Inverzna funkcija. Pojam inverzne funkcije Kako konstruirati inverznu funkciju zadanog primjera

Pretpostavimo da imamo određenu funkciju y = f (x), koja je strogo monotona (opadajuća ili rastuća) i kontinuirana na domeni definicije x ∈ a; b ; njegov raspon vrijednosti y ∈ c ; d, i na intervalu c; d u ovom slučaju imat ćemo definiranu funkciju x = g (y) s rasponom vrijednosti a ; b. Druga funkcija će također biti kontinuirana i strogo monotona. S obzirom na y = f (x) to će biti inverzna funkcija. To jest, možemo govoriti o inverznoj funkciji x = g (y) kada će se y = f (x) ili smanjivati ili povećavati tijekom zadanog intervala.

Ove dvije funkcije, f i g, bit će međusobno inverzne.

Zašto nam uopće treba koncept inverznih funkcija?

Ovo nam je potrebno za rješavanje jednadžbi y = f (x), koje su napisane upravo pomoću ovih izraza.

Recimo da trebamo pronaći rješenje jednadžbe cos (x) = 1 3. Njegova rješenja bit će sve točke: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z

Na primjer, inverzni kosinus i kosinusne funkcije bit će inverzne jedna drugoj.

Pogledajmo nekoliko problema kako bismo pronašli funkcije koje su inverzne zadanim.

Primjer 1

Stanje: koja je inverzna funkcija za y = 3 x + 2?

Riješenje

Domena definicija i raspon vrijednosti funkcije navedene u uvjetu je skup svih realnih brojeva. Pokušajmo ovu jednadžbu riješiti kroz x, odnosno tako da x izrazimo kroz y.

Dobivamo x = 1 3 y - 2 3 . Ovo je inverzna funkcija koja nam treba, ali y će ovdje biti argument, a x će biti funkcija. Preuredimo ih kako bismo dobili poznatiji zapis:

Odgovor: funkcija y = 1 3 x - 2 3 bit će inverzna od y = 3 x + 2.

Obje međusobno inverzne funkcije mogu se iscrtati na sljedeći način:

Vidimo simetriju oba grafa u odnosu na y = x. Ova linija je simetrala prvog i trećeg kvadranta. Rezultat je dokaz jednog od svojstava međusobno inverznih funkcija, o čemu ćemo kasnije govoriti.

Uzmimo primjer u kojem trebamo pronaći logaritamsku funkciju koja je inverzna danoj eksponencijalnoj funkciji.

Primjer 2

Stanje: odredite koja će funkcija biti inverzna za y = 2 x.

Riješenje

Za danu funkciju, domena definicije su svi realni brojevi. Raspon vrijednosti nalazi se u intervalu 0; + ∞ . Sada treba izraziti x kroz y, odnosno riješiti navedenu jednadžbu kroz x. Dobivamo x = log 2 y. Preuredimo varijable i dobijemo y = log 2 x.

Kao rezultat dobili smo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju, koje će biti međusobno inverzne kroz cijelu domenu definiranja.

Odgovor: y = log 2 x .

Na grafikonu će obje funkcije izgledati ovako:

Osnovna svojstva međusobno inverznih funkcija

U ovom odlomku navodimo glavna svojstva funkcija y = f (x) i x = g (y), koje su međusobno inverzne.

Definicija 1

Već smo ranije izveli prvo svojstvo: y = f (g (y)) i x = g (f (x)).
Drugo svojstvo proizlazi iz prvog: domena definicije y = f (x) će se podudarati s rasponom vrijednosti inverzne funkcije x = g (y), i obrnuto.
Grafovi funkcija koje su inverzne bit će simetrični u odnosu na y = x.
Ako y = f (x) raste, tada će se x = g (y) povećati, a ako y = f (x) opada, tada će se x = g (y) također smanjiti.

Savjetujemo vam da obratite pozornost na koncepte domene definicije i domene značenja funkcija i da ih nikada ne miješate. Pretpostavimo da imamo dvije međusobno inverzne funkcije y = f (x) = a x i x = g (y) = log a y. Prema prvom svojstvu, y = f (g (y)) = log a y. Ova jednakost bit će istinita samo u slučaju pozitivnih vrijednosti y, a za negativne vrijednosti logaritam nije definiran, stoga nemojte žuriti da zapišete da je log a y = y. Svakako provjerite i dodajte da je ovo točno samo kada je y pozitivno.

Ali jednakost x = f (g (x)) = log a a x = x bit će istinita za sve stvarne vrijednosti x.

Ne zaboravite na ovu točku, osobito ako morate raditi s trigonometrijskim i inverznim trigonometrijskim funkcijama. Dakle, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, jer je raspon arkusina π 2; π 2 i 7 π 3 nisu uključeni u njega. Točan unos bit će

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Ali sin a r c sin 1 3 = 1 3 je ispravna jednakost, tj. sin (a r c sin x) = x za x ∈ - 1; 1 i a r c sin (sin x) = x za x ∈ - π 2 ; π 2. Uvijek budite oprezni s rasponom i opsegom inverznih funkcija!

Osnovne međusobno inverzne funkcije: funkcije potencije

Ako imamo funkciju potencije y = x a , tada će za x > 0 funkcija potencije x = y 1 a također biti njezin inverz. Zamijenimo slova i dobijemo redom y = x a i x = y 1 a.

Na grafikonu će izgledati ovako (slučajevi s pozitivnim i negativnim koeficijentom a):

Osnovne međusobno inverzne funkcije: eksponencijalne i logaritamske

Uzmimo a, što će biti pozitivan broj koji nije jednak 1.

Grafovi za funkcije s a > 1 i a< 1 будут выглядеть так:

Osnovne međusobno inverzne funkcije: trigonometrijske i inverzne trigonometrijske

Kad bismo iscrtali sinus i arksinus glavne grane, to bi izgledalo ovako (prikazano kao označeno svijetlo područje).

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

razvijati znanja o novoj temi u skladu s programskim gradivom;
proučiti svojstvo reverzibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći inverznu funkciju zadane;

Razvojni:

razvijati vještine samokontrole, sadržajan govor;
ovladati pojmom inverzne funkcije i naučiti metode za pronalaženje inverzne funkcije;

Odgojni: razvijati komunikacijsku kompetenciju.

Oprema: računalo, projektor, platno, interaktivna ploča SMART Board, materijali (samostalni rad) za grupni rad.

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak.

Cilj – priprema učenika za rad u nastavi:

Definicija odsutnih osoba,

Radno raspoloženje učenika, organiziranje pažnje;

Navedite temu i svrhu lekcije.

2. Obnavljanje temeljnih znanja učenika. Frontalno ispitivanje.

cilj - utvrditi ispravnost i svijest o proučenom teoretskom gradivu, ponavljanje pređenog gradiva.<Приложение 1 >

Na interaktivnoj ploči za učenike prikazan je graf funkcije. Nastavnik formulira zadatak - razmotriti graf funkcije i navesti proučavana svojstva funkcije. Učenici navode svojstva funkcije u skladu s nacrtom istraživanja. Nastavnik desno od grafa funkcije flomasterom na interaktivnoj ploči ispisuje imenovana svojstva.

Svojstva funkcije:

Na kraju studija, nastavnik izvještava da će se danas u lekciji upoznati s još jednim svojstvom funkcije - reverzibilnošću. Za smisleno proučavanje novog materijala, učitelj poziva djecu da se upoznaju s glavnim pitanjima na koja učenici moraju odgovoriti na kraju lekcije. Pitanja su napisana na običnoj ploči i svaki učenik ih ima kao materijal (dijele se prije lekcije)

Koja se funkcija naziva invertibilnom?
Je li neka funkcija invertibilna?
Koja se funkcija naziva inverzom datuma?
Kako su domena definicije i skup vrijednosti funkcije i njezin inverz povezani?
Ako je funkcija dana analitički, kako se može definirati inverzna funkcija formulom?
Ako je funkcija dana grafički, kako nacrtati njenu inverznu funkciju?

3. Objašnjenje novog gradiva.

Cilj - generirati znanje o novoj temi u skladu s programskim gradivom; proučavati svojstvo reverzibilnosti funkcije i naučiti kako pronaći inverznu funkciju zadane; razvijati sadržajni govor.

Nastavnik izlaže gradivo u skladu s gradivom u odlomku. Na interaktivnoj ploči nastavnik uspoređuje grafove dviju funkcija čije su domene definicije i skupovi vrijednosti isti, ali je jedna od funkcija monotona, a druga nije, čime učenike upoznaje s pojmom invertibilne funkcije. .

Nastavnik zatim formulira definiciju invertibilne funkcije i izvodi dokaz teorema o invertibilnoj funkciji pomoću grafa monotone funkcije na interaktivnoj ploči.

Definicija 1: Poziva se funkcija y=f(x), x X reverzibilan, ako uzima bilo koju od svojih vrijednosti samo u jednoj točki skupa X.

Teorem: Ako je funkcija y=f(x) monotona na skupu X, tada je invertibilna.

Dokaz:

Neka funkcija y=f(x) povećava se za x Pusti to x 1 ≠x 2- dva poena u setu x.
Da budem konkretan, neka x 1< x 2.
Zatim iz činjenice da x 1< x 2 slijedi to f(x 1) < f(x 2).
Dakle, različite vrijednosti argumenta odgovaraju različitim vrijednostima funkcije, tj. funkcija je invertibilna.

(Kako dokaz teorema napreduje, nastavnik koristi flomaster kako bi napravio sva potrebna objašnjenja na crtežu)

Prije formuliranja definicije inverzne funkcije nastavnik traži od učenika da odrede koja je od predloženih funkcija invertibilna? Interaktivna ploča prikazuje grafove funkcija i ispisuje nekoliko analitički definiranih funkcija:

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Nastavnik uvodi definiciju inverzne funkcije.

Definicija 2: Neka invertibilna funkcija y=f(x) definirana na setu x I E(f)=Y. Spojimo svaki g iz Y to je jedini smisao x, na kojem f(x)=y. Tada dobivamo funkciju koja je definirana na Y, A x– raspon funkcija

Ova je funkcija označena x=f -1 (y) a naziva se inverzom funkcije y=f(x).

Od učenika se traži da zaključe o povezanosti domene definiranja i skupa vrijednosti inverznih funkcija.

Za razmatranje pitanja kako pronaći inverz zadane funkcije, učitelj je privukao dva učenika. Dan ranije djeca su od učitelja dobila zadatak da samostalno analiziraju analitičku i grafičku metodu pronalaženja inverzne funkcije zadane funkcije. Učitelj je djelovao kao savjetnik u pripremi učenika za nastavu.

Poruka prvog učenika.

Napomena: monotonost funkcije je dostatan uvjet za postojanje inverzne funkcije. Ali to nije nužan uvjet.

Učenik je naveo primjere raznih situacija kada funkcija nije monotona nego invertibilna, kada funkcija nije monotona i nije invertibilna, kada je monotona i invertibilna

Student zatim upoznaje studente s metodom za pronalaženje inverzne funkcije zadane analitički.

Algoritam pronalaženja

Provjerite je li funkcija monotona.
Izrazite varijablu x kroz y.
Preimenuj varijable. Umjesto x=f -1 (y) napišite y=f -1 (x)

Zatim rješava dva primjera kako bi pronašao inverznu funkciju zadanog.

Primjer 1: Pokažite da za funkciju y=5x-3 postoji inverzna funkcija i pronađite njezin analitički izraz.

Riješenje. Linearna funkcija y=5x-3 definirana je na R, raste na R, a njezin raspon vrijednosti je R. To znači da inverzna funkcija postoji na R. Da biste pronašli njen analitički izraz, riješite jednadžbu y=5x- 3 za x; dobivamo To je tražena inverzna funkcija. Definiran je i raste na R.

Primjer 2: Pokažite da za funkciju y=x 2, x≤0 postoji inverzna funkcija i pronađite njen analitički izraz.

Funkcija je kontinuirana, monotona u domeni definicije, dakle, invertibilna je. Analizirajući domene definicije i skupove vrijednosti funkcije, donosi se odgovarajući zaključak o analitičkom izrazu za inverznu funkciju.

Drugi učenik izlaže prezentaciju o grafički metoda pronalaženja inverzne funkcije. Prilikom izlaganja učenik se koristi mogućnostima interaktivne ploče.

Da bi se dobio graf funkcije y=f -1 (x), inverzan funkciji y=f(x), potrebno je graf funkcije y=f(x) transformirati simetrično u odnosu na ravnu liniju y=x.

Tijekom objašnjavanja na interaktivnoj ploči izvodi se sljedeći zadatak:

Konstruirajte graf funkcije i graf njene inverzne funkcije u istom koordinatnom sustavu. Napiši analitički izraz za inverznu funkciju.

4. Primarno učvršćivanje novog gradiva.

cilj - utvrditi ispravnost i svijest o razumijevanju gradiva, utvrditi nedostatke u primarnom razumijevanju gradiva i ispraviti ih.

Učenici su podijeljeni u parove. Dobivaju listove sa zadacima, na kojima rade u paru. Vrijeme za dovršetak rada je ograničeno (5-7 minuta). Jedan par učenika radi na računalu, projektor se za to vrijeme gasi, a ostala djeca ne mogu vidjeti kako učenici rade na računalu.

Po isteku vremena (pretpostavlja se da je većina učenika završila s radom) radovi učenika prikazuju se na interaktivnoj ploči (ponovno se uključuje projektor), gdje se prilikom provjere utvrđuje je li zadatak ispunjen. je točno popunjen u paru. Po potrebi nastavnik provodi korektivno-obrazovni rad.

Samostalan rad u parovima<Dodatak 2 >

5. Sažetak lekcije.Što se tiče pitanja koja su postavljena prije predavanja. Objava ocjena za nastavni sat.

Domaća zadaća §10. br. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Algebra i počeci analize. Razred 10 U 2 dijela za opće obrazovne ustanove (razina profila) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. uredio A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Što je inverzna funkcija? Kako pronaći inverz zadane funkcije?

Definicija .

Neka je funkcija y=f(x) definirana na skupu D, a E skup njezinih vrijednosti. Inverzna funkcija u odnosu na funkcija y=f(x) je funkcija x=g(y), koja je definirana na skupu E i dodjeljuje svakom y∈E vrijednost x∈D tako da je f(x)=y.

Dakle, domena definicije funkcije y=f(x) je domena vrijednosti njene inverzne funkcije, a domena vrijednosti y=f(x) je domena definicije inverzne funkcije.

Da biste pronašli inverznu funkciju zadane funkcije y=f(x), trebate :

1) U funkcijskoj formuli zamijenite x umjesto y i y umjesto x:

2) Iz dobivene jednakosti izrazite y kroz x:

Nađite inverznu funkciju funkcije y=2x-6.

Funkcije y=2x-6 i y=0,5x+3 su međusobno inverzne.

Grafovi izravne i inverzne funkcije su simetrični u odnosu na ravnu liniju y=x(simetrale I i III koordinatne četvrtine).

y=2x-6 i y=0,5x+3 - . Graf linearne funkcije je . Da biste konstruirali ravnu liniju, uzmite dvije točke.

Y je moguće jednoznačno izraziti preko x u slučaju kada jednadžba x=f(y) ima jedinstveno rješenje. To se može učiniti ako funkcija y=f(x) uzima svaku od svojih vrijednosti u jednoj točki u svojoj domeni definicije (takva se funkcija naziva reverzibilan).

Teorem (potreban i dovoljan uvjet za invertibilnost funkcije)

Ako je funkcija y=f(x) definirana i kontinuirana na numeričkom intervalu, tada je da bi funkcija bila invertibilna potrebno i dovoljno da f(x) bude strogo monotona.

Štoviše, ako y=f(x) raste na intervalu, tada mu inverzna funkcija također raste na tom intervalu; ako y=f(x) opada, tada inverzna funkcija opada.

Ako uvjet reverzibilnosti nije zadovoljen u cijeloj domeni definicije, možete odabrati interval u kojem funkcija samo raste ili samo opada, i na tom intervalu pronaći funkciju inverznu zadanoj.

Klasičan primjer je. Između)