Kako konstruirati diedarski kut. Diedralni kut okomit na ravninu
“Dvostrani kut” - Pronađite udaljenost od točke B do ravnine. Kut C je šiljast. Trokut ABC je tupokutan. Kut C je tup. Udaljenost od točke do pravca. U tetraedru DAVS svi bridovi su jednaki. Kut između nagnutih. Udaljenost između nagnutih baza. Linearni kutovi diedralnog kuta su jednaki. Algoritam za konstruiranje linearnog kuta.
“Geometrija diedralnog kuta” - kut RSV - linearan za diedralni kut s bridom AC. Pronađite (vidite) rub i plohe diedralnog kuta. Model može biti ili voluminozan ili sklopivi. Odsjek dvostranog kuta ravninom okomitom na brid. Rubovi. pravac CP je okomit na brid CA (prema teoremu o tri okomice). kut RKV - linearni za diedarski kut s RSAV.
"Triedarski kut" - Znakovi jednakosti trokutnih kutova. Zadano je: Oabc – trostrani kut; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcija 6. Posljedice. 1) Za izračun kuta između pravca i ravnine primjenjiva je formula: Formula tri kosinusa. . Zadan je trokutni kut Oabc. Trokutasti kut. Teorema. U pravilnoj trokutastoj piramidi ravninski kut pri vrhu manji je od 120°.
“Triedarski i poliedarski kutovi” - Trokutni kutovi dodekaedra. Trokutni i tetraedarski kutovi rombskog dodekaedra. Tetraedarski kutovi oktaedra. Trokutni uglovi tetraedra. Mjerenje poliedarskih kutova. Zadatak. Poliedarski kutovi. Peterokutni kutovi ikosaedra. Vertikalni poliedarski kutovi. Trokutasti kut piramide. Neka je SA1…An konveksan n-fasetni kut.
“Kut između pravca i ravnine” - U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, pronađite kut između pravca AC1 i ravnine ADE1. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravca AA1 i ravnine ACE1. Kut između pravca i ravnine. U pravilnoj 6. prizmi A...F1, čiji su bridovi jednaki 1, nađite kut između pravca AB1 i ravnine ADE1.
“Poliedarski kut” - Konveksni poliedarski kutovi. Poliedarski kutovi. Prema broju stranica poliedarski kutovi su triedarski, tetraedarski, pentaedarski itd. C) ikozaedar. Dva ravna kuta trostranog kuta su 70° i 80°. Stoga, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.
Ukupno ima 9 prezentacija
U geometriji se za proučavanje likova koriste dva. važne karakteristike: duljine stranica i kutovi među njima. U slučaju prostornih figura ovim karakteristikama dodaju se diedralni kutovi. Pogledajmo što je to, a također opišite metodu određivanja ovih kutova na primjeru piramide.
Pojam diedralnog kuta
Svatko zna da dvije linije koje se sijeku tvore određeni kut s vrhom u točki njihova sjecišta. Ovaj kut se može izmjeriti kutomjerom ili trigonometrijske funkcije da ga izračunam. Kut koji čine dva prava kuta naziva se linearnim.
Sada zamislimo to unutra trodimenzionalni prostor Dvije su ravnine koje se sijeku pravocrtno. Prikazane su na slici.
Diedarski kut je kut između dviju ravnina koje se sijeku. Kao i linearni, mjeri se u stupnjevima ili radijanima. Ako na bilo koju točku pravca po kojem se sijeku ravnine vratimo dvije okomice koje leže u tim ravninama, tada će kut između njih biti željeni diedar. Najlakši način za određivanje ovog kuta je korištenje jednadžbi ravnine u opći pogled.
Jednadžba ravnina i formula za kut između njih
Jednadžba bilo koje ravnine u prostoru općenito se piše na sljedeći način:
A × x + B × y + C × z + D = 0.
Ovdje su x, y, z koordinate točaka koje pripadaju ravnini, koeficijenti A, B, C, D su neki poznati brojevi. Pogodnost ove jednakosti za izračunavanje diedarskih kutova je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora smjera ravnine. Označit ćemo ga s n¯. Zatim:
Vektor n¯ je okomit na ravninu. Kut između dviju ravnina jednak kutu između njihovih n 1 ¯ i n 2 ¯. Iz matematike je poznato da se kut koji čine dva vektora jednoznačno određuje iz njihova skalarnog produkta. To nam omogućuje da napišemo formulu za izračunavanje diedralnog kuta između dvije ravnine:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).
Ako zamijenimo koordinate vektora, formula će biti eksplicitno napisana:
φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2)))).
Znak modula u brojniku služi samo za određivanje oštar kut, budući da je diedralni kut uvijek manji ili jednak 90 o.
Piramida i njeni uglovi
Piramida je figura koju čine jedan n-kut i n trokuta. Ovdje je n cijeli broj jednak broju stranica mnogokuta koji je baza piramide. Ova prostorna figura je poliedar ili poliedar, jer se sastoji od ravnih lica (strana).
Piramidalni poliedri mogu biti dvije vrste:
- između baze i stranice (trokut);
- između dvije strane.
Ako razmatramo pravilnu piramidu, tada za nju nije teško odrediti imenovane kutove. Da biste to učinili, koristeći koordinate triju poznatih točaka, trebali biste izraditi jednadžbu ravnina, a zatim upotrijebiti formulu danu u gornjem odlomku za kut φ.
U nastavku dajemo primjer u kojem pokazujemo kako pronaći diedralne kutove na bazi pravilne četverokutne piramide.
Četverokut i kut na njegovoj bazi
Pretpostavimo da nam je dana pravilna piramida s kvadratnom bazom. Duljina stranice kvadrata je a, visina figure je h. Nađimo kut između baze piramide i njezine stranice.
Postavimo ishodište koordinatnog sustava u središte kvadrata. Tada će koordinate točaka A, B, C, D prikazane na slici biti jednake:
A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);
Razmotrimo ravnine ACB i ADB. Očito je da će vektor smjera n 1 ¯ za ravninu ACB biti jednak:
Da bismo odredili vektor smjera n 2 ¯ ravnine ADB, postupimo na sljedeći način: nađemo proizvoljna dva vektora koji joj pripadaju, na primjer AD¯ i AB¯, zatim izračunamo njihov vektorski produkt. Njegov rezultat će dati koordinate n 2 ¯. Imamo:
AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).
Budući da množenje i dijeljenje vektora s brojem ne mijenja njegov smjer, transformiramo rezultirajući n 2 ¯ dijeljenjem njegovih koordinata s -a, dobivamo:
Definirali smo vektore smjera n 1 ¯ i n 2 ¯ za baznu ravninu ACB i bočnu ravninu ADB. Ostaje koristiti formulu za kut φ:
φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).
Transformirajmo dobiveni izraz i prepišimo ga ovako:
φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).
Dobili smo formulu za diedralni kut na bazi pravilne četverokutne piramide. Znajući visinu figure i duljinu njezine strane, možete izračunati kut φ. Na primjer, za Keopsovu piramidu, čija je osnovna strana 230,4 metra, a početna visina 146,5 metara, kut φ bit će jednak 51,8 o.
Diedralni kut četverokutne pravilne piramide možete odrediti i pomoću geometrijske metode. Da bismo to učinili, dovoljno je razmotriti pravokutni trokut kojeg čine visina h, polovica duljine osnovice a/2 i apotem jednakokračnog trokuta.
Diedralni kut. Linearni kut diedralni kut. Diedarski kut je lik kojeg tvore dvije poluravnine koje ne pripadaju istoj ravnini i imaju zajedničku granicu – ravnu liniju a. Poluravnine koje tvore diedarski kut nazivaju se njegovim plohama, a zajednička granica tih poluravnina naziva se bridom diedralnog kuta. Linearni kut diedra kuta je kut čije su stranice zrake uz koje plohe diedra siječe ravnina okomita na brid diedra. Svaki diedralni kut ima proizvoljan broj linearnih kutova: kroz svaku točku brida može se povući ravnina okomita na taj brid; Zrake po kojima ta ravnina siječe plohe diedarskog kuta tvore linearne kutove.
Svi linearni kutovi diedralnog kuta međusobno su jednaki. Dokažimo da je osnovica okomice povučene iz vrha K središte kružnice upisane u trokut ABC ako su kutovi diedra koje čine ravnina baze piramide CABC i ravnine njezinih bočnih strana jednaki.
Dokaz. Prije svega, konstruirajmo linearne kutove jednakih diedarskih kutova. Prema definiciji, ravnina linearnog kuta mora biti okomita na rub diedralnog kuta. Prema tome, brid diedralnog kuta mora biti okomit na stranice pravocrtnog kuta. Ako je KO okomita na ravninu osnovice, tada možemo povući OR okomitu AC, ILI okomicu SV, OQ okomicu AB, a zatim spojiti točke P, Q, R SA točkom K. Tako ćemo konstruirati projekciju nagnute RK, QK. , RK tako da su bridovi AC, NE, AB okomiti na te projekcije. Prema tome, ovi rubovi su okomiti na same nagnute. Stoga su ravnine trokuta ROK, QOK, ROK okomite na odgovarajuće bridove diedarskog kuta i tvore one jednake linearne kutove koji su navedeni u uvjetu. Pravokutni trokuti ROK, QOK, ROK su sukladni (budući da imaju zajednički krak OK i kutovi nasuprot tom kraku su jednaki). Prema tome, ILI = ILI = OQ. Nacrtamo li kružnicu sa središtem O i polumjerom OP, tada su stranice trokuta ABC okomite na polumjere OP, OR i OQ i stoga tangiraju na tu kružnicu.
Okomitost ravnina. Ravnine alfa i beta nazivaju se okomitima ako je linearni kut jednog od diedralnih kutova koji nastaju u njihovom sjecištu jednak 90." Znakovi okomitosti dviju ravnina Ako jedna od dviju ravnina prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, ravnina se sastoji od dvije ravnine. onda su te ravnine okomite.
Na slici je prikazan pravokutni paralelopiped. Osnovice su mu pravokutnici ABCD i A1B1C1D1. A bočna rebra AA1 BB1, CC1, DD1 okomita su na baze. Slijedi da je AA1 okomit na AB, tj. bočna stranica je pravokutnik. Dakle, možemo opravdati svojstva pravokutnog paralelopipeda: U pravokutnom paralelopipedu svih šest stranica su pravokutnici. U pravokutnom paralelopipedu svih šest stranica su pravokutnici. Svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda su pravi kutovi. Svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda su pravi kutovi.
Teorem Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegovih triju dimenzija. Vratimo se ponovno na sliku i dokažimo da je AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Kako je brid CC1 okomit na osnovicu ABCD, kut ACC1 je prav. Iz pravokutni trokut ACC1 korištenjem Pitagorinog teorema dobivamo AC12=AC2+CC12. Ali AC je dijagonala pravokutnika ABCD, pa je AC2 = AB2 + AD2. Osim toga, CC1 = AA1. Prema tome AC12= AB2+AD2+AA12 Teorem je dokazan.
Pojam diedralnog kuta
Da bismo uveli pojam diedralnog kuta, prvo se prisjetimo jednog od aksioma stereometrije.
Bilo koja ravnina se može podijeliti na dvije poluravnine pravca $a$ koje leže u toj ravnini. U tom slučaju točke koje leže u istoj poluravnini nalaze se s jedne strane pravca $a$, a točke koje leže u različitim poluravninama nalaze se s iste strane. različite strane od pravca $a$ (slika 1).
Slika 1.
Na ovom aksiomu temelji se princip konstruiranja diedralnog kuta.
Definicija 1
Figura se zove diedralni kut, ako se sastoji od pravca i dviju poluravnina ovog pravca koje ne pripadaju istoj ravnini.
U tom slučaju nazivaju se poluravnine diedarskog kuta rubovi, a pravac koji razdvaja poluravnine je diedral brid(Sl. 1).
Slika 2. Diedralni kut
Stupanjska mjera diedralnog kuta
Definicija 2
Izaberimo proizvoljnu točku $A$ na bridu. Kut između dviju ravnina koje leže u različitim poluravninama, okomite na brid i sijeku se u točki $A$ naziva se linearni diedarski kut(slika 3).
Slika 3.
Očito je da svaki diedarski kut ima beskonačan broj linearnih kutova.
Teorem 1
Svi linearni kutovi jednog dvostranog kuta međusobno su jednaki.
Dokaz.
Razmotrimo dva pravocrtna kuta $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (slika 4).
Slika 4.
Budući da zrake $OA$ i $(OA)_1$ leže u istoj poluravnini $\alpha $ i okomite su na isti pravac, onda su one suusmjerene. Budući da zrake $OB$ i $(OB)_1$ leže u istoj poluravnini $\beta $ i okomite su na isti pravac, onda su one susmjerne. Stoga
\[\kut AOB=\kut A_1(OB)_1\]
Zbog proizvoljnosti izbora linearnih kutova. Svi linearni kutovi jednog dvostranog kuta međusobno su jednaki.
Teorem je dokazan.
Definicija 3
Stupanjska mjera diedarskog kuta je stupanjska mjera linearnog kuta diedralnog kuta.
Uzorak problema
Primjer 1
Neka su nam zadane dvije neokomite ravnine $\alpha $ i $\beta $ koje se sijeku duž pravca $m$. Točka $A$ pripada ravnini $\beta$. $AB$ je okomit na pravac $m$. $AC$ je okomita na ravninu $\alpha $ (točka $C$ pripada $\alpha $). Dokažite da je kut $ABC$ linearni kut diedralnog kuta.
Dokaz.
Nacrtajmo sliku prema uvjetima zadatka (sl. 5).
Slika 5.
Da bismo to dokazali, prisjetimo se sljedećeg teorema
Teorem 2: Ravna linija koja prolazi kroz bazu nagnute je okomita na nju, okomita na njegovu projekciju.
Budući da je $AC$ okomit na ravninu $\alpha $, tada je točka $C$ projekcija točke $A$ na ravninu $\alpha $. Dakle, $BC$ je projekcija kose $AB$. Prema teoremu 2, $BC$ je okomit na rub diedralnog kuta.
Tada kut $ABC$ zadovoljava sve uvjete za definiranje linearnog diedralnog kuta.
Primjer 2
Diedralni kut je $30^\circ$. Na jednoj plohi leži točka $A$ koja se nalazi na udaljenosti $4$ cm od druge plohe. Odredite udaljenost od točke $A$ do ruba diedralnog kuta.
Riješenje.
Pogledajmo sliku 5.
Prema uvjetu, imamo $AC=4\cm$.
Prema definiciji stupnjeve mjere diedarskog kuta, imamo da je kut $ABC$ jednak $30^\circ$.
Trokut $ABC$ je pravokutni trokut. Po definiciji sinusa oštrog kuta
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:
U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i točke. Zrake koje izlaze iz jedne točke tvore jedan od njihovih geometrijskih oblika - kut.
Znamo da se linearni kut mjeri u stupnjevima i radijanima.
U stereometriji se objektima dodaje ravnina. Lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkim rubom a koje ne pripadaju istoj ravnini u geometriji se naziva diedarski kut. Poluravnine su plohe diedarskog kuta. Ravnica a je brid diedralnog kuta.
Diedralni kut, kao i linearni kut, može se imenovati, mjeriti i konstruirati. To je ono što moramo saznati u ovoj lekciji.
Nađimo diedarski kut na modelu tetraedra ABCD.
Diedralni kut s rubom AB naziva se CABD, gdje točke C i D pripadaju različitim plohama kuta, a brid AB se naziva u sredini
Oko nas ima dosta predmeta s elementima u obliku diedralnog kuta.
U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je izrađena u obliku dvije nagnute ravnine koje se spajaju prema središtu.
Kod gradnje kuća tzv dvovodni krov. Na ovoj kući krov je napravljen u obliku diedralnog kuta od 90 stupnjeva.
Diedralni kut se također mjeri u stupnjevima ili radijanima, ali kako to izmjeriti.
Zanimljivo je da se krovovi kuća oslanjaju na rogove. A obloga splavi oblikuje dvije krovne padine pod određenim kutom.
Prenesimo sliku na crtež. Na crtežu, za pronalaženje diedralnog kuta, na njegovom rubu označena je točka B. Iz te točke povučene su dvije zrake BA i BC okomite na rub kuta. Kut ABC koji čine te zrake naziva se linearni diedarski kut.
Stupanjska mjera diedarskog kuta jednaka je stupnjevskoj mjeri njegovog linearnog kuta.
Izmjerimo kut AOB.
Mjera stupnja danog diedralnog kuta je šezdeset stupnjeva.
Za diedarski kut može se nacrtati beskonačan broj linearnih kutova; važno je znati da su svi jednaki.
Promotrimo dva linearna kuta AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj plohi i okomite su na pravac OO1, pa su susmjerne. Zrake OB i O1B1 također su suusmjerene. Dakle, kut AOB jednak je kutu A1O1B1 kao kutovi s istosmjernim stranicama.
Dakle, diedralni kut karakterizira linearni kut, a linearni kutovi su oštri, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedarskih kutova.
Tupi kut je ako je njegov linearni kut između 90 i 180 stupnjeva.
Pravi kut ako je njegov linearni kut 90 stupnjeva.
Oštri kut, ako je njegov linearni kut od 0 do 90 stupnjeva.
Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog kuta.
Ravnina linearnog kuta okomita je na brid diedarskog kuta.
Neka je kut AOB linearni kut zadanog diedralnog kuta. Po konstrukciji su zrake AO i OB okomite na pravac a.
Ravnina AOB prolazi kroz dva siječna pravca AO i OB prema teoremu: Ravnina prolazi kroz dva siječna pravca i to samo jedan.
Pravac a je okomit na dva pravca koji se sijeku u toj ravnini, što znači da je, na temelju okomitosti pravca i ravnine, pravac a okomit na ravninu AOB.
Za rješavanje problema važno je znati konstruirati linearni kut zadanog diedralnog kuta. Konstruirajte linearni kut diedarskog kuta s bridom AB za tetraedar ABCD.
Riječ je o diedralnom kutu kojeg prvo tvore brid AB, jedna stranica ABD, a druga stranica ABC.
Evo jednog načina da ga izgradite.
Povucimo okomicu iz točke D na ravninu ABC. Označimo točku M kao osnovicu okomice. Podsjetimo se da se u tetraedru baza okomice poklapa sa središtem upisane kružnice u osnovici tetraedra.
Povucimo nagnuti pravac iz točke D okomito na rub AB, označimo točku N kao osnovicu nagnutog pravca.
U trokutu DMN isječak NM bit će projekcija nagnute DN na ravninu ABC. Prema teoremu o tri okomice, brid AB bit će okomit na projekciju NM.
To znači da su stranice kuta DNM okomite na brid AB, što znači da je konstruirani kut DNM željeni linearni kut.
Razmotrimo primjer rješavanja problema izračuna diedralnog kuta.
Jednakokračni trokut ABC i pravilni trokut ADB ne leže u istoj ravnini. Dužina CD je okomita na ravninu ADB. Odredi diedarski kut DABC ako je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Diedarski kut DABC jednak je njegovom linearnom kutu. Izgradimo ovaj kut.
Povucimo nagnutu CM okomito na brid AB, budući da je trokut ACB jednakokračan, tada će se točka M podudarati sa sredinom brida AB.
Pravac CD okomit je na ravninu ADB, što znači da je okomit na pravac DM koji leži u toj ravnini. A segment MD je projekcija nagnute CM na ravninu ADV.
Pravac AB konstrukcijski je okomit na nagnutu CM, što znači da je prema teoremu o tri okomice okomit na projekciju MD.
Dakle, na brid AB nalaze se dvije okomice CM i DM. To znači da tvore linearni kut CMD diedralnog kuta DABC. I sve što trebamo učiniti je pronaći ga iz pravokutnog trokuta CDM.
Dakle, isječak SM je središnja i visina jednakokračnog trokuta ACB, tada je prema Pitagorinom poučku krak SM jednak 4 cm.
Iz pravokutnog trokuta DMB, prema Pitagorinom poučku, krak DM jednak je dvama korijenima iz tri.
Kosinus kuta iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjedne krake MD i hipotenuze CM i jednak je trima korijenima od tri puta dva. To znači da je kut CMD 30 stupnjeva.
