Istraživački rad: “Povijest nastanka kvadratnih jednadžbi.” Iz povijesti nastanka kvadratnih jednadžbi
Iz povijesti kvadratnih jednadžbi Autor: učenica 9. “A” razreda Svetlana Radchenko Voditelj: Alabugina I.A. učitelj matematike MBOU “Srednja škola br. 5 u Guryevsku” regija Kemerovo Predmetno područje prezentacije: matematika Napravljeno da pomogne učitelju Ukupno 20 slajdova Sadržaj Uvod………………………………………………… …………… ……………3 Iz povijesti nastanka kvadratne jednadžbe Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu………………………………….4 Kvadratne jednadžbe u Indiji…………………………………………………………...5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khorezmiju………………………………………………………6 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe………………….....7 Kvadratne jednadžbe u Europa Xll – XVIII stoljeća………………………………...8 3. Kvadratne jednadžbe danas……………………………………………………….10 Metodologija za proučavanje kvadratnih jednadžbi……………………………………11 10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi……………………………….12 Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi………… ………………13 Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi jednadžbi…………………………..14 Rješavanje zadanih kvadratnih jednadžbi…………………………………15 4. Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema…………………………………………………………………………………….16 5. Zaključak. ……………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Popis korištene literature………………… ………………… …………….19 2 Uvod Smatrajte nesretnim onaj dan ili onaj sat u kojem niste naučili ništa novo, niste ništa dodali svom obrazovanju. Jan Amos Comenius 3 Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Kvadratne jednadžbe zauzimaju vodeće mjesto u školskom tečaju algebre. Puno vremena u školskom tečaju matematike posvećeno je njihovom proučavanju. U osnovi, kvadratne jednadžbe služe određenim praktičnim svrhama. Većina problema oko prostornih oblika i kvantitativnih odnosa u stvarnom svijetu svodi se na rješavanje različite vrste jednadžbe, uključujući kvadratne. Ovladavajući načinima njihova rješavanja, ljudi pronalaze odgovore na razna pitanja iz znanosti i tehnologije. Iz povijesti nastanka kvadratnih jednadžbi Stari Babilon: već oko 2000 godina prije Krista Babilonci su znali rješavati kvadratne jednadžbe. Poznate su metode za rješavanje i potpunih i nepotpunih kvadratnih jednadžbi. Na primjer, u starom Babilonu rješavane su sljedeće kvadratne jednadžbe: 4 Indija Problemi riješeni pomoću kvadratnih jednadžbi nalaze se u raspravi o astronomiji "Aryabhattiam", koju je napisao indijski astronom i matematičar Aryabhatta 499. godine. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta, skicirao je univerzalno pravilo za rješavanje kvadratne jednadžbe svedene na kanonski oblik: ax2+bx=c; Štoviše, pretpostavilo se da bi svi koeficijenti u njemu, osim "a", mogli biti negativni. Pravilo koje je formulirao znanstvenik u biti se podudara s modernim. 5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khorezmiju: U algebarskoj raspravi Al-Khorezmija, dana je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih na sljedeći način: "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax2 = bx.; "Kvadrati su jednaki brojevima", tj. ax2 = c; "Korijeni su jednaki broju", tj. ax = c; "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. ax2 + c = bx; “Kvadrati i korijeni su jednaki broju,” tj. ax2 + bx = c; "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c = ax2. 6 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe: Jedan od najjedinstvenijih starogrčkih matematičara bio je Diofant iz Aleksandrije. Ni godina rođenja ni datum Diofantove smrti nisu razjašnjeni; Vjeruje se da je živio u 3. stoljeću. OGLAS Od Diofantovih djela najvažnija je Aritmetika, od kojih je 13 knjiga samo 6 sačuvano do danas. Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavan prikaz algebre, ali sadrži niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih konstruiranjem jednadžbi različitih stupnjeva. Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje. 7 Kvadratne jednadžbe u Europi od 12. do 17. stoljeća: Talijanski matematičar Leonard Fibonacci samostalno je razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulirao je u Europi 1544. Michael Stiefel. 8 Francois Viet, francuski matematičar F. Viet (1540-1603), uveo je sustav algebarskih simbola, razvio temelje elementarne algebre. Jedan je od prvih koji je brojeve označavao slovima, čime je značajno razvio teoriju jednadžbi. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opći pogled Viet ga ima, ali Viet je priznavao samo pozitivne korijene. 9 Kvadratne jednadžbe danas Sposobnost rješavanja kvadratnih jednadžbi služi kao osnova za rješavanje drugih jednadžbi i njihovih sustava. Učenje rješavanja jednadžbi počinje s njihovim najjednostavnijim tipovima, a program određuje postupno gomilanje i njihovih tipova i “fonda” identičnih i ekvivalentnih transformacija, uz pomoć kojih možete proizvoljnu jednadžbu svesti na najjednostavniju. Proces razvijanja generaliziranih tehnika za rješavanje jednadžbi u školskom tečaju algebre također treba graditi u tom smjeru. U srednjoškolskom tečaju matematike učenici se suočavaju s novim klasama jednadžbi, sustava ili s dubljim proučavanjem već poznatih jednadžbi. posvećuje se metodama rješavanja kvadratnih jednadžbi koje postaju poseban predmet proučavanja. Ovu temu karakterizira velika dubina izlaganja i bogatstvo veza koje se njome ostvaruju u nastavi, te logička valjanost izlaganja. Stoga zauzima izuzetno mjesto u nizu jednadžbi i nejednakosti. Važna točka u proučavanju kvadratnih jednadžbi je razmatranje Vietinog teorema, koji tvrdi postojanje veze između korijena i koeficijenata reducirane kvadratne jednadžbe. Poteškoće u svladavanju Vietinog teorema posljedica su nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između izravnog i inverznog teorema. 11 10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi: Rastavljanje lijeve strane jednadžbe na faktore. Metoda odabira cijelog kvadrata. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Rješavanje jednadžbi metodom “bacanja” Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe. Grafičko rješavanje kvadratne jednadžbe. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću šestara i ravnala. 12 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma. Geometrijska metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi 1) ako jednadžba ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0; 2) ako jednadžba ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; to znači ili x = 0 ili ax + b = 0. Kao rezultat, dobivamo dva korijena: x1 = 0; x2 = 3) ako jednadžba ima oblik ax2 + c = 0, tada se transformira u oblik ax2 = - c i onda x2.= U slučaju kada je -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena. Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba može imati dva korijena, jedan korijen ili bez korijena. 13 Algoritam za rješavanje potpune kvadratne jednadžbe. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c zadani brojevi, a ≠ 0, x je nepoznanica. Bilo koja potpuna kvadratna jednadžba može se pretvoriti u oblik kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašli ti korijeni. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ako je D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama: ; 14 Rješenje reduciranih kvadratnih jednadžbi F. Vietin teorem: Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 +px + q = 0, tada je x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Inverzni teorem Vietinom teoremu: Ako formule (*) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0. 15 Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema Bhaskar ( 1114.-1185.) - najveći indijski matematičar i astronom 12. stoljeća. Vodio je astronomski opservatorij u Ujjainu. Bhaskara je napisao raspravu "Siddhanta-shiromani" ("Kruna učenja"), koja se sastoji od četiri dijela: "Lilavati" je posvećena aritmetici, "Bizhaganita" - algebri, "Goladhaya" - sferici, "Granhaganita" - teorija planetarnih kretanja. Bhaskara je dobio negativne korijene jednadžbi, iako je sumnjao u njihov značaj. Posjeduje jedan od najranijih dizajna perpetuum mobile stroja. 16 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara 12.st. Bhaskara: Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. 17 Zaključak Razvoj znanosti o rješavanju kvadratnih jednadžbi prošao je dug i trnovit put. Tek nakon djela Stiefela, Viete, Tartaglie, Cardana, Bombellija, Girarda, Descartesa i Newtona prihvatila se znanost o rješavanju kvadratnih jednadžbi moderan izgled. Značaj kvadratnih jednadžbi nije samo u eleganciji i kratkoći rješavanja problema, iako je i to vrlo važno. Jednako je važno da se kao rezultat uporabe kvadratnih jednadžbi u rješavanju problema često otkrivaju novi detalji, mogu se napraviti zanimljiva poopćavanja i pojašnjenja koja su sugerirana analizom dobivenih formula i odnosa. Proučavajući literaturu i internetske izvore vezane uz povijest razvoja kvadratnih jednadžbi, zapitao sam se: “Što je motiviralo znanstvenike koji su živjeli u tako teškom vremenu da se bave znanošću, čak i pod prijetnjom smrti?” Vjerojatno je, prije svega, radoznalost ljudskog uma ključna za razvoj znanosti. Pitanja o suštini Svijeta, o mjestu čovjeka na ovome svijetu u svakom trenutku progone misleće, radoznale, inteligentne ljude. Ljudi su oduvijek težili razumjeti sebe i svoje mjesto u svijetu. Zavirite u sebe, možda vaša prirodna znatiželja pati jer ste se prepustili svakodnevici i lijenosti? Sudbine mnogih znanstvenika 18 su primjeri koje treba slijediti. Nisu sva imena poznata i popularna. Razmislite o tome: kakav sam ja prema ljudima koji su mi bliski? Ali najvažnije je kako se ja osjećam, jesam li vrijedan poštovanja? Razmislite o tome... Literatura 1. Zvavich L.I. “Algebra 8. razred”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ enciklopedijski rječnik mladi matematičar”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Algebra 8. razred”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Hvala ti za pozornost 20
Predstavnici raznih civilizacija: Drevni Egipt, Stari Babilon, Drevna grčka, Stara Indija, Drevna Kina, Srednjovjekovni Istok, Europa je ovladala tehnikama rješavanja kvadratnih jednadžbi.
Po prvi put, matematičari starog Egipta uspjeli su riješiti kvadratnu jednadžbu. Jedan od matematičkih papirusa sadrži sljedeći problem:
"Odredite stranice polja u obliku pravokutnika ako je njegova površina 12, a duljina jednaka širini." "Duljina polja je 4", stoji na papirusu.
Prošla su tisućljeća i negativni brojevi ušli su u algebru. Rješavanjem jednadžbe x²= 16 dobivamo dva broja: 4, –4.
Naravno, u egipatskom problemu uzeli bismo X = 4, budući da duljina polja može biti samo pozitivna veličina.
Izvori koji su došli do nas pokazuju da su drevni znanstvenici imali neke općenite tehnike za rješavanje problema s nepoznatim veličinama. Pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi postavljeno u babilonskim tekstovima u biti je isto kao i moderno, ali nije poznato kako su Babilonci "dogurali ovako daleko". Ali u gotovo svim pronađenim papirusima i klinastim tekstovima dani su samo problemi s rješenjima. Autori su svoje numeričke izračune tek povremeno opskrbili šturim komentarima poput: “Vidi!”, “Učini ovo!”, “Našao si pravog!”
Grčki matematičar Diofant sastavljao je i rješavao kvadratne jednadžbe. Njegova Aritmetika ne sadrži sustavni prikaz algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih konstruiranjem jednadžbi različitih stupnjeva.
Problemi sastavljanja kvadratnih jednadžbi nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aria-bhatiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta.
Drugi indijski znanstvenik Brahmagupta (7. stoljeće) ocrtao je opće pravilo rješavanje kvadratnih jednadžbi oblika ax² + bx = c.
U staroj Indiji javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem pomračuje zvijezde, tako učen čovjek pomračit će slavu drugoga narodne skupštine, predlaganje i rješavanje algebarskih problema.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.
To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskari:
Jato živahnih majmuna
Najevši se do mile volje, zabavio sam se.
Osmi dio njih na trgu zabavljali su se na čistini.
I dvanaest na trsovima... počeše skakati, viseći...
Koliko je bilo majmuna?
Reci mi, u ovom paketu?
Bhaskarino rješenje pokazuje da je on znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.
Najstariji kineski matematički tekstovi koji su došli do nas potječu s kraja 1. stoljeća. PRIJE KRISTA. U II stoljeću. PRIJE KRISTA. Napisana je Matematika u devet knjiga. Kasnije, u 7. stoljeću, uključena je u zbirku "Deset klasičnih traktata", koja se proučavala stoljećima. Rasprava "Matematika u devet knjiga" objašnjava kako izvući Korijen pomoću formule za kvadrat zbroja dvaju brojeva.
Metoda je nazvana "Tian Yuan" (doslovno " nebeski element") - ovako su Kinezi označili nepoznatu količinu.
Prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao naširoko poznat djelo je bagdadskog znanstvenika iz 9. stoljeća. Muhammed bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a sam al-Khorezmijev rad postao je polazište u razvoju nauke o rješavanju jednadžbi. Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji šest vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:
-kvadrati jednaki korijeni, odnosno ah ² = bh;
-jednak broj kvadrata, odnosno ah ² = s;
-korijeni su jednaki broju, odnosno ax = c;
-kvadrati i brojevi jednaki su korijenima, odnosno ah ²+ s = bh;
-kvadrati i korijeni jednaki su broju, odnosno ah ² + bh = s;
-korijeni i brojevi jednaki su kvadratima, odnosno bx + c = ax ²;
Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sustavno postavlja klasifikaciju kvadratnih jednadžbi i daje formule za njihovo rješavanje.
Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na al-Khwarizmija u Europi su prvi put navedene u Knjizi o abaku, koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi problemi iz “Knjige o abakusu” bili su uključeni u gotovo sve europske udžbenike 16.-17. stoljeća. i dijelom 18.st.
Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x ² + bh = s, za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b i s formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.
Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali je također priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih i negativnih korijena, oni se uzimaju u obzir. Tek u 17. stoljeću, zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprimila je svoj suvremeni oblik.
Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u drevnim vremenima bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema povezanih s pronalaženjem područja zemljišnih parcela i zemljani radovi vojnog karaktera, kao i s razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su mogli riješiti kvadratne jednadžbe oko 2000 godina prije naše vjere. Koristeći suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe: Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, postavljeno u babilonskim tekstovima, podudara se sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci dospjeli tamo pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi predstavljaju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni. Bez obzira na visoka razina razvojem algebre u Babiloniji, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opće metode rješavanje kvadratnih jednadžbi.
Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe “Nađite dva broja, znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96.” Diofant razmišlja na sljedeći način: iz uvjeta zadatka proizlazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov umnožak ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih bi bio više od pola njihove količine, tj. 10+X, drugi je manji, tj. 10-X. Razlika između njih je 2X, dakle X=2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rješenje X = -2 za Diofanta ne postoji, jer je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve. JEDNADŽBA: ili:
Kvadratne jednadžbe u Indiji Problemi o kvadratnim jednadžbama također se nalaze u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta, iznio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik: ax ² +bx=c, a>0 Jedan od problema slavnog indijskog matematičara iz 12. stoljeća Bhaskara Jato živahnih majmuna , najevši se do mile volje, zabavili su se. Osmi dio njih na trgu Zabavljao sam se na čistini. I dvanaest na trsovima... Počeli su skakati viseći... Koliko je bilo majmuna, recite mi, u ovom jatu? Jednadžba koja odgovara zadatku: Baškara upisuje ispod oblika: Dodano lijeva strana na kvadrat, 0 Jedan od problema slavnog indijskog matematičara iz 12. stoljeća Bhaskara Jato živahnih majmuna, najevši se do mile volje, zabavilo se. Osmi dio njih na trgu Zabavljao sam se na čistini. I dvanaest na trsovima... Počeli su skakati viseći... Koliko je bilo majmuna, recite mi, u ovom jatu? Jednadžba koja odgovara zadatku: Baškara zapisuje ispod oblika: Dopunio lijevu stranu kvadrata,"> 
Kvadratne jednadžbe u staroj Aziji Ovako je srednjoazijski znanstvenik al-Khwarizmi riješio ovu jednadžbu: napisao je: “Pravilo je: udvostručite broj korijena, x = 2x 5, dobit ćete pet u ovom problemu, pomnožite 5 s ovim jednakim to će biti dvadeset i pet, 5 ·5=25 dodati ovo trideset i devet, bit će šezdeset i četiri, 64 izvući korijen iz ovoga, to će biti osam, 8 i oduzeti od ovoga polovicu broja korijeni, tj. pet, 8-5 će ostati 3 ovo će biti korijen kvadrata, koji sam tražio." Što je s drugim korijenom? Drugi korijen nije pronađen jer nisu bili poznati negativni brojevi. x x = 39
Kvadratne jednadžbe u Europi XIII-XVII stoljeća. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik x2+inx+c=0 formulirao je u Europi tek 1544. godine Stiefel. Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi u Europi prvi je izrekao 1202. godine talijanski matematičar Leonard Fibonacci. Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupan je kod Viètea, ali Viète je priznavao samo pozitivne korijene. Tek u 17.st. zahvaljujući radovima Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima suvremeni oblik
O Vietinom teoremu Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako je B + D pomnoženo s A-A jednako BD, tada je A jednako B i jednako D." Za razumijevanje Viete treba imati na umu da A, kao i svako slovo samoglasnika, označava nepoznato (naše x), dok su glasovi B, D koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: Ako data kvadratna jednadžba x 2 +px+q=0 ima realne korijene, tada je njihov zbroj jednak -p, a umnožak jednak q, tj. x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (zbroj korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu ).
Metoda faktorizacije dovodi opću kvadratnu jednadžbu u oblik: A(x)·B(x)=0, gdje su A(x) i B(x) polinomi u odnosu na x. Cilj: Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada; Korištenje formula za skraćeno množenje; Metoda grupiranja. Metode: Primjer:
Korijeni kvadratne jednadžbe: ako je D>0, ako je D 0, Ako je D"> 0, Ako je D"> 0, Ako je D" title="Korijeni kvadratne jednadžbe: Ako je D>0, ako je D"> title="Korijeni kvadratne jednadžbe: ako je D>0, ako je D"> !}
X 1 i x 2 su korijeni jednadžbe Rješavanje jednadžbi korištenjem Vietinog teorema X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, što znači da korijeni imaju različite znakove X 1 + X 2 = – 3, što znači da je korijen s većim modulom negativan odabirom nalazimo korijene: X 1 = – 5, X 2 = 2 Na primjer:
0, teoremom inverznim Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednadžbe" title="Riješite jednadžbu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član 2 - 11y +30= 0. D>0, prema teoremu koji je inverzan Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5;" class="link_thumb"> 14 !} Riješite jednadžbu: 2x x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član y y +30= 0. D>0, prema teoremu inverznom Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, tada ćemo povratak na korijene izvorne jednadžbe: 2, 5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješavanje jednadžbi metodom “bacanja”. 0, teoremom inverznim Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednadžbe "> 0, prema teoremu inverznom Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednadžbi metodom "prijenosa." > 0, teoremom inverznim Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednadžbe" title="Riješite jednadžbu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član 2 - 11y +30= 0. D>0, prema teoremu koji je inverzan Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednadžbe: 2,5; 3. Odgovor: 2,5;"> title="Riješite jednadžbu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član y 2 - 11y +30= 0. D>0, teoremom inverznim Vietinom teoremu, dobivamo korijene: 5; 6, zatim se vraćamo na korijene izvornih jednadžbi: 2.5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednadžbe"> !}
Ako je u kvadratnoj jednadžbi a+b+c=0, tada je jedan od korijena jednak 1, a drugi je po Vietinom teoremu jednak drugom po Vietinom teoremu jednak Ako je u kvadratnoj jednadžbi a+c=b , tada je jedan od korijena jednak (-1), a drugi prema Vietinom teoremu jednak Primjer: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Odgovor: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Odgovor: 1;
Grafička metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe Kvadratna jednadžba može se riješiti bez upotrebe formula grafički. Riješimo jednadžbu, izgradit ćemo dva grafa: X Y X 01 Y012 Odgovor: Apscise točaka presjeka grafova bit će korijeni jednadžbe. Ako se grafovi sijeku u dvije točke, onda jednadžba ima dva korijena. Ako se grafovi sijeku u jednoj točki, onda jednadžba ima jedan korijen. Ako se grafovi ne sijeku, onda jednadžba nema korijena. 1)y=x2 2)y=x+1
Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma Ovo je stara i nezasluženo zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi, stavljena na str. 83 “Četveroznamenkaste matematičke tablice” Bradis V.M. Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbe Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe iz njezinih koeficijenata. Za jednadžbu, nomogram daje korijene
Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi U davna vremena, kada je geometrija bila razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu se rješavale algebarski, već geometrijski. Ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednadžbu: ili Izrazi i geometrijski predstavljaju isti kvadrat, a izvorna jednadžba je ista jednadžba. Gdje ćemo što nabaviti, odn
Zaključak Ove metode rješavanja zaslužuju pozornost, budući da nisu sve prikazane u školskim udžbenicima matematike; ovladavanje ovim tehnikama pomoći će učenicima uštedjeti vrijeme i učinkovito riješiti jednadžbe; trebati brzo rješenje zbog korištenja testnog sustava prijamnih ispita;
Iz povijesti kvadratnih jednadžbi.a) Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu
Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja, čak iu antičko doba, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema povezanih s pronalaženjem područja zemljišnih parcela i iskopavanja vojne prirode, kao i kao i s razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe mogle su se riješiti oko 2000. pr. Babilonci. Koristeći suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima postoje, osim nepotpunih, i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:
x 2 + x = , x 2 – x = 14
Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, izneseno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.
Unatoč visokom stupnju razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.
Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavni prikaz algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih konstruiranjem jednadžbi različitih stupnjeva.
Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.
Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.
Zadatak 2. “Nađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96.”
Diofant razmišlja na sljedeći način: iz uvjeta zadatka proizlazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, njihov umnožak ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će veći od polovica njihovog zbroja, tj. 10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednadžba:
(10+x)(10-x) =96,
ili
100 -x 2 = 96.
Odatle je x = 2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rješenje x = - 2 za Diofanta ne postoji, jer je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.
Ako riješite ovaj zadatak odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznanice, možete doći do rješenja jednadžbe:
Jasno je da odabirom polurazlike traženih brojeva kao nepoznanice Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe.
b) Kvadratne jednadžbe u Indiji.
Problemi o kvadratnim jednadžbama nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aryabhattiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), postavio je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik
Oh 2 + bx = c, a > 0
U jednadžbi, koeficijenti osim A, može biti negativan. Brahmaguptina vladavina je u biti ista kao naša.
Javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su se često iznosili u poetskom obliku.
To je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. stoljeća. Bhaskars.
Zadatak 3.
Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.
Jednadžba koja odgovara problemu 3 je:
Bhaskara piše pod krinkom:
x 2 - 64x = - 768
i, da dovršite lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, dodaje 32 2 objema stranama, a zatim dobiva:
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x 1 = 16, x 2 = 48.
c) Kvadratne jednadžbe po Al-Khorezmiju
Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:
"Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 = bx.
"Kvadrati su jednaki brojevima", tj. ax 2 = c.
"Korijeni su jednaki broju", tj. ax = c.
"Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. ax 2 + c = bx.
"Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ax 2 + bx = c.
"Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c == ax 2.
Navedimo primjer.
Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Nađi korijen” (što znači korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).
Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobit ćete 5, pomnožite 5 samim sobom, od proizvoda oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmite 2 od 5, dobit ćete 3, ovo bit će željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što daje 7, ovo je također korijen.
Al-Khorezmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sustavno postavlja klasifikaciju kvadratnih jednadžbi i daje formule za njihovo rješavanje.
d) Kvadratne jednadžbe u Europi u 13.-17.st.
Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po uzoru na al-Khwarizmija u Europi su prvi put navedene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo opsežno djelo, koje odražava utjecaj matematike iz islamskih zemalja i antičke Grčke, ističe se svojom cjelovitošću i jasnoćom prikaza. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz Knjige o abaku korišteni su u gotovo svim europskim udžbenicima 16.-17. stoljeća. i dijelom XVIII.
Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik
x 2 + bx = c,
za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b, sa formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.
Izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupan je u Vieti, ali Vieta je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. stoljeću. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17.st. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan oblik.
Porijeklo algebarskih metoda za rješavanje praktičnih problema povezano je sa znanošću drevni svijet. Kao što je poznato iz povijesti matematike, značajan dio problema matematičke prirode, koje su rješavali egipatski, sumerski, babilonski pisari-kalkulatori (XX-VI st. pr. Kr.), bili su računalne prirode. No, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost veličine određivala određenim neizravnim uvjetima koji su, s našeg suvremenog stajališta, zahtijevali sastavljanje jednadžbe ili sustava jednadžbi. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Nakon toga su se počeli formirati počeci algebarskih pojmova. Na primjer, babilonski kalkulatori mogli su riješiti probleme koji se mogu reducirati s točke gledišta moderna klasifikacija jednadžbama drugog stupnja. Stvorena je metoda za rješavanje tekstualnih zadataka koja je kasnije poslužila kao osnova za izdvajanje algebarske komponente i njezino samostalno proučavanje.
Ovo je istraživanje provedeno u drugom razdoblju, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X stoljeća nove ere), koji su identificirali karakteristične radnje kojima su jednadžbe reducirane na standardni prikaz dovođenje sličnih članova, prijenos članova iz jednog dijela jednadžbe u drugi s promjenom predznaka. A potom i europski matematičari renesanse, koji su kao rezultat duge potrage stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prijelazu iz 16.-16. 17. stoljeća. već se formirala algebra kao poseban dio matematike, sa svojim predmetom, metodom i područjima primjene. Njezin daljnji razvoj, sve do našeg vremena, sastojao se u usavršavanju metoda, proširenju opsega primjene, razjašnjavanju pojmova i njihovih veza s pojmovima drugih grana matematike.
Dakle, s obzirom na važnost i opsežnost materijala koji se odnosi na pojam jednadžbe, njegovo proučavanje u modernim metodama matematika je povezana s tri glavna područja njezina nastanka i djelovanja.
