojevi veći od Grahamovog broja? Tu je, naravno, za početak tu je Grahamov broj. Što se tiče značajnog broja... pa, postoje neka vraški složena područja matematike (osobito područje poznato kao kombinatorika) i računalne znanosti u kojima se pojavljuju brojevi čak i veći od Grahamovog broja. Ali skoro smo došli do granice onoga što se može racionalno i jasno objasniti.

Pitanje “Koji je najveći broj na svijetu?” je u najmanju ruku netočno. Postoje različiti sustavi brojeva - decimalni, binarni i heksadecimalni, kao i različite kategorije brojeva - poluprosti i jednostavni, a potonji se dijele na legalne i ilegalne. Uz to, tu su i Skewesovi brojevi, Steinhouse i drugi matematičari koji, u šali ili ozbiljno, izmišljaju i javnosti prezentiraju takve egzotike poput “Megistona” ili “Mosera”.

Koji je najveći broj na svijetu u decimalnom sustavu

Što se tiče decimalnog sustava, većina "nematematičara" poznaje milijune, milijarde i bilijune. Štoviše, ako Rusi općenito povezuju milijun s dolarskim mitom koji se može odnijeti u kovčegu, onda gdje strpati milijardu (da ne spominjemo trilijun) sjevernoameričkih novčanica - većini ljudi nedostaje mašte. Međutim, u teoriji velikih brojeva postoje pojmovi kao što su kvadrilijun (deset na petnaestu potenciju - 1015), sekstilijun (1021) i oktilion (1027).

U engleskom decimalnom sustavu, najraširenijem decimalnom sustavu na svijetu, najveći broj se smatra decilionom - 1033.

Godine 1938., u vezi s razvojem primijenjene matematike i širenjem mikro- i makrokozmosa, profesor na Sveučilištu Columbia (SAD), Edward Kasner objavio je na stranicama časopisa Scripta Mathematica prijedlog svog devetogodišnjeg nećaka za korištenje decimalni sustav kao najveći broj "googol" - predstavlja deset na stotu potenciju (10100), što se na papiru izražava kao jedinica iza koje slijedi sto nula. No, tu nisu stali i nekoliko godina kasnije predložili su uvođenje novog najvećeg broja na svijetu - "googolplex", koji predstavlja deseticu podignutu na desetu i ponovno podignutu na stotu - (1010)100, izraženu jedinica, kojoj je s desne strane dodijeljen googol nula. Međutim, za većinu čak i profesionalnih matematičara, i "googol" i "googolplex" su od čisto spekulativnog interesa i malo je vjerojatno da se mogu primijeniti na bilo što u svakodnevnoj praksi.

Egzotični brojevi

Koji je najveći broj na svijetu među prostim brojevima - onima koji se mogu podijeliti samo sa sobom i jedinicom. Jedan od prvih koji je zabilježio najveći prosti broj, jednak 2.147.483.647, bio je veliki matematičar Leonhard Euler. Od siječnja 2016. ovaj se broj prepoznaje kao izraz izračunat kao 274 207 281 – 1.

Jednom sam pročitao tragičnu priču o Čukči kojeg su polarni istraživači naučili brojati i zapisivati brojeve. Čarolija brojeva toliko ga je zadivila da je odlučio u bilježnicu koju su darovali polarni istraživači zapisati redom apsolutno sve brojeve na svijetu, počevši od jednog. Čukči napušta sve svoje poslove, prestaje komunicirati čak i s vlastitom ženom, više ne lovi prstenaste tuljane i tuljane, već piše i piše brojeve u bilježnici…. Ovako prođe godina. Na kraju bilježnica ponestane i Čukči shvati da je uspio zapisati samo mali dio svih brojeva. Gorko plače i u očaju spaljuje naškrabanu bilježnicu kako bi ponovno počeo živjeti jednostavnim životom ribara, ne razmišljajući više o tajanstvenoj beskrajnosti brojeva...

Nemojmo ponavljati podvig ovog Čukče i pokušati pronaći najveći broj, budući da svakom broju treba dodati samo jedan da bi se dobio još veći broj. Postavimo sebi slično, ali drugačije pitanje: koji je od brojeva koji imaju svoje ime najveći?

Očito je da iako su sami brojevi beskonačni, oni nemaju toliko vlastitih imena, jer se većina njih zadovoljava nazivima sastavljenim od manjih brojeva. Tako, na primjer, brojevi 1 i 100 imaju svoja imena "jedan" i "sto", a naziv broja 101 već je složen ("sto jedan"). Jasno je da u konačnom skupu brojeva koje je čovječanstvo nagradilo vlastitim imenom mora postojati neki najveći broj. Ali kako se to zove i čemu je jednako? Pokušajmo ovo shvatiti i otkriti, na kraju, ovo je najveći broj!

Broj	Latinski kardinalni broj	ruski prefiks

"Kratka" i "duga" ljestvica

Povijest modernog sustava imenovanja velikih brojeva seže u sredinu 15. stoljeća, kada su u Italiji počeli koristiti riječi "milijun" (doslovno - velika tisuća) za tisuću na kvadrat, "bimilijun" za milijun na kvadrat i "trimilijun" za milijun kubni. Znamo za ovaj sustav zahvaljujući francuskom matematičaru Nicolasu Chuquetu (oko 1450. - oko 1500.): u svojoj raspravi “Znanost o brojevima” (Triparty en la science des nombres, 1484.) on je razvio ovu ideju, predlažući daljnju upotrebu latinske kardinalne brojeve (vidi tablicu), dodajući ih kraju "-milijun". Tako se "bimilijun" za Schukea pretvorio u milijardu, "trimilijun" je postao bilijun, a milijun na četvrtu potenciju postao je "kvadrilijun".

U Schuquetovom sustavu broj 10 9, koji se nalazi između milijuna i milijarde, nije imao vlastito ime i nazivao se jednostavno "tisuću milijuna", slično kao što se 10 15 nazivao "tisuću milijardi", 10 21 - "a tisuća trilijuna”, itd. To nije bilo baš zgodno, a 1549. godine francuski pisac i znanstvenik Jacques Peletier du Mans (1517.-1582.) predložio je imenovanje takvih "međubrojeva" istim latinskim prefiksima, ali sa završetkom "-milijarda". Tako se 10 9 počeo nazivati "milijardom", 10 15 - "bilijar", 10 21 - "bilijun", itd.

Sustav Chuquet-Peletier postupno je postao popularan i koristio se diljem Europe. Međutim, u 17. stoljeću pojavio se neočekivani problem. Ispostavilo se da su se iz nekog razloga neki znanstvenici počeli zbunjivati i broj 10 9 nazivati ne "milijarda" ili "tisuću milijuna", već "milijarda". Ubrzo se ova pogreška brzo proširila i nastala je paradoksalna situacija - "milijarda" je istovremeno postala sinonim za "milijardu" (10 9) i "milijun milijuna" (10 18).

Ova zbrka trajala je dosta dugo i dovela je do činjenice da su Sjedinjene Države stvorile vlastiti sustav imenovanja velikih brojeva. Prema američkom sustavu, imena brojeva konstruiraju se na isti način kao u sustavu Chuquet - latinski prefiks i završetak "milijun". Međutim, veličine ovih brojeva su različite. Ako su u Schuquetovom sustavu imena sa završetkom "ilion" dobivala brojeve koji su bili milijunske potencije, onda je u američkom sustavu završetak "-ilion" dobivao potencije tisućice. Odnosno, tisuću milijuna (1000 3 = 10 9) počelo se nazivati "milijardom", 1000 4 (10 12) - "bilijunom", 1000 5 (10 15) - "kvadrilijunom", itd.

Stari sustav imenovanja velikih brojeva nastavio se koristiti u konzervativnoj Velikoj Britaniji i počeo se nazivati "britanskim" u cijelom svijetu, unatoč činjenici da su ga izmislili Francuzi Chuquet i Peletier. Međutim, 1970-ih je Velika Britanija službeno prešla na “američki sustav”, što je dovelo do toga da je postalo nekako čudno jedan sustav nazivati američkim, a drugi britanskim. Kao rezultat toga, američki sustav sada se obično naziva "kratka skala", a britanski ili Chuquet-Peletier sustav kao "duga skala".

Da ne bude zabune, rezimiramo:

Naziv broja	Kratka vrijednost ljestvice	Vrijednost duge skale

milijarda

Biljar
bilijun
bilijun
kvadrilijun
kvadrilijun
Quintillion
Quintilliard
Sextillion
Sextillion
Septillion
Septilijard
Oktilion
Oktilijard
Quintillion
Nonilliard
Decillion
decilijard

Kratka ljestvica naziva sada se koristi u SAD-u, Velikoj Britaniji, Kanadi, Irskoj, Australiji, Brazilu i Portoriku. Rusija, Danska, Turska i Bugarska također koriste kratku ljestvicu, osim što se broj 10 9 naziva "milijarda", a ne "milijarda". Duga ljestvica i dalje se koristi u većini drugih zemalja.

Zanimljivo je da se u našoj zemlji konačni prijelaz na kratku ljestvicu dogodio tek u drugoj polovici 20. stoljeća. Na primjer, Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) u svojoj "Zabavnoj aritmetici" spominje paralelno postojanje dviju ljestvica u SSSR-u. Kratka ljestvica, prema Perelmanu, korištena je u svakodnevnom životu i financijskim proračunima, a duga ljestvica korištena je u znanstvenim knjigama o astronomiji i fizici. Međutim, sada je pogrešno koristiti dugu ljestvicu u Rusiji, iako su brojke tamo velike.

No, vratimo se potrazi za najvećim brojem. Nakon deciliona, imena brojeva dobivaju se kombinacijom prefiksa. Ovo proizvodi brojeve kao što su undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, itd. Međutim, ta imena nam više nisu zanimljiva, jer smo se dogovorili da ćemo pronaći najveći broj sa svojim nesloženim nazivom.

Ako se obratimo latinskoj gramatici, vidjet ćemo da su Rimljani imali samo tri nesložena naziva za brojeve veće od deset: viginti - "dvadeset", centum - "sto" i mille - "tisuću". Rimljani nisu imali svoje nazive za brojeve veće od tisuću. Na primjer, Rimljani su milijun (1 000 000) nazivali “decies centena milia”, to jest “deset puta sto tisuća”. Prema Chuquetovom pravilu, ova tri preostala latinska broja daju nam nazive za brojeve kao što su "vigintillion", "centillion" i "milillion".

Dakle, saznali smo da je na “kratkoj ljestvici” maksimalan broj koji ima svoje ime i nije sastavak manjih brojeva “milijun” (10 3003). Kad bi Rusija usvojila "dugu ljestvicu" za imenovanje brojeva, tada bi najveći broj s vlastitim imenom bio "milijarda" (10 6003).

Međutim, postoje nazivi za još veće brojeve.

Brojevi izvan sustava

Neki brojevi imaju svoje ime, bez ikakve veze sa sustavom imenovanja pomoću latiničnih prefiksa. A takvih je brojeva mnogo. Možete, na primjer, zapamtiti broj e, broj “pi”, tucet, broj zvijeri itd. No, budući da nas sada zanimaju veliki brojevi, razmatrat ćemo samo one brojeve s vlastitim nesloženim nazivom koji su veći od milijun.

Do 17. stoljeća Rusija je koristila vlastiti sustav imenovanja brojeva. Deseci tisuća zvali su se "tama", stotine tisuća zvali su se "legije", milijuni su zvali "leoderi", deseci milijuna zvali su se "gavrani", a stotine milijuna zvali su se "špilovi". Ovo brojanje do stotina milijuna nazvano je “malo brojanje”, au nekim rukopisima autori su razmatrali i “veliko brojanje”, u kojem su isti nazivi korišteni za velike brojeve, ali s drugačijim značenjem. Dakle, “tama” više nije značila deset tisuća, nego tisuću tisuća (10 6), “legija” - tama onih (10 12); “leodr” - legija legija (10 24), “gavran” - leodr od leodrova (10 48). Iz nekog razloga, "špil" u velikom slavenskom brojanju nije se zvao "gavran gavrana" (10 96), već samo deset "gavrana", odnosno 10 49 (vidi tablicu).

Naziv broja	Značenje u "malo"	Značenje u "velikom broju"	Oznaka



gavran (korvid)

Broj 10.100 ima i svoje ime, a izmislio ga je devetogodišnji dječak. A bilo je ovako. Godine 1938. američki matematičar Edward Kasner (1878.-1955.) šetao je parkom sa svoja dva nećaka i s njima raspravljao o velikim brojevima. U razgovoru smo govorili o broju sa stotinu nula, koji nije imao svoje ime. Jedan od nećaka, devetogodišnji Milton Sirott, predložio je da se ovaj broj nazove "googol". Godine 1940. Edward Kasner je zajedno s Jamesom Newmanom napisao znanstveno-popularnu knjigu Mathematics and the Imagination, gdje je ljubiteljima matematike govorio o googol broju. Googol je postao još poznatiji krajem 1990-ih, zahvaljujući Google tražilici nazvanoj po njemu.

Naziv za još veći broj od googola nastao je 1950. godine zahvaljujući ocu računalne znanosti, Claudeu Elwoodu Shannonu (1916.-2001.). U svom članku "Programiranje računala za igranje šaha" pokušao je procijeniti broj mogućih varijanti šahovske partije. Prema njemu, svaka partija u prosjeku traje 40 poteza i na svakom potezu igrač bira između prosječno 30 opcija, što odgovara 900 40 (približno jednako 10.118) opcija igre. Ovaj je rad postao nadaleko poznat, a ovaj je broj postao poznat kao "Shannonov broj".

U poznatoj budističkoj raspravi Jaina Sutra, koja datira iz 100. godine prije Krista, broj "asankheya" nalazi se jednak 10.140. Vjeruje se da je taj broj jednak broju kozmičkih ciklusa potrebnih za postizanje nirvane.

Devetogodišnji Milton Sirotta ušao je u povijest matematike ne samo zato što je izumio broj googol, već i zato što je u isto vrijeme predložio još jedan broj - "googolplex", koji je jednak 10 na potenciju " googol”, odnosno jedan s gugolom nula.

Još dva broja veća od googolplexa predložio je južnoafrički matematičar Stanley Skewes (1899.-1988.) prilikom dokazivanja Riemannove hipoteze. Prvi broj, koji je kasnije postao poznat kao "Skuseov broj", jednak je e do stupnja e do stupnja e na potenciju 79, tj e e e 79 = 10 10 8.85.10 33 . Međutim, “drugi Skewesov broj” još je veći i iznosi 10 10 10 1000.

Očito, što više moći ima u moćima, to je teže pisati brojeve i razumjeti njihovo značenje prilikom čitanja. Štoviše, moguće je doći do takvih brojeva (i, usput, već su izmišljeni) kada stupnjevi stupnjeva jednostavno ne stanu na stranicu. Da, to je na stranici! Neće stati ni u knjigu veličine cijelog Svemira! U ovom slučaju postavlja se pitanje kako napisati takve brojeve. Problem je, srećom, rješiv, a matematičari su razvili nekoliko principa za pisanje takvih brojeva. Istina, svaki matematičar koji je pitao o ovom problemu smislio je vlastiti način pisanja, što je dovelo do postojanja nekoliko nepovezanih metoda za pisanje velikih brojeva - to su zapisi Knuta, Conwaya, Steinhausa itd. Sada se moramo pozabaviti s nekima od njih.

Ostale oznake

Godine 1938., iste godine kada je devetogodišnji Milton Sirotta izumio brojeve googol i googolplex, u Poljskoj je objavljena knjiga o zabavnoj matematici, Matematički kaleidoskop, koju je napisao Hugo Dionizy Steinhaus (1887-1972). Ova je knjiga postala vrlo popularna, doživjela je mnoga izdanja i prevedena je na mnoge jezike, uključujući engleski i ruski. U njemu Steinhaus, raspravljajući o velikim brojevima, nudi jednostavan način njihovog pisanja pomoću tri geometrijska lika - trokuta, kvadrata i kruga:

"n u trokutu" znači " n n»,
« n na kvadrat" znači " n V n trokuti",
« n u krugu" znači " n V n kvadrati."

Objašnjavajući ovaj način zapisivanja, Steinhaus dolazi do broja "mega" jednakog 2 u krugu i pokazuje da je jednak 256 u "kvadratu" ili 256 u 256 trokuta. Da biste ga izračunali, trebate povećati 256 na potenciju 256, podignuti rezultirajući broj 3.2.10 616 na potenciju 3.2.10 616, zatim podignuti rezultirajući broj na potenciju rezultirajućeg broja, i tako dalje, podići to na potenciju 256 puta. Na primjer, kalkulator u MS Windowsima ne može izračunati zbog prekoračenja 256 čak ni u dva trokuta. Otprilike ovaj ogroman broj je 10 10 2,10 619.

Odredivši "mega" broj, Steinhaus poziva čitatelje da samostalno procijene drugi broj - "medzon", jednak 3 u krugu. U drugom izdanju knjige, Steinhaus, umjesto medzone, predlaže procjenu još većeg broja - "megiston", jednakog 10 u krugu. Slijedeći Steinhausa, također preporučam čitateljima da se nakratko odvoje od ovog teksta i pokušaju sami zapisati ove brojeve koristeći obične potencije kako bi osjetili njihovu gigantsku veličinu.

Međutim, postoje imena za b O veći brojevi. Tako je kanadski matematičar Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) modificirao Steinhausovu notaciju, koja je bila ograničena činjenicom da bi se pojavile poteškoće i neugodnosti, ako bi bilo potrebno pisati brojeve mnogo veće od megistona, jer bi se potrebno za crtanje mnogo krugova jedan unutar drugog. Moser je predložio da se nakon kvadrata ne nacrtaju krugovi, već peterokuti, zatim šesterokuti i tako dalje. Također je predložio formalnu notaciju za te poligone kako bi se brojevi mogli pisati bez crtanja složenih slika. Moserova notacija izgleda ovako:

« n trokut" = n n = n;
« n na kvadrat" = n = « n V n trokuta" = nn;
« n u peterokutu" = n = « n V n kvadrati" = nn;
« n V k+ 1-kut" = n[k+1] = " n V n k-gons" = n[k]n.

Dakle, prema Moserovoj notaciji, Steinhausov “mega” je napisan kao 2, “medzone” kao 3, a “megiston” kao 10. Osim toga, Leo Moser je predložio da se poligon s brojem stranica jednakim mega nazove - “megagon” . I predložio je broj “2 u megagonu”, to jest 2. Ovaj broj je postao poznat kao Moserov broj ili jednostavno kao “Moser”.

Ali ni “Moser” nije najveći broj. Dakle, najveći broj ikada korišten u matematičkim dokazima je "Grahamov broj". Ovaj broj prvi je upotrijebio američki matematičar Ronald Graham 1977. godine kada je dokazivao jednu procjenu u Ramseyevoj teoriji, naime kada je izračunavao dimenziju određenih n-dimenzionalne bikromatske hiperkocke. Grahamov broj postao je slavan tek nakon što je opisan u knjizi Martina Gardnera iz 1989. Od mozaika Penrosea do pouzdanih šifri.

Da bismo objasnili koliko je velik Grahamov broj, moramo objasniti još jedan način pisanja velikih brojeva, koji je uveo Donald Knuth 1976. godine. Američki profesor Donald Knuth osmislio je koncept supermoći koju je predložio napisati strelicama usmjerenim prema gore:

Mislim da je sve jasno, pa se vratimo na Grahamov broj. Ronald Graham predložio je takozvane G-brojeve:

Broj G 64 naziva se Grahamov broj (često se jednostavno označava kao G). Ovaj broj je najveći poznati broj na svijetu koji se koristi u matematičkom dokazu, a čak je uvršten u Guinnessovu knjigu rekorda.

I konačno

Nakon što sam napisao ovaj članak, ne mogu se oduprijeti iskušenju da smislim vlastiti broj. Neka se ovaj broj zove " spajalica"i bit će jednak broju G 100. Zapamtite ga i kada vaša djeca pitaju koji je najveći broj na svijetu, recite im da se taj broj zove spajalica.

Vijesti o partnerima