Dokaz paralelnosti srednje crte trapeza. N. Nikitin Geometrija

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u sudskom postupku, i/ili na temelju javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

U ovom ćemo članku pokušati prikazati svojstva trapeza što je moguće potpunije. Posebno ćemo govoriti o opći znakovi i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o trapezu upisanoj kružnici. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.

Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da ga razvrstate po mjestima u glavi i bolje zapamtite gradivo.

Trapez i sve-sve-sve

Za početak, ukratko se prisjetimo što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.

Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije stranice paralelne jedna s drugom (to su baze). A to dvoje nije paralelno - ovo su strane.

U trapezu se visina može spustiti – okomito na osnovice. Nacrtane su središnja linija i dijagonale. Također je moguće povući simetralu iz bilo kojeg kuta trapeza.

Oko razna svojstva, povezan sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.

Svojstva dijagonala trapeza

Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.

Ako pronađete središta svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da na njemu leži isječak HT središnja linija. A njezina se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: HT = (a – b)/2.
Pred nama je isti trapezoid ACME. Dijagonale se sijeku u točki O. Pogledajmo trokute AOE i MOK koje čine odsječci dijagonala zajedno s osnovicama trapeza. Ovi su trokuti slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnovica trapeza: k = AE/KM.
Omjer površina trokuta AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ćemo ovaj put razmotriti trokute koje su segmenti dijagonala činili zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO jednake su veličine – površine su im jednake.
Drugo svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako stranice AK i ME nastavite u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presjeći u određenoj točki. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu baza trapeza. Ona siječe baze u točkama X i T.
Ako sada produžimo pravac XT, tada će on zajedno spajati sjecište dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranice i središta osnovica X i T.
Kroz sjecište dijagonala povući ćemo isječak koji će spajati osnovice trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Sjecište dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
Sada ćemo kroz sjecište dijagonala povući segment paralelan s osnovicama trapeza (a i b). Točka sjecišta će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći duljinu segmenta 2ab/(a + b).

Svojstva srednje crte trapeza

Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim bazama.

Duljina središnje crte trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i njihovim dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
Ako nacrtate bilo koji segment (na primjer visinu) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.

Svojstvo simetrale trapeza

Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da simetrala odrezuje od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.

Svojstva kutova trapeza

Koji god od dva para kutova uz stranicu odaberete, zbroj kutova u tom paru uvijek je 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
Spojimo polovišta osnovica trapeza segmentom TX. Sada pogledajmo kutove na osnovicama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljina segmenta TX može se lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne crte, one će stranice kuta dijeliti na proporcionalne segmente.

Svojstva jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza

U jednakokračnom trapezu kutovi na svakoj osnovici su jednaki.
Sada ponovno izgradite trapez kako biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na pravcu koji sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i središnje crte jednakokračnog trapeza jednake su.
Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. Također su i kutovi nagiba ovih dijagonala prema osnovici trapeza isti.
Samo oko jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica jer je zbroj nasuprotnih kutova četverokuta 180 0 – potrebno stanje za ovo.
Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog odlomka - ako se u blizini trapeza može opisati kružnica, ona je jednakokračna.
Iz obilježja jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja osnovica: h = (a + b)/2.
Ponovno povucite segment TX kroz središta baza trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na baze. I ujedno je TX os simetrije jednakokračnog trapeza.
Ovaj put spustite visinu sa suprotnog vrha trapeza na veću osnovicu (nazovimo je a). Dobit ćete dva segmenta. Duljina jednog može se pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.

Svojstva trapeza upisanog u krug

Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporuča ne biti lijen, uzeti olovku u ruke i nacrtati ono o čemu pričate. pričati ćemo ispod. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.

Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može protezati od vrha trapeza pod pravim kutom na stranu. U tom slučaju veća baza siječe središte opisane kružnice točno po sredini (R = ½AE).
Dijagonala i stranica mogu se sastajati i pod oštar kut– tada je središte kruga unutar trapeza.
Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, iza njegove veće osnovice, ako postoji tupi kut između dijagonale trapeza i stranice.
Kut koji čine dijagonala i velika osnovica trapeza ACME (upisani kut) polovica je središnjeg kuta koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
Ukratko o dva načina određivanja polumjera opisane kružnice. Prva metoda: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako ćete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći omjerom stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranicu obaju trokuta.
Druga metoda: pronađite polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg tvore dijagonala, stranica i baza trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Svojstva trapeza opisanog krugu

Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.

Ako je krug upisan u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
Za trapez ACME, opisan oko kruga, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
Iz ovog svojstva osnovica trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u trapez se može upisati kružnica čiji je zbroj osnovica jednak zbroju stranica.
Diralište kružnice polumjera r upisane u trapez dijeli stranicu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i sami ovaj primjer. Imamo dobri stari trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM koje čine odsječci dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. bočne stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza podudara se s promjerom upisane kružnice.

Svojstva pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.

Pravokutni trapez ima jednu stranicu okomitu na osnovicu.
Visina i bočna stranica trapeza uz pravi kut, su jednaki. To vam omogućuje izračunavanje površine pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja je uz pravi kut.
Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.

Dokazi nekih svojstava trapeza

Jednakost kutova na osnovici jednakokračnog trapeza:

Vjerojatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokračni trapez. Iz vrha M povuci ravnu liniju MT, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).

Dobiveni četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Kako je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.

AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sada to dokazujemo na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala). trapez ACME je jednakokračan:

Za početak, nacrtajmo ravnu liniju MX – MX || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).

∆AMX je jednakokračan jer je AM = KE = MX, a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MHE, dakle MAE = MHE.

Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajedničke stranice dvaju trokuta. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, a iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.

Pregledajte zadatak

Osnovice trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, s manjom osnovicom zaklapa kut od 150 0 . Morate pronaći područje trapeza.

Rješenje: Iz vrha K spustite visinu na više razloga trapezi. I počnimo promatrati kutove trapeza.

Kutovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Stoga je KAN = 30 0 (na temelju svojstva trapeznih kutova).

Razmotrimo sada pravokutni ∆ANC (vjerujem da je ova točka očigledna čitateljima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kutu od 30 0. Stoga je KN = ½AB = 4 cm.

Područje trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Pogovor

Ako ste pažljivo i zamišljeno proučavali ovaj članak, niste bili previše lijeni da olovkom u rukama nacrtate trapezoide za sva zadana svojstva i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.

Naravno, ovdje ima mnogo informacija, raznolikih i ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.

Sada imate detaljan sažetak svega opća svojstva trapezi. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokračnog i pravokutnog trapeza. Vrlo je praktičan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Pojam srednje crte trapeza

Prvo, sjetimo se kakva se figura naziva trapezom.

Definicija 1

Trapez je četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu paralelne.

U tom se slučaju paralelne stranice nazivaju osnovicama trapeza, a neparalelne stranice nazivaju se bočnim stranicama trapeza.

Definicija 2

Srednja linija trapeza je segment koji spaja središta bočnih stranica trapeza.

Teorem o središnjici trapeza

Sada uvodimo teorem o središnjici trapeza i dokazujemo ga vektorskom metodom.

Teorem 1

Srednjica trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je njihovom poluzbroju.

Dokaz.

Neka nam je dan trapez $ABCD$ s bazama $AD\ i\ BC$. I neka je $MN$ srednja linija ovog trapeza (slika 1).

Slika 1. Srednja linija trapeza

Dokažimo da je $MN||AD\ i\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Razmotrimo vektor $\overrightarrow(MN)$. Zatim koristimo pravilo poligona za dodavanje vektora. S jedne strane, to shvaćamo

Na drugoj strani

Zbrojimo zadnje dvije jednakosti i dobijemo

Kako su $M$ i $N$ polovišta bočnih stranica trapeza, imat ćemo

Dobivamo:

Stoga

Iz iste jednakosti (budući da su $\overrightarrow(BC)$ i $\overrightarrow(AD)$ kosmjerni i, prema tome, kolinearni) dobivamo da je $MN||AD$.

Teorem je dokazan.

Primjeri zadataka o pojmu srednje crte trapeza

Primjer 1

Bočne stranice trapeza su $15\ cm$ odnosno $17\ cm$. Opseg trapeza je $52\cm$. Odredi duljinu središnje crte trapeza.

Riješenje.

Označimo središnjicu trapeza s $n$.

Zbroj stranica jednak je

Stoga, budući da je opseg $52\ cm$, zbroj baza je jednak

Dakle, prema teoremu 1, dobivamo

Odgovor:$10\cm$.

Primjer 2

Krajevi promjera kruga udaljeni su od njegove tangente 9$ cm, odnosno 5$ cm.

Riješenje.

Neka nam je dana kružnica sa središtem u točki $O$ i promjerom $AB$. Povucimo tangentu $l$ i konstruirajmo udaljenosti $AD=9\ cm$ i $BC=5\ cm$. Nacrtajmo radijus $OH$ (sl. 2).

Slika 2.

Kako su $AD$ i $BC$ udaljenosti do tangente, onda je $AD\bot l$ i $BC\bot l$ i kako je $OH$ polumjer, onda je $OH\bot l$, dakle, $OH |\lijevo|AD\desno||BC$. Iz svega ovoga dobivamo da je $ABCD$ trapez, a $OH$ njegova središnja linija. Prema teoremu 1, dobivamo

KVADAGONI.

§ 49. TRAPEZ.

Četverokut s dva suprotne strane su paralelni, a druga dva nisu paralelna naziva se trapez.

Na crtežu 252 četverokut ABC AB || CD, AC || B.D. ABC - trapez.

Paralelne stranice trapeza nazivamo njegovim razloga; AB i CD su osnovice trapeza. Druge dvije strane su tzv strane trapez; AC i VD su stranice trapeza.

Ako su stranice jednake, tada se zove trapez jednakokračan.

Trapez ABOM je jednakokračan, jer je AM = VO (slika 253).

Trapez kojemu je jedna stranica okomita na osnovicu naziva se pravokutan(crtež 254).

Srednja crta trapeza je segment koji spaja središta bočnih stranica trapeza.

Teorema. Srednjica trapeza paralelna je sa svakom njegovom osnovicom i jednaka je njihovom poluzbroju.

Dato je: OS je srednja linija trapeza ABCD, tj. OK = OA i BC = CD (crtež 255).

Moramo dokazati:

1) OS || KD i OS || AB;
2)

Dokaz. Kroz točke A i C povučemo ravnu liniju koja siječe nastavak baze KD u nekoj točki E.

U trokutima ABC i DCE:
BC = CD - prema stanju;
/ 1 = / 2, oba okomita,
/ 4 = / 3, kao unutarnji poprečno ležeći s paralelama AB i KE i sekantom BD. Stoga, /\ ABC = /\ DCE.

Stoga je AC = CE, tj. OS je srednja linija trokuta KAE. Stoga (§ 48):

1) OS || KE i, prema tome, OS || KD i OS || AB;
2) , ali DE = AB (iz jednakosti trokuta ABC i DCE), stoga se segment DE može zamijeniti jednakim segmentom AB. Tada dobivamo:

Teorem je dokazan.

Vježbe.

1. Dokaži da je iznos unutarnji kutovi trapeza uz svaku stranicu je 2 d.

2. Dokaži da su kutovi na osnovici jednakokračnog trapeza jednaki.

3. Dokažite da je taj trapez jednakokračan ako su kutovi na osnovici trapeza jednaki.

4. Dokažite da su dijagonale jednakokračnog trapeza međusobno jednake.

5. Dokažite da ako su dijagonale trapeza jednake, onda je taj trapez jednakokračan.

6. Dokažite da je opseg lika kojeg tvore odsječci koji spajaju središta stranica četverokuta jednak jednak zbroju dijagonale ovog četverokuta.

7. Dokažite da pravac koji prolazi sredinom jedne od stranica trapeza paralelno s njegovim osnovicama dijeli drugu stranicu trapeza na pola.

Četverokut kojemu su samo dvije stranice paralelne naziva se trapez.

Paralelne stranice trapeza nazivamo njegovim razloga, a one stranice koje nisu paralelne nazivaju se strane. Ako su strane jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Razmak između osnovica naziva se visina trapeza.

Trapez srednje linije

Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Središnja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovicama.

Teorema:

Ako je pravac koji siječe sredinu jedne stranice paralelan s osnovicama trapeza, tada ona raspolavlja drugu stranicu trapeza.

Teorema:

Duljina središnje crte jednaka je aritmetičkoj sredini duljina njezinih baza

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN središnja linija, AB i CD - baze, AD i BC - bočne strane

MN = (AB + DC)/2

Teorema:

Duljina središnje crte trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini duljina njegovih osnovica.

Glavni zadatak: Dokažite da središnja linija trapeza raspolavlja odsječak čiji krajevi leže na sredini osnovica trapeza.

Srednja linija trokuta

Isječak koji spaja središnje točke dviju stranica trokuta naziva se središnjicom trokuta. Paralelna je s trećom stranicom, a duljina joj je jednaka polovici duljine treće stranice.
Teorema: Ako je linija koja siječe središte jedne stranice trokuta paralelna s drugom stranom trokuta, tada ona raspolavlja treću stranicu.

AM = MC i BN = NC =>

Primjena svojstava središnje linije trokuta i trapeza

Dijeljenje segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijelite dužinu AB na 5 jednakih dijelova.
Riješenje:
Neka je p slučajna zraka čije je ishodište točka A i koja ne leži na pravcu AB. Redom smo odvojili 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Spojimo A 5 s B i kroz A 4, A 3, A 2 i A 1 povučemo takve pravce koji su paralelni s A 5 B. Oni sijeku AB redom u točkama B 4, B 3, B 2 i B 1. Ove točke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Doista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3. Na isti način iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijemo B 4 B 3 = B 3 B 2

Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. Zaključno dobivamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo podijelili dužinu AB na još jedan broj jednakih dijelova, moramo projicirati isti broj jednakih dužina na zraku p. Zatim nastavite na gore opisani način.