Kako savijati matrice različitih veličina. Akcije s matricama

1. godina, viša matematika, studiranje matrice i osnovne radnje na njima. Ovdje sistematiziramo osnovne operacije koje se mogu izvoditi s matricama. Gdje započeti upoznavanje s matricama? Naravno, od najjednostavnijih stvari - definicija, osnovnih pojmova i jednostavnih operacija. Uvjeravamo vas da će matrice razumjeti svi koji im posvete barem malo vremena!

Definicija matrice

Matrica je pravokutna tablica elemenata. Pa što ako jednostavnim jezikom– tablica brojeva.

Tipično se matrice označavaju velikim slovima latiničnim slovima. Na primjer, matrica A , matrica B i tako dalje. Matrice mogu biti različitih veličina: pravokutne, kvadratne, a postoje i redne i stupčaste matrice koje se nazivaju vektori. Veličina matrice određena je brojem redaka i stupaca. Na primjer, napišimo pravokutnu matricu veličine m na n , Gdje m – broj linija, i n – broj stupaca.

Predmeti za koje i=j (a11, a22, .. ) čine glavnu dijagonalu matrice i nazivaju se dijagonalama.

Što možete učiniti s matricama? Zbrajanje/oduzimanje, pomnožiti s brojem, umnožiti među sobom, transponirati. Sada o svim ovim osnovnim operacijama na matricama po redu.

Operacije zbrajanja i oduzimanja matrica

Odmah vas upozoravamo da možete dodavati samo matrice iste veličine. Rezultat će biti matrica iste veličine. Zbrajanje (ili oduzimanje) matrica je jednostavno - samo trebate dodati njihove odgovarajuće elemente . Navedimo primjer. Izvršimo zbrajanje dviju matrica A i B veličine dva puta dva.

Oduzimanje se izvodi po analogiji, samo sa suprotnim predznakom.

Bilo koja matrica se može pomnožiti proizvoljnim brojem. Uraditi ovo, svaki njegov element trebate pomnožiti ovim brojem. Na primjer, pomnožimo matricu A iz prvog primjera s brojem 5:

Operacija množenja matrica

Ne mogu se sve matrice međusobno množiti. Na primjer, imamo dvije matrice - A i B. One se mogu međusobno množiti samo ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B. U ovom slučaju svaki element rezultirajuće matrice, koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu, bit će jednak zbroju proizvodi odgovarajućih elemenata u i-ti redak prvi faktor i j-ti stupac drugog. Da bismo razumjeli ovaj algoritam, zapišimo kako se množe dvije kvadratne matrice:

I primjer s realnim brojevima. Pomnožimo matrice:

Transponiranje matrice

Transpozicija matrice je operacija u kojoj se odgovarajući redovi i stupci mijenjaju. Na primjer, transponirajmo matricu A iz prvog primjera:

Matrična determinanta

Determinanta, ili determinanta, jedan je od osnovnih pojmova linearne algebre. Jednom davno ljudi su se dosjetili linearne jednadžbe, a iza njih smo morali smisliti odrednicu. Na kraju, na vama je da se nosite sa svime ovime, dakle, posljednji guranje!

Determinanta je numerička karakteristika kvadratne matrice koja je potrebna za rješavanje mnogih problema.
Za izračun determinante najjednostavnije kvadratne matrice potrebno je izračunati razliku umnožaka elemenata glavne i sporedne dijagonale.

Determinanta matrice prvog reda, koja se sastoji od jednog elementa, jednaka je ovom elementu.

Što ako je matrica tri puta tri? Ovo je teže, ali možete to riješiti.

Za takvu matricu vrijednost determinante jednaka je zbroju umnožaka elemenata glavne dijagonale i umnožaka elemenata koji leže na trokutima s licem paralelnim s glavnom dijagonalom, iz čega je umnožak oduzimaju se elementi sekundarne dijagonale i umnožak elemenata koji leže na trokutima s licem paralelne sekundarne dijagonale.

Srećom, izračunavanje determinanti matrica velike veličine u praksi je to rijetko potrebno.

Ovdje smo pogledali osnovne operacije na matricama. Naravno, u stvaran život možda nikada nećete naići ni na naznaku matričnog sustava jednadžbi, ili, naprotiv, možete naići na mnogo više složeni slučajevi kad stvarno morate napucati glavu. Upravo za takve slučajeve postoje stručni studentski servisi. Zatražite pomoć, dobijte kvalitetu i detaljno rješenje, uživajte u svom akademskom uspjehu i slobodnom vremenu.

S obzirom Alati pomoći će vam da naučite kako izvoditi operacije s matricama: zbrajanje (oduzimanje) matrica, transpozicija matrice, množenje matrica, pronalaženje inverzne matrice. Sav materijal predstavljen je u jednostavnom i pristupačnom obliku, dani su relevantni primjeri, tako da čak i nepripremljena osoba može naučiti kako izvoditi akcije s matricama. Za samokontrolu i samotestiranje možete besplatno preuzeti matrični kalkulator >>>.

Pokušat ću minimizirati teorijske izračune, ponegdje su moguća objašnjenja “na prste” i korištenje neznanstvenih termina. Ljubitelji čvrste teorije, molimo da se ne upuštate u kritiku, naša je zadaća naučiti izvoditi operacije s matricama.

Za SUPER BRZU pripremu na temu (tko je “gori”) postoji intenzivni pdf tečaj Matrica, determinanta i test!

Matrica je pravokutna tablica nekih elementi. Kao elementi razmatrat ćemo brojeve, odnosno numeričke matrice. ELEMENT je pojam. Preporučljivo je zapamtiti pojam, često će se pojavljivati, nije slučajnost da sam ga istaknuo podebljanim fontom.

Oznaka: matrice se obično označavaju velikim latiničnim slovima

Primjer: Razmotrite matricu dva puta tri:

Ova se matrica sastoji od šest elementi:

Svi brojevi (elementi) unutar matrice postoje sami za sebe, odnosno nema govora ni o kakvom oduzimanju:

To je samo tablica (skup) brojeva!

Također ćemo se složiti nemojte preuređivati brojevima, osim ako nije drugačije navedeno u obrazloženjima. Svaki broj ima svoje mjesto i ne može se miješati!

Predmetna matrica ima dva reda:

i tri stupca:

STANDARD: kada govorimo o veličinama matrica, onda isprva navedite broj redaka, a tek onda broj stupaca. Upravo smo raščlanili matricu dva po tri.

Ako je broj redaka i stupaca matrice isti, tada se matrica naziva kvadrat, Na primjer: – matrica tri puta tri.

Ako matrica ima jedan stupac ili jedan red, tada se i takve matrice nazivaju vektori.

Zapravo, koncept matrice poznajemo još od škole; razmotrimo, na primjer, točku s koordinatama "x" i "y": . U suštini, koordinate točke zapisuju se u matricu jedan po dva. Usput, evo primjera zašto je bitan redoslijed brojeva: i dva su potpuno različite točke avion.

Sada prijeđimo na učenje operacije s matricama:

1) Prvi čin. Uklanjanje minusa iz matrice (uvođenje minusa u matricu).

Vratimo se našoj matrici . Kao što ste vjerojatno primijetili, u ovoj matrici ima previše negativnih brojeva. To je vrlo nezgodno sa stajališta izvedbe. razne akcije s matrixom je nezgodno pisati tolike minuse, a samo dizajnerski izgleda ružno.

Pomaknimo minus izvan matrice promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:

Na nuli, kao što razumijete, znak se ne mijenja; nula je također nula u Africi.

Obrnuti primjer: . Ružno izgleda.

Unesimo minus u matricu promjenom predznaka SVAKOM elementu matrice:

Pa ispalo je puno ljepše. I što je najvažnije, bit će LAKŠE izvoditi bilo kakve radnje s matricom. Jer postoji takva matematika narodni znak: što više minusa, to više zabune i grešaka.

2) Čin drugi. Množenje matrice brojem.

Primjer:

Jednostavno je, da biste pomnožili matricu s brojem, trebate svaki element matrice pomnožen zadanim brojem. U ovom slučaju - trojka.

Još koristan primjer:

– množenje matrice razlomkom

Prvo pogledajmo što učiniti NEMA POTREBE:

NEMA POTREBE upisivati ​​razlomak u matricu, prvo, to samo komplicira daljnje radnje s matricom, a drugo, otežava učitelju provjeru rješenja (pogotovo ako – konačni odgovor zadatka).

I pogotovo, NEMA POTREBE svaki element matrice podijelite s minus sedam:

Iz članka Matematika za glupane ili odakle početi, sjećamo se toga decimale u višoj matematici ih na sve moguće načine pokušavaju izbjeći.

Jedina stvar je po mogućnostiŠto učiniti u ovom primjeru je dodati minus matrici:

Ali ako samo SVI elementi matrice su podijeljeni sa 7 bez traga, tada bi bilo moguće (i potrebno!) podijeliti.

Primjer:

U ovom slučaju možete MORAM pomnožite sve elemente matrice s jer su svi brojevi matrice djeljivi s 2 bez traga.

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji pojam “podjela”. Umjesto da kažete "ovo podijeljeno s tim", uvijek možete reći "ovo pomnoženo s razlomkom". Odnosno podjela je poseban slučaj množenje.

3) Čin treći. Transponiranje matrice.

Da biste transponirali matricu, morate upisati njezine retke u stupce transponirane matrice.

Primjer:

Transponirati matricu

Ovdje postoji samo jedan redak i prema pravilu ga treba napisati u stupcu:

– transponirana matrica.

Transponirana matrica obično je označena superskriptom ili primenom u gornjem desnom kutu.

Korak po korak primjer:

Transponirati matricu

Prvo prepisujemo prvi redak u prvi stupac:

Zatim prepisujemo drugi redak u drugi stupac:

I na kraju, prepisujemo treći redak u treći stupac:

Spreman. Grubo rečeno, transponiranje znači okretanje matrice na stranu.

4) Čin četvrti. Zbroj (razlika) matrica.

Zbroj matrica je jednostavna operacija.
NE MOGU SE SVE MATRICE SASVITI. Za zbrajanje (oduzimanje) matrica potrebno je da budu ISTE VELIČINE.

Na primjer, ako je dana matrica dva puta dva, tada se može dodati samo matricom dva puta dva i nijednom drugom!

Primjer:

Dodajte matrice I

Da biste dodali matrice, morate dodati njihove odgovarajuće elemente:

Za razliku matrica pravilo je slično, potrebno je pronaći razliku odgovarajućih elemenata.

Primjer:

Nađi razliku matrice ,

Kako odlučiti ovaj primjer lakše da se ne zabuni? Preporučljivo je da se riješite nepotrebnih minusa, dodajte minus u matricu:

Napomena: u teoriji visokoškolske matematike ne postoji koncept “oduzimanja”. Umjesto da kažete "oduzmi ovo od ovoga", uvijek možete reći "dodaj negativan broj ovome". Odnosno, oduzimanje je poseban slučaj zbrajanja.

5) Čin peti. Množenje matrice.

Koje se matrice mogu množiti?

Da bi se matrica pomnožila matricom potrebno je tako da broj stupaca matrice bude jednak broju redaka matrice.

Primjer:
Je li moguće pomnožiti matricu s matricom?

To znači da se podaci matrice mogu umnožiti.

Ali ako se matrice preslože, tada, u ovom slučaju, množenje više nije moguće!

Stoga množenje nije moguće:

Nije tako rijetko naići na zadatke s trikom, kada se od učenika traži množenje matrica čije je množenje očito nemoguće.

Treba napomenuti da je u nekim slučajevima moguće množenje matrica na oba načina.
Na primjer, za matrice, a moguće je i množenje i množenje

Dodavanje matrice:

Oduzimanje i zbrajanje matrica svodi na odgovarajuće operacije nad njihovim elementima. Operacija zbrajanja matrica ušao samo za matrice iste veličine, tj. za matrice, u kojem je broj redaka i stupaca jednak. Zbroj matrica A i B se nazivaju matrica C, čiji su elementi jednaki zbroju odgovarajućih elemenata. C = A + B c ij = a ij + b ij Definirano na sličan način razlika matrice.

Množenje matrice brojem:

Operacija množenja (dijeljenja) matrica bilo koje veličine proizvoljnim brojem svodi se na množenje (dijeljenje) svakog elementa matrice za ovaj broj. Matrix proizvod I zove se broj k matrica B, tako da

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrica- A = (-1) × A naziva se suprotno matrica A.

Svojstva zbrajanja matrica i množenja matrice brojem:

Operacije zbrajanja matrica I množenje matrice po broju imaju sljedeća svojstva: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , gdje su A, B i C matrice, a α i β brojevi.

Matrično množenje (Matrični produkt):

Operacija množenja dviju matrica upisuje se samo za slučaj kada je broj stupaca prvog matrice jednak broju redaka drugog matrice. Matrix proizvod I m×n dalje matrica U n×p, tzv matrica S m×p tako da je s ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , tj. pronađen je zbroj umnožaka elemenata i-tog retka matrice I na odgovarajuće elemente j-tog stupca matrice B. Ako matrice A i B su kvadrati iste veličine, tada umnošci AB i BA uvijek postoje. Lako je pokazati da je A × E = E × A = A, gdje je A kvadrat matrica, E - jedinica matrica iste veličine.

Svojstva množenja matrice:

Množenje matrice nije komutativno, tj. AB ≠ BA čak i ako su definirana oba umnoška. Međutim, ako za bilo koji matrice zadovoljen odnos AB=BA, onda je takav matrice nazivaju se komutativni. Najtipičniji primjer je jedan matrica, koji putuje s bilo kojim drugim matrica iste veličine. Samo kvadratni mogu biti promjenjivi matrice istog reda. A × E = E × A = A

Množenje matrice ima sljedeća svojstva: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinante 2. i 3. reda. Svojstva determinanti.

Matrična determinanta drugog reda, odn determinanta drugi red je broj koji se izračunava po formuli:

Matrična determinanta trećeg reda, odn determinanta treći red je broj koji se izračunava po formuli:

Ovaj broj predstavlja algebarski zbroj koji se sastoji od šest članova. Svaki pojam sadrži točno jedan element iz svakog retka i svakog stupca matrice. Svaki član sastoji se od umnoška tri faktora.

Znakovi s kojim članovima determinanta matrice uključeni u formulu pronalaženje determinante matrice treći red može se odrediti pomoću zadane sheme, koja se naziva pravilo trokuta ili Sarrusovo pravilo. Prva tri člana uzeta su s predznakom plus i određena s lijeve slike, a sljedeća tri člana uzeta su s predznakom minus i određena s desne slike.

Odredite broj pojmova koje treba pronaći determinanta matrice, V algebarski zbroj, možete izračunati faktorijel: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Svojstva matričnih determinanti

Svojstva determinanti matrice:

Svojstvo #1:

Matrična determinanta neće se promijeniti ako se njegovi redovi zamijene stupcima, svaki redak stupcem s istim brojem, i obrnuto (transpozicija). |A| = |A| T

Posljedica:

Kolone i retke determinanta matrice su jednaki, stoga su svojstva svojstvena redovima također ispunjena za stupce.

Svojstvo #2:

Prilikom preslagivanja 2 retka ili stupca matrična determinanta promijenit će predznak u suprotan, zadržavajući apsolutnu vrijednost, tj.

Svojstvo #3:

Matrična determinanta imati dva identična retka jednako je nuli.

Svojstvo #4:

Zajednički faktor elemenata bilo koje serije determinanta matrice može se uzeti kao znak determinanta.

Korolacije iz svojstava br. 3 i br. 4:

Ako su svi elementi određenog niza (redak ili stupac) proporcionalni odgovarajućim elementima paralelnog niza, tada je takav matrična determinanta jednaka nuli.

Svojstvo #5:

determinanta matrice jednaki su nuli, dakle matrična determinanta jednaka nuli.

Svojstvo #6:

Ako svi elementi retka ili stupca determinanta predstavljeno kao zbroj 2 člana, dakle determinanta matrice može se predstaviti kao zbroj 2 odrednice prema formuli:

Svojstvo #7:

Ako u bilo koji red (ili stupac) determinanta zatim dodajte odgovarajuće elemente drugog retka (ili stupca), pomnožene s istim brojem matrična determinanta neće promijeniti svoju vrijednost.

Primjer korištenja svojstava za izračun determinanta matrice:

Zbrajanje matrice$ A $ i $ B $ je aritmetička operacija, kao rezultat koje treba dobiti matricu $ C $, čiji je svaki element jednak zbroju odgovarajućih elemenata matrica koje se zbrajaju:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

U detalje Formula za zbrajanje dviju matrica izgleda ovako:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrica) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ kraj(pmatrica) = C$$

Imajte na umu da možete zbrajati i oduzimati samo matrice iste dimenzije. Uz zbroj ili razliku, rezultat će biti matrica $ C $ iste dimenzije kao članovi (oduzeti) matrica $ A $ i $ B $. Ako se matrice $ A $ i $ B $ razlikuju jedna od druge po veličini, tada će zbrajanje (oduzimanje) takvih matrica biti pogreška!

Formula zbraja matrice 3 puta 3, što znači da bi rezultat trebao biti matrica 3 puta 3.

Oduzimanje matrica potpuno sličan algoritmu zbrajanja, samo s predznakom minus. Svaki element tražene matrice $C$ dobiva se oduzimanjem odgovarajućih elemenata matrica $A$ i $B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Zapišimo detaljnije formula za oduzimanje dviju matrica:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) & b_(32) & b_(33) \end(pmatrica) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ kraj(pmatrica) = C$$

Također je vrijedno napomenuti da ne možete zbrajati i oduzimati matrice s običnim brojevima, kao ni s nekim drugim elementima

Bit će korisno poznavati svojstva zbrajanja (oduzimanja) za daljnja rješenja problema s matricama.

Svojstva

1. Ako su matrice $ A,B,C $ iste veličine, tada na njih vrijedi svojstvo asocijativnosti: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Za svaku matricu postoji nulta matrica, označena kao $O$, nakon zbrajanja (oduzimanja) s kojom se originalna matrica ne mijenja: $$ A \pm O = A $$
3. Za svaku matricu $ A $ koja nije nula postoji suprotna matrica $ (-A) $ čiji je zbroj jednak nuli: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. Pri zbrajanju (oduzimanju) matrica dopušteno je svojstvo komutativnosti, odnosno da se matrice $ A $ i $ B $ mogu zamijeniti: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Primjeri rješenja

U članku: "Zbrajanje i oduzimanje matrica" ​​definicije, pravila, komentari, svojstva operacija i praktični primjeri rješenja.