Kako pronaći područje po duljini i širini. Kalkulator za izračun površine parcele nepravilnog oblika

Jedna od prvih formula koja se proučava u matematici vezana je za pravokutnik. Ujedno je i najčešće korišten. Pravokutne površine okružuju nas posvuda, pa često trebamo znati njihove površine. Barem da saznate je li dostupna boja dovoljna za bojanje podova.

Koje jedinice za površinu postoje?

Ako govorimo o onom koji je prihvaćen kao međunarodni, onda to i bude četvorni metar. Pogodan je za korištenje pri izračunavanju površina zidova, stropova ili podova. Oni označavaju područje stanovanja.

Kada govorimo o o manjim predmetima, zatim unesite kvadratne decimetre, centimetre ili milimetre. Potonji su potrebni ako lik nije veći od nokta.

Kada se mjeri površina grada ili države, kvadratni kilometri su najprikladniji. Ali postoje i jedinice koje se koriste za označavanje veličine površine: ar i hektar. Prvi od njih naziva se i sto.

Što ako su zadane stranice pravokutnika?

Na sličan način se računa, što je poseban slučaj pravokutnika. Budući da su sve strane jednake, proizvod postaje kvadrat slova A.

Što ako je lik prikazan na kariranom papiru?

U ovoj situaciji morate se osloniti na broj ćelija unutar figure. Koristeći njihov broj, lako je izračunati površinu pravokutnika. Ali to se može učiniti kada se stranice pravokutnika podudaraju s linijama ćelija.

Često je pravokutnik postavljen na takav način da su njegove stranice nagnute u odnosu na liniju papira. Tada je broj ćelija teško odrediti, pa izračunavanje površine pravokutnika postaje kompliciranije.

Prvo ćete morati saznati područje pravokutnika, koji se može nacrtati u ćelijama točno oko ove. Jednostavno je: pomnožite visinu i širinu. Zatim od dobivene površine oduzmite sve, a ima ih četiri. Usput, izračunavaju se kao pola proizvoda nogu.

Konačni rezultat će dati površinu ovog pravokutnika.

Što učiniti ako su stranice nepoznate, a zadana je njezina dijagonala i kut između dijagonala?

Prije toga, u ovoj situaciji, morate izračunati njegove strane kako biste upotrijebili već poznatu formulu. Prvo morate zapamtiti svojstvo njegovih dijagonala. One su jednake i raspolavljaju točkom presjeka. Na crtežu možete vidjeti da dijagonale dijele pravokutnik na četiri jednakokračna trokuta, koji su u parovima međusobno jednaki.

Jednake stranice ovih trokuta definirane su kao polovice dijagonale, što je poznato. Odnosno, svaki trokut ima dvije stranice i kut između njih koji su zadani u zadatku. Možeš koristiti

Jedna stranica pravokutnika izračunat će se pomoću formule koja koristi jednake stranice trokuta i kosinus zadanog kuta. Za izračun sekunde, vrijednost kosinusa morat će se uzeti iz kuta koji je jednak razlici od 180 i poznatog kuta.

Što učiniti ako problem daje perimetar?

Obično stanje označava i omjer duljine i širine. Pitanje kako izračunati površinu pravokutnika u ovom je slučaju jednostavnije pomoću konkretnog primjera.

Pretpostavimo da je u zadatku opseg određenog pravokutnika 40 cm, a poznato je i da je njegova duljina jedan i pol puta veća od širine. Morate saznati njegovo područje.

Rješavanje problema počinje pisanjem formule perimetra. Pogodnije je zapisati ga kao zbroj duljine i širine, od kojih se svaki zasebno množi s dva. Ovo će biti prva jednadžba u sustavu koju treba riješiti.

Drugi je povezan s omjerom širine i visine koji je poznat po uvjetu. Prva stranica, odnosno duljina, jednaka je umnošku druge (širine) i broja 1,5. Ova se jednakost mora zamijeniti u formulu za opseg.

Ispada da on jednak zbroju dva monoma. Prvi je umnožak broja 2 i nepoznate širine, drugi je umnožak brojeva 2 i 1,5 i iste širine. Postoji samo jedna nepoznanica u ovoj jednadžbi: širina. Trebate ga prebrojati, a zatim pomoću druge jednakosti izračunati duljinu. Sve što ostaje je pomnožiti ova dva broja da biste saznali površinu pravokutnika.

Izračuni daju sljedeće vrijednosti: širina - 8 cm, duljina - 12 cm i površina - 96 cm 2. Zadnji broj je odgovor na razmatrani problem.

upute

Na primjer, znate da je duljina jedne od stranica (a) 7 cm, i perimetar pravokutnik(P) je jednak 20 cm Budući da perimetar bilo kojeg lika jednak je zbroju duljina njegovih stranica, i pravokutnik suprotne strane jednake, tada je njegova perimetar a će izgledati ovako: P = 2 x (a + b), ili P = 2a + 2b. Iz ove formule slijedi da možete pronaći duljinu druge stranice (b) pomoću jednostavne operacije: b = (P – 2a) : 2. Dakle, u našem slučaju stranica b bit će jednaka (20 – 2 x 7) : 2 = 3 cm .

Sada, znajući duljine obiju susjednih stranica (a i b), možete ih zamijeniti u formulu površine S = ab. U ovom slučaju pravokutnik bit će jednako 7x3 = 21. Imajte na umu da mjerne jedinice više neće biti , nego kvadratni centimetri, budući da ste također međusobno pomnožili duljine dviju stranica njihovih mjernih jedinica (centimetra).

Izvori:

• Koliki je opseg pravokutnika?

Ravna figura koja se sastoji od četiri strane i četiri prava kuta. Od svih brojki kvadrat pravokutnik moraju se izračunavati češće od drugih. Ovo i kvadrat apartmani, i kvadrat vrtna parcela, I kvadrat površine stola ili polica. Na primjer, jednostavno pozadinu sobe, izračunavaju kvadrat njegovih pravokutnih zidova.

upute

Usput, iz pravokutnik može se lako izračunati kvadrat. Dovoljno je dovršiti pravokutni da pravokutnik tako da hipotenuza postane dijagonala pravokutnik. Tada će biti očito da kvadrat takav pravokutnik jednak je umnošku kraka trokuta, i kvadrat samog trokuta, prema tome, jednaka je polovici produkta kateta.

Video na temu

Poseban slučaj paralelograma - pravokutnik - poznat je samo u euklidskoj geometriji. U pravokutnik Svi su kutovi jednaki, a svaki zasebno čini 90 stupnjeva. Na temelju privatnih posjeda pravokutnik, a također iz svojstava paralelograma može se saznati o paralelnosti suprotnih strana strane figure uz zadane dijagonale i kut iz njihova sjecišta. Izračunavanje strana pravokutnik temelji se na dodatnim konstrukcijama i primjeni svojstava dobivenih figura.

upute

Slovom A označite točku sjecišta dijagonala. Razmotrite EFA formiranu konstruktima. Prema imovini pravokutnik njegove dijagonale su jednake i raspolavljaju sjecište A. Izračunajte vrijednosti FA i EA. Budući da je trokut EFA jednakokračan i njegov strane EA i FA su međusobno jednake odnosno jednake polovici dijagonale EG.

Zatim izračunajte prvi EF pravokutnik. Ova strana je treća nepoznata stranica razmatranog trokuta EFA. Prema teoremu kosinusa, upotrijebite odgovarajuću formulu za pronalaženje stranice EF. Da biste to učinili, zamijenite prethodno dobivene vrijednosti stranica FA EA i kosinusa poznatog kuta između njih α u formulu kosinusa. Izračunajte i zabilježite dobivenu EF vrijednost.

Pronađite drugu stranu pravokutnik F.G. Da biste to učinili, razmotrite drugi trokut EFG. Pravokutna je, gdje su poznate hipotenuza EG i krak EF. Prema Pitagorinom teoremu, pronađite drugi krak od FG pomoću odgovarajuće formule.

Pripada najjednostavnijem stanu geometrijski oblici i jedan je od posebnih slučajeva paralelograma. Posebnost takvog paralelograma – pravi kutovi u sva četiri vrha. Ograničeno strankama pravokutnik kvadrat može se izračunati na više načina, pomoću dimenzija njegovih stranica, dijagonala i kutova između njih, polumjera upisane kružnice itd.

upute

Ako je poznata veličina kuta (α) koji čini dijagonalu pravokutnik na jednoj od njegovih stranica, kao i duljina (C) ove dijagonale, a zatim za izračunavanje površine možete koristiti definicije trigonometrije u pravokutniku. Pravokutni trokut ovdje čine dvije stranice četverokuta i njegova dijagonala. Iz definicije kosinusa proizlazi da će duljina jedne od strana biti jednaka proizvodu duljine dijagonale i kuta, vrijednost je poznata. Iz definicije sinusa možemo izvesti formulu za duljinu druge stranice - ona je jednaka umnošku duljine dijagonale i sinusa istog kuta. Zamijenite ove identitete u formulu iz prethodnog koraka i ispada da za pronalaženje površine trebate pomnožiti sinus i kosinus poznatog kuta, kao i duljinu dijagonale pravokutnik: S=sin(α)*cos(α)*S².

Ako je uz duljinu dijagonale (C) pravokutnik Ako je poznata veličina kuta (β) koji dijagonale tvore, tada za izračunavanje površine figure također možete koristiti jedan od trigonometrijske funkcije- sinus. Kvadrirajte duljinu dijagonale i pomnožite rezultat s polovicom sinusa poznatog kuta: S=S²*sin(β)/2.

Ako je (r) kruga upisanog u pravokutnik poznat, tada da biste izračunali površinu, podignite ovu vrijednost na drugu potenciju i učetverostručite rezultat: S=4*r². Četverokut u koji je to moguće bit će kvadrat, a duljina njegove stranice jednaka je promjeru upisane kružnice, odnosno dvostrukom radijusu. Formula se dobiva zamjenom duljina stranica izraženih polumjerom u identitet iz prvog koraka.

Ako su poznate duljine (P) i jedna od stranica (A). pravokutnik, zatim da biste pronašli površinu unutar tog opsega, izračunajte polovicu umnoška duljine stranice i razlike između duljine opsega i dvije duljine ove stranice: S=A*(P-2*A)/2.

Video na temu

Ne samo učenici u nastavi geometrije suočeni su sa zadatkom pronalaženja perimetra ili površine poligona. Ponekad se dogodi da to riješi odrasla osoba. Jeste li ikada brojali potreban iznos tapeta za sobu? Ili ste možda izmjerili opseg ljetna kućica ograditi? Stoga je poznavanje osnova geometrije ponekad neophodno za realizaciju važnih projekata.

U svakodnevnom životu moramo se nositi s takvim pojmom kao što je područje. Tako, na primjer, kada gradite kuću morate ga znati kako biste izračunali iznos potreban materijal. Veličina okućnice također će biti karakterizirana njegovom površinom. Čak ni renoviranje u stanu ne može se učiniti bez ove definicije. Stoga je pitanje kako pronaći površinu pravokutnika na našem životni put pojavljuje se vrlo često i važno je ne samo za školsku djecu.

Za one koji ne znaju, pravokutnik je ravna figura čije su nasuprotne stranice jednake, a kutovi 90°. Za označavanje površine u matematici koristi se englesko slovo S. Mjeri se u kvadratnih jedinica: metri, centimetri i tako dalje.

Sada ćemo pokušati dati detaljan odgovor na pitanje kako pronaći područje pravokutnika. Postoji nekoliko načina za određivanje ove vrijednosti. Najčešće se susrećemo s metodom određivanja površine pomoću širine i duljine.

Uzmimo pravokutnik širine b i duljine k. Da biste izračunali površinu zadanog pravokutnika, trebate pomnožiti širinu s duljinom. Sve se to može prikazati u obliku formule koja će izgledati ovako: S = b * k

Sada pogledajmo ovu metodu na konkretnom primjeru. Potrebno je odrediti površinu vrtne parcele širine 2 metra i duljine 7 metara.

S = 2 * 7 = 14 m2

U matematici, posebno u srednjoj školi, moramo odrediti površinu na druge načine, jer u mnogim slučajevima ne znamo ni duljinu ni širinu pravokutnika. U isto vrijeme, postoje i druge poznate količine. Kako pronaći površinu pravokutnika u ovom slučaju?

Ako znamo duljinu dijagonale i jedan od kutova koji čine dijagonalu s bilo kojom stranom pravokutnika, tada ćemo u ovom slučaju morati zapamtiti područje pravokutnog trokuta. Uostalom, ako pogledate, pravokutnik se sastoji od dva jednaka pravokutni trokuti. Dakle, vratimo se na utvrđenu vrijednost. Prvo morate odrediti kosinus kuta. Pomnožite dobivenu vrijednost s duljinom dijagonale. Kao rezultat, dobivamo duljinu jedne od strana pravokutnika. Slično, ali koristeći definiciju sinusa, možete odrediti duljinu druge strane. Kako sada pronaći površinu pravokutnika? Da, vrlo je jednostavno, pomnožite dobivene vrijednosti.

U obliku formule to će izgledati ovako:

S = cos(a) * sin(a) * d2, gdje je d duljina dijagonale

Drugi način određivanja površine pravokutnika je kroz krug koji je u njega upisan. Koristi se ako je pravokutnik kvadrat. Za upotrebu ovu metodu morate znati polumjer kruga. Kako izračunati površinu pravokutnika na ovaj način? Naravno, prema formuli. Nećemo to dokazati. I to izgleda ovako: S = 4 * r2, gdje je r radijus.

Dešava se da umjesto polumjera znamo promjer upisane kružnice. Tada će formula izgledati ovako:

S=d2, gdje je d promjer.

Ako su jedna od strana i opseg poznati, kako onda saznati područje pravokutnika u ovom slučaju? Da biste to učinili, morate napraviti niz jednostavnih izračuna. Kao što znamo, suprotne stranice pravokutnika su jednake, pa se poznata duljina pomnožena s dva mora oduzeti od vrijednosti opsega. Rezultat podijelite s dva i dobijete duljinu druge strane. Pa, onda je standardna tehnika pomnožiti obje strane i dobiti površinu pravokutnika. U obliku formule to će izgledati ovako:

S=b* (P - 2*b), gdje je b duljina stranice, P opseg.

Kao što vidite, može se odrediti površina pravokutnika različiti putevi. Sve ovisi o tome koje količine znamo prije razmatranja ovog pitanja. Naravno, najnovije metode računanja praktički se nikad ne susreću u životu, ali mogu biti korisne za rješavanje mnogih problema u školi. Možda će ovaj članak biti koristan za rješavanje vaših problema.

Definicija.

Pravokutnici se međusobno razlikuju samo po omjeru duge i kraće stranice, ali su sva četiri kuta prava, odnosno 90 stupnjeva.

Dulja stranica pravokutnika naziva se duljina pravokutnika, a onaj kratki - širina pravokutnika.

Stranice pravokutnika su ujedno i njegove visine.

Osnovna svojstva pravokutnika

Pravokutnik može biti paralelogram, kvadrat ili romb.

1. Nasuprotne stranice pravokutnika imaju jednake duljine, odnosno jednake su:

AB = CD, BC = AD

2. Nasuprotne stranice pravokutnika su paralelne:

3. Susjedne stranice pravokutnika uvijek su okomite:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Sva četiri kuta pravokutnika su ravna:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Zbroj kutova pravokutnika je 360 ​​stupnjeva:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Dijagonale pravokutnika imaju jednake duljine:

7. Zbroj kvadrata dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata stranica:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Svaka dijagonala pravokutnika dijeli pravokutnik na dva jednaka lika, odnosno pravokutna trokuta.

9. Dijagonale pravokutnika sijeku se i dijele na pola u sjecištu:

10. Točka sjecišta dijagonala naziva se središtem pravokutnika, a također je i središtem opisane kružnice

11. Dijagonala pravokutnika je promjer opisane kružnice

12. Uvijek možete opisati krug oko pravokutnika, jer je zbroj suprotnih kutova 180 stupnjeva:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Krug se ne može upisati u pravokutnik čija duljina nije jednaka njegovoj širini, jer zbrojevi nasuprotnih stranica nisu međusobno jednaki (krug se može upisati samo u poseban slučaj pravokutnik – kvadrat).

Stranice pravokutnika

Definicija.

Formule za određivanje duljina stranica pravokutnika

1. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz dijagonalu i drugu stranicu:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. Formula za stranicu pravokutnika (duljina i širina pravokutnika) kroz površinu i drugu stranicu:

Dijagonala pravokutnika

Definicija.

Formule za određivanje duljine dijagonale pravokutnika

1. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći dvije stranice pravokutnika (putem Pitagorinog teorema):

d = √ a 2 + b 2

2. Formula za dijagonalu pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:

4. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu polumjera opisane kružnice:

d = 2R

5. Formula za dijagonalu pravokutnika u smislu promjera opisane kružnice:

d = D o

6. Formula za dijagonalu pravokutnika koja koristi sinus kuta uz dijagonalu i duljinu stranice nasuprot ovom kutu:

8. Formula za dijagonalu pravokutnika kroz sinus oštar kut između dijagonala i površine pravokutnika

d = √2S: grijeh β

Opseg pravokutnika

Definicija.

Formule za određivanje duljine opsega pravokutnika

1. Formula za opseg pravokutnika s dvije stranice pravokutnika:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. Formula za opseg pravokutnika koristeći površinu i bilo koju stranicu:

3. Formula za opseg pravokutnika pomoću dijagonale i bilo koje stranice:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formula za opseg pravokutnika pomoću polumjera opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Formula za opseg pravokutnika koristeći promjer opisane kružnice i bilo koje stranice:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Površina pravokutnika

Definicija.

Formule za određivanje površine pravokutnika

1. Formula za površinu pravokutnika s dvije strane:

S = a b

2. Formula za površinu pravokutnika pomoću perimetra i bilo koje strane:

5. Formula za površinu pravokutnika pomoću polumjera opisanog kruga i bilo koje strane:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Formula za površinu pravokutnika pomoću promjera opisanog kruga i bilo koje strane:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2

Oko pravokutnika opisana kružnica

Definicija.

Formule za određivanje polumjera kruga opisanog oko pravokutnika

1. Formula za polumjer kružnice opisane oko pravokutnika kroz dvije stranice:

U svakodnevnom životu moramo se nositi s takvim pojmom kao što je područje. Tako, na primjer, kada gradite kuću morate to znati kako biste izračunali količinu potrebnog materijala. Veličina okućnice također će biti karakterizirana njegovom površinom. Čak ni renoviranje u stanu ne može se učiniti bez ove definicije. Stoga se pitanje kako pronaći područje pravokutnika pojavljuje vrlo često i važno je ne samo za školarce.

Za one koji ne znaju, pravokutnik je ravna figura kojoj su nasuprotne stranice jednake, a kutovi iznose 90 stupnjeva. Za označavanje površine u matematici koristi se englesko slovo S. Mjeri se u kvadratnim jedinicama: metrima, centimetrima i tako dalje.

Sada ćemo pokušati dati detaljan odgovor na pitanje kako pronaći područje pravokutnika. Postoji nekoliko načina za određivanje ove vrijednosti. Najčešće se susrećemo s metodom određivanja površine pomoću širine i duljine.

Uzmimo pravokutnik širine b i duljine k. Da biste izračunali površinu zadanog pravokutnika, trebate pomnožiti širinu s duljinom. Sve se to može prikazati u obliku formule koja će izgledati ovako: S = b * k.

Sada pogledajmo ovu metodu na konkretnom primjeru. Potrebno je odrediti površinu vrtne parcele širine 2 metra i duljine 7 metara.

S = 2 * 7 = 14 m2

U matematici, posebno u matematici, moramo odrediti površinu na druge načine, jer u mnogim slučajevima ne znamo ni duljinu ni širinu pravokutnika. U isto vrijeme, postoje i druge poznate količine. Kako pronaći površinu pravokutnika u ovom slučaju?

• Ako znamo duljinu dijagonale i jedan od kutova koji čine dijagonalu s bilo kojom stranom pravokutnika, tada ćemo u ovom slučaju morati zapamtiti površinu. Uostalom, ako pogledate na to, pravokutnik se sastoji od dva jednaka pravokutna trokuta. Dakle, vratimo se na utvrđenu vrijednost. Prvo morate odrediti kosinus kuta. Pomnožite dobivenu vrijednost s duljinom dijagonale. Kao rezultat, dobivamo duljinu jedne od strana pravokutnika. Slično, ali koristeći definiciju sinusa, možete odrediti duljinu druge strane. Kako sada pronaći površinu pravokutnika? Da, vrlo je jednostavno, pomnožite dobivene vrijednosti.

U obliku formule to će izgledati ovako:

S = cos(a) * sin(a) * d2, gdje je d duljina dijagonale

• Drugi način određivanja površine pravokutnika je kroz krug koji je u njega upisan. Koristi se ako je pravokutnik kvadrat. Da biste koristili ovu metodu, morate znati Kako izračunati površinu pravokutnika na ovaj način? Naravno, prema formuli. Nećemo to dokazati. I to izgleda ovako: S = 4 * r2, gdje je r radijus.

Dešava se da umjesto polumjera znamo promjer upisane kružnice. Tada će formula izgledati ovako:

S=d2, gdje je d promjer.

• Ako su jedna od strana i opseg poznati, kako onda saznati područje pravokutnika u ovom slučaju? Da biste to učinili, morate napraviti niz jednostavnih izračuna. Kao što znamo, suprotne stranice pravokutnika su jednake, pa se poznata duljina pomnožena s dva mora oduzeti od vrijednosti opsega. Rezultat podijelite s dva i dobijete duljinu druge strane. Pa, onda je standardna tehnika pomnožiti obje strane i dobiti površinu pravokutnika. U obliku formule to će izgledati ovako:

S=b* (P - 2*b), gdje je b duljina stranice, P opseg.

Kao što vidite, površina pravokutnika može se odrediti na različite načine. Sve ovisi o tome koje količine znamo prije razmatranja ovog pitanja. Naravno, najnovije metode računanja praktički se nikad ne susreću u životu, ali mogu biti korisne za rješavanje mnogih problema u školi. Možda će ovaj članak biti koristan za rješavanje vaših problema.