Diferencijacija primjera rješenja. Derivacija složene funkcije

Kako pronaći izvod, kako uzeti izvod? U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći izvode funkcija. Ali prije nego što proučite ovu stranicu, toplo vam preporučujem da se upoznate s njom metodološki materijal Vruće formule za školski tečaj matematike. Referentni priručnik možete otvoriti ili preuzeti na stranici Matematičke formule i tablice. Također od tamo ćemo trebati Tablica izvedenica, bolje je da ga ispišete; često ćete ga morati koristiti, ne samo sada, već i izvan mreže.

Jesti? Započnimo. Imam dvije vijesti za vas: dobru i vrlo dobru. Dobra vijest je sljedeća: da biste naučili kako pronaći izvedenice, ne morate znati i razumjeti što je izvedenica. Štoviše, definiciju derivacije funkcije, matematičko, fizikalno, geometrijsko značenje derivacije svrsishodnije je proždirati kasnije, budući da kvalitetno proučavanje teorije, po mom mišljenju, zahtijeva proučavanje niza druge teme, kao i neka praktična iskustva.
A sada je naš zadatak tehnički svladati te iste izvedenice. Vrlo dobre vijesti je da naučiti uzimati derivacije nije tako teško; postoji prilično jasan algoritam za rješavanje (i objašnjenje) ovog zadatka; integrale ili limite je, na primjer, teže savladati.

Preporučujem sljedeći redoslijed proučavanja teme:: Prvo, ovaj članak. Zatim morate pročitati najvažniju lekciju Derivacija složene funkcije. Ove dvije osnovne lekcije poboljšat će vaše vještine iz potpuna nula. Zatim se u članku možete upoznati sa složenijim derivatima Složene izvedenice. Logaritamska derivacija. Ako je letvica previsoka, prvo pročitajte stvar Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama. Osim novog gradiva, lekcija pokriva i druge, jednostavnije vrste izvedenica, te je izvrsna prilika da poboljšate svoju tehniku razlikovanja. Osim toga, u testovi Gotovo uvijek postoje zadaci za pronalaženje derivacija funkcija koje su navedene implicitno ili parametarski. Postoji i takva lekcija: Derivacije implicitnih i parametarski definiranih funkcija.

Pokušat ću vas u pristupačnom obliku, korak po korak, naučiti kako pronaći izvode funkcija. Sve informacije prikazane su detaljno, jednostavnim riječima.

Zapravo, pogledajmo odmah primjer:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Riješenje:

Ovo je najjednostavniji primjer, pronađite ga u tablici izvedenica elementarne funkcije. Sada pogledajmo rješenje i analizirajmo što se dogodilo? I dogodilo se sljedeće: imali smo funkciju, koja se kao rezultat rješenja pretvorila u funkciju.

Jednostavno rečeno, da biste pronašli izvod funkcije, trebate određena pravila pretvoriti u drugu funkciju. Ponovno pogledajte tablicu derivacija - tamo se funkcije pretvaraju u druge funkcije. Jedina iznimka je eksponencijalna funkcija, koja se pretvara u samu sebe. Operacija nalaženja derivacije naziva se diferencijacija .

Oznake: Derivacija se označava sa ili .

PAŽNJA, VAŽNO! Zaboraviti staviti crtu (gdje je potrebno) ili povući dodatnu crtu (gdje nije potrebno) - VELIKA POGREŠKA! Funkcija i njezina derivacija dvije su različite funkcije!

Vratimo se našoj tablici izvedenica. Iz ove tablice poželjno je zapamtiti: pravila diferenciranja i izvoda nekih elementarnih funkcija, posebice:

izvod konstante:
, gdje je konstantan broj;

derivacija funkcije snage:
, posebno: , , .

Zašto se sjećati? Ovo znanje je osnovno znanje o izvedenicama. A ako ne možete odgovoriti na učiteljevo pitanje "Koja je derivacija broja?", tada bi vaš studij na sveučilištu mogao završiti za vas (osobno poznajem dva stvarni slučajevi iz života). Osim toga, ovo su najčešće formule koje moramo koristiti gotovo svaki put kada naiđemo na izvedenice.

U stvarnosti su jednostavni tablični primjeri rijetki; obično se pri pronalaženju derivacija prvo koriste pravila diferenciranja, a zatim tablica derivacija elementarnih funkcija.

U tom smislu prelazimo na razmatranje pravila razlikovanja:

1) Konstantan broj se može (i treba) izbaciti iz predznaka izvedenice

Gdje je konstantan broj (konstanta)

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Pogledajmo tablicu izvedenica. Derivacija kosinusa postoji, ali imamo .

Vrijeme je da upotrijebimo pravilo, uzimamo faktor konstante iz znaka izvoda:

Sada pretvaramo naš kosinus prema tablici:

Pa, preporučljivo je malo "pročešljati" rezultat - stavite znak minus na prvo mjesto, ujedno se riješite zagrada:

2) Izvodnica zbroja jednaka je zbroju izvodnica

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Odlučimo se. Kao što ste vjerojatno već primijetili, prvi korak koji se uvijek izvodi pri pronalaženju izvedenice je da cijeli izraz stavimo u zagrade i stavimo oznaku u gornjem desnom kutu:

Primijenimo drugo pravilo:

Imajte na umu da za diferencijaciju svi korijeni i stupnjevi moraju biti predstavljeni u obliku, a ako su u nazivniku, pomaknite ih prema gore. O tome kako to učiniti raspravlja se u mojim nastavnim materijalima.

Sjetimo se sada prvog pravila diferenciranja - konstantne faktore (brojeve) uzimamo izvan predznaka derivacije:

Obično se tijekom rješavanja ova dva pravila primjenjuju istovremeno (kako se ne bi ponovno prepisivao dugačak izraz).

Sve funkcije koje se nalaze ispod poteza su elementarne tablične funkcije pomoću tablice provodimo transformaciju:

Možete ostaviti sve kako jest, budući da više nema udaraca, a izvedenica je pronađena. Međutim, izrazi poput ovog obično pojednostavljuju:

Preporučljivo je sve potencije tipa ponovno prikazati u obliku korijena; potencije s negativnim eksponentima treba vratiti na nazivnik. Iako to ne morate učiniti, neće biti greške.

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Pokušajte riješiti ovaj primjer samostalno (odgovor na kraju sata). Zainteresirani također mogu koristiti intenzivni tečaj u pdf formatu, što je posebno važno ako imate vrlo malo vremena na raspolaganju.

3) Derivacija umnoška funkcija

Čini se da analogija sugerira formulu ...., ali iznenađenje je da:

Ovo je neobično pravilo (kao, zapravo, i drugi) slijedi iz izvedene definicije. Ali zasad ćemo se zadržati na teoriji - sada je važnije naučiti kako riješiti:

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo produkt dviju funkcija ovisno o .
Prvo primjenjujemo naše čudno pravilo, a zatim transformiramo funkcije pomoću tablice izvedenica:

teško? Nimalo, sasvim dostupno čak i za čajnik.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ova funkcija sadrži zbroj i umnožak dviju funkcija - kvadratni trinom i logaritam. Iz škole se sjećamo da množenje i dijeljenje imaju prednost nad zbrajanjem i oduzimanjem.

I ovdje je isto. ISPRVA koristimo pravilo razlikovanja proizvoda:

Sada za zagradu koristimo prva dva pravila:

Kao rezultat primjene pravila diferenciranja ispod poteza, ostaju nam samo elementarne funkcije; pomoću tablice derivacija ih pretvaramo u druge funkcije:

Spreman.

S određenim iskustvom u pronalaženju izvedenica, čini se da jednostavne izvedenice nije potrebno opisivati tako detaljno. Općenito, o njima se obično odlučuje usmeno, i to se odmah zapisuje .

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka(odgovor na kraju lekcije)

4) Derivacija kvocijentnih funkcija

Otvorio se otvor na stropu, ne brinite, to je greška.
Ali ovo je surova stvarnost:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Što tu nedostaje – zbroj, razlika, umnožak, razlomak…. Od čega da počnem?! Ima sumnje, nema sumnje, ali, U svakom slučaju Prvo nacrtajte zagrade i stavite crtu gore desno:

Sada pogledamo izraz u zagradama, kako ga možemo pojednostaviti? U ovom slučaju uočavamo faktor koji je, prema prvom pravilu, preporučljivo staviti izvan znaka izvoda.

Pronalaženje derivacije matematičke funkcije naziva se diferenciranje. Pronalaženje derivacije matematičke funkcije čest je problem s kojim se susreće u višoj matematici. Možete razgovarati na različite načine: pronaći derivaciju, izračunati derivaciju, diferencirati funkciju, uzeti derivaciju, ali sve su to isti pojmovi. Postoje, naravno, složeni zadaci u kojima je nalaženje derivacije samo jedna od komponenti problema. Na našem web servisu imate priliku online izračunati derivaciju iz elementarnih i složenih funkcija koje nemaju analitičko rješenje. Izvod online na našoj usluzi može se pronaći iz gotovo svake matematičke funkcije, čak i one najsloženije koju druge usluge ne mogu riješiti za vas. A dobiveni odgovor uvijek je 100% točan i isključuje pogreške. Na konkretnim primjerima možete vidjeti kako teče proces pronalaženja derivata na našoj web stranici. Primjeri se nalaze desno od gumba Rješenje. Odaberite bilo koju funkciju s popisa primjera, ona će se automatski umetnuti u polje funkcije, a zatim kliknite gumb "Rješenje". Vidjet ćete rješenje korak po korak, vaša će se izvedenica pronaći na isti način. Prednosti online rješavanja izvedenica. Čak i ako znate kako pronaći izvedenice, proces može oduzeti puno vremena i truda. Stranica usluge je osmišljena kako bi vas spasila od zamornih i dugotrajnih izračuna, u kojima također možete pogriješiti. Derivaciju izračunavamo online jednim klikom na gumb “Rješenje” nakon unosa navedene funkcije. Stranica je također savršena za one koji žele testirati svoje vještine u pronalaženju izvoda matematičke funkcije i uvjeriti se da je njihovo neovisno rješenje točno ili pronaći pogrešku u njemu. Da biste to učinili, samo trebate usporediti svoj odgovor s rezultatom izračuna online usluge. Ako ne želite koristiti tablice izvedenica, koje oduzimaju puno vremena za pronalaženje željene funkcije, tada koristite našu uslugu umjesto tablica izvedenica za pronalaženje izvedenica. Glavne prednosti naše stranice u usporedbi s drugim sličnim uslugama su da se izračun odvija vrlo brzo (u prosjeku 5 sekundi) i ne morate ništa platiti za to - usluga je potpuno besplatna. Nećete se morati registrirati, unijeti e-mail ili unijeti svoje osobne podatke. Sve što trebate učiniti je ući dana funkcija i kliknite gumb "Rješenje". Što je izvedenica. Derivacija funkcije osnovni je pojam u matematici i matematičkoj analizi. Obrnuto od ovog procesa je integracija, odnosno pronalaženje funkcije iz poznate derivacije. Pojednostavljeno rečeno, diferenciranje je djelovanje na funkciju, a derivacija je rezultat takvog djelovanja. Da bi se izračunala derivacija funkcije u određenoj točki, argument x zamjenjuje se numeričkom vrijednošću i izraz se procjenjuje. Derivacija je označena primenom znakom s desne strane gornji kut preko funkcije. Potez također može biti oznaka određene funkcije. Da biste pronašli derivaciju elementarne funkcije, morat ćete znati tablicu derivacija ili je uvijek imati pri ruci, što možda nije baš zgodno, a također znati pravila diferencijacije, stoga preporučujemo korištenje naše usluge, gdje je derivacija izračunati online, samo trebate unijeti funkciju u polje predviđeno za ovo. Argument mora biti varijabla x, budući da se diferenciranje izvodi u odnosu na nju. Ako trebate izračunati drugu derivaciju, možete diferencirati rezultirajući odgovor. Kako izračunati izvedenicu online. Tablice derivacija elementarnih funkcija davno su napravljene i lako ih možete pronaći, tako da je izračunavanje derivacije elementarne (jednostavne) matematičke funkcije prilično jednostavna stvar. Međutim, kada trebate pronaći izvod složene matematičke funkcije, to više nije trivijalan zadatak i zahtijevat će puno truda i vremena. Možete se riješiti besmislenih i dugih izračuna ako koristite naš online usluga. Zahvaljujući njemu, derivat će se izračunati za nekoliko sekundi.

Prva razina

Derivacija funkcije. Sveobuhvatni vodič (2019)

Zamislimo ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određena razina nulte visine; u životu kao nju koristimo razinu mora.

Dok se krećemo naprijed takvom cestom, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (kretanje po apscisnoj osi), mijenja se i vrijednost funkcije (kretanje po ordinatnoj osi). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Kakva bi to vrijednost mogla biti? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se pomaknete naprijed na određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama ceste, krećući se naprijed (duž x-osi) za jedan kilometar, mi ćemo se podići ili pasti za različite količine metara u odnosu na razinu mora (duž ordinatne osi).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) obično se koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena u količini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena u veličini.

Važno: izraz je jedinstvena cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.

Dakle, krenuli smo naprijed, vodoravno, za. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja točka niža od početne, bit će negativna – to znači da se ne penjemo, nego silazimo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se pomakne naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekoj dionici ceste, kada se krećemo naprijed za kilometar, cesta uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se cesta, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Sada pogledajmo vrh brda. Ako se početak dionice uzme pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, vidi se da je visina gotovo ista.

To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Samo na udaljenosti od kilometra mnogo toga se može promijeniti. Za adekvatniju i točniju ocjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako mjerite promjenu visine dok se pomičete za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvaran život Mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimalnog, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je neka veličina infinitezimalna, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije nula! Ali vrlo blizu toga. To znači da ga možete dijeliti.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerojatno ste već naišli na to dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je po modulu veći od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je još veća od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliko i beskonačno malo su inverzni jedno drugom, to jest, at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo našem putu. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za infinitezimalni segment staze, to jest:

Napominjem da će s infinitezimalnim pomakom promjena visine također biti infinitezimalna. Ali podsjetit ću vas da infinitezimalno ne znači jednaka nuli. Podijelite li infinitezimalne brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti točno puta veća od druge.

Čemu sve ovo? Cesta, strmina... Ne idemo na auto reli, nego učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Pojam derivata

Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta.

Postupno u matematici zovu promjena. Poziva se opseg do kojeg se argument () mijenja dok se pomiče duž osi povećanje argumenta a označava se. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i naznačen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo s promom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:

Kao i u analogiji s cestom, ovdje kada funkcija raste derivacija je pozitivna, a kada opada negativna.

Je li moguće da derivacija bude jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. I istina je, visina se uopće ne mijenja. Tako je i s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.

Sjetimo se primjera s brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta duž različite strane odozgo, tako da je visina na krajevima ista, odnosno segment je paralelan s osi:

Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati infinitezimalna. Ali pritom je ostao paralelan s osi, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica

To se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a s desne povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.

Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje povećanja:

Pronađite priraštaj funkcije u točki kada je priraštaj argumenta jednak.
Isto vrijedi i za funkciju u točki.

rješenja:

U različite točke s istim prirastom argumenta, prirast funkcije bit će drugačiji. To znači da je derivacija u svakoj točki različita (o tome smo govorili na samom početku - strmina ceste je različita u različitim točkama). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:

Funkcija snage.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument do nekog stupnja (logičan, zar ne?).

Štoviše – u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njegovu derivaciju u točki. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja iz u. Koliki je prirast funkcije?

Povećanje je ovo. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:

Derivacija je jednaka:

Derivacija je jednaka:

b) Sada razmislite kvadratna funkcija (): .

Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je infinitezimalna i stoga beznačajna u odnosu na drugi član:

Pa smo smislili još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili faktorizirati cijeli izraz pomoću formule razlike kubova. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sljedeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobivamo: .

d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim smanjuje za."

To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcije:

(na dva načina: formulom i pomoću definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

. Vjerovali ili ne, ovo je funkcija moći. Ako imate pitanja poput “Kako je ovo? Gdje je diploma?”, sjetite se teme “”!
Da, da, korijen je također stupanj, samo razlomak: .
Dakle naše Korijen- ovo je samo diploma s pokazateljem:
.
Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:
Ako na ovom mjestu opet postane nejasno, ponovite temu “”!!! (o stupnju s negativnim eksponentom)
. Sada eksponent:
A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
;
.
Sada, kao i obično, zanemarujemo termin koji sadrži:
.
. Kombinacija prethodnih slučajeva: .

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:

S izrazom.

Dokaz ćete naučiti u prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je bliža funkcija ovome "cilju".

Dodatno, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, nemojte se sramiti, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite prebaciti svoj kalkulator u radijanski način rada!

itd. Vidimo da što manje, to bliža vrijednost odnos prema

a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov inkrement:

Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo se formulom (sjetite se teme “”): .

Sada izvedenica:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se infinitezimalna količina može zanemariti u zbroju (tj. at).

Dakle, dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:

To su osnovne ("tabularne") izvedenice. Evo ih na jednom popisu:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji, jer se najčešće koriste.

Praksa:

Naći derivaciju funkcije u točki;
Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

Prvo, pronađimo izvedenicu u opći pogled, a zatim zamijenite njegovu vrijednost:
;
.
Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je osvijestiti
normalan pogled:
.
Odlično, sada možete koristiti formulu:
.
.
. Eeeeeee….. Što je ovo????

U redu, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve izvedenice. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čija je derivacija za bilo koju vrijednost istovremeno jednaka vrijednosti same funkcije. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije je konstanta – ona je beskonačna decimal, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, razmotrimo odmah inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo "prirodnim", a za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Izlagač i prirodni logaritam- funkcije su jedinstveno jednostavne u smislu izvodnica. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, što ćemo analizirati kasnije, nakon prođimo kroz pravila diferencijacija.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), onda.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

u točki;
u točki;
u točki;
u točki.

rješenja:

(derivacija je ista u svim točkama, jer je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

Nađite derivacije funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Za ovo ćemo koristiti jednostavno pravilo: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "kompleksna funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritmiranje teško, pročitajte temu “Logaritmi” i bit ćete dobro), ali s matematičke točke gledišta, riječ “kompleksno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je složeni objekt: čokoladna pločica omotana i zavezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnute korake obrnuti redoslijed.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja mu pronađem kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složena funkcija: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složene funkcije: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se funkcija.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer,.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Pozvat će se radnja koju obavimo posljednju "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Koju radnju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, a tek onda kubirajte. To znači da je to unutarnja funkcija, ali vanjska.
A izvorna funkcija je njihov sastav: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .
Interno: ; vanjski: .
Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interno: ;

Vanjski: ;

2) Interno: ;

(Samo ga nemojte pokušavati prerezati do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interno: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da je riječ o trorazinskoj složenoj funkciji: uostalom, to je već sama po sebi složena funkcija, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (čokoladu stavljamo u omot i s vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo ovu funkciju "raspakirati" istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo diferenciramo korijen, zatim kosinus, a tek onda izraz u zagradi. I onda sve to množimo.

U takvim je slučajevima zgodno numerirati radnje. Odnosno, zamislimo ono što znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvoditi radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja kasnije izvrši, to će odgovarajuća funkcija biti više "vanjska". Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 razine. Odredimo tijek akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Korijen. .

3. Sinus. .

4. Trg. .

5. Sve zajedno:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njen izvod.
Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge točke.

Primjena

Rješavanje izvedenice na mjestu za učvršćivanje gradiva koje su prešli studenti i školarci. Izračunavanje derivacije funkcije u nekoliko sekundi ne čini se teškim ako koristite našu online uslugu rješavanja problema. voditi detaljna analiza Svaki treći student moći će temeljito učiti tijekom praktične nastave. Često nas kontaktira odjel resornog odjela za promicanje matematike u obrazovnim institucijama u zemlji. U ovom slučaju, kako ne spomenuti online rješavanje derivacije ograničen prostor nizovi brojeva. Mnogim bogatim pojedincima dopušteno je izraziti svoje čuđenje. Ali u međuvremenu, matematičari ne sjede mirno i puno rade. Kalkulator izvedenica će prihvatiti promjene u ulaznim parametrima na temelju linearnih karakteristika uglavnom zbog supremuma silaznih pozicija kocki. Rezultat je neizbježan kao i površina. Kao početni podaci, online izvedenica eliminira potrebu za poduzimanjem nepotrebnih koraka. Osim izmišljenih kućanskih poslova. Osim što je online rješavanje izvedenica nužan i važan aspekt učenja matematike, učenici se često ne sjećaju problema iz prošlosti. Učenik, budući da je lijeno stvorenje, to razumije. Ali studenti su smiješni ljudi! Učinite to u skladu s pravilima ili derivirajte funkciju iz nagnuta ravnina može dati ubrzanje materijalnoj točki. Usmjerimo negdje vektor silazne prostorne zrake. U traženom odgovoru nalaženje derivacije čini se apstraktnim teorijskim pravcem zbog nestabilnosti matematičkog sustava. Zamislimo brojčanu relaciju kao niz neiskorištenih opcija. Komunikacijski kanal nadopunjen je petom linijom duž opadajućeg vektora od točke zatvorene bifurkacije kocke. Na ravni zakrivljenih prostora, online rješavanje derivacije dovodi nas do zaključka koji je natjerao najveće umove planeta da razmišljaju o tome u prošlom stoljeću. U tijeku događaja na polju matematike, pet fundamentalno važni faktori, pomažući u poboljšanju položaja odabira varijable. Dakle, zakon o bodovima navodi da se online izvedenica ne izračunava detaljno u svakom slučaju, jedina iznimka je lojalno progresivni trenutak. Prognoza nas je dovela u novu fazu razvoja. Trebamo rezultate. U liniji matematičke kosine koja prolazi ispod površine, kalkulator modne derivacije nalazi se u području sjecišta proizvoda na skupu za savijanje. Ostaje analizirati diferencijaciju funkcije u njezinoj nezavisnoj točki u blizini epsilon susjedstva. To svatko može provjeriti u praksi. Na kraju će se nešto odlučiti sljedeća razina programiranje. Studentu je potrebna online izvedenica kao i uvijek, bez obzira na imaginarno istraživanje koje se prakticira. Ispada da rješenje derivacije online pomnožene s konstantom ne mijenja opći smjer gibanja materijalne točke, već karakterizira povećanje brzine duž ravne linije. U tom smislu, bit će korisno koristiti naš kalkulator izvedenica i izračunati sve vrijednosti funkcije na cijelom skupu njezine definicije. Nema potrebe proučavati valove sile gravitacijskog polja. Ni u kojem slučaju online rješavanje izvodnica neće pokazati nagib izlazne zrake, ali samo u rijetkim slučajevima, kada je to stvarno potrebno, studenti to mogu zamisliti. Istražimo ravnatelja. Vrijednost najmanjeg rotora je predvidljiva. Nanesite na rezultat linija koje gledaju udesno i opisuju loptu, ali online kalkulator izvedenice, to je osnova za figure posebne jakosti i nelinearne ovisnosti. Izvješće o matematičkom projektu je spremno. Osobne karakteristike: razlika najmanjih brojeva i derivacije funkcije po osi ordinata dovest će konkavnost iste funkcije do visine. Postoji smjer - postoji zaključak. Lakše je teoriju pretočiti u praksu. Studenti imaju prijedlog glede vremena početka studija. Potreban odgovor učitelja. Opet, kao i kod prethodnog stava, matematički sustav nije reguliran na temelju radnje koja će pomoći u pronalaženju derivacije. Kao niža polulinearna verzija, online derivacija će detaljno pokazati identifikaciju rješenja prema degenerirani uvjetni zakon. Upravo je iznesena ideja o formulama za izračunavanje. Linearno diferenciranje funkcije skreće istinu rješenja na jednostavno postavljanje nevažnih pozitivnih varijacija. Važnost usporednih znakova smatrat ćemo kontinuiranim prekidom funkcije duž osi. To je važnost najsvjesnijeg zaključka, smatra student, u kojem je online izvedenica nešto drugo nego lojalni primjer matematičke analize. Radijus zakrivljene kružnice u euklidskom prostoru, naprotiv, dao je kalkulatoru derivata prirodni prikaz razmjene odlučujućih problema za stabilnost. Najbolja metoda pronađeno. Bilo je lakše pomaknuti zadatak na višu razinu. Neka primjenjivost nezavisne razmjerne razlike dovede do rješenja izvodnica online. Rješenje rotira oko osi apscise, opisujući lik kružnice. Izlaz postoji, a temelji se na teorijski potkrijepljenim istraživanjima studenata, iz kojih svi uče, pa čak iu tim trenucima postoji izvod funkcije. Našli smo put za napredak, a učenici su to potvrdili. Možemo si priuštiti pronalazak derivacije bez odlaska izvan neprirodnog pristupa transformaciji matematičkog sustava. Lijevi znak proporcionalnosti raste s geometrijskim nizom kao matematičko predstavljanje online kalkulator izvedenica zbog nepoznatih okolnosti linearnih faktora na beskonačnoj y-osi. Matematičari diljem svijeta dokazali su izuzetnost proces proizvodnje. Jesti najmanji kvadrat unutar kruga prema opisu teorije. Opet, online izvedenica će detaljno izraziti našu pretpostavku o tome što bi uopće moglo utjecati na teorijski pročišćeno mišljenje. Bilo je mišljenja drugačije prirode od analiziranog izvješća koje smo dostavili. Posebna pozornost možda neće biti studentima naših fakulteta, ali ne pametnim i tehnološki naprednim matematičarima, kojima je diferencijacija funkcije samo izgovor. Mehaničko značenje izvedenice vrlo je jednostavno. Sila dizanja izračunava se kao online derivacija za spuštanje prema gore stabilnih prostora u vremenu. Očito izvedeni kalkulator rigorozan je postupak za opisivanje problema degeneracije umjetne transformacije kao amorfnog tijela. Prva derivacija označava promjenu gibanja materijalne točke. trodimenzionalni prostor očito promatrano u kontekstu posebno obučenih tehnologija za online rješavanje izvedenica; zapravo, to je na svakom kolokviju na temu matematičke discipline. Druga derivacija karakterizira promjenu brzine materijalne točke i određuje ubrzanje. Meridijanski pristup koji se temelji na korištenju afine transformacije dovodi do nova razina izvod funkcije u točki iz domene definicije te funkcije. Online kalkulator izvedenica ne može postojati bez brojeva i simboličkih zapisa u nekim slučajevima za pravi izvršni trenutak, uz transformabilni raspored stvari u zadatku. Iznenađujuće, postoji drugo ubrzanje materijalne točke; to karakterizira promjenu ubrzanja. Uskoro ćemo početi učiti rješavanje derivacije online, ali čim se postigne određena prekretnica u znanju, naš učenik će pauzirati ovaj proces. Najbolji lijek uspostaviti kontakte znači komunicirati uživo matematička tema. Postoje principi koji se ne smiju prekršiti ni pod kojim okolnostima, ma koliko težak zadatak bio. Korisno je pronaći izvedenicu online na vrijeme i bez grešaka. To će dovesti do novog položaja matematički izraz. Sustav je stabilan. Fizičko značenje derivata nije tako popularno kao mehaničko. Malo je vjerojatno da se itko sjeća kako je mrežna derivacija detaljno prikazala na ravnini obris linija funkcije u normali iz trokuta uz apscisnu os. Čovjek zaslužuje glavnu ulogu u istraživanju prošlog stoljeća. Razlikujmo funkciju u točkama i iz domene definicije i u beskonačnosti u tri elementarna stupnja. Bit će unutra pisanje samo u području istraživanja, ali može zauzeti mjesto glavnog vektora u matematici i teoriji brojeva, čim ono što se dogodi poveže mrežni kalkulator izvedenica s problemom. Da postoji razlog, postojao bi razlog da se napravi jednadžba. Vrlo je važno imati na umu sve ulazne parametre. Ne prihvaća se uvijek ono najbolje; iza toga stoji ogroman broj najboljih radnih umova koji su znali kako se izračunava online derivat u svemiru. Od tada se konveksnost smatra svojstvom kontinuirane funkcije. Ipak, bolje je prvo postaviti problem rješavanja izvedenica online čim prije. Tako će rješenje biti potpuno. Osim neispunjenih standarda, to se ne smatra dovoljnim. U početku, gotovo svaki student predloži jednostavnu metodu o tome kako derivacija funkcije uzrokuje kontroverzni algoritam povećanja. U smjeru uzlaznog snopa. Ovo ima smisla kao opća situacija. Prethodno je početak dovršetka određenog matematička operacija, ali danas će biti obrnuto. Možda će rješavanje izvedenice online ponovno pokrenuti to pitanje i usvojit ćemo zajedničko mišljenje da ga sačuvamo tijekom rasprave na sastanku nastavnika. Nadamo se razumijevanju sa svih strana sudionika sastanka. Logično značenje leži u opisu izvodnog kalkulatora u rezonanciji brojeva o slijedu predstavljanja misli problema, na koji su u prošlom stoljeću odgovorili veliki znanstvenici svijeta. Pomoći će vam izdvojiti složenu varijablu iz transformiranog izraza i pronaći izvedenicu na mreži za izvođenje masivne radnje iste vrste. Istina je mnogo puta bolja od nagađanja. Najniža vrijednost u trendu. Rezultat neće dugo čekati ako koristite jedinstvenu uslugu za precizno određivanje, za što postoji detaljna suština derivata online. Neizravno, ali točno, kako reče jedan mudar čovjek, na zahtjev mnogih studenata iz raznih gradova unije kreiran je online kalkulator izvedenica. Ako postoji razlika, zašto se onda odlučiti dvaput. Zadani vektor leži na istoj strani kao normala. Sredinom prošlog stoljeća diferencijacija funkcija uopće se nije percipirala kao danas. Zahvaljujući razvoju u tijeku, pojavila se online matematika. Kako vrijeme prolazi, učenici zaboravljaju dati dužno priznanje matematičkim predmetima. Rješavanje derivacije online osporit će našu tezu koja se s pravom temelji na primjeni teorije potkrijepljene praktičnim znanjem. Ići će izvan postojeće vrijednosti faktora prezentacije i napisati ćemo formulu u eksplicitnom obliku za funkciju. Dešava se da morate odmah pronaći izvedenicu na internetu bez korištenja ikakvog kalkulatora, ali uvijek možete pribjeći studentskom triku i još uvijek koristiti uslugu kao što je web stranica. Tako će učenik uštedjeti puno vremena na prepisivanju primjera iz grube bilježnice u konačni oblik. Ako nema proturječja, upotrijebite uslugu korak po korak rješenje ovako složeni primjeri.

Dani su primjeri izračuna derivacija pomoću formule za derivaciju složene funkcije.

Ovdje dajemo primjere izračuna derivacija sljedeće funkcije:
; ; ; ; .

Ako se funkcija može prikazati kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
tada se njegova derivacija određuje formulom:
.
U primjerima u nastavku ovu ćemo formulu napisati na sljedeći način:
.
Gdje .
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze ispod znaka izvedenice, označavaju varijable po kojima se vrši diferencijacija.

Obično se u tablicama derivacija daju derivacije funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici derivacija, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod složene funkcije
.

Riješenje

Napišimo zadanu funkciju u ekvivalentnom obliku:
.
U tablici izvedenica nalazimo:
;
.

Prema formuli za izvod složene funkcije imamo:
.
ovdje .

Odgovor

Primjer 2

Nađi izvedenicu
.

Riješenje

Konstantu 5 izvadimo iz predznaka izvodnica i iz tablice izvodnica nalazimo:
.

.
ovdje .

Odgovor

Primjer 3

Nađi izvedenicu
.

Riješenje

Izvadimo konstantu -1 za predznak derivacije i iz tablice derivacija nalazimo:
;
Iz tablice izvedenica nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za izvod složene funkcije:
.
ovdje .

Odgovor

Složeniji primjeri

U složenijim primjerima pravilo diferenciranja složene funkcije primjenjujemo više puta. U ovom slučaju izvod izračunavamo s kraja. To jest, rastavljamo funkciju na sastavne dijelove i pronalazimo derivacije najjednostavnijih dijelova pomoću tablica izvedenica. Također koristimo pravila za razlikovanje zbroja, produkti i razlomci. Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za derivaciju složene funkcije.