Kosinus 1 poseban slučaj. Osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako je |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Riješenje:

A) Označimo 3x=t, pa ćemo prepisati našu jednadžbu u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj varijabli: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na potenciju n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješenje:

A) Ovaj put prijeđimo odmah na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Riješenje:

Riješimo našu jednadžbu u općem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Pri k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu.
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ponovno smo pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliko k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Riješimo jednadžbu:

Riješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo se metodom uvođenja nove varijable, koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, hajmo pronaći njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riješenje:

Upotrijebimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može poprimiti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelite je s cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobivamo kontradikciju, tako da možemo sigurno dijeliti nulom.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riješenje:

Izbacimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a=0 onda će naša jednadžba imati oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), primjer rješenja je na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada obje strane jednadžbe trebate podijeliti kosinusom na kvadrat, dobivamo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer br.:3

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Zatim: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer br.:4

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer br.:5

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Uvedimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: krevetić 2 (x) + 2 krevetić (x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Trigonometrijske jednadžbe nisu laka tema. Previše su raznoliki.) Na primjer, ovi:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

itd...

Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obvezne značajke. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi s x su pronađeni unutar istih funkcija. I samo tamo! Ako se X negdje pojavi vani, Na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednadžba mješovitog tipa. Takve jednadžbe zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.

Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednadžbe.) Ovdje ćemo se baviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da jer rješenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dva stupnja. U prvoj fazi, zla jednadžba je svedena na jednostavnu kroz razne transformacije. Na drugom se rješava ova najjednostavnija jednadžba. Nema drugog načina.

Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema previše smisla.)

Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Ovdje A stoji za bilo koji broj. Bilo koje.

Usput, unutar funkcije ne mora postojati čisti X, već neka vrsta izraza, poput:

cos(3x+π /3) = 1/2

itd. To komplicira život, ali ne utječe na metodu rješavanja trigonometrijske jednadžbe.

Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?

Trigonometrijske jednadžbe mogu se riješiti na dva načina. Prvi način: pomoću logike i trigonometrijske kružnice. Ovdje ćemo pogledati ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.

Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, nejednadžbi i svih vrsta škakljivih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)

Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijske kružnice.

Uključujemo elementarnu logiku i sposobnost korištenja trigonometrijske kružnice. Zar ne znaš kako? Međutim... Teško ćete se snaći u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug...... Što je to?" i "Mjerenje kutova na trigonometrijskoj kružnici". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od udžbenika...)

Oh, znaš!? Pa čak i savladao “Praktični rad s trigonometrijskom kružnicom”!? Čestitamo. Ova će vam tema biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno veseli je to što trigonometrijskom krugu nije važno koju jednadžbu rješavate. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - sve mu je isto. Postoji samo jedno načelo rješenja.

Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednadžbu. Barem ovo:

cosx = 0,5

Moramo pronaći X. Govoreći ljudskim jezikom, trebate nađite kut (x) čiji je kosinus 0,5.

Kako smo prije koristili krug? Na njemu smo nacrtali kut. U stupnjevima ili radijanima. I to odmah pila trigonometrijske funkcije ovog kuta. Sada učinimo suprotno. Nacrtajmo kosinus na krug jednak 0,5 i odmah vidjet ćemo kutak. Ostaje samo da zapišem odgovor.) Da, da!

Nacrtajte krug i označite kosinus jednak 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Kao ovo:

Sada nacrtajmo kut koji nam daje ovaj kosinus. Zadržite pokazivač miša iznad slike (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidjet ćete baš ovaj kutak X.

Kosinus kojeg kuta je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Neki će se ljudi skeptično nasmijati, da... Kao, je li vrijedilo praviti krug kad je već sve jasno... Možete se, naravno, nasmijati...) Ali činjenica je da je to pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Poznavatelji krugova razumiju da ovdje postoji cijela hrpa drugih kutova koji također daju kosinus od 0,5.

Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, točka A će se vratiti u prvobitni položaj. Uz isti kosinus jednak 0,5. Oni. kut će se promijeniti za 360° ili 2π radijana, i kosinus - br. Novi kut 60° + 360° = 420° također će biti rješenje naše jednadžbe, jer

Može se napraviti beskonačan broj takvih potpunih okreta... I svi ti novi kutovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednadžbe. I sve ih treba nekako zapisati kao odgovor. Svi. Inače, odluka se ne računa, da...)

Matematika to može učiniti jednostavno i elegantno. Zapišite u jednom kratkom odgovoru beskonačan skup odluke. Evo kako izgleda naša jednadžba:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja ću to dešifrirati. Piši i dalje značajno Ugodnije je nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)

π /3 - ovo je isti kutak kao i mi pila na krug i odlučan prema tablici kosinusa.

2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.

n - ovo je broj potpunih, tj. cijeli broj okretaja u minuti Jasno je da n može biti jednak 0, ±1, ±2, ±3.... i tako dalje. Kao što pokazuje kratki zapis:

n ∈ Z

n pripada ( ∈ ) skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.

Ovaj zapis znači da možete uzeti bilo koji cijeli broj n . Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Što god želiš. Ako u odgovor unesete ovaj broj, dobit ćete određeni kut, što će svakako biti rješenje naše teške jednadžbe.)

Ili, drugim riječima, x = π /3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je π /3 dodati bilo koji broj punih okretaja ( n ) u radijanima. Oni. 2πn radijan.

Svi? Ne. Namjerno produljujem užitak. Da bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednadžbu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja ovako:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne samo jedan korijen, već cijeli niz korijena, zapisanih u kratkom obliku.

Ali postoje i kutovi koji također daju kosinus od 0,5!

Vratimo se našoj slici s koje smo zapisali odgovor. evo je:

Prijeđite mišem preko slike i mi vidimo drugi kut koji također daje kosinus od 0,5.Što mislite, čemu je to jednako? Trokuti su isti... Da! Jednak je kutu x , samo odgođeno u negativnom smjeru. Ovo je kut -X. Ali već smo izračunali x. π /3 ili 60°. Stoga možemo sa sigurnošću napisati:

x 2 = - π /3

Pa, naravno, dodajemo sve kutove koji se dobiju punim okretajima:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je sada sve.) Na trigonometrijskoj kružnici mi pila(tko razumije, naravno)) svi kutovi koji daju kosinus od 0,5. I zapisali smo te kutove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je rezultirao s dva beskonačna niza korijena:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je točan odgovor.

Nada, opći princip rješavanja trigonometrijskih jednadžbi korištenje kruga je jasno. Kosinus (sinus, tangens, kotangens) iz zadane jednadžbe označimo na kružnici, nacrtamo kutove koji mu odgovaraju i zapišemo odgovor. Naravno, moramo shvatiti koji smo kutovi pila na krugu. Ponekad to nije tako očito. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)

Na primjer, pogledajmo drugu trigonometrijsku jednadžbu:

Uzmite u obzir da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbama!) Samo mi je zgodnije napisati ga nego korijene i razlomke.

Radimo prema općem principu. Nacrtamo krug, označimo (na sinusnoj osi, naravno!) 0,5. Nacrtamo sve kutove koji odgovaraju ovom sinusu odjednom. Dobivamo ovu sliku:

Prvo se pozabavimo kutom x u prvom kvartalu. Podsjećamo na tablicu sinusa i određujemo vrijednost ovog kuta. To je jednostavna stvar:

x = π /6

Sjećamo se punih okreta i mirne savjesti zapisujemo prvi niz odgovora:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pola posla je obavljeno. Ali sada moramo odrediti drugi kut... Zamršenije je od korištenja kosinusa, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi kut kroz x? Da Lako! Trokuti na slici su isti, a crveni kut x jednak kutu x . Samo se on računa od kuta π u negativnom smjeru. Zato je crvena.) A za odgovor nam je potreban kut, točno izmjeren, s pozitivne poluosi OX, tj. pod kutom od 0 stupnjeva.

Lebdimo kursorom iznad crteža i vidimo sve. Prvi ugao sam maknula da ne kompliciram sliku. Kut koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:

π - x

X mi to znamo π /6 . Prema tome, drugi kut će biti:

π - π /6 = 5π /6

Opet se sjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugi niz odgovora:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je sve. Kompletan odgovor sastoji se od dva niza korijena:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jednadžbe tangensa i kotangensa mogu se jednostavno riješiti koristeći isti opći princip za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Ako, naravno, znate nacrtati tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici.

U gornjim primjerima koristio sam tabličnu vrijednost sinusa i kosinusa: 0,5. Oni. jedno od onih značenja koje učenik poznaje mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrijednosti. Odlučite, pa odlučite!)

Dakle, recimo da trebamo riješiti ovu trigonometrijsku jednadžbu:

U kratkim tablicama nema te vrijednosti kosinusa. Hladno ignoriramo ovu strašnu činjenicu. Nacrtajte kružnicu, označite 2/3 na kosinusnoj osi i nacrtajte odgovarajuće kutove. Dobili smo ovu sliku.

Pogledajmo, prvo, kut u prvoj četvrtini. Kad bismo samo znali koliko je x, odmah bismo zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Smiriti! Matematika ne ostavlja svoj narod u nevolji! Smislila je ark kosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, puno je lakše nego što mislite. Na ovom linku nema niti jedne škakljive čarolije o “inverznim trigonometrijskim funkcijama”... Ovo je suvišno u ovoj temi.

Ako ste upućeni, samo recite sebi: "X je kut čiji je kosinus jednak 2/3." I odmah, čisto prema definiciji ark kosinusa, možemo napisati:

Sjećamo se dodatnih okretaja i mirno zapisujemo prvi niz korijena naše trigonometrijske jednadžbe:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Drugi niz korijena za drugi kut gotovo se automatski zapisuje. Sve je isto, samo će X (arccos 2/3) biti s minusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I to je to! Ovo je točan odgovor. Još lakše nego s tabličnim vrijednostima. Nema potrebe ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da ova slika prikazuje rješenje kroz ark kosinus u biti, ne razlikuje se od slike za jednadžbu cosx = 0,5.

Točno! Opće načelo je upravo to! Namjerno sam nacrtao dvije gotovo identične slike. Krug nam pokazuje kut x svojim kosinusom. Je li to tabularni kosinus ili nije, svima je nepoznato. Kakav je ovo kut, π /3, ili što je arc kosinus - to je na nama da odlučimo.

Ista pjesma sa sinusom. Na primjer:

Ponovno nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte kutove. Ovo je slika koju dobivamo:

I opet je slika skoro ista kao kod jednadžbe sinx = 0,5. Opet krećemo iz kuta u prvoj četvrtini. Čemu je X jednako ako je njegov sinus 1/3? Nema problema!

Sada je prvi paket korijena spreman:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pozabavimo se drugim kutom. U primjeru s vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo jednako:

π - x

I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa što!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Ovo je potpuno točan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali jasno je, nadam se.)

Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kruga. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama s odabirom korijena na zadanom intervalu, u trigonometrijskim nejednadžbama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krugu. Ukratko, u svim zadacima koji su malo teži od standardnih.

Primijenimo znanje u praksi?)

Riješite trigonometrijske jednadžbe:

Prvo, jednostavnije, izravno iz ove lekcije.

Sada je to kompliciranije.

Savjet: ovdje ćete morati razmišljati o krugu. Osobno.)

A sada su izvana jednostavni... Zovu se i posebni slučajevi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: ovdje u krugu treba odgonetnuti gdje su dva niza odgovora, a gdje jedan... I kako napisati jedan umjesto dva niza odgovora. Da, tako da se ne izgubi niti jedan korijen iz beskonačnog broja!)

Pa, vrlo jednostavno):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Savjet: ovdje morate znati što su arksinus i arkosinus? Što je arktangens, arkotangens? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nikakve tablične vrijednosti!)

Odgovori su, naravno, zbrkani):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne ide sve? Događa se. Ponovno pročitajte lekciju. Samo zamišljeno(postoji takva zastarjela riječ...) I slijedite poveznice. Glavne poveznice su o krugu. Bez nje, trigonometrija je kao prelazak ceste sa zavezanim očima. Ponekad upali.)

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Centrirano u točki A.
α - kut izražen u radijanima.

Definicija
Sinus (sin α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine suprotnog kraka |BC| na duljinu hipotenuze |AC|.

Kosinus (cos α) je trigonometrijska funkcija koja ovisi o kutu α između hipotenuze i kraka pravokutnog trokuta, jednaka omjeru duljine susjednog kraka |AB| na duljinu hipotenuze |AC|.

Prihvaćene oznake

;
;
.

;
;
.

Graf funkcije sinusa, y = sin x

Graf kosinusne funkcije, y = cos x

Svojstva sinusa i kosinusa

Periodičnost

Funkcije y = grijeh x i y = cos x periodic s periodom 2π.

Paritet

Funkcija sinusa je neparna. Funkcija kosinus je paran.

Područje definiranja i vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Funkcije sinus i kosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije, to jest za sve x (vidi dokaz kontinuiteta). Njihova glavna svojstva prikazana su u tablici (n - cijeli broj).

Osnovne formule

Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa

Formule za sinus i kosinus iz zbroja i razlike

;
;

Formule za umnožak sinusa i kosinusa

Formule zbroja i razlike

Izražavanje sinusa kroz kosinus

;
;
;
.

Izražavanje kosinusa kroz sinus

;
;
;
.

Izražavanje kroz tangentu

; .

Kada, imamo:
; .

u:
; .

Tablica sinusa i kosinusa, tangensa i kotangensa

Ova tablica prikazuje vrijednosti sinusa i kosinusa za određene vrijednosti argumenta.

Izrazi kroz kompleksne varijable

;

Eulerova formula

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

;
;

Derivati

; . Izvođenje formula >>>

Derivacije n-tog reda:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekans, kosekans

Inverzne funkcije

Inverzne funkcije sinusa i kosinusa su arksinus i arkosinus.

Arksinus, arcsin

Arkosinus, arkos

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, “Lan”, 2009.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Videotečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.