Pojam podskupa. Odnos uključivanja

Lekcija i prezentacija na temu: "Skupovi i podskupovi, primjeri"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Obrazovna pomagala i simulatori u Internet trgovini Integral za 9. razred
Multimedijski udžbenik za 9. razred "Algebra u 10 minuta"
Elektronički udžbenik za učenike 7-9 razreda "Razumljiva algebra"

Skupovi i podskupovi

Dakle, što je skup?
Skupovima se bavi posebna grana matematike, teorija skupova. Skup je jedan od glavnih i temeljnih pojmova. Nema definiciju, ali pokušajmo shvatiti što je skup? Skup je skup različitih elemenata; oni se mogu prebrojati i grupirati. Primjeri skupova su slova abecede - skup koji se sastoji od 33 elementa. Puno jabuka na drvetu - broj jabuka na drvetu, naravno, i može se prebrojati i nabrojati. Možete smisliti puno primjera skupova. Pokušajte sami smisliti neki primjer.
U matematici se skup označava u vitičastim zagradama (,). Na primjer, skup od prvih pet slova engleske abecede označava se ovako: (A,B,C,D,E). Ako ovaj skup napišete drugačijim redoslijedom, neće se promijeniti.
Matematika je toliko zanimljiv predmet da imamo koncept praznog skupa i beskonačnog skupa. Prazan skup je skup koji nema niti jedan element, označava se bez zagrada i koristi simbol Ø. Beskonačni skup, kao što je vjerojatno jasno iz naziva, je skup u kojem postoji beskonačan broj elemenata, na primjer skup svih brojeva.
Skupovi se mogu opisati različitim riječima, npr. (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) je skup parnih dvoznamenkastih brojeva. Elipsa se koristi kada ima puno elemenata i teško ih je sve napisati, ali pritom zapis skupa treba biti jasan, te da se po njemu može odrediti o kakvom se skupu radi. .
$\(x| -2

Za skupove postoje posebne oznake. Na primjer, za skup prirodnih brojeva. Ljudi, sjećate li se kako je ovaj set označen?
Da bi se označilo da element pripada skupu, koristi se poseban znak $ϵ$. Notacija $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. Ona glasi ovako: "Dva pripada skupu parnih brojeva."

Primjer.
Određeni skup sastoji se od korijena jednadžbe $x^3+3x^2+2x=0$. Pronađite elemente tog skupa i navedite sve moguće rasporede elemenata.

Riješenje.
Riješimo jednadžbu, izbacimo x iz zagrada:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Tada su rješenja naše jednadžbe: $x=0;-2;-1$ elementi željenog skupa.
Zapišimo moguće opcije rasporeda elemenata:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Primjer.
Opišite postavljene podatke.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10\) \\ b) \(1,8,27,64...\)$
Riješenje.
a) Skup prirodnih brojeva od 1 do 10.
b) Skup svih vrijednosti kubova prirodnih brojeva.

Primjer.
Nakon što ste riješili nejednadžbu, zapišite njena rješenja u obliku numeričkog intervala:

A) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
Riješenje.
a) $x^2+1>0$ je veće od nule za sve x. Tada će numerički interval biti napisan u obliku: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

Podskup

Ne zaboravimo da je prazan skup također podskup našeg skupa. Tada nalazimo da imamo 3+3+1+1=8 podskupova.

Problemi koje treba samostalno riješiti

Definicija:

Skup je svaka zbirka objekata, koji se nazivaju njegovim elementima.

Ako X- element skupa M, tada označavamo: x M (x – pripada M), ako ne pripada, onda x ∉ M; Skup koji ne sadrži nijedan element naziva se praznim i označava ∅

Skup koji sadrži sve elemente koji se razmatraju naziva se univerzum ili svemir i označava se -

Ư. Skupovi koji se sastoje od istih elemenata nazivaju se jednakima i označavaju se A = B.

Ako je bilo koji element skupa B element skupa A, tada se skup B naziva podskup skupa A (dio skupa A) i označava se B ⊂ A; Iz toga slijedi da je svaki skup dio samog sebe.

Po definiciji, prazan skup ∅ je podskup bilo kojeg skupa. Da. Svaki skup A ima dva podskupa:

Nazivaju se nepravilnim podskupovima skupa A. Svaki skup B skupa A koji nije nepravi podskup skupa A (to jest, različiti su od A i ∅) naziva se pravim podskupovima podskupa A. Skup od jednog element a označava se s (a).

Primjer: A = (1;2;3) tada su prazan skup ∅ i sam skup A nepravi podskupovi A.

Skupovi: (1), (2), (3), (1;2), (1;3), (2;3) nazivaju se vlastitim podskupovima skupa A. Skup svih skupova A naziva se njegovim Booleov i označava se s – 2 A; B A znači da je B A, B ≠ A. U ovom slučaju se kaže da je B striktno uključen u A ili je B pravi podskup od A;

U slučaju B ⊆ A, B = A, kažemo da B nije striktno uključen u A, tj. B je nepravilan podskup od A.

Osnovni logički simboli

HR(h) – opći kvantifikator (znači „za bilo koji x

XP(x) – kvantifikator postojanja (znači "postoji x za koji P (x) vrijedi.")

P ⇒ Q – implikacija (“iz P slijedi Q”)

⟺ - ekvivalentnost ("tada i samo tada")

P ∧ Q – konjunkcija (“P i Q”)

P ∨ Q – disjunkcija (“P ili Q”)

Nije P ili - negacija P

: = - simboli dodjele (“put”)

def – ("staviti po definiciji")

Koristeći ove simbole možete napisati:

1) (A = B) ⟺(( x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ( x ∈ B ⇒ x ∈ A)

2) (A ⊆ B) ⟺ ( x/x ∈A ⇒ x ∈ B)

3) (A = B) ⟺ (B ⊂ A ∧ A⊂ B)

Definiranje skupova

Navođenje elemenata: M: = (a 1; a 2; a 3; ...; a n)

ili karakteristično svojstvo P(x)

(predikat): M: = ( x | P(x) )

Na primjer:

1) B = ( x ∈ N | x< 3} означает, что В= { 1; 2}

2) A =( x ∈ N | x +1=5) znači da je A = (4)

3) B = ( x ∈ N | x M5) ili (5;10;15…)

oni. ( x | P(x) ) znači da skup elemenata x skupa ima svojstvo P(x)

4) M = ( x ∈ N | x 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Postavite operacije

Razmatraju se sljedeće operacije nad skupovima:

10. Unija skupova A i B.

U

A ∪ B = (x/x ∈ A ili x ∈ B) – tj. sastoji se od elemenata koji pripadaju barem jednom od skupova A ili B.

20 . Sjecište skupova A i B.

A∩B = (x/x ∈ A i x ∈ B) – tj. sastoje se od elemenata koji pripadaju i A i B.

3º. Razlika između skupova A i B.

A/B = (x/x ∈ A i x ∉ B) – tj. sastoji se od elemenata iz A koji ne pripadaju B.

4º. Simetrična razlika A i B (ili prstenasti zbroj A i B)

A Ө B = (x/x ∈ A i x ∉ B) ∪ (x/x ∈ B i x ∉ A) ili (A\B ∪ B\A)

5º. Dodatak A svemiru

= U\A = (x|x ∈ Uux i x ∉ A)

Proizvod setova

Izravni (kartezijev) umnožak dva skupa A i B je skup svih uređenih parova u kojima je element I iz skupa A, element II iz skupa B, tj. A×B = ((a, b)/a Ê A ̂v Ê B)

Primjer: A=(2;5;7;9) i B =(2;4;7),

Tada je A×B = ((2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7 ,4) ; (7.7) ; (9.2) ; (9.4); (9.7))

A∩B=(2.7); A∪B=(2,4,5,7,9); A/B=(5,9); B/A=(4); A Ө B=(4,5,9)

Elementi skupa A×B nazivaju se točkama; U paru (x, y), apscisa je x, a ordinata je y točke koja odgovara tom paru.

Skup točaka na ravnini izravni je produkt oblika R×R=R 2, gdje je R skup realnih brojeva.

R 2 se zove Kartezijanski trg na R.

Elementi teorije grafova

"Pod, ispod puno mi razumijemo ujedinjenje u jednu cjelinu određenih, potpuno razlučivih objekata naše intuicije ili naše misli” - tako je Georg Cantor, utemeljitelj teorije skupova, opisao pojam “skupa”.
Osnovne premise Cantorove teorije skupova svode se na sljedeće:
1° Skup se može sastojati od bilo kojeg različitog objekta.
2° Skup je jedinstveno definiran skupom njegovih sastavnih objekata.
3° Bilo koje svojstvo definira skup objekata koji imaju ovo svojstvo.

Ako je x objekt, P je svojstvo, P(x) je oznaka da x ima svojstvo P, tada (x|P(x)) označava cijelu klasu objekata koji imaju svojstvo P. Objekti koji čine nazivaju se klasa ili skup elementi klasa ili skup.

Uvjet " gomila"Koristi se kao sinonim za pojmove agregata, skupa, skupa određenih elemenata. Dakle, možemo govoriti o:
a) mnogo pčela u košnici,
b) skup točaka na segmentu,
c) skup vrhova kvadrata ili skup njegovih stranica i dijagonala,
d) mnogo učenika u publici itd.
U gornjim primjerima, u slučajevima a), c)-d), odgovarajući skupovi se sastoje od određenog konačnog broja objekata, takvi skupovi se nazivaju konačni. Skup točaka na segmentu (primjer b)) ne može se prebrojati, stoga se takvi skupovi nazivaju beskrajan. Skup koji ne sadrži niti jedan element naziva se prazan puno.

Najjednostavniji oblik specificiranja skupa je ispisivanje njegovih elemenata, na primjer A = (4, 7, 13) (skup A sastoji se od tri elementa - cijelih brojeva 4, 7, 13). Drugi često korišteni oblik dodjele je označavanje svojstava elemenata skupa, na primjer A = (x| x^2 ≤ 4) je skup brojeva x koji zadovoljavaju navedeni uvjet.

Skupovi se obično označavaju velikim slovima A, B, C,..., a njihovi elementi malim slovima: a, b, c,... Zapis a ∈ A (čitaj: a pripada A) ili A ∋ a (čitaj: A sadrži a) znači da je a element skupa A. Prazan skup označava se simbolom Ø.

Ako je svaki element skupa B ujedno i element skupa A, skup B je pozvan podskup skup A (oznaka: B ⊆ A ili A ⊇ B).

Svaki skup je vlastiti podskup (ovo je "najširi" podskup skupa). Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa (ovo je "najuži" podskup). Svaki drugi podskup skupa A sadrži barem jedan element skupa A, ali ne sve njegove elemente. Takvi se podskupovi nazivaju pravim ili pravim podskupovima. Za prave podskupove skupa A koristi se oznaka B ⊂ A ili A ⊃ B. Ako istovremeno B ⊆ A i A ⊆ B, tj. svaki element skupa B pripada A, a istovremeno vrijeme, svaki element od A pripada B, tada se A i B, očito, sastoje od istih elemenata i, prema tome, podudaraju se. U ovom slučaju koristi se znak jednakosti: A = B. (Simboli ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ nazivaju se simboli uključivanja).

Geometrijski, skupovi se obično prikazuju kao određeni skupovi točaka na ravnini. U svakom smislenom problemu obično razmatramo podskupove nekog "najvećeg" skupa U, koji se naziva univerzalni skup. Dakle, na Sl. 1 prikazuje univerzalni skup U i njegova dva podskupa - skupove A i B, B ⊂ A. Same slike su kao na sl. 1 se nazivaju Euler-Vennovi dijagrami.

U matematici je pojam skupa jedan od glavnih, temeljnih, ali ne postoji jedinstvena definicija skupa. Jedna od najuvriježenijih definicija skupa je sljedeća: skup je svaka zbirka određenih i različitih objekata koji se mogu smatrati jednom cjelinom. Tvorac teorije skupova, njemački matematičar Georg Cantor (1845-1918), rekao je ovo: “Skup su mnoge stvari o kojima razmišljamo kao o cjelini.”

Jeste li danas ručali? Sada će strašna tajna postati poznata. Ručak je obilan. Naime, brojna jela od kojih se sastoji. U njemu (u pravilu) nema identičnih jela, a u izobilju svi elementi moraju biti različiti. A, ako ste za ručak imali istu salatu kao i za doručak, onda je ova salata sjecište setova “Ručak” i “Doručak”.

Pogledajte knjigu koja leži na stolu ili stoji na polici. Ima mnogo stranica. Sve stranice u njemu razlikuju se jedna od druge, barem brojevima.

A ulica u kojoj živiš? To je zbirka mnogo različitih objekata, ali definitivno ima mnogo kuća koje se nalaze u ovoj ulici. Dakle, skup kuća je podskup skupa "Ulica".

Dakle, pogledali smo ne samo primjere skupova, već i primjer operacije nad skupovima - presjek, kao i relaciju uključivanja podskupa u skup. Detaljno ćemo razmotriti sve ove koncepte u ovoj lekciji.

Ali za sada još jedan primjer praktičnog razmatranja skupova.

Skupovi kao tip podataka pokazali su se vrlo prikladnim za programiranje složenih životnih situacija, jer se mogu koristiti za precizno modeliranje objekata stvarnog svijeta i kompaktan prikaz složenih logičkih odnosa. Skupovi se koriste u programskom jeziku Pascal, au nastavku ćemo pogledati jedan primjer rješenja.

Primjer 0 (Pascal). Postoji izbor proizvoda koji se prodaju u nekoliko trgovina u gradu. Utvrdite: koji su proizvodi dostupni u svim trgovinama u gradu; cijeli asortiman proizvoda u gradu.

Riješenje. Definiramo osnovni tip podataka Hrana (proizvodi), može poprimiti vrijednosti koje odgovaraju nazivima proizvoda (na primjer, kruh). Deklariramo tip skupa; on definira sve podskupove sastavljene od kombinacija vrijednosti osnovnog tipa, odnosno Food. I formiramo podskupove: trgovine “Solnyshko”, “Veterok”, “Ogonyok”, kao i izvedene podskupove: MinFood (proizvodi koji su dostupni u svim trgovinama), MaxFood (cijeli asortiman proizvoda u gradu). Zatim propisujemo operacije za dobivanje izvedenih podskupova. Podskup MinFood dobiva se kao rezultat presjeka podskupova Solnyshko, Veterok i Ogonyok i uključuje one i samo one elemente ovih podskupova koji su uključeni u svaki od ovih podskupova (u Pascalu se operacija presjeka skupova označava zvjezdicom: A * B * C, matematička oznaka za sjecište skupova data je dolje). Podskup MaxFood dobiva se kombiniranjem istih podskupova i uključuje elemente koji su uključeni u sve podskupove (u Pascalu je operacija kombiniranja skupova označena znakom plus: A + B + C, matematička oznaka za kombiniranje skupova je navedena u nastavku ).

Šifra PASCAL

Programske trgovine; tip Hrana=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sugar, maslo, ryba); Trgovina = set hrane; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Trgovina; Započni Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Kraj.

Koje vrste setova postoje?

Objekti koji čine skupove - objekti naše intuicije ili intelekta - mogu biti vrlo različite prirode. U primjeru u prvom odlomku analizirali smo skupove koji su sadržavali skup proizvoda. Skupovi se mogu sastojati, na primjer, od svih slova ruske abecede. U matematici se proučavaju skupovi brojeva koji se, na primjer, sastoje od svega:

Prirodni brojevi 0, 1, 2, 3, 4, ...

primarni brojevi

Čak i cijeli brojevi

i tako dalje. (glavni numerički skupovi se raspravljaju u ovom materijalu).

Predmeti koji čine skup nazivaju se njegovim elementima. Možemo reći da je skup "vreća elemenata". Vrlo je važno: u skupu nema identičnih elemenata.

Skupovi mogu biti konačni i beskonačni. Konačan skup je skup za koji postoji prirodan broj koji je broj njegovih elemenata. Na primjer, skup od prvih pet nenegativnih neparnih cijelih brojeva je konačan skup. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan. Na primjer, skup svih prirodnih brojeva je beskonačan skup.

Ako M- puno, i a- njegov element, tada pišu: a∈M, što znači " a pripada skupu M".

Iz prvog (nultog) primjera u Pascalu s proizvodima koji su dostupni u određenim trgovinama:

hljeb∈VETEROK ,

što znači: element "hljeb" pripada mnogim proizvodima koji su dostupni u trgovini "VETEROK".

Postoje dva glavna načina za definiranje skupova: nabrajanje i opis.

Skup se može definirati ispisivanjem svih njegovih elemenata, na primjer:

VETEROK = {hljeb, syr, maslac} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Nabrajanje može definirati samo konačan skup. Iako to možete učiniti s opisom. Ali beskonačni skupovi mogu se definirati samo opisom.

Za opisivanje skupova koristi se sljedeća metoda. Neka str(x) - neki iskaz koji opisuje svojstva varijable x, čiji je raspon skup M. Zatim kroz M = {x | str(x)} označava skup koji se sastoji od svih onih i samo onih elemenata za koje iskaz str(x) je istina. Ovaj izraz glasi ovako: "Mnogi M, koji se sastoji od svih takvih x, Što str(x) ".

Na primjer, snimite

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Primjer 6. Prema anketi od 100 tržnih kupaca koji su kupovali agrume, naranče je kupilo 29 kupaca, limun - 30 kupaca, mandarine - 9, samo mandarine - 1, naranče i limun - 10, limun i mandarine - 4, sve tri vrste voće - 3 kupca. Koliko kupaca nije kupilo nijedan od ovdje navedenih citrusa? Koliko je kupaca kupilo samo limun?

Operacija Kartezijevog produkta skupova

Da definiramo drugu važnu operaciju na skupovima - Kartezijev produkt skupova Uvedimo pojam uređenog skupa duljina n.

Duljina skupa je broj n njegova komponenta. Označava se skup sastavljen od elemenata uzetih upravo tim redoslijedom . pri čemu ja i () komponenta skupa je .

Sada će uslijediti stroga definicija, koja možda neće biti odmah jasna, ali će nakon te definicije biti slika iz koje će postati jasno kako dobiti Kartezijev produkt skupova.

Kartezijev (izravni) produkt skupova naziva se skup koji se označava sa a koji se sastoji od svih tih i samo tih skupova duljina n, ja-ta komponenta kojoj pripada .

Pripadnost $A$, također pripada $B$. Formalna definicija:

$(A\; \backslash podskup\; B)\; \backslash Lijeva\; desna\; strelica\; \backslash za\; sve\; x.\; (x\; \backslash u\; A\; \backslash desna\; strelica\; x\; \backslash u\; B).$

Gomila $B$ nazvao nadskup postavlja $A$, Ako $A$- podskup $B$.

Postoje dvije simboličke oznake za podskupove:

Oba sustava označavanja koriste simbol $\backslash podskup$ u različitim značenjima, što može dovesti do zabune. U ovom ćemo članku koristiti potonju oznaku.

Što $B$ nazvan superset $A$, često zapisano $B\backslash skup\; A$.

Skup svih podskupova skupa $A$ označen sa $\backslash mathcal(P)(A)$ i naziva se boolean.

Vlastiti podskup

Bilo koji set $B$ je vlastiti podskup. Ako želimo isključiti $B$ iz razmatranja, koristimo koncept vlastiti

Gomila $A$ je pravi podskup skupa $B$, Ako $A\backslash podskup\; B$ I $A\backslash neB$.

Prazan skup je podskup bilo kojeg skupa. Ako također želimo isključiti prazan skup iz razmatranja, koristimo koncept netrivijalan podskup koji je definiran na sljedeći način:

Gomila $A$ je netrivijalni podskup skupa $B$, Ako $A$ je vlastiti podskup $B$ I $A\backslash ne\backslash varno\; ništa$.

Primjeri

• Setovi $\backslash varništa,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Setovi $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ su podskupovi skupa $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; moose\; \backslash )$
• Neka $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, Zatim $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Neka $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Zatim $B\backslash podskup\; A,\backslash ;\; C\backslash ne\backslash podskup\; A$.

Svojstva

Relacija podskupa ima niz svojstava.

• Relacija podskupa je relacija djelomičnog reda:
  • Odnos podskupa je refleksivan: $B\backslash podskup\; B$
  • Odnos podskupa je antisimetričan: $(A\; \backslash podskup\; B\backslash ;\; \backslash i\; \backslash ;\; B\; \backslash podskup\; A)\; \backslash Lijeva\; desna\; strelica\; (A\; =\; B)$
  • Relacija podskupa je tranzitivna: $(A\; \backslash podskup\; B\; \backslash ;\backslash i\; \backslash ;\; B\; \backslash podskup\; C)\; \backslash desna\; strelica\; (A\; \backslash podskup\; C)$
• Prazan skup je podskup svakog drugog skupa, tako da je najmanji skup u odnosu na relaciju podskupa: $\backslash varnothing\; \backslash subset\; B$
• Za bilo koja dva skupa $A$ I $B$ sljedeće izjave su ekvivalentne:
  • $A\backslash podskup\; B.$
  • $A\backslash kapa\; B\; =\; A.$
  • $A\backslash šalica\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash komplement)\; \backslash podskup\; A^(\backslash komplement).$

Podskupovi konačnih skupova

Ako je izvorni skup konačan, tada ima konačan broj podskupova. Naime, kod $n$- skup elemenata postoji $2^n$ podskupovi (uključujući prazne). Da bismo to provjerili, dovoljno je primijetiti da svaki element može biti uključen ili ne biti uključen u podskup, što znači da će ukupan broj podskupova biti $n$- višestruki umnožak dvojki. Ako razmatramo samo podskupove $n$- skup elemenata $k\backslash le\; n$ elemenata, tada se njihov broj izražava binomnim koeficijentom $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Da biste provjerili ovu činjenicu, možete odabrati elemente podskupa uzastopno. Prvi element se može odabrati $n$ načina, drugo $n-1$ način, i tako dalje, i na kraju, $k$- element se može odabrati $n-k+1$ put. Tako dobivamo niz od $k$ elemenata, i to točno $k!$ takve sekvence odgovaraju jednom podskupu. Dakle, bit će svega $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash dots(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ takve podskupove.

Napišite recenziju o članku "Podskup"

Bilješke

Književnost

• Vereščagin N.K., Šen A. Predavanja iz matematičke logike i teorije algoritama. Dio 1. Počeci teorije skupova.. - 3. izd., stereotip. - M.: MTsNMO, 2008. - 128 str. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Izvadak koji karakterizira podskup

Kutuzov se povukao u Beč, uništivši za sobom mostove na rijekama Inn (u Braunau) i Traun (u Linzu). Ruske trupe su 23. listopada prešle rijeku Enns. Ruski konvoji, topništvo i kolone trupa usred dana protezale su se kroz grad Enns, s ove i s druge strane mosta.