Formula za rad tijekom rotacije tijela. Rotacija krutog tijela

Razmotrimo apsolutno kruto tijelo koje rotira oko fiksne osi. Ako mentalno razbijete ovo tijelo u n bodova po masama m 1, m 2, …, m n smješteni na udaljenostima r 1 , r 2 , …, r n od osi rotacije, tada će tijekom rotacije opisivati ​​kružnice i kretati se različitim linearnim brzinama v 1, v 2, …, v n. Budući da je tijelo apsolutno čvrsto, kutna brzina rotacije točaka bit će ista:

Kinetička energija rotirajućeg tijela je zbroj kinetičkih energija njegovih točaka, tj.

Uzimajući u obzir odnos između kutne i linearne brzine, dobivamo:

Usporedba formule (4.9) s izrazom za kinetičku energiju tijela koje se giba translatorno brzinom v, pokazuje da moment tromosti je mjera tromosti tijela pri rotacijskom gibanju.
Ako se kruto tijelo giba translatorno brzinom v i istovremeno rotira kutnom brzinom ω oko osi koja prolazi kroz njegovo središte tromosti, tada je njegova kinetička energija definirana kao zbroj dviju komponenti:

(4.10)

Gdje vc– brzina centra mase tijela; Jc- moment tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz njegovo središte mase.
Moment sile oko nepomične osi z naziva se skalarna veličina Mz, jednaka projekciji na ovu os vektora M moment sile određen u odnosu na proizvoljnu točku 0 zadane osi. Vrijednost zakretnog momenta Mz ne ovisi o izboru položaja točke 0 na osi z.
Ako os z poklapa se sa smjerom vektora M, tada je moment sile predstavljen kao vektor koji koincidira s osi:

M z = [ rF] z
Nađimo izraz za rad kada tijelo rotira. Neka sila F primijenjen na točku B, koja se nalazi na udaljenosti od osi rotacije r(Slika 4.6); α – kut između smjera sile i radijus vektora r. Budući da je tijelo apsolutno čvrsto, rad ove sile jednak je radu utrošenom na okretanje cijelog tijela.

Kada tijelo rotira za infinitezimalni kut dφ točka primjene B prolazi stazom ds = rdφ, a rad je jednak umnošku projekcije sile na smjer pomaka s veličinom pomaka:

dA = Fsinα*rdφ
S obzirom na to Frsinα = M z može se zapisati dA = M z dφ, Gdje Mz- moment sile u odnosu na os rotacije. Dakle, rad pri rotaciji tijela jednak je umnošku momenta djelovajuće sile i kuta rotacije.
Kada tijelo rotira, rad ide prema povećanju njegove kinetičke energije:

dA = dE k
(4.11)

Jednadžba (4.11) je jednadžba za dinamiku rotacijskog gibanja krutog tijela u odnosu na nepokretnu os.

Rad i snaga pri rotaciji krutog tijela.

Nađimo izraz za rad kada tijelo rotira. Neka sila djeluje u točki koja se nalazi na udaljenosti od osi - kut između smjera sile i radijus vektora. Budući da je tijelo apsolutno čvrsto, rad ove sile jednak je radu utrošenom na okretanje cijelog tijela. Kada se tijelo okrene za infinitezimalni kut, točka primjene prijeđe put, a rad je jednak umnošku projekcije sile na smjer pomaka s veličinom pomaka:

Modul momenta sile jednak je:

tada dobivamo sljedeću formulu za izračun rada:

Dakle, rad tijekom rotacije krutog tijela jednak je umnošku momenta djelujuće sile i kuta rotacije.

Kinetička energija rotirajućeg tijela.

Moment tromosti mat.t. nazvao fizički vrijednost brojčano jednaka umnošku mase mat.t. kvadratom udaljenosti ove točke od osi rotacije.W ki =m i V 2 i /2 V i -Wr i Wi=miw 2 r 2 i /2 =w 2 /2*m i r i 2 I i =m i r 2 i moment tromosti krutog tijela jednak zbroju svih mat.t I=S i m i r 2 i moment tromosti čvrstog tijela naziva se. fizikalna veličina jednaka zbroju umnožaka matematičkih t. kvadratima udaljenosti od tih točaka do osi. W i -I i W 2 /2 W k = IW 2 /2

W k =S i W ki moment tromosti pri rotacijskom gibanju pojave. analogno masi u translatornom kretanju. I=mR2/2

21. Neinercijalni referentni sustavi. Sile inercije. Načelo ekvivalencije. Jednadžba gibanja u neinercijalnim referentnim sustavima.

Neinercijalni referentni okvir- proizvoljan referentni sustav koji nije inercijalan. Primjeri neinercijalnih referentnih sustava: sustav koji se giba pravocrtno konstantnom akceleracijom, kao i rotirajući sustav.

Pri razmatranju jednadžbi gibanja tijela u neinercijalnom referentnom okviru potrebno je uzeti u obzir dodatne inercijalne sile. Newtonovi zakoni su zadovoljeni samo u inercijalnim referentnim okvirima. Da biste pronašli jednadžbu gibanja u neinercijalnom referentnom okviru, morate poznavati zakone transformacije sila i ubrzanja pri prijelazu iz inercijalnog okvira u bilo koji neinercijalni.

Klasična mehanika postulira sljedeća dva principa:

vrijeme je apsolutno, to jest, vremenski intervali između bilo koja dva događaja su isti u svim proizvoljno pokretnim referentnim okvirima;

prostor je apsolutan, odnosno udaljenost između bilo koje dvije materijalne točke jednaka je u svim proizvoljno pokretnim referentnim okvirima.

Ova dva principa omogućuju da se zapiše jednadžba gibanja materijalne točke u odnosu na bilo koji neinercijalni referentni okvir u kojem prvi Newtonov zakon nije zadovoljen.

Osnovna jednadžba za dinamiku relativnog gibanja materijalne točke ima oblik:

gdje je masa tijela, je akceleracija tijela u odnosu na neinercijalni referentni sustav, je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo, je prijenosna akceleracija tijela, je Coriolisova akceleracija tijela .

Ova se jednadžba može napisati u poznatom obliku drugog Newtonovog zakona uvođenjem fiktivnih inercijskih sila:

Prenosiva sila inercije

Coriolisova sila

Sila inercije- fiktivna sila koja se može uvesti u neinercijalni referentni okvir tako da se zakoni mehanike u njemu poklapaju sa zakonima inercijalnih okvira.

U matematičkim proračunima, uvođenje ove sile događa se transformacijom jednadžbe

F 1 +F 2 +…F n = ma za pregled

F 1 +F 2 +…F n –ma = 0 Gdje je F i stvarna sila, a –ma je "sila inercije".

Među inercijskim silama razlikuju se sljedeće:

jednostavan sila inercije;

centrifugalna sila, koja objašnjava želju tijela da odlete od središta u rotirajućim referentnim okvirima;

Coriolisova sila, koja objašnjava težnju tijela da napuste radijus tijekom radijalnog gibanja u rotirajućim referentnim okvirima;

Sa gledišta opće relativnosti, gravitacijske sile u bilo kojoj točki- to su sile inercije u danoj točki u Einsteinovom zakrivljenom prostoru

Centrifugalna sila- inercijalna sila, koja je uvedena u rotirajući (neinercijalni) referentni okvir (kako bi se primijenili Newtonovi zakoni, izračunati samo za inercijalne referentne okvire) i koja je usmjerena od osi rotacije (otuda naziv).

Načelo ekvivalencije sila gravitacije i tromosti- heurističko načelo koje je koristio Albert Einstein u dedukciji opće teorije relativnosti. Jedna od opcija za njegov prikaz: „Sile gravitacijske interakcije proporcionalne su gravitacijskoj masi tijela, dok su sile tromosti proporcionalne inercijskoj masi tijela. Ako su inercijska i gravitacijska masa jednake, tada je nemoguće razlučiti koja sila djeluje na određeno tijelo - gravitacijska ili inercijalna sila.”

Einsteinova formulacija

Povijesno gledano, Einstein je načelo relativnosti formulirao na sljedeći način:

Sve pojave u gravitacijskom polju odvijaju se na potpuno isti način kao u odgovarajućem polju inercijalnih sila, ako se intenziteti tih polja podudaraju i početni uvjeti za tijela sustava su isti.

22.Galilejevo načelo relativnosti. Galilejeve transformacije. Klasični teorem o zbrajanju brzina. Invarijantnost Newtonovih zakona u inercijalnim referentnim sustavima.

Galilejevo načelo relativnosti- to je načelo fizičke jednakosti inercijalnih referentnih sustava u klasičnoj mehanici, koje se očituje u činjenici da su zakoni mehanike u svim takvim sustavima isti.

Matematički, Galilejevo načelo relativnosti izražava nepromjenjivost (nepromjenjivost) jednadžbi mehanike s obzirom na transformacije koordinata pokretnih točaka (i vremena) tijekom prijelaza iz jednog inercijalnog sustava u drugi - Galilejeve transformacije.
Neka postoje dva inercijalna referentna sustava, od kojih se jedan, S, slažemo smatrati mirovanjem; drugi sustav, S", kreće se relativno u odnosu na S konstantnom brzinom u kao što je prikazano na slici. Tada će Galilejeve transformacije za koordinate materijalne točke u sustavima S i S" imati oblik:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(osjenčane vrijednosti odnose se na S sustav, neprimirane - na S). Dakle, vrijeme u klasičnoj mehanici, kao i udaljenost između bilo kojih fiksnih točaka, smatra se istim u svim referentnim sustavima.
Iz Galileovih transformacija može se dobiti odnos između brzina točke i njezinih ubrzanja u oba sustava:
v" = v - u, (2)
a" = a.
U klasičnoj mehanici, gibanje materijalne točke određeno je drugim Newtonovim zakonom:
F = ma, (3)
gdje je m masa točke, a F je rezultanta svih sila koje djeluju na nju.
Štoviše, sile (i mase) su u klasičnoj mehanici invarijante, tj. veličine koje se ne mijenjaju pri prelasku iz jednog referentnog sustava u drugi.
Stoga se pod Galilejevim transformacijama jednadžba (3) ne mijenja.
Ovo je matematički izraz Galileovog principa relativnosti.

GALILEJEVE PREOBRAZBE.

U kinematici su svi referentni sustavi međusobno jednaki i gibanje se može opisati u bilo kojem od njih. Pri proučavanju kretanja ponekad je potrebno prijeći iz jednog referentnog sustava (s koordinatnim sustavom OXYZ) u drugi - (O`X`U`Z`). Promotrimo slučaj kada se drugi referentni okvir giba u odnosu na prvi jednoliko i pravocrtno brzinom V=const.

Radi lakšeg matematičkog opisa pretpostavimo da su odgovarajuće koordinatne osi međusobno paralelne, da je brzina usmjerena duž osi X i da su se u početnom trenutku vremena (t=0) ishodišta koordinata oba sustava podudarala. jedno s drugim. Koristeći pretpostavku koja vrijedi u klasičnoj fizici o istom protoku vremena u oba sustava, možemo napisati relacije koje povezuju koordinate određene točke A(x,y,z) i A(x`,y`,z` ) u oba sustava. Takav prijelaz iz jednog referentnog sustava u drugi naziva se Galilejeva transformacija):

OHUZ O`H`U`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Ubrzanje u oba sustava je isto (V=const). U dinamici će se razjasniti duboki smisao Galileijevih transformacija. Galileova transformacija brzina odražava princip neovisnosti pomaka koji se nalazi u klasičnoj fizici.

Dodavanje brzina u servisu

Klasični zakon zbrajanja brzina ne može vrijediti jer proturječi tvrdnji o postojanosti brzine svjetlosti u vakuumu. Ako se vlak kreće brzinom v a svjetlosni val se širi u vagonu u smjeru kretanja vlaka, tada je njegova brzina u odnosu na Zemlju i dalje c, ali ne v+c.

Razmotrimo dva referentna sustava.

U sustavu K 0 tijelo se giba brzinom v 1 . Što se tiče sustava K kreće se brzinom v 2. Prema zakonu zbrajanja brzina u servisu:

Ako v<<c I v 1 << c, tada se taj član može zanemariti i tada dobivamo klasični zakon zbrajanja brzina: v 2 = v 1 + v.

Na v 1 = c ubrzati v 2 je jednako c, kako zahtijeva drugi postulat teorije relativnosti:

Na v 1 = c i kod v = c ubrzati v 2 je opet jednako brzini c.

Izvanredno svojstvo zakona adicije je da pri bilo kojoj brzini v 1 i v(Nije više c), rezultirajuća brzina v 2 ne prelazi c. Brzina kretanja stvarnih tijela veća od brzine svjetlosti je nemoguća.

Dodavanje brzine

Pri razmatranju složenog gibanja (tj. kada se točka ili tijelo giba u jednom referentnom sustavu, a giba se relativno prema drugom), postavlja se pitanje povezanosti brzina u 2 referentna sustava.

Klasična mehanika

U klasičnoj mehanici, apsolutna brzina točke jednaka je vektorskom zbroju njezine relativne i prijenosne brzine:

Jednostavno rečeno: Brzina gibanja tijela u odnosu na nepomični referentni sustav jednaka je vektorskom zbroju brzine tog tijela u odnosu na pomični referentni sustav i brzine najpokretljivijeg referentnog sustava u odnosu na nepomični okvir.

Sila trenja uvijek je usmjerena duž dodirne površine u smjeru suprotnom od kretanja. Ona je uvijek manja od sile normalnog pritiska.

Ovdje:
F- gravitacijska sila kojom se dva tijela međusobno privlače (Newton),
m 1- masa prvog tijela (kg),
m 2- masa drugog tijela (kg),
r- udaljenost između središta mase tijela (metar),
γ - gravitacijska konstanta 6,67 10 -11 (m 3 /(kg sec 2)),

Jakost gravitacijskog polja- vektorska veličina koja karakterizira gravitacijsko polje u danoj točki i brojčano je jednaka omjeru gravitacijske sile koja djeluje na tijelo smješteno u danoj točki polja i gravitacijske mase tog tijela:

12. U proučavanju mehanike krutog tijela koristili smo se konceptom apsolutno krutog tijela. Ali u prirodi nema apsolutno čvrstih tijela, jer... sva stvarna tijela pod utjecajem sila mijenjaju svoj oblik i veličinu, tj. deformiran.
Deformacija nazvao elastičan, ako nakon prestanka djelovanja vanjskih sila na tijelo tijelo povrati svoju prvobitnu veličinu i oblik. Deformacije koje ostaju u tijelu nakon prestanka djelovanja vanjskih sila nazivaju se plastični(ili rezidualni)

RAD I SNAGA

Rad sile.
Rad stalne sile koja djeluje na pravocrtno tijelo
, gdje je pomak tijela, je sila koja djeluje na tijelo.

Općenito, rad koji vrši promjenjiva sila koja djeluje na tijelo koje se kreće po zakrivljenoj putanji . Rad se mjeri u džulima [J].

Rad momenta sile koji djeluje na tijelo koje rotira oko nepomične osi, gdje je moment sile i je kut zakreta.
Općenito .
Rad tijela pretvara se u njegovu kinetičku energiju.
Vlast- ovo je rad po jedinici vremena (1 s): . Snaga se mjeri u vatima [W].

14.Kinetička energija- energija mehaničkog sustava, ovisno o brzini kretanja njegovih točaka. Često se oslobađa kinetička energija translatornog i rotacijskog gibanja.

Razmotrimo sustav koji se sastoji od jedne čestice i napišimo drugi Newtonov zakon:

Postoji rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo. Pomnožimo jednadžbu skalarno s pomakom čestice. S obzirom na to, dobivamo:

Ako je sustav zatvoren, tj , i vrijednost

ostaje konstantan. Ova količina se zove kinetička energijačestice. Ako je sustav izoliran, tada je kinetička energija sastavni dio gibanja.

Za apsolutno kruto tijelo ukupna kinetička energija može se napisati kao zbroj kinetičke energije translatornog i rotacijskog gibanja:

Tjelesna masa

Brzina centra mase tijela

Moment inercije tijela

Kutna brzina tijela.

15.Potencijalna energija- skalarna fizikalna veličina koja karakterizira sposobnost određenog tijela (ili materijalne točke) da izvrši rad zbog svoje prisutnosti u polju djelovanja sila.

16. Rastezanje ili sabijanje opruge dovodi do pohranjivanja njezine potencijalne energije elastične deformacije. Povratak opruge u ravnotežni položaj rezultira oslobađanjem pohranjene energije elastične deformacije. Veličina te energije je:

Potencijalna energija elastične deformacije..

- rad elastične sile i promjena potencijalne energije elastične deformacije.

17.konzervativne snage(potencijalne sile) – sile čiji rad ne ovisi o obliku putanje (ovisi samo o početnoj i krajnjoj točki djelovanja sila). Ovo implicira definiciju: konzervativne sile su one sile čiji je rad duž bilo koje zatvorene trajektorije jednak 0

Disipativne sile- sile pod čijim djelovanjem na mehanički sustav njegova ukupna mehanička energija opada (odnosno raspršuje se), pretvarajući se u druge, nemehaničke oblike energije, na primjer, u toplinu.

18. Rotacija oko fiksne osi To je gibanje krutog tijela kod kojeg dvije njegove točke ostaju nepomične tijekom cijelog gibanja. Pravac koji prolazi kroz te točke naziva se os rotacije. Sve ostale točke tijela gibaju se u ravninama okomitim na os rotacije, po kružnicama čija središta leže na osi rotacije.

Moment inercije- skalarna fizikalna veličina, mjera tromosti pri rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti pri translatornom gibanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment tromosti jednak je zbroju umnožaka elementarnih masa s kvadratom njihovih udaljenosti od baze (točke, pravca ili ravnine).

Moment tromosti mehaničkog sustava u odnosu na fiksnu os ("aksijalni moment tromosti") je količina J a, jednak zbroju proizvoda masa svih n materijalne točke sustava kvadratima njihovih udaljenosti od osi:

,

§ m i- težina ja ta točka,

§ r i- udaljenost od ja th točka na os.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera tromosti tijela u rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti u translatornom gibanju.

,

Ovdje je kutna količina gibanja u odnosu na os rotacije, odnosno projekcija na os kutne količine gibanja definirana u odnosu na neku točku koja pripada osi (vidi predavanje 2). - ovo je moment vanjskih sila u odnosu na os rotacije, odnosno projekcija na os rezultirajućeg momenta vanjskih sila, određena u odnosu na neku točku koja pripada osi, a izbor ove točke na osi , kao u slučaju c, nije važno. Doista (Sl. 3.4), gdje je komponenta sile koja djeluje na kruto tijelo, okomito na os rotacije, a je krak sile u odnosu na os.

Riža. 3.4.

Budući da je ( moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije), tada umjesto toga možemo napisati

Vektor je uvijek usmjeren duž osi rotacije, a komponenta je vektora momenta sile duž osi.

U slučaju koji dobijemo, prema tome, kutni moment u odnosu na os je očuvan. Štoviše, sam vektor L, definiran u odnosu na bilo koju točku na osi rotacije, može se mijenjati. Primjer takvog kretanja prikazan je na sl. 3.5.

Riža. 3.5.

Štap AB, zglobno pričvršćen u točki A, rotira inercijom oko okomite osi tako da kut između osi i štapa ostaje konstantan. Vektor momenta L, u odnosu na točku A, kreće se po stožastoj plohi s poluotvornim kutom, međutim, projekcija L na okomitoj osi ostaje konstantan, jer je moment gravitacije oko te osi jednak nuli.

Kinetička energija rotacijskog tijela i rad vanjskih sila (os rotacije miruje).

Brzina i-te čestice tijela

gdje je udaljenost čestice od osi rotacije Kinetička energija

jer kutna brzina rotacija za sve točke je ista.

U skladu s zakon promjene mehaničke energije sustava, elementarni rad svih vanjskih sila jednak je prirastu kinetičke energije tijela:

Pretpostavimo da se disk oštrila vrti po inerciji kutnom brzinom i zaustavimo ga pritiskom nekog predmeta na rub diska stalnom silom. U tom će slučaju na disk djelovati konstantna sila, usmjerena okomito na njegovu os. Rad ove sile

gdje je moment tromosti diska za oštrenje zajedno s armaturom elektromotora.

Komentar. Ako su sile takve da ne proizvode rad.

Slobodne osovine. Stabilnost slobodne rotacije.

Kada se tijelo okreće oko fiksne osi, ovu os drže u stalnom položaju ležajevi. Kada se neuravnoteženi dijelovi mehanizama okreću, osi (osovine) doživljavaju određeno dinamičko opterećenje, dolazi do podrhtavanja i mehanizama može doći do kolapsa.

Ako se čvrsto tijelo vrti oko proizvoljne osi koja je kruto povezana s tijelom i os oslobodi ležaja, tada će se njegov smjer u prostoru, općenito govoreći, promijeniti. Da bi proizvoljna os rotacije tijela zadržala svoj smjer nepromijenjen, na nju moraju djelovati određene sile. Situacije koje se javljaju u ovom slučaju prikazane su na sl. 3.6.

Riža. 3.6.

Ovdje se kao rotirajuće tijelo koristi masivni homogeni štap AB, pričvršćen na prilično elastičnu os (prikazano dvostrukim isprekidanim linijama). Elastičnost osovine omogućuje vizualizaciju dinamičkih opterećenja koja doživljava. U svim slučajevima, os rotacije je okomita, kruto povezana sa šipkom i učvršćena u ležajevima; šipka se odmota oko ove osi i prepusti sama sebi.

U slučaju prikazanom na Sl. 3.6a, os rotacije je glavna za točku B štapa, ali ne i središnja os; sa strane osi djeluje sila koja osigurava njegovu rotaciju kod štapa ta sila uravnotežuje centrifugalnu silu tromosti). Sa strane štapa na os djeluje sila koja je uravnotežena silama iz ležajeva.

U slučaju sl. 3.6b os rotacije prolazi kroz središte mase štapa i za njega je središnja, ali ne i glavna. Kutni moment u odnosu na središte mase O nije očuvan i opisuje stožastu plohu. Os je složeno deformirana (slomljena); sile djeluju na štap sa strane osi čiji moment daje prirast (u NISO povezanom sa štapom, moment elastičnih sila kompenzira moment centrifugalne inercijske sile koje djeluju na jednu i drugu polovicu štapa). Sa strane štapa sile djeluju na os i usmjerene su suprotno od sila i Moment sila i uravnotežen je momentom sila i koji nastaju u ležajevima.

I samo u slučaju kada se os rotacije poklapa s glavnom središnjom osi tromosti tijela (sl. 3.6c), neuvijena i prepuštena sama sebi šipka nema nikakvog utjecaja na ležajeve. Takve osi nazivamo slobodnim osima jer će, ako se ležajevi uklone, zadržati svoj smjer u prostoru nepromijenjen.

Hoće li ta rotacija biti stabilna u odnosu na male poremećaje, koji se u realnim uvjetima uvijek događaju, drugo je pitanje. Pokusi pokazuju da je rotacija oko glavne središnje osi s najvećim i najmanjim momentom tromosti stabilna, a rotacija oko osi sa srednjom vrijednošću momenta tromosti nestabilna. To se može provjeriti izbacivanjem tijela u obliku paralelopipeda, neuvijenog oko jedne od tri međusobno okomite glavne središnje osi (sl. 3.7). Os AA" odgovara najvećem, os BB" - prosječnom, a os CC" - najmanjem momentu tromosti paralelopipeda. Ako bacite takvo tijelo, dajući mu brzu rotaciju oko osi AA" ili oko osi CC", možete se uvjeriti da je ta rotacija prilično stabilna. Pokušaji prisiljavanja tijela da se okreće oko osi BB" ne dovode do uspjeha - tijelo se kreće složeno, prevrćući se u letu.

- kruto tijelo - Eulerovi kutovi