Iracionalni brojevi: što su i čemu služe? Iracionalni brojevi, definicija, primjeri Je li korijen od 1 6 iracionalan.

Što su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i što su? Rijetki mogu odgovoriti na ova pitanja bez oklijevanja. Ali u stvari, odgovori na njih su prilično jednostavni, iako nisu potrebni svima iu vrlo rijetkim situacijama.

Suština i oznaka

Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični. Potreba za uvođenjem ovog pojma proizlazi iz činjenice da za rješavanje novih nastalih problema više nisu bili dovoljni dotadašnji pojmovi realnih ili realnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva. Na primjer, da biste izračunali koliko je kvadrat od 2, morate koristiti beskonačne decimale koje se ne ponavljaju. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednadžbi također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.

Ovaj skup je označen kao I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao jednostavan razlomak, u čijem će brojniku biti cijeli broj, au nazivniku -

Prvi put su se, na ovaj ili onaj način, indijski matematičari susreli s ovim fenomenom u 7. stoljeću, kada je otkriveno da se kvadratni korijeni nekih veličina ne mogu eksplicitno naznačiti. A prvi dokaz o postojanju takvih brojeva pripisuje se Pitagorejcu Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa dali su neki drugi znanstvenici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva podrazumijevalo je reviziju postojećeg matematičkog sustava, zbog čega su oni tako važni.

porijeklo imena

Ako je omjer na latinskom "razlomak", "omjer", onda prefiks "ir"
daje riječi suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje na to da se ne mogu povezati s cijelim ili frakcijskim brojem, oni imaju zasebno mjesto. To proizlazi iz njihove prirode.

Mjesto u generalnom plasmanu

Iracionalni brojevi, uz racionalne, pripadaju skupini realnih ili realnih brojeva, koji su pak složeni. Ne postoje podskupovi, ali postoje algebarske i transcendentalne varijante, o kojima će biti riječi u nastavku.

Svojstva

Budući da su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, na njih su primjenjiva sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici (nazivaju se i osnovni algebarski zakoni).

a + b = b + a (komutativnost);

(a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + (-a) = 0 (postojanje suprotnog broja);

ab = ba (zakon pomaka);

(ab)c = a(bc) (distributivnost);

a(b+c) = ab + ac (distribucijski zakon);

a x 1/a = 1 (postojanje inverznog broja);

Usporedba se također provodi u skladu s općim zakonima i načelima:

Ako je a > b i b > c, onda je a > c (tranzitivnost relacije) i. itd.

Naravno, svi iracionalni brojevi mogu se pretvoriti pomoću osnovne aritmetike. Za to nema posebnih pravila.

Osim toga, djelovanje Arhimedovog aksioma proteže se na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b istinita izjava da je moguće nadmašiti b ako dovoljno puta uzmemo a kao član.

Korištenje

Unatoč činjenici da u običnom životu ne morate često imati posla s njima, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojati. Ima ih puno, ali se gotovo ne vide. Posvuda smo okruženi iracionalnim brojevima. Svima poznati primjeri su broj pi, jednak 3,1415926..., ili e, koji je u biti baza prirodnog logaritma, 2,718281828... U algebri, trigonometriji i geometriji, oni se moraju stalno koristiti. Usput, poznato značenje "zlatnog presjeka", odnosno omjera većeg dijela prema manjem, i obrnuto, također

pripada ovom skupu. Manje poznato "srebro" - također.

Na brojevnoj liniji one su smještene vrlo gusto, tako da se između bilo koje dvije veličine vezane uz skup racionalnih nužno javlja jedna iracionalna.

Postoji još mnogo neriješenih problema povezanih s ovim skupom. Postoje kriteriji kao što su mjera iracionalnosti i normalnosti broja. Matematičari nastavljaju ispitivati ​​najznačajnije primjere za njihovu pripadnost jednoj ili drugoj skupini. Na primjer, smatra se da je e normalan broj, odnosno da je vjerojatnost da će se u njegovom unosu pojaviti različite znamenke jednaka. Što se tiče broja pi, istraživanja su još uvijek u tijeku. Mjera iracionalnosti je vrijednost koja pokazuje koliko dobro se određeni broj može aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarsko i transcendentalno

Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi uvjetno se dijele na algebarske i transcendentalne. Uvjetno, budući da se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za podjelu skupa C.

Pod ovom oznakom kriju se složeni brojevi koji uključuju stvarne ili realne brojeve.

Dakle, algebarska vrijednost je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identički jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen iz 2 bio bi u ovoj kategoriji jer je to rješenje jednadžbe x 2 - 2 = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet nazivaju se transcendentalnima. U ovu varijantu spadaju i najpoznatiji i već spomenuti primjeri - broj pi i baza prirodnog logaritma e.

Zanimljivo, niti jedno niti drugo nisu izvorno zaključili matematičari u ovom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendentnost dokazane su mnogo godina nakon njihova otkrića. Za broj pi, dokaz je dan 1882. i pojednostavljen 1894., čime je stavljena točka na 2500-godišnju kontroverzu o problemu kvadrature kruga. Još uvijek nije u potpunosti shvaćen, tako da moderni matematičari imaju na čemu raditi. Usput, prvi dovoljno točan izračun ove vrijednosti izveo je Arhimed. Prije njega su svi izračuni bili previše približni.

Za e (Eulerov ili Napierov broj), dokaz njegove transcendencije pronađen je 1873. godine. Koristi se za rješavanje logaritamskih jednadžbi.

Ostali primjeri uključuju vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa za sve algebarske vrijednosti različite od nule.

Koji su brojevi iracionalni? iracionalan broj nije racionalan realan broj, tj. ne može se prikazati kao razlomak (kao omjer dva cijela broja), gdje m je cijeli broj, n- prirodni broj. iracionalan broj može se prikazati kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak.

iracionalan broj ne može biti točan. Samo u formatu 3.333333…. Na primjer, kvadratni korijen iz dva - je iracionalan broj.

Što je iracionalan broj? Iracionalan broj(za razliku od racionalnih) naziva se beskonačni decimalni neperiodični razlomak.

Mnogi iracionalni brojevičesto se označava velikim latiničnim slovom podebljanim bez sjenčanja. Da.:

Oni. skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Svojstva iracionalnih brojeva.

• Zbroj 2 nenegativna iracionalna broja može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definiraju Dedekindove odjeljke u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg broja, a u višoj klasi nema manjeg broja.
• Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan broj.
• Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentni.
• Skup iracionalnih brojeva posvuda je gust na brojevnom pravcu: između svakog para brojeva nalazi se iracionalan broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, skup je 2. kategorije.
• Rezultat svake aritmetičke operacije s racionalnim brojevima (osim dijeljenja s 0) je racionalan broj. Rezultat aritmetičkih operacija nad iracionalnim brojevima može biti racionalan ili iracionalan broj.
• Zbroj racionalnog i iracionalnog broja uvijek će biti iracionalan broj.
• Zbroj iracionalnih brojeva može biti racionalan broj. Na primjer, neka x iracionalno, dakle y=x*(-1) također iracionalan; x+y=0, i broj 0 racionalan (ako npr. zbrojimo korijen bilo kojeg stupnja od 7 i minus korijen istog stupnja od sedam, dobit ćemo racionalni broj 0).

Iracionalni brojevi, primjeri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

A svoje su korijene izveli iz latinske riječi "ratio", što znači "razlog". Na temelju doslovnog prijevoda:

• Racionalan broj je "razuman broj".
• Iracionalan broj je "nerazuman broj".

Opći pojam racionalnog broja

Racionalan broj je onaj koji se može napisati kao:

1. Obični pozitivni razlomak.
2. Negativni obični razlomak.
3. Nula (0) kao broj.

Drugim riječima, sljedeće definicije će odgovarati racionalnom broju:

• Svaki prirodni broj je inherentno racionalan, budući da se svaki prirodni broj može prikazati kao običan razlomak.
• Bilo koji cijeli broj, uključujući broj nula, budući da se svaki cijeli broj može napisati i kao pozitivan obični razlomak, kao negativni obični razlomak i kao broj nula.
• Svaki obični razlomak, a ovdje nije važno je li pozitivan ili negativan, također se izravno približava definiciji racionalnog broja.
• Mješoviti broj, konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak također mogu biti uključeni u definiciju.

Primjeri racionalnih brojeva

Razmotrite primjere racionalnih brojeva:

• Prirodni brojevi - "4", "202", "200".
• Cijeli brojevi - "-36", "0", "42".
• Obični razlomci.

Iz navedenih primjera jasno je da racionalni brojevi mogu biti i pozitivni i negativni. Naravno, broj 0 (nula), koji je također racionalan broj, ujedno ne pripada kategoriji pozitivnog ili negativnog broja.

Stoga bih želio podsjetiti na općeobrazovni program koristeći sljedeću definiciju: „Racionalni brojevi“ su oni brojevi koji se mogu napisati kao razlomak x / y, gdje je x (brojnik) cijeli broj, a y (nazivnik) je prirodni broj.

Opći pojam i definicija iracionalnog broja

Osim "racionalnih brojeva" poznajemo i tzv. "iracionalne brojeve". Pokušajmo ukratko definirati te brojke.

Čak su i stari matematičari, želeći izračunati dijagonalu kvadrata duž njegovih stranica, saznali za postojanje iracionalnog broja.
Na temelju definicije racionalnih brojeva možete izgraditi logički lanac i definirati iracionalan broj.
Dakle, zapravo, oni realni brojevi koji nisu racionalni su, elementarno, iracionalni brojevi.
Decimalni razlomci, koji izražavaju iracionalne brojeve, nisu periodični i beskonačni.

Primjeri iracionalnog broja

Razmotrimo radi jasnoće mali primjer iracionalnog broja. Kao što smo već shvatili, beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalnim, na primjer:

• Broj "-5.020020002 ... (jasno se vidi da su dvojke odvojene nizom od jedne, dvije, tri itd. nula)
• Broj "7.040044000444 ... (ovdje je jasno da se broj četvorki i broj nula povećava za jedan svaki put u lancu).
• Svima je poznat broj Pi (3,1415 ...). Da, da - također je iracionalno.

Općenito, svi realni brojevi su i racionalni i iracionalni. Jednostavno rečeno, iracionalan broj ne može se predstaviti kao obični razlomak x / y.

Opći zaključak i kratka usporedba brojeva

Svaki broj smo razmatrali zasebno, razlika između racionalnog broja i iracionalnog ostaje:

1. Iracionalan broj se javlja kod vađenja kvadratnog korijena, kod dijeljenja kruga s promjerom i tako dalje.
2. Racionalan broj predstavlja običan razlomak.

Naš članak završavamo s nekoliko definicija:

• Aritmetička operacija izvedena nad racionalnim brojem, osim dijeljenja s 0 (nula), također će dovesti do racionalnog broja u konačnom rezultatu.
• Krajnji rezultat, kada se izvodi aritmetička operacija na iracionalnom broju, može dovesti i do racionalne i do iracionalne vrijednosti.
• Ako oba broja sudjeluju u aritmetičkoj operaciji (osim dijeljenja ili množenja s nulom), tada će nam rezultat dati iracionalan broj.

S segmentom jedinične duljine znali su već stari matematičari: poznavali su, na primjer, nesumjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Korijen od 2

Pretpostavimo suprotno: racionalan je, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadriramo pretpostavljenu jednakost:

Iz ovoga slijedi da je par, dakle, par i . Neka gdje cijeli. Zatim

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo to i parni su, što je u suprotnosti s nesvodljivošću razlomka . Stoga je izvorna pretpostavka bila pogrešna i radi se o iracionalnom broju.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: racionalan je, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Zatim

Ali jasno je, čudno je. Dobivamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva implicitno su usvojili indijski matematičari u 7. stoljeću pr. Kr., kada je Manawa (oko 750. pr. Kr. - oko 690. pr. Kr.) otkrio da se kvadratni korijeni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz o postojanju iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu iz Metaponta (oko 500. pr. Kr.), pitagorejcu koji je ovaj dokaz pronašao proučavajući duljine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica duljine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica za duljinu, budući da pretpostavka o njezinom postojanju dovodi do kontradikcije. Pokazao je da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih odsječaka, tada taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer duljine hipotenuze i duljine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, Gdje a I b odabran kao najmanji mogući.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a² čak, a mora biti paran (jer bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Jer a:b nesvodljiv b mora biti neparan.
• Jer ačak, označiti a = 2g.
• Zatim a² = 4 g² = 2 b².
• b² = 2 g², dakle b je paran, dakle bčak.
• Međutim, dokazano je da b neparan. Kontradikcija.

Grčki matematičari nazvali su ovaj omjer nesamjerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendama, Hipasu nije odato dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas otkrio dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji poriče doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

vidi također

Bilješke

1. Dokaz je primjer deduktivnog zaključivanja i razlikuje se od induktivnog ili empirijskog argumenta. Dokaz mora pokazati da je tvrdnja koja se dokazuje uvijek istinita, ponekad nabrajanjem svih mogućih slučajeva i pokazivanjem da tvrdnja vrijedi u svakom od njih. Dokaz se može temeljiti na očitim ili općeprihvaćenim pojavama ili slučajevima, poznatim kao aksiomi. Nasuprot tome, dokazana je iracionalnost "kvadratnog korijena iz dva".
2. Intervencija topologije ovdje je objašnjena samom prirodom stvari, što znači da ne postoji čisto algebarski način da se dokaže iracionalnost, posebno, na temelju racionalnih brojeva. Evo primjera, vaš izbor je vaš: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 ili 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ako uzmete 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, što se smatra "algebarskim" pristupom, tada uopće nije teško pokazati da postoji n/m ∈ ℚ koji, na beskonačan niz, iracionalan je i konačan broj. Ovo sugerira da su iracionalni brojevi zatvorenost polja ℚ, ali to se odnosi na topološki singularitet.
Dakle, za Fibonaccijeve brojeve, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Ovo samo pokazuje da postoji kontinuirani homomorfizam ℚ → I, i može se rigorozno pokazati da postojanje takvog izomorfizma nije logična posljedica algebarskih aksioma.