Parametarska jednadžba pravca. Parametarska jednadžba pravca u prostoru

Obavezno pročitajte ovaj paragraf! Parametarske jednadžbe, naravno, nisu alfa i omega prostorne geometrije, već radni mrav mnogih problema. Štoviše, ova vrsta jednadžbi često se koristi neočekivano i, rekao bih, elegantno.

Ako su poznata točka koja pripada pravcu i vektor smjera tog pravca, onda su parametarske jednadžbe tog pravca dane sustavom:

Na satu sam govorio o samom konceptu parametarskih jednadžbi Jednadžba pravca na ravnini I Derivacija parametarski definirane funkcije.

Sve je jednostavnije od repe kuhane na pari, pa ćete morati dodatno začiniti problem:

Primjer 7

Otopina: Pravci su zadani kanonskim jednadžbama iu prvoj fazi treba pronaći neku točku koja pripada pravcu i njen vektor smjera.

a) Iz jednadžbi izbacimo točku i vektor smjera: . Možete odabrati drugu točku (kako to učiniti je gore opisano), ali bolje je uzeti najočitiju. Usput, da biste izbjegli pogreške, uvijek zamijenite njegove koordinate u jednadžbama.

Kreirajmo parametarske jednadžbe za ovu liniju:

Pogodnost parametarskih jednadžbi je u tome što olakšavaju pronalaženje drugih točaka na liniji. Na primjer, pronađimo točku čije koordinate, recimo, odgovaraju vrijednosti parametra:

Stoga:

b) Razmotrimo kanonske jednadžbe. Odabir točke ovdje nije težak, ali podmukao: (pazite da ne pobrkate koordinate!!!). Kako ukloniti vektor vodič? Možete nagađati s čime je ovaj pravac paralelan ili možete koristiti jednostavnu formalnu tehniku: proporcija sadrži "Y" i "Z", tako da zapišemo vektor smjera i stavimo nulu u preostali prostor: .

Sastavimo parametarske jednadžbe pravca:

c) Prepišimo jednadžbe u obliku , odnosno "zet" može biti bilo što. A ako bilo kojom, onda neka npr. . Dakle, točka pripada ovom pravcu. Da bismo pronašli vektor smjera, koristimo sljedeću formalnu tehniku: u izvornim jednadžbama postoje "x" i "y", au vektor smjera na tim mjestima pišemo nule: . U preostali prostor stavljamo jedinica: . Umjesto jedan, poslužit će bilo koji broj osim nule.

Zapišimo parametarske jednadžbe pravca:

Za obuku:

Primjer 8

Sastavite parametarske jednadžbe sljedećih ravnih linija:

Rješenja i odgovori na kraju lekcije. Odgovori koje dobijete mogu se malo razlikovati od mojih odgovora, poanta je u tome parametarske jednadžbe mogu se napisati na više od jednog načina. Važno je da su tvoj i moj vektori smjera kolinearni, a da tvoja točka "odgovara" mojim jednadžbama (dobro, ili obrnuto, moja točka odgovara tvojim jednadžbama).

Kako drugačije možete definirati ravnu liniju u prostoru? Želio bih smisliti nešto s normalnim vektorom. Međutim, broj neće funkcionirati; normalni vektori prostorne linije mogu izgledati u potpuno različitim smjerovima.

Još jedna metoda je već spomenuta u lekciji. Jednadžba ravnine i na početku ovog članka.

U ovom ćemo članku razmotriti parametarsku jednadžbu pravca na ravnini. Navedimo primjere konstruiranja parametarske jednadžbe pravca ako su poznate dvije točke tog pravca ili ako je poznata jedna točka i vektor smjera tog pravca. Predstavimo metode za transformaciju jednadžbe u parametarskom obliku u kanonski i opći oblik.

Parametarska jednadžba pravca L na ravnini predstavljen je sljedećom formulom:

Gdje x 1 , g 1 koordinate neke točke M 1 na ravnoj L. Vektor q={m, str) je vektor smjera pravca L, t− neki parametar.

Imajte na umu da kada pišete jednadžbu pravca u parametarskom obliku, vektor usmjeravanja pravca ne smije biti nulti vektor, tj. barem jedna koordinata vektora usmjeravanja q mora biti različit od nule.

Za konstruiranje pravca na ravnini u kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu određenom parametarskom jednadžbom (1) dovoljno je postaviti parametar t dvije različite vrijednosti, izračunajte x I g i nacrtajte ravnu liniju kroz te točke. Na t=0 imamo točku M 1 (x 1 , g 1) na t=1, dobivamo bod M 2 (x 1 +m, g 1 +str).

Sastaviti parametarsku jednadžbu pravca na ravnini L dovoljno je imati točku na pravoj liniji L i vektor smjera pravca ili dvije točke koje pripadaju pravcu L. U prvom slučaju, da biste konstruirali parametarsku jednadžbu pravca, morate u jednadžbu (1) umetnuti koordinate točke i vektor smjera. U drugom slučaju, prvo morate pronaći smjerni vektor linije q={m, str), računajući razlike između odgovarajućih koordinata točaka M 1 i M 2: m=x 2 −x 1 , str=g 2 −g 1 (slika 1). Zatim, slično prvom slučaju, zamijenite koordinate jedne od točaka (nije bitno koje) i vektor smjera q ravna crta u (1).

Primjer 1. Kroz točku prolazi pravac M=(3,−1) i ima vektor smjera q=(−3, 5). Konstruirajte parametarsku jednadžbu pravca.

Otopina. Da bismo konstruirali parametarsku jednadžbu ravne crte, zamijenimo koordinate točke i vektor smjera u jednadžbu (1):

Pojednostavimo dobivenu jednadžbu:

Iz izraza (3) možemo napisati kanoničku jednadžbu pravca na ravnini:

Dovedite ovu ravnolinijsku jednadžbu u kanonski oblik.

Rješenje: Izrazite parametar t kroz varijable x I g:

(5)

Iz izraza (5) možemo napisati:

KUT IZMEĐU RAVNINA

Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2, definirane redom jednadžbama:

Pod kut između dvije ravnine razumjet ćemo jedan od diedralnih kutova koje čine te ravnine. Očito je da je kut između normalnih vektora i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susjednih diedarskih kutova odn. . Eto zašto . Jer I , To

.

Primjer. Odredite kut između ravnina x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.

Uvjet paralelnosti dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori paralelni, pa prema tome .

Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti odgovarajućih koordinata proporcionalni:

ili

Uvjet okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa prema tome, ili .

Dakle, .

Primjeri.

RAVNO U PROSTORU.

VEKTORSKA JEDNADŽBA ZA PRAVAC.

PARAMETRIJSKE DIREKTNE JEDNADŽBE

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem bilo koje njegove fiksne točke M 1 i vektor paralelan s tim pravcem.

Vektor paralelan s pravcem nazivamo vodiči vektor ove linije.

Pa neka ravna linija l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1), koji leži na liniji paralelnoj s vektorom .

Promotrimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Iz slike je jasno da .

Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva parametar. Označivši radijus vektore točaka M 1 i M redom, kroz i , dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da za svaku vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M, ležeći na ravnoj liniji.

Zapišimo ovu jednadžbu u koordinatnom obliku. Imajte na umu da a odavde

Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarski jednadžbe ravne linije.

Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, g I z i točka M kreće se pravocrtno.

KANONIČKE JEDNADŽBE DIREKTNE

Neka M 1 (x 1 , g 1 , z 1) – točka koja leži na pravoj liniji l, I je njegov vektor smjera. Uzmimo ponovno proizvoljnu točku na pravcu M(x,y,z) i razmotriti vektor .

Jasno je da su vektori također kolinearni, pa im odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle,

– kanonski jednadžbe ravne linije.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo ili .

Primjer. Zapiši jednadžbu pravca u parametarskom obliku.

Označimo , odavde x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je pravac okomit na jednu od koordinatnih osi, npr. os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, dakle, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe pravca će poprimiti oblik

Isključivanje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe pravca u obliku

Međutim, iu ovom slučaju pristajemo formalno napisati kanonske jednadžbe pravca u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je pravac okomit na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično kanonskim jednadžbama odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol I Joj ili paralelno s osi Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNADŽBE RAVNE CRTE KAO SJEČIŠTA DVIJE RAVNINE

Kroz svaku ravnu liniju u prostoru prolaze bezbrojne ravnine. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, predstavljaju jednadžbe ove linije.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravnine definirane općim jednadžbama

odrediti ravnu liniju njihova sjecišta. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe izravni.

Primjeri.

Konstruirajte pravac zadan jednadžbama

Za konstruiranje pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne linije, uz pretpostavku z= 0:

Nakon što smo riješili ovaj sustav, nalazimo poantu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom g= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:

Od općih jednadžbi pravca može se prijeći na njegove kanoničke ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na pravcu i vektor smjera pravca.

Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora I . Prema tome, izvan vektora smjera prave l možete uzeti vektorski produkt normalnih vektora:

.

Primjer. Navedite opće jednadžbe pravca kanonskom obliku.

Nađimo točku koja leži na pravcu. Da bismo to učinili, odabiremo proizvoljno jednu od koordinata, na primjer, g= 0 i riješite sustav jednadžbi:

Normalni vektori ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. Stoga, l: .

KUT IZMEĐU RAVNICA

Kut između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru zadane dvije linije:

Očito, kut φ između ravnih pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda pomoću formule za kosinus kuta između vektora dobivamo

Jedna od podtočaka teme “Jednadžba pravca na ravnini” je problematika izrade parametarskih jednadžbi pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Članak u nastavku raspravlja o principu sastavljanja takvih jednadžbi s određenim poznatim podacima. Pokazat ćemo kako prijeći s parametarskih jednadžbi na jednadžbe drugog tipa; Pogledajmo rješavanje tipičnih problema.

Određeni pravac može se definirati određivanjem točke koja pripada tom pravcu i vektora smjera pravca.

Recimo da nam je zadan pravokutni koordinatni sustav O x y. Također je dana ravna crta a, koja označava točku M 1 koja leži na njoj (x 1, y 1) i vektor smjera dane ravne linije. a → = (a x , a y) . Opisimo zadanu ravnu crtu a pomoću jednadžbi.

Koristimo proizvoljnu točku M (x, y) i dobijemo vektor M 1 M → ; Izračunajmo njegove koordinate iz koordinata početne i krajnje točke: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Opišimo što smo dobili: pravac je definiran skupom točaka M (x, y), prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i ima vektor smjera a → = (a x , a y) . Ovaj skup definira ravnu liniju samo kada su vektori M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) i a → = (a x, a y) kolinearni.

Postoji nužan i dovoljan uvjet za kolinearnost vektora, što se u ovom slučaju za vektore M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) i a → = (a x, a y) može napisati kao jednadžba:

M 1 M → = λ · a → , gdje je λ neki realni broj.

Definicija 1

Jednadžba M 1 M → = λ · a → naziva se vektorsko-parametarska jednadžba pravca.

U koordinatnom obliku to izgleda ovako:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Jednadžbe dobivenog sustava x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ nazivamo parametarskim jednadžbama pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Suština naziva je sljedeća: koordinate svih točaka na ravnoj liniji mogu se odrediti parametarskim jednadžbama na ravnini oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ nabrajanjem svih realnih vrijednosti parametra λ

Prema navedenom, parametarske jednadžbe pravca na ravnini x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ definiraju pravac, koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu, prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) i ima vektor vodič a → = (a x , a y) . Prema tome, ako su zadane koordinate određene točke na liniji i koordinate njenog vektora smjera, tada je moguće odmah napisati parametarske jednadžbe dane linije.

Primjer 1

Potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu ako je zadana njemu pripadajuća točka M 1 (2, 3) i njezin vektor smjera a → = (3 , 1) .

Otopina

Na temelju početnih podataka dobivamo: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametarske jednadžbe će izgledati ovako:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Da jasno ilustriramo:

Odgovor: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Treba uočiti: ako je vektor a → = (a x , a y) služi kao vektor smjera pravca a, a točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) pripadaju ovom pravcu, tada se može odrediti zadavanjem parametarskih jednadžbi oblika: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , kao i ova opcija: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

Na primjer, dan nam je vektor usmjeravanja ravne linije a → = (2, - 1), kao i točke M 1 (1, - 2) i M 2 (3, - 3) koje pripadaju ovom pravcu. Tada je pravac određen parametarskim jednadžbama: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ili x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Treba obratiti pozornost i na sljedeću činjenicu: ako a → = (a x , a y) je vektor smjera pravca a, tada će bilo koji od vektora biti njegov vektor smjera μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , gdje je μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Dakle, pravac a na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu može se odrediti parametarskim jednadžbama: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ za bilo koju vrijednost μ osim nule.

Recimo da je ravna linija a dana parametarskim jednadžbama x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Zatim a → = (2 , - 5) - vektor smjera ove ravne linije. I također bilo koji od vektora μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 postat će vodeći vektor za danu liniju. Radi jasnoće, razmotrite određeni vektor - 2 · a → = (- 4, 10), odgovara vrijednosti μ = - 2. U tom slučaju zadanu ravnu liniju također možemo odrediti parametarskim jednadžbama x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Prijelaz s parametarskih jednadžbi pravca na ravninu na druge jednadžbe zadanog pravca i natrag

U rješavanju nekih problema korištenje parametarskih jednadžbi nije najoptimalnija opcija, tada postoji potreba za prevođenjem parametarskih jednadžbi ravne linije u jednadžbe ravne linije drugog tipa. Pogledajmo kako to učiniti.

Parametarske jednadžbe pravca oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ odgovarat će kanonskoj jednadžbi pravca na ravnini x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Riješimo svaku od parametarskih jednadžbi s obzirom na parametar λ, izjednačimo desne strane dobivenih jednakosti i dobijemo kanoničku jednadžbu zadanog pravca:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

U ovom slučaju, ne bi trebalo biti zbunjujuće ako su x ili y jednaki nuli.

Primjer 2

Potrebno je prijeći s parametarskih jednadžbi pravca x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanoničku jednadžbu.

Otopina

Napišimo zadane parametarske jednadžbe u sljedećem obliku: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Izrazimo parametar λ u svakoj od jednadžbi: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Izjednačimo desne strane sustava jednadžbi i dobijemo traženu kanoničku jednadžbu pravca na ravnini:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Odgovor: x - 3 0 = y + 2 - 4

U slučaju kada je potrebno napisati jednadžbu pravca oblika A x + B y + C = 0, a date su parametarske jednadžbe pravca na ravnini, potrebno je prvo izvršiti prijelaz na kanonski jednadžbi, a zatim na opću jednadžbu pravca. Zapišimo cijeli niz radnji:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 3

Potrebno je napisati opću jednadžbu pravca ako su zadane parametarske jednadžbe koje ga definiraju: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Otopina

Prvo, napravimo prijelaz na kanoničku jednadžbu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Dobiveni udio identičan je jednakosti - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorimo zagrade i dobijemo opću jednadžbu pravca: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Odgovor: 3 x + 2 y + 3 = 0

Slijedeći gornju logiku postupanja, da bi se dobila jednadžba pravca s kutnim koeficijentom, jednadžba pravca u segmentima ili normalna jednadžba pravca, potrebno je dobiti opću jednadžbu pravca, a zatim izvršiti daljnji prijelaz iz njega.

Sada razmotrite obrnutu radnju: pisanje parametarskih jednadžbi pravca s različitim zadanim oblikom jednadžbi tog pravca.

Najjednostavniji prijelaz: s kanonske jednadžbe na parametarske. Neka je dana kanonska jednadžba oblika: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Uzmimo da je svaki od odnosa ove jednakosti jednak parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Riješimo dobivene jednadžbe za varijable x i y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Primjer 4

Parametarske jednadžbe pravca potrebno je napisati ako je poznata kanonička jednadžba pravca na ravnini: x - 2 5 = y - 2 2

Otopina

Izjednačimo dijelove poznate jednadžbe s parametrom λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Iz dobivene jednakosti dobivamo parametarske jednadžbe pravca: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Odgovor: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kada je potrebno prijeći na parametarske jednadžbe sa zadane opće jednadžbe pravca, jednadžbe pravca s kutnim koeficijentom ili jednadžbe pravca u segmentima, potrebno je izvornu jednadžbu dovesti do kanonske. jedan, a zatim napraviti prijelaz na parametarske jednadžbe.

Primjer 5

Potrebno je napisati parametarske jednadžbe pravca s poznatom općom jednadžbom ovog pravca: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Otopina

Pretvorimo danu opću jednadžbu u jednadžbu kanonskog oblika:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Izjednačimo obje strane jednakosti s parametrom λ i dobijemo tražene parametarske jednadžbe pravca:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Odgovor: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Primjeri i zadaci s parametarskim jednadžbama pravca na ravnini

Razmotrimo najčešće tipove problema koji koriste parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu.

1. U zadacima prvog tipa zadane su koordinate točaka, neovisno o tome pripadaju li liniji opisanoj parametarskim jednadžbama.

Rješenje takvih problema temelji se na sljedećoj činjenici: brojevi (x, y), određeni iz parametarskih jednadžbi x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ za neku stvarnu vrijednost λ, koordinate su točke koja pripada pravcu koji je opisan ovim parametarskim jednadžbama.

Primjer 6

Potrebno je odrediti koordinate točke koja leži na pravcu zadanom parametarskim jednadžbama x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ za λ = 3.

Otopina

Zamijenimo poznatu vrijednost λ = 3 u zadane parametarske jednadžbe i izračunajmo tražene koordinate: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Odgovor: 1 1 2 , 5

Moguć je i sljedeći zadatak: neka je određena točka M 0 (x 0 , y 0) dana na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu i treba odrediti pripada li ta točka pravcu koji opisuje parametarske jednadžbe x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Da bi se riješio takav problem, potrebno je zamijeniti koordinate zadane točke u poznate parametarske jednadžbe pravca. Ako se utvrdi da je moguća vrijednost parametra λ = λ 0 za koju su obje parametarske jednadžbe točne, tada zadana točka pripada zadanoj ravnici.

Primjer 7

Daju se bodovi M 0 (4, - 2) i N 0 (- 2, 1). Potrebno je utvrditi pripadaju li oni pravcu definiranom parametarskim jednadžbama x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Otopina

Zamijenimo koordinate točke M 0 (4, - 2) u zadane parametarske jednadžbe:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Zaključujemo da točka M 0 pripada zadanom pravcu, jer odgovara vrijednosti λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Očito ne postoji takav parametar λ kojem će odgovarati točka N 0 . Drugim riječima, zadana pravac ne prolazi kroz točku N 0 (- 2, 1).

Odgovor: točka M 0 pripada zadanom pravcu; točka N 0 ne pripada zadanom pravcu.

1. U zadacima drugog tipa potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe pravca na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu. Najjednostavniji primjer takvog problema (s poznatim koordinatama točke pravca i vektora smjera) razmatran je gore. Pogledajmo sada primjere u kojima prvo trebamo pronaći koordinate vektora navođenja, a zatim zapisati parametarske jednadžbe.

Zadana je točka M 1 1 2 , 2 3 . Potrebno je izraditi parametarske jednadžbe pravca koji prolazi kroz ovu točku i paralelan je s pravcem x 2 = y - 3 - 1.

Otopina

Prema uvjetima zadatka, pravac, na čiju jednadžbu moramo prijeći, paralelan je s pravcem x 2 = y - 3 - 1. Tada se kao vektor usmjerivača pravca koji prolazi kroz zadanu točku može koristiti vektor usmjerivača pravca x 2 = y - 3 - 1 koji zapisujemo u obliku: a → = (2, - 1) . Sada znamo sve potrebne podatke za sastavljanje potrebnih parametarskih jednadžbi:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Odgovor: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Primjer 9

Dana je točka M 1 (0, - 7). Potrebno je napisati parametarske jednadžbe pravca koji prolazi ovom točkom okomito na pravac 3 x – 2 y – 5 = 0.

Otopina

Kao vektor smjera pravca, čiju jednadžbu treba sastaviti, moguće je uzeti vektor normale pravca 3 x – 2 y – 5 = 0. Njegove koordinate su (3, - 2). Zapišimo tražene parametarske jednadžbe pravca:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Odgovor: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. U zadacima treće vrste potrebno je napraviti prijelaz s parametarskih jednadžbi zadanog pravca na druge vrste jednadžbi koje ga određuju. Razgovarali smo o rješenju sličnih primjera gore; dat ćemo još jedan.

Zadana je ravna crta na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu, definirana parametarskim jednadžbama x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Potrebno je pronaći koordinate bilo kojeg normalnog vektora ove linije.

Otopina

Da bismo odredili potrebne koordinate vektora normale, napravit ćemo prijelaz s parametarskih jednadžbi na opću jednadžbu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficijenti varijabli x i y daju nam tražene koordinate vektora normale. Dakle, vektor normale pravca x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ima koordinate 1, 3 4.

Odgovor: 1 , 3 4 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka l- neka ravna linija prostora. Kao u planimetriji, svaki vektor

A =/= 0, kolinearna linija l, nazvao vektor vodiča ovu ravnu liniju.

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem vektora smjera i točke koja pripada pravcu.

Neka bude ravno l s vektorom vodičem A prolazi kroz točku M 0, a M je proizvoljna točka u prostoru. Očito je da točka M (slika 197) pripada pravcu l ako i samo ako je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolinearan s vektorom A , tj.

\(\desna strelica(M_0 M)\) = t a , t\(\u\) R. (1)

Ako su točke M i M 0 zadane svojim radijus-vektorima r I r 0 (Sl. 198) u odnosu na neku točku O u prostoru, tada \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , a jednadžba (1) ima oblik

r = r 0 + t a , t\(\u\) R. (2)

Jednadžbe (1) i (2) nazivaju se vektorsko-parametarske jednadžbe pravca. Varijabilna t u vektorsko-parametarskim jednadžbama pravac se naziva parametar.

Neka je točka M 0 pravac l i vektor smjera a dati su svojim koordinatama:

M 0 ( X 0 ; na 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Onda ako ( X; y; z) - koordinate proizvoljne točke M pravca l, To

\(\desna strelica(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

a vektorska jednadžba (1) ekvivalentna je sljedećim trima jednadžbama:

x - x 0 = ta 1 , y - y 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Jednadžbe (3) nazivaju se parametarske jednadžbe pravca u prostoru.

Zadatak 1. Napišite parametarske jednadžbe za pravac koji prolazi točkom

M 0 (-3; 2; 4) i ima vektor smjera A = (2; -5; 3).

U ovom slučaju X 0 = -3, na 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (3), dobivamo parametarske jednadžbe za ovu liniju

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Isključimo parametar t iz jednadžbi (3). To se može učiniti jer A =/= 0, a time i jedna od koordinata vektora A očito se razlikuje od nule.

Neka su prvo sve koordinate različite od nule. Zatim

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

i prema tome

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ove se jednadžbe nazivaju kanonske jednadžbe pravca .

Uočimo da jednadžbe (4) tvore sustav dviju jednadžbi s tri varijable x, y I z.

Ako se u jednadžbama (3) jedna od koordinata vektora A , Na primjer A 1 jednak nuli, tada eliminacijom parametra t, ponovno dobivamo sustav dviju jednadžbi s tri varijable x, y I z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Ove se jednadžbe također nazivaju kanonske jednadžbe linija. Radi ujednačenosti, također se konvencionalno pišu u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

pod pretpostavkom da ako je nazivnik nula, tada je i odgovarajući brojnik također nula. Ove jednadžbe su jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 ( X 0 ; na 0 , z 0) paralelno s koordinatnom ravninom yOz, budući da je njegov vektor smjera (0; A 2 ; A 3).

Konačno ako u jednadžbama (3) postoje dvije vektorske koordinate A , Na primjer A 1 i A 2 jednake nuli, tada ove jednadžbe imaju oblik

X = X 0 , g = na 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\u\) R.

Ovo su jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 ( X 0 ; na 0 ; z 0) paralelno s osi Oz. Za tako ravnu liniju X = X 0 , g = na 0 ,a z- bilo koji broj. I u ovom slučaju, radi uniformnosti, jednadžba ravne linije može se napisati (s istim rezervama) u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Dakle, za bilo koji pravac u prostoru mogu se napisati kanonske jednadžbe (4), i obrnuto, svaka jednadžba oblika (4) pod uvjetom da je barem jedan od koeficijenata A 1 , A 2 , A 3 nije jednako nuli, definira neku ravnu liniju u prostoru.

Zadatak 2. Napišite kanonske jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 (- 1; 1, 7) paralelno s vektorom A = (1; 2; 3).

Jednadžbe (4) u ovom slučaju se pišu na sljedeći način:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Izvedimo jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke M 1 ( X 1 ; na 1 ; z 1) i

M2( X 2 ; na 2 ; z 2). Očito, možemo uzeti vektor a = (X 2 - X 1 ; na 2 - na 1 ; z 2 - z 1), a iza točke M 0 kroz koju prolazi pravac, npr. točka M 1. Tada će se jednadžbe (4) napisati na sljedeći način:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Ovo su jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije točke M 1 ( X 1 ; na 1 ; z 1) i

M2( X 2 ; na 2 ;z 2).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke M 1 (-4; 1; -3) i M 2 (-5; 0; 3).

U ovom slučaju X 1 = -4, na 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, na 2 = 0, z 2 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (5), dobivamo

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Zadatak 4. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke M 1 (3; -2; 1) i

M 2 (5; -2; 1/2).

Zamjenom koordinata točaka M 1 i M 2 u jednadžbe (5) dobivamo

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)