Iracionalni brojevi - Hipermarket znanja. Iracionalni brojevi: što su i čemu služe? 17 teorem iracionalan broj s dokazom
Primjer:
\(4\) je racionalan broj, jer se može napisati kao \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) je također racionalan, jer se može napisati u obliku \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - a ovo je racionalan broj: može se predstaviti kao \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) je racionalan, budući da se može prikazati kao \(\frac(1)(2)\) . Doista, možemo izvesti lanac transformacija \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)
Iracionalan broj je broj koji se ne može napisati kao razlomak s cijelim brojnikom i nazivnikom.
Nemoguće je jer je beskrajan razlomci, pa čak i neperiodični. Dakle, ne postoje cijeli brojevi koji bi, kada se međusobno dijele, dali iracionalan broj.
Primjer:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) je iracionalan broj;
\(π≈3,1415926… \) je iracionalan broj;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) je iracionalan broj.
Primjer
(Zadatak iz OGE). Značenje kojeg izraza je racionalan broj?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).
Otopina:
1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – ne može se uzeti korijen \(14\), što znači Također je nemoguće predstaviti broj kao razlomak s cijelim brojevima, stoga je broj iracionalan.
2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nema preostalih korijena, broj se lako može prikazati kao razlomak, na primjer \(\frac(-5)(1)\), što znači da je racionalan.
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – ne može se izvući korijen - broj je iracionalan.
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) također je iracionalan.
Razumijevanje brojeva, posebno prirodnih brojeva, jedna je od najstarijih matematičkih "vještina". Mnoge su civilizacije, pa i moderne, brojevima pripisivale određena mistična svojstva zbog njihove goleme važnosti u opisivanju prirode. Iako suvremena znanost i matematika ne potvrđuju ta "čarobna" svojstva, važnost teorije brojeva je neporeciva.
Povijesno gledano, najprije su se pojavili različiti prirodni brojevi, a zatim su im se prilično brzo dodavali razlomci i pozitivni iracionalni brojevi. Nakon ovih podskupova skupa realnih brojeva uvedeni su nula i negativni brojevi. Posljednji skup, skup kompleksnih brojeva, pojavio se tek razvojem moderne znanosti.
U modernoj matematici brojevi se ne uvode povijesnim redoslijedom, iako mu je prilično blizu.
Prirodni brojevi $\mathbb(N)$
Skup prirodnih brojeva često se označava kao $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, i često je dopunjen nulom da označi $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definira operacije zbrajanja (+) i množenja ($\cdot$) sa sljedećim svojstvima za bilo koje $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ skup $\mathbb(N)$ je zatvoren prema operacijama zbrajanja i množenja
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ komutativnost
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asocijativnost
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivnost
5. $a\cdot 1=a$ je neutralni element za množenje
Budući da skup $\mathbb(N)$ sadrži neutralni element za množenje, ali ne i za zbrajanje, dodavanje nule ovom skupu osigurava da uključuje neutralni element za zbrajanje.
Uz ove dvije operacije, odnosi "manje od" ($
1. $a b$ trihotomija
2. ako $a\leq b$ i $b\leq a$, onda je $a=b$ antisimetrija
3. ako su $a\leq b$ i $b\leq c$, onda je $a\leq c$ tranzitivan
4. ako je $a\leq b$ onda $a+c\leq b+c$
5. ako je $a\leq b$ onda $a\cdot c\leq b\cdot c$
Cijeli brojevi $\mathbb(Z)$
Primjeri cijelih brojeva:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rješavanje jednadžbe $a+x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati prirodni brojevi, a $x$ nepoznati prirodni broj, zahtijeva uvođenje nove operacije - oduzimanje(-). Ako postoji prirodan broj $x$ koji zadovoljava ovu jednadžbu, tada je $x=b-a$. Međutim, ova određena jednadžba ne mora nužno imati rješenje na skupu $\mathbb(N)$, pa praktična razmatranja zahtijevaju proširenje skupa prirodnih brojeva kako bi se uključila rješenja takve jednadžbe. To dovodi do uvođenja skupa cijelih brojeva: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Budući da je $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logično je pretpostaviti da su prethodno uvedene operacije $+$ i $\cdot$ te relacije $ 1. $0+a=a+0=a$ postoji neutralni element za dodavanje
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ postoji suprotan broj $-a$ za $a$
Svojstvo 5.:
5. ako je $0\leq a$ i $0\leq b$, tada $0\leq a\cdot b$
Skup $\mathbb(Z)$ također je zatvoren prema operaciji oduzimanja, to jest $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Racionalni brojevi $\mathbb(Q)$
Primjeri racionalnih brojeva:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Sada razmotrite jednadžbe oblika $a\cdot x=b$, gdje su $a$ i $b$ poznati cijeli brojevi, a $x$ je nepoznanica. Da bi rješenje bilo moguće potrebno je uvesti operaciju dijeljenja ($:$), a rješenje ima oblik $x=b:a$, odnosno $x=\frac(b)(a)$ . Opet se javlja problem da $x$ ne pripada uvijek $\mathbb(Z)$, pa skup cijelih brojeva treba proširiti. Ovo uvodi skup racionalnih brojeva $\mathbb(Q)$ s elementima $\frac(p)(q)$, gdje su $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N)$. Skup $\mathbb(Z)$ je podskup u kojem je svaki element $q=1$, dakle $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ i operacije zbrajanja i množenja se protežu na ovaj skup prema sljedeća pravila koja čuvaju sva gore navedena svojstva na skupu $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Podjela se uvodi na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Na skupu $\mathbb(Q)$, jednadžba $a\cdot x=b$ ima jedinstveno rješenje za svaki $a\neq 0$ (dijeljenje s nulom je nedefinirano). To znači da postoji inverzni element $\frac(1)(a)$ ili $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\postoji \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Poredak skupa $\mathbb(Q)$ može se proširiti na sljedeći način:
$\frac(p_1)(q_1)
Skup $\mathbb(Q)$ ima jedno važno svojstvo: između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, dakle, ne postoje dva susjedna racionalna broja, za razliku od skupova prirodnih brojeva i cijelih brojeva.
Iracionalni brojevi $\mathbb(I)$
Primjeri iracionalnih brojeva:
$\sqrt(2) \približno 1,41422135...$
$\pi\približno 3,1415926535...$
Budući da između bilo koja dva racionalna broja postoji beskonačno mnogo drugih racionalnih brojeva, lako je pogrešno zaključiti da je skup racionalnih brojeva toliko gust da ga nema potrebe dalje širiti. Čak je i Pitagora napravio takvu grešku u svoje vrijeme. Međutim, već su njegovi suvremenici opovrgli taj zaključak proučavajući rješenja jednadžbe $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na skupu racionalnih brojeva. Za rješavanje takve jednadžbe potrebno je uvesti pojam kvadratnog korijena, a tada rješenje te jednadžbe ima oblik $x=\sqrt(2)$. Jednadžba poput $x^2=a$, gdje je $a$ poznati racionalni broj, a $x$ nepoznat, nema uvijek rješenje na skupu racionalnih brojeva, pa se opet javlja potreba za proširenjem postaviti. Nastaje skup iracionalnih brojeva, a brojevi poput $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pripadaju tom skupu.
Realni brojevi $\mathbb(R)$
Unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva. Budući da je $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, opet je logično pretpostaviti da uvedene aritmetičke operacije i relacije zadržavaju svoja svojstva na novom skupu. Formalni dokaz za to je vrlo težak, pa se gore navedena svojstva aritmetičkih operacija i relacija na skupu realnih brojeva uvode kao aksiomi. U algebri se takav objekt naziva poljem, pa se za skup realnih brojeva kaže da je uređeno polje.
Da bi definicija skupa realnih brojeva bila potpuna, potrebno je uvesti dodatni aksiom koji razlikuje skupove $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Pretpostavimo da je $S$ neprazan podskup skupa realnih brojeva. Element $b\in \mathbb(R)$ naziva se gornja granica skupa $S$ ako $\forall x\in S$ drži $x\leq b$. Tada kažemo da je skup $S$ omeđen odozgo. Najmanja gornja granica skupa $S$ naziva se supremum i označava se kao $\sup S$. Koncepti donje granice, skupa ograničenog odozdo i infinum $\inf S$ uvode se na sličan način. Sada je aksiom koji nedostaje formuliran na sljedeći način:
Svaki neprazan i gornje ograničen podskup skupa realnih brojeva ima supremum.
Također se može dokazati da je polje realnih brojeva definirano na gornji način jedinstveno.
Kompleksni brojevi$\mathbb(C)$
Primjeri kompleksnih brojeva:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdje je $i = \sqrt(-1)$ ili $i^2 = -1$
Skup kompleksnih brojeva predstavlja sve uređene parove realnih brojeva, to jest $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na kojima operacije zbrajanje i množenje se definiraju na sljedeći način:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Postoji nekoliko oblika zapisivanja kompleksnih brojeva, od kojih je najčešći $z=a+ib$, gdje je $(a,b)$ par realnih brojeva, a broj $i=(0,1)$ naziva se imaginarna jedinica.
Lako je pokazati da je $i^2=-1$. Proširenje skupa $\mathbb(R)$ na skup $\mathbb(C)$ omogućuje određivanje kvadratnog korijena negativnih brojeva, što je bio razlog uvođenja skupa kompleksnih brojeva. Također je lako pokazati da podskup skupa $\mathbb(C)$, dan sa $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, zadovoljava sve aksiome za realne brojeve, stoga $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ili $R\subset\mathbb(C)$.
Algebarska struktura skupa $\mathbb(C)$ s obzirom na operacije zbrajanja i množenja ima sljedeća svojstva:
1. komutativnost zbrajanja i množenja
2. asocijativnost zbrajanja i množenja
3. $0+i0$ - neutralni element za zbrajanje
4. $1+i0$ - neutralni element za množenje
5. Množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje
6. Postoji jedan inverz za zbrajanje i množenje.
Sam koncept iracionalnog broja strukturiran je na takav način da je definiran kroz negaciju svojstva "biti racionalan", stoga je dokaz kontradikcijom najprirodniji ovdje. Moguće je, međutim, ponuditi sljedeće obrazloženje.
Po čemu se racionalni brojevi bitno razlikuju od iracionalnih brojeva? Oba se mogu aproksimirati racionalnim brojevima s bilo kojom zadanom točnošću, ali za racionalne brojeve postoji aproksimacija s točnošću "nula" (samim ovim brojem), ali za iracionalne brojeve to više nije slučaj. Pokušajmo se "igrati" na ovo.
Prije svega, zapazimo ovu jednostavnu činjenicu. Neka su $%\alpha$%, $%\beta$% dva pozitivna broja koji aproksimiraju jedan drugom s točnošću od $%\varepsilon$%, to jest $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% . Što se događa ako brojeve zamijenimo njihovim inverzima? Kako će se promijeniti točnost? Lako je vidjeti da $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ što će biti striktno manje od $%\varepsilon$% za $%\alpha\beta>1$%. Ova izjava se može smatrati nezavisnom lemom.
Sada postavimo $%x=\sqrt(2)$%, i neka $%q\in(\mathbb Q)$% bude racionalna aproksimacija broja $%x$% s točnošću od $%\varepsilon$ %. Znamo da je $%x>1$%, a što se tiče aproksimacije $%q$% zahtijevamo nejednakost $%q\ge1$%. Svi brojevi manji od $%1$% imat će lošiju točnost aproksimacije od samog $%1$% i stoga ih nećemo razmatrati.
Svakom od brojeva $%x$%, $%q$% dodajemo $%1$%. Očito će točnost aproksimacije ostati ista. Sada imamo brojeve $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Prelaskom na recipročne brojeve i primjenom "leme", doći ćemo do zaključka da se naša točnost aproksimacije poboljšala, postavši striktno manja od $%\varepsilon$%. Zadovoljili smo traženi uvjet $%\alpha\beta>1$% čak i s marginom: zapravo, znamo da $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, iz čega možemo zaključiti da se točnost poboljšava barem $%4$% puta, odnosno ne prelazi $%\varepsilon/4$%.
I evo glavne stvari: prema uvjetu $%x^2=2$%, odnosno $%x^2-1=1$%, što znači da je $%(x+1)(x- 1)=1$%, odnosno brojevi $%x+1$% i $%x-1$% su inverzni jedan drugom. To znači da će $%\alpha^(-1)=x-1$% biti aproksimacija (racionalnog) broja $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% s točnošću strogo manje $%\varepsilon$%. Preostaje ovim brojevima dodati $%1$% i ispada da broj $%x$%, odnosno $%\sqrt(2)$%, ima novu racionalnu aproksimaciju jednaku $%\beta ^(- 1)+1$%, odnosno $%(q+2)/(q+1)$%, s "poboljšanom" točnošću. Ovo dovršava dokaz, jer za racionalne brojeve, kao što smo gore napomenuli, postoji "apsolutno točna" racionalna aproksimacija s točnošću od $%\varepsilon=0$%, gdje se točnost u načelu ne može povećati. Ali to smo uspjeli, što govori o neracionalnosti naših brojki.
Zapravo, ovo razmišljanje pokazuje kako konstruirati specifične racionalne aproksimacije za $%\sqrt(2)$% sa sve boljom točnošću. Prvo moramo uzeti aproksimaciju $%q=1$%, a zatim primijeniti istu formulu zamjene: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ovaj proces proizvodi sljedeće: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tako dalje.
1. Dokazi su primjeri deduktivnog zaključivanja i razlikuju se od induktivnih ili empirijskih argumenata. Dokaz mora pokazati da je izjava koja se dokazuje uvijek istinita, ponekad navođenjem svih mogućih slučajeva i pokazivanjem da izjava vrijedi u svakom od njih. Dokaz se može oslanjati na očite ili općeprihvaćene pojave ili slučajeve poznate kao aksiomi. Nasuprot tome, dokazana je iracionalnost "kvadratnog korijena iz dva".
2. Intervencija topologije ovdje je objašnjena samom prirodom stvari, što znači da ne postoji čisto algebarski način da se dokaže iracionalnost, posebno na temelju racionalnih brojeva. Evo primjera, izbor je vaš: 1 + 1/. 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 ili 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ako prihvatite 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, što se smatra "algebarskim" pristupom, tada uopće nije teško pokazati da postoji n/m ∈ ℚ, koji na beskonačni niz je iracionalan i konačan broj. Ovo sugerira da su iracionalni brojevi zatvorenost polja ℚ, ali to se odnosi na topološki singularitet.
Dakle, za Fibonaccijeve brojeve, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Ovo samo pokazuje da postoji kontinuirani homomorfizam ℚ → I, i može se rigorozno pokazati da postojanje takvog izomorfizma nije logična posljedica algebarskih aksioma.
