Potpuna diferencijalna funkcija. Totalni diferencijal funkcije više varijabli Totalni diferencijal u točki

Kao što vidite, da biste pronašli diferencijal, morate pomnožiti derivaciju s dx. To vam omogućuje da odmah zapišete odgovarajuću tablicu za diferencijale iz tablice formula za derivate.

Ukupni diferencijal za funkciju dviju varijabli:

Ukupni diferencijal za funkciju triju varijabli jednak je zbroju parcijalnih diferencijala: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Definicija . Funkcija y=f(x) naziva se diferencijabilnom u točki x 0 ako se njezin priraštaj u toj točki može prikazati kao ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, gdje je A konstanta i α(∆ x) – infinitezimalna kao ∆x → 0.
Zahtjev da se funkcija može diferencirati u točki ekvivalentan je postojanju derivacije u ovoj točki, a A=f’(x 0).

Neka je f(x) diferencijabilan u točki x 0 i f "(x 0)≠0, tada je ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, gdje je α= α(∆x) →0 na ∆x →0 Veličina ∆y i svaki član s desne strane su infinitezimalne veličine za ∆x→0. , odnosno α(∆x)∆x je infinitezimal višeg reda od f’(x 0)∆x.
, odnosno ∆y~f’(x 0)∆x. Posljedično, f’(x 0)∆x predstavlja glavni i istovremeno linearni u odnosu na ∆x dio prirasta ∆y (linearan – što znači da sadrži ∆x na prvu potenciju). Taj se član naziva diferencijalom funkcije y=f(x) u točki x 0 i označava se dy(x 0) ili df(x 0). Dakle, za proizvoljne vrijednosti x
dy=f′(x)∆x. (1)
Zatim postavite dx=∆x
dy=f′(x)dx. (2)

Primjer. Nađite derivacije i diferencijale ovih funkcija.
a) y=4 tan2 x
Otopina:

diferencijal:
b)
Otopina:

diferencijal:
c) y=arcsin 2 (lnx)
Otopina:

diferencijal:
G)
Otopina:
=
diferencijal:

Primjer. Za funkciju y=x 3 pronađite izraz za ∆y i dy za neke vrijednosti x i ∆x.
Otopina. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (uzeli smo glavni linearni dio ∆y u odnosu na ∆x). U ovom slučaju je α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3.

Definicija: Potpuna diferencijalna funkcija nekoliko varijabli je zbroj svih njegovih parcijalnih diferencijala:

Primjer 1: .

Otopina:

Budući da su parcijalne derivacije ove funkcije jednake:

Tada možemo odmah zapisati parcijalne diferencijale ovih funkcija:

, ,

Tada će potpuni diferencijal funkcije izgledati ovako:

Primjer 2 Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Otopina:

Ova funkcija je složena, tj. može se predstaviti kao

Nalaženje parcijalnih derivacija:

Puni diferencijal:

Analitičko značenje totalnog diferencijala je da ukupni diferencijal funkcije više varijabli predstavlja glavninu ukupnog prirasta te funkcije, tj. odnosno postoji približna jednakost: ∆z≈dz.

Potrebno je, međutim, zapamtiti da ove približne jednakosti vrijede samo za male diferencijale dx i dy argumenata funkcije z=f(x,y).

Korištenje ukupnog diferencijala u približnim izračunima temelji se na korištenju formule ∆z≈dz.

Doista, ako je u ovoj formuli prirast ∆z funkcije predstavljen u obliku, a ukupni diferencijal u obliku , tada dobivamo:

≈ ,

Rezultirajuća formula može se koristiti za približno pronalaženje "nove" vrijednosti funkcije dviju varijabli, koju uzima za dovoljno male inkremente oba svoja argumenta.

Primjer. Odredite približnu vrijednost funkcije , sa sljedećim vrijednostima svojih argumenata: 1,01, .

Otopina.

Zamjenom parcijalnih derivacija ranije pronađenih funkcija u formulu dobivamo:

Zamjenom vrijednosti x=1, ∆h=0,01, y=2, ∆u=0,02 dobivamo:

Skalarno polje.

Ako je u svakoj točki određenog područja prostora D navedena funkcija U(p)=U(x,y,z), tada se kaže da je u području D navedeno skalarno polje.

Ako npr. U(x,y,z) označava temperaturu u točki M(x,y,z), onda se kaže da je određeno skalarno temperaturno polje. Ako je područje D ispunjeno tekućinom ili plinom i U(x,y,z) označava tlak, tada postoji skalarno polje tlaka. Ako je zadan položaj naboja ili masivnih tijela u prostoru, tada govorimo o potencijalnom polju.

Skalarno polje se zove stacionarno, ako se funkcija U(x,y,z) ne mijenja tijekom vremena: U(x,y,z) ≠ f(t).

Svako stacionarno polje karakterizira:

1) ravna površina skalarnog polja

2) brzina promjene polja u određenom smjeru.

Ravna površina skalarno polje je geometrijsko mjesto točaka u kojima funkcija U(x,y,z) poprima konstantnu vrijednost, odnosno U(x,y,z) = const. Skup ovih točaka tvori određenu površinu. Ako uzmemo drugu konstantu, dobit ćemo drugu površinu.

Primjer: Neka je zadano skalarno polje. Primjer takvog polja je električno potencijalno polje točkastog električnog naboja (+q). Ovdje će ravne površine biti ekvipotencijalne površine , odnosno kuglice u čijem se središtu nalazi naboj koji stvara polje.

Smjer najvećeg porasta skalarne funkcije zadan je vektorom tzv gradijent i označen je simbolom (ili ).

Gradijent funkcije nalazi se kroz parcijalne derivacije te funkcije i uvijek je okomit na plohu razine skalarnog polja u danoj točki:

, Gdje

Jedinični vektori duž osi OX, OY, OZ

Derivacija funkcije U(x,y,z) u bilo kojem drugom smjeru (λ) određena je formulom:

, Gdje

α, β, γ su kutovi između koordinatnih osi, odnosno OX, OY, OZ i pravca.

Svaki parcijalni izvod (po x i po g) funkcije dviju varijabli je obična derivacija funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje g= konst),

(Gdje x= konst).

Stoga se parcijalne derivacije izračunavaju korištenjem formule i pravila za izračunavanje derivacija funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu varijablu konstantu.

Ako vam za to nije potrebna analiza primjera i minimum teorije, već samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako vam je teško usredotočiti se na praćenje gdje je konstanta u funkciji, tada u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalnu derivaciju kao obična derivacija funkcije jedne varijable. Samo se trebate sjetiti vratiti konstantu (varijablu s fiksnom vrijednošću) na njezino mjesto kada završite konačni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih derivacija proizlazi iz definicije parcijalnih derivacija, koja se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali s donjom definicijom, možete otvoriti teoretsku referencu.

Pojam neprekidnosti funkcije z= f(x, g) u točki definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, g) nazivamo kontinuiranim u točki ako

Razlika (2) naziva se ukupnim prirastom funkcije z(dobiva se kao rezultat povećanja obaju argumenata).

Neka je zadana funkcija z= f(x, g) i točka

Ako se funkcija promijeni z događa se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, s fiksnom vrijednošću drugog argumenta g, tada će funkcija dobiti inkrement

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, g) Autor x.

S obzirom na promjenu funkcije z ovisno o promjeni samo jednog od argumenata, efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

onda se naziva parcijalna derivacija funkcije f(x, g) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i djelomični prirast z Po g:

i djelomična derivacija f(x, g) Autor g:

(6)

Primjer 1.

Otopina. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(g fiksni);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksni).

Kao što vidite, nije važno u kojoj je mjeri varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju obične derivacije) varijable s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s varijablom s kojom nalazimo parcijalnu derivaciju, tada ta usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju obične derivacije, nestaje.

Primjer 2. S obzirom na funkciju

Pronađite parcijalne derivacije

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u točki A (1; 2).

Otopina. Na fiksnom g derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije snage ( tablica izvoda funkcija jedne varijable):

Na fiksnom x derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija eksponencijalne funkcije, a drugi - kao derivacija konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih derivacija u točki A (1; 2):

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Naći parcijalne derivacije funkcije

Otopina. U jednom koraku nalazimo

(g x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna iu ovom slučaju je multiplikator na g).

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Slično se definiraju parcijalne derivacije funkcije triju ili više varijabli.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; g; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u naziva funkcija varijabli x, g, ..., t i označavaju u= f(x, g, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Parcijalne derivacije funkcije više varijabli također se određuju i izračunavaju pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Naći parcijalne derivacije funkcije

Otopina. g I z fiksno:

x I z fiksno:

x I g fiksno:

Parcijalne derivacije pronađite sami i zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Naći parcijalne derivacije funkcije.

Isti ima i parcijalni izvod funkcije više varijabli mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je brzina promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih mjesta, R– udaljenost između točaka.

Parcijalni izvod funkcije P Po R, jednako

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih točaka s istim brojem stanovnika u točkama.

Parcijalna derivacija P Po N, jednako

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između točaka.

Rješenje problema parcijalnih derivacija možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Umnožak parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbroj parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dviju neovisnih varijabli ukupni diferencijal izražava se jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Otopina. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj točki određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal i zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom području podrazumijeva njezin kontinuitet u tom području, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uvjet diferencijabilnosti funkcije.

Teorema. Ako funkcija z= f(x, g) ima neprekidne parcijalne derivacije

u danom području, tada je on u tom području diferencijabilan i njegov se diferencijal izražava formulom (7).

Može se pokazati da, kao što je u slučaju funkcije jedne varijable diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal jednak glavni, linearni u odnosu na prirast nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju dviju varijabli ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β infinitezimalni na i .

Parcijalne derivacije višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, g) same su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivacije u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalne derivacije viših redova.

Promotrimo funkciju dviju varijabli z=f(x, y) i njegov ukupni prirast u točki M 0 (x 0, y 0)

Δ z = f(x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0 , y 0).

Definicija. Ako brojevi postoje P I Q tako da se ukupni prirast može predstaviti kao

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ,

gdje i ε→ 0 na Δρ→ 0 , zatim izraz PΔ x + QΔ y naziva se totalni diferencijal funkcije z=f(x,y) u točki M 0 (x 0, y 0).

U tom slučaju potpuni prirast funkcije sastoji se od dva dijela: prvi dio PΔ x + QΔ y je linearan u odnosu na Δ x I Δy, drugi je infinitezimalni višeg reda u usporedbi s .

Potpuna diferencijalna funkcija z=f(x,y) označen sa dz, odnosno

dz = PΔ x+QΔ y.

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u danoj točki kaže se da je u toj točki diferencijabilna.

Teorema. Ako u=f(M) diferencijabilan u točki M0, onda je u njemu kontinuirano.

Komentar. Kontinuitet funkcije dviju varijabli ne implicira njezinu diferencijabilnost.

Primjer. kontinuirano u (0,0) , ali nema djelomičnu izvedenicu – ne postoji. Slično, ne postoji djelomična derivacija u odnosu na g. Dakle, funkcija nije diferencijabilna.

Teorem [nužan uvjet za diferencijabilnost]. Ako z=f(x,y) diferencijabilan u točki M0, tada u ovoj točki ima parcijalne derivacije u odnosu na x I g, i

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Komentar. Diferencijabilnost ne slijedi iz postojanja parcijalnih derivacija. Primjer:

imamo , ali funkcija nije kontinuirana, stoga nije diferencijabilna.

Teorem [dovoljan uvjet za diferencijabilnost]. Ako su prve parcijalne derivacije funkcije z=f(x,y) definirana u nekoj okolini točke M 0 (x 0, y 0) a kontinuirani su u samoj točki M0, tada ova funkcija ima ukupni diferencijal u ovoj točki.

Komentar. imamo

Δ z = f′ x (x 0 , y 0) Δ x + f′ y (x 0 , y 0) Δ y + ε Δρ,

Gdje ε→ 0 na Δρ→ 0 . Stoga,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Ova se formula koristi u približnim izračunima.

Na fiksnom Δ x I Δy ukupni diferencijal je funkcija varijabli x I g:

Stavimo dx=Δx, dy=Δy a nazovimo te veličine diferencijalima nezavisnih varijabli.

Tada dobivamo formulu

to jest, ukupni diferencijal funkcije jednak je zbroju umnožaka prvih parcijalnih derivacija i odgovarajućih diferencijala argumenata.

Ukupni diferencijal funkcije triju varijabli definira se i izražava na sličan način. Ako u=f(x, y, z) a ima i brojeva P, Q, R takav da

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 na δρ→ 0 ,

tada je ukupni diferencijal izraz

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z.

Ako su prve parcijalne derivacije ove funkcije neprekidne, tada

Gdje dx=Δx, dz=Δ z, dz=Δ z.

Definicija. Totalni diferencijal drugog reda funkcije je totalni diferencijal njezinog totalnog diferencijala.

Ako z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, To

Tangentna ravnina i normala površine

Razmotrite površinu S, dano jednadžbom

z=f(x, y).

Neka f(x, y) ima parcijalne derivacije u nekoj regiji. Razmotrimo M 0 (x 0, y 0).

- kutni koeficijent tangente u točki M0 na presjek površine ravninom y=y 0, odnosno do crte z=f(x,y 0). Tangenta na ovu liniju ima oblik:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0.

Slično, ravni presjek x=x 0 daje jednadžbu

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Ravnina koja sadrži obje ove linije ima jednadžbu

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

a naziva se tangentna ravnina na površinu S u točki P 0 (x 0, y 0, z 0).

Imajte na umu da se jednadžba tangentne ravnine može prepisati kao

z-z 0 =df.

Dakle, geometrijsko značenje totalnog diferencijala je: diferencijal u točki M0 za prirast (x-x 0, y-y 0) je prirast točke primjene tangentne ravnine na površinu z=f(x,y) u točki (x 0, y 0) za iste korake.

Tangentna ravnina ima normalni vektor u točki (x 0, y 0, z 0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Pravac koji prolazi točkom P0 i ima vektor smjera \vec(n), naziva se površinska normala z=f(x,y) u ovom trenutku. Njene jednadžbe su: