Broj 1 rješavanjem nejednadžbe x 2 1. Metoda intervala: rješavanje najjednostavnijih strogih nejednadžbi

Dijagram na slici 5:

I sljedeći primjer: Riješite nejednadžbu 0,6 2x – 3< 0,36 .

Prateći dijagram na slici 5, dobivamo
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2h – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Odgovor: (2,5; +∞) .

Razmotrimo posljednju shemu za rješavanje nejednadžbe oblika i f(x)< b , na a>0 I b<0 , prikazan na slici 6:

Na primjer, riješimo nejednadžbu:

Napominjemo da bez obzira koji broj zamijenimo x, lijeva strana nejednadžbe uvijek je veća od nule, au našem slučaju ovaj izraz je manji od -8, tj. i nula, što znači da nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Znajući kako riješiti najjednostavnije eksponencijalne nejednakosti, možete nastaviti rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi.

Primjer 1.

Pronađite najveću cjelobrojnu vrijednost x koja zadovoljava nejednadžbu

Budući da je 6 x veće od nule (ni pri jednom x nazivnik ne ide na nulu), množenjem obje strane nejednakosti sa 6 x, dobivamo:

440 – 2 6 2x > 8, dakle
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2h > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Riješite nejednadžbu 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Označimo 2 x s y, dobijemo nejednadžbu y 2 – 3y + 2 ≤ 0 i riješimo tu kvadratnu nejednadžbu.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 i y 2 = 2.

Grane parabole su usmjerene prema gore, nacrtajmo graf:

Tada će rješenje nejednadžbe biti nejednadžba 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Odgovor: (0; 1) .

Primjer 3. Riješite nejednadžbu 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Skupimo izraze s istim bazama u jednom dijelu nejednadžbe

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Uzmimo 5 x iz zagrade na lijevoj strani nejednadžbe, a 3 x na desnoj strani nejednakosti i dobivamo nejednakost

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3·5 x< (25/3)·3 х

Obje strane nejednadžbe podijelimo s izrazom 3 3 x, predznak nejednakosti se ne mijenja, budući da je 3 3 x pozitivan broj, dobivamo nejednadžbu:

x< 2 (так как 5/3 > 1).

Odgovor: (–∞; 2) .

Ako imate pitanja o rješavanju eksponencijalnih nejednakosti ili želite vježbati rješavanje sličnih primjera, prijavite se na moje lekcije. Učiteljica Valentina Galinevskaya.

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Nejednadžbe se nazivaju linearnečija su lijeva i desna strana linearne funkcije u odnosu na nepoznatu veličinu. To uključuje, na primjer, nejednakosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- x< x + 5 .

1) Stroge nejednakosti: sjekira +b>0 ili sjekira+b<0

2) Nestroge nejednakosti: sjekira +b≤0 ili sjekira+b≫ 0

Analizirajmo ovaj zadatak. Jedna od stranica paralelograma je 7 cm. Kolika mora biti duljina druge stranice da opseg paralelograma bude veći od 44 cm?

Tražena strana neka bude x cm. U ovom slučaju, opseg paralelograma će biti predstavljen kao (14 + 2x) cm. Ako u ovoj nejednakosti zamijenimo varijablu x na npr. broj 16, tada dobivamo ispravnu brojčanu nejednadžbu 14 + 32 > 44. U ovom slučaju kažu da je broj 16 rješenje nejednadžbe 14 + 2x > 44.

Rješavanje nejednadžbe imenovati vrijednost varijable koja je pretvara u pravu brojčanu nejednadžbu.

Stoga je svaki od brojeva 15,1; 20;73 djeluje kao rješenje nejednadžbe 14 + 2x > 44, ali broj 10, na primjer, nije njezino rješenje.

Riješite nejednadžbu znači utvrditi sva njegova rješenja ili dokazati da rješenja nema.

Formulacija rješenja nejednadžbe slična je formulaciji korijena jednadžbe. Pa ipak, nije uobičajeno označavati "korijen nejednakosti".

Svojstva numeričkih jednakosti pomogla su nam u rješavanju jednadžbi. Slično, svojstva numeričkih nejednakosti pomoći će u rješavanju nejednakosti.

Prilikom rješavanja jednadžbe mijenjamo je drugom, jednostavnijom, ali ekvivalentnom zadanoj jednadžbi. Odgovor na nejednakosti nalazi se na sličan način. Kada mijenjaju jednadžbu u ekvivalentnu jednadžbu, koriste se teoremom o prijenosu članova s ​​jedne strane jednadžbe na suprotnu i o množenju obje strane jednadžbe s istim brojem koji nije nula. Kod rješavanja nejednadžbe postoji značajna razlika između nje i jednadžbe, koja leži u činjenici da se svako rješenje jednadžbe može provjeriti jednostavnom zamjenom u izvornu jednadžbu. U nejednadžbama ova metoda izostaje, jer nije moguće zamijeniti bezbrojna rješenja u izvornu nejednadžbu. Stoga, postoji važan koncept, ove strijele<=>je znak ekvivalentnih, ili ekvivalentnih, transformacija. Transformacija se zove ekvivalent, ili ekvivalent, ako ne mijenjaju skup rješenja.

Slična pravila za rješavanje nejednadžbi.

Premjestimo li bilo koji član s jednog dijela nejednadžbe na drugi, zamijenivši mu predznak suprotnim, dobit ćemo nejednadžbu koja je ekvivalentna ovoj.

Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo (podijelimo) istim pozitivnim brojem, dobivamo nejednadžbu koja je ekvivalentna ovoj.

Ako obje strane nejednadžbe pomnožimo (podijelimo) s istim negativnim brojem, zamijenivši znak nejednakosti suprotnim, dobivamo nejednadžbu ekvivalentnu zadanoj.

Koristeći ove pravila Izračunajmo sljedeće nejednakosti.

1) Analizirajmo nejednakost 2x - 5 > 9.

Ovaj linearna nejednakost, pronaći ćemo njegovo rješenje i raspraviti osnovne pojmove.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 je pomaknuto na lijevu stranu sa suprotnim predznakom), zatim smo sve podijelili sa 2 i imamo x > 7. Nacrtajmo skup rješenja na os x

Dobili smo pozitivno usmjereni snop. Skup rješenja bilježimo ili u obliku nejednadžbe x > 7, odnosno u obliku intervala x(7; ∞). Koje je konkretno rješenje ove nejednakosti? Na primjer, x = 10 je posebno rješenje ove nejednakosti, x = 12- ovo je također posebno rješenje ove nejednakosti.

Ima puno parcijalnih rješenja, ali naš je zadatak pronaći sva rješenja. A rješenja je obično bezbroj.

Idemo to riješiti primjer 2:

2) Riješite nejednadžbu 4a - 11 > a + 13.

Riješimo to: A pomaknite ga na jednu stranu 11 pomaknite ga na drugu stranu, dobit ćemo 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nejednakost ima oblik a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Prikažimo i set a< 8 , ali već na osi A.

Odgovor zapisujemo u obliku nejednakosti a< 8, либо A(-∞;8), 8 se ne pali.

Nakon što smo dobili početne informacije o nejednadžbama s varijablama, prelazimo na pitanje njihovog rješavanja. Analizirat ćemo rješavanje linearnih nejednadžbi s jednom varijablom i sve metode za njihovo rješavanje s algoritmima i primjerima. Razmatrat će se samo linearne jednadžbe s jednom varijablom.

Što je linearna nejednakost?

Najprije morate definirati linearnu jednadžbu i saznati njezin standardni oblik te kako će se razlikovati od ostalih. Iz školskog tečaja znamo da nema temeljne razlike između nejednakosti, pa je potrebno koristiti nekoliko definicija.

Definicija 1

Linearna nejednadžba s jednom varijablom x je nejednadžba oblika a · x + b > 0, kada se umjesto > koristi bilo koji znak nejednakosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicija 2

Nejednakosti a x< c или a · x >poziva se c, pri čemu je x varijabla, a a i c neki brojevi linearne nejednadžbe s jednom varijablom.

Budući da se ništa ne govori o tome može li koeficijent biti jednak 0, onda je stroga nejednakost oblika 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Njihove razlike su:

• zapisni oblik a · x + b > 0 u prvom, a · x > c – u drugom;
• dopustivost da je koeficijent a jednak nuli, a ≠ 0 - u prvom i a = 0 - u drugom.

Smatra se da su nejednadžbe a · x + b > 0 i a · x > c ekvivalentne, jer se dobivaju prijenosom člana iz jednog dijela u drugi. Rješavanje nejednadžbe 0 x + 5 > 0 dovest će do činjenice da će je trebati riješiti, a slučaj a = 0 neće raditi.

Definicija 3

Smatra se da su linearne nejednadžbe u jednoj varijabli x nejednadžbe oblika a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 I a x + b ≥ 0, gdje su a i b realni brojevi. Umjesto x može stajati običan broj.

Na temelju pravila imamo da je 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nazivamo svodljivima na linearne.

Kako riješiti linearnu nejednadžbu

Glavni način rješavanja takvih nejednakosti je korištenje ekvivalentnih transformacija za pronalaženje elementarnih nejednakosti x< p (≤ , >, ≥) , p koji je određeni broj, za a ≠ 0, i oblika a< p (≤ , >, ≥) za a = 0.

Za rješavanje nejednakosti u jednoj varijabli možete koristiti metodu intervala ili je grafički prikazati. Bilo koji od njih može se koristiti zasebno.

Korištenje ekvivalentnih transformacija

Za rješavanje linearne nejednadžbe oblika a x + b< 0 (≤ , >, ≥), potrebno je primijeniti ekvivalentne transformacije nejednakosti. Koeficijent može, ali i ne mora biti nula. Razmotrimo oba slučaja. Da biste to saznali, morate se pridržavati sheme koja se sastoji od 3 točke: bit procesa, algoritam i samo rješenje.

Definicija 4

Algoritam za rješavanje linearne nejednadžbe a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0

• broj b će se pomaknuti na desnu stranu nejednadžbe sa suprotnim predznakom, što će nam omogućiti da dođemo do ekvivalenta a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Obje strane nejednakosti podijelit ćemo s brojem koji nije jednak 0. Štoviše, kada je a pozitivan, predznak ostaje; kada je a negativan, mijenja se u suprotan.

Razmotrimo primjenu ovog algoritma za rješavanje primjera.

Primjer 1

Riješite nejednadžbu oblika 3 x + 12 ≤ 0.

Riješenje

Ova linearna nejednadžba ima a = 3 i b = 12. To znači da koeficijent a od x nije jednak nuli. Primijenimo gornje algoritme i riješimo to.

Potrebno je član 12 premjestiti na drugi dio nejednadžbe i promijeniti predznak ispred njega. Tada dobivamo nejednadžbu oblika 3 x ≤ − 12. Oba dijela je potrebno podijeliti sa 3. Predznak se neće promijeniti jer je 3 pozitivan broj. Dobivamo da je (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, što daje rezultat x ≤ − 4.

Nejednadžba oblika x ≤ − 4 je ekvivalentna. To jest, rješenje za 3 x + 12 ≤ 0 je bilo koji realni broj koji je manji ili jednak 4. Odgovor se zapisuje kao nejednadžba x ≤ − 4, ili numerički interval oblika (− ∞, − 4].

Cijeli gore opisani algoritam napisan je ovako:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Odgovor: x ≤ − 4 ili (− ∞ , − 4 ] .

Primjer 2

Navedite sva dostupna rješenja nejednadžbe − 2, 7 · z > 0.

Riješenje

Iz uvjeta vidimo da je koeficijent a za z jednak - 2,7, a b je eksplicitno odsutan ili je jednak nuli. Ne možete koristiti prvi korak algoritma, već odmah prijeći na drugi.

Obje strane jednadžbe dijelimo s brojem - 2, 7. Budući da je broj negativan, potrebno je obrnuti znak nejednakosti. Odnosno, dobivamo da je (− 2, 7 z) : (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Napišimo cijeli algoritam u kratkom obliku:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Odgovor: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Primjer 3

Riješite nejednadžbu - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Riješenje

Prema uvjetu vidimo da je potrebno riješiti nejednadžbu s koeficijentom a za varijablu x koja je jednaka - 5, s koeficijentom b koji odgovara razlomku - 15 22. Nejednadžbu je potrebno riješiti prema algoritmu, a to je: premjestiti - 15 22 na drugi dio suprotnog predznaka, oba dijela podijeliti s - 5, promijeniti predznak nejednadžbe:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri posljednjem prijelazu za desnu stranu koristi se pravilo dijeljenja broja s različitim predznacima 15 22: - 5 = - 15 22 : 5, nakon čega obični razlomak dijelimo prirodnim brojem - 15 22 : 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Odgovor: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .

Razmotrimo slučaj kada je a = 0. Linearni izraz oblika a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Sve se temelji na određivanju rješenja nejednadžbe. Za bilo koju vrijednost x dobivamo numeričku nejednakost oblika b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Sve ćemo prosudbe razmatrati u obliku algoritma za rješavanje linearnih nejednadžbi 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicija 5

Brojčana nejednakost oblika b< 0 (≤ , >, ≥) istinito, tada izvorna nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost, a netočno je kada izvorna nejednadžba nema rješenja.

Primjer 4

Riješite nejednadžbu 0 x + 7 > 0.

Riješenje

Ova linearna nejednadžba 0 x + 7 > 0 može poprimiti bilo koju vrijednost x. Tada dobivamo nejednakost oblika 7 > 0. Posljednja se nejednakost smatra istinitom, što znači da bilo koji broj može biti njezino rješenje.

Odgovor: interval (− ∞ , + ∞) .

Primjer 5

Nađite rješenje nejednadžbe 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Riješenje

Zamjenom varijable x bilo kojeg broja dobivamo da nejednakost ima oblik − 12, 7 ≥ 0. Netočno je. Odnosno, 0 x − 12, 7 ≥ 0 nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Razmotrimo rješavanje linearnih nejednadžbi u kojima su oba koeficijenta jednaka nuli.

Primjer 6

Odredite nerješivu nejednadžbu iz 0 x + 0 > 0 i 0 x + 0 ≥ 0.

Riješenje

Zamjenom bilo kojeg broja umjesto x dobivamo dvije nejednakosti oblika 0 > 0 i 0 ≥ 0. Prvo je netočno. To znači da 0 x + 0 > 0 nema rješenja, a 0 x + 0 ≥ 0 ima beskonačno mnogo rješenja, odnosno bilo koji broj.

Odgovor: nejednadžba 0 x + 0 > 0 nema rješenja, ali 0 x + 0 ≥ 0 ima rješenja.

O ovoj se metodi raspravlja u školskom tečaju matematike. Metoda intervala može riješiti različite vrste nejednakosti, uključujući linearne.

Metoda intervala koristi se za linearne nejednakosti kada vrijednost koeficijenta x nije jednaka 0. Inače ćete morati izračunati pomoću druge metode.

Definicija 6

Metoda intervala je:

• uvođenje funkcije y = a · x + b ;
• traženje nula za podjelu domene definicije na intervale;
• definicija znakova za svoje pojmove o intervalima.

Sastavimo algoritam za rješavanje linearnih jednadžbi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) za a ≠ 0 korištenjem metode intervala:

• pronalaženje nula funkcija y = a · x + b za rješavanje jednadžbe oblika a · x + b = 0 . Ako je a ≠ 0, tada će rješenje biti jedan korijen, koji će imati oznaku x 0;
• konstrukcija koordinatne crte sa slikom točke s koordinatom x 0; u slučaju striktne nejednakosti točka je označena punktiranom;
• određivanje znakova funkcije y = a · x + b na intervalima; za to je potrebno pronaći vrijednosti funkcije u točkama na intervalu;
• rješavanje nejednadžbe sa znakovima > ili ≥ na koordinatnoj liniji, dodavanje sjenčanja preko pozitivnog intervala,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja linearnih nejednadžbi metodom intervala.

Primjer 6

Riješite nejednadžbu − 3 x + 12 > 0.

Riješenje

Iz algoritma proizlazi da prvo treba pronaći korijen jednadžbe − 3 x + 12 = 0. Dobivamo da je − 3 · x = − 12 , x = 4 . Potrebno je povući koordinatnu liniju gdje označavamo točku 4. Bit će probušen jer je nejednakost stroga. Razmotrite crtež u nastavku.

Potrebno je odrediti znakove u intervalima. Za njegovo određivanje na intervalu (− ∞, 4) potrebno je izračunati funkciju y = − 3 x + 12 pri x = 3. Odavde dobivamo da je − 3 3 + 12 = 3 > 0. Predznak na intervalu je pozitivan.

Predznak odredimo iz intervala (4, + ∞), zatim zamijenimo vrijednost x = 5. Imamo da je − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nejednadžbu rješavamo znakom >, a sjenčanje se vrši preko pozitivnog intervala. Razmotrite crtež u nastavku.

Iz crteža je jasno da traženo rješenje ima oblik (− ∞ , 4) ili x< 4 .

Odgovor: (− ∞ , 4) ili x< 4 .

Da bismo razumjeli kako grafički prikazati, potrebno je razmotriti 4 linearne nejednakosti kao primjer: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0, 5 x − 1 ≥ 0. Njihova rješenja će biti vrijednosti x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2. Da bismo to učinili, iscrtajmo linearnu funkciju y = 0, 5 x − 1 prikazanu u nastavku.

Jasno je da

Definicija 7

• rješavanje nejednadžbe 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• rješenje 0, 5 x − 1 ≤ 0 smatra se intervalom u kojem je funkcija y = 0, 5 x − 1 niža od O x ili se podudara;
• rješenje 0, 5 · x − 1 > 0 smatra se intervalom, funkcija se nalazi iznad O x;
• rješenje 0, 5 · x − 1 ≥ 0 smatra se intervalom u kojem se graf iznad O x ili podudara.

Smisao grafičkog rješavanja nejednadžbi je pronaći intervale koje je potrebno prikazati na grafu. U ovom slučaju nalazimo da lijeva strana ima y = a · x + b, a desna strana ima y = 0, te se podudara s O x.

Iscrtava se graf funkcije y = a x + b:

• dok rješavamo nejednadžbu a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• pri rješavanju nejednadžbe a · x + b ≤ 0, određuje se interval gdje je graf prikazan ispod O x osi ili se podudara;
• kod rješavanja nejednadžbe a · x + b > 0 određuje se interval gdje je graf prikazan iznad O x;
• Pri rješavanju nejednadžbe a · x + b ≥ 0 određuje se interval gdje je graf iznad O x ili se poklapa.

Primjer 7

Riješi nejednadžbu - 5 · x - 3 > 0 pomoću grafa.

Riješenje

Potrebno je konstruirati graf linearne funkcije - 5 · x - 3 > 0. Ova linija se smanjuje jer je koeficijent x negativan. Za određivanje koordinata točke njegovog sjecišta s O x - 5 · x - 3 > 0, dobivamo vrijednost - 3 5. Prikažimo to grafički.

Rješavajući nejednadžbu sa znakom >, tada treba obratiti pozornost na interval iznad O x. Označimo željeni dio aviona crvenom bojom i dobijemo to

Potrebni razmak je dio O x crveno. To znači da će otvorena brojevna zraka - ∞ , - 3 5 biti rješenje nejednadžbe. Ako bismo prema uvjetu imali nestrogu nejednadžbu, tada bi vrijednost točke - 3 5 također bila rješenje nejednadžbe. I to bi se poklopilo s O x.

Odgovor: - ∞ , - 3 5 ili x< - 3 5 .

Grafičko rješenje se koristi kada lijeva strana odgovara funkciji y = 0 x + b, odnosno y = b. Tada će pravac biti paralelan s O x ili se podudarati u b = 0. Ovi slučajevi pokazuju da nejednadžba možda nema rješenja ili rješenje može biti bilo koji broj.

Primjer 8

Odredite iz nejednakosti 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Riješenje

Prikaz y = 0 x + 7 je y = 7, tada će koordinatna ravnina biti dana s linijom paralelnom s O x i smještenom iznad O x. Dakle, 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Za graf funkcije y = 0 x + 0 smatra se da je y = 0, odnosno da se ravna linija poklapa s O x. To znači da nejednadžba 0 x + 0 ≥ 0 ima mnogo rješenja.

Odgovor: Druga nejednadžba ima rješenje za bilo koju vrijednost x.

Nejednadžbe koje se svode na linearne

Rješavanje nejednadžbi može se svesti na rješenje linearne jednadžbe, koje se nazivaju nejednadžbe koje se svode na linearne.

Te su nejednadžbe razmatrane u školskom tečaju, jer su bile poseban slučaj rješavanja nejednakosti, što je dovelo do otvaranja zagrada i smanjenja sličnih članova. Na primjer, uzmite u obzir da je 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Gore navedene nejednadžbe uvijek se svode na oblik linearne jednadžbe. Nakon toga se otvaraju zagrade i daju slični izrazi, preneseni iz različitih dijelova, mijenjajući predznak u suprotan.

Kada nejednadžbu 5 − 2 x > 0 svodimo na linearnu, prikazujemo je tako da ima oblik − 2 x + 5 > 0, a za svođenje druge dobivamo da je 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Potrebno je otvoriti zagrade, donijeti slične pojmove, pomaknuti sve pojmove ulijevo i donijeti slične pojmove. Ovako izgleda:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To dovodi rješenje do linearne nejednadžbe.

Ove se nejednadžbe smatraju linearnim, jer imaju isti princip rješenja, nakon čega ih je moguće svesti na elementarne nejednadžbe.

Za rješavanje ove vrste nejednakosti potrebno ju je svesti na linearnu. To treba učiniti na sljedeći način:

Definicija 9

• otvorene zagrade;
• sakupiti varijable s lijeve strane i brojeve s desne strane;
• dati slične uvjete;
• podijelite obje strane s koeficijentom x.

Primjer 9

Riješite nejednadžbu 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Riješenje

Otvorimo zagrade i dobijemo nejednadžbu oblika 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Nakon redukcije sličnih članova, imamo da je 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Nakon pomicanja članova slijeva nadesno, nalazimo da je 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Stoga postoji nejednakost oblika 32 ≤ 0 iz one dobivene izračunavanjem 0 x + 32 ≤ 0. Vidi se da je nejednakost netočna, što znači da nejednakost dana uvjetom nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Vrijedno je napomenuti da postoje mnoge druge vrste nejednakosti koje se mogu svesti na linearne ili nejednadžbe gore prikazanog tipa. Na primjer, 5 2 x − 1 ≥ 1 je eksponencijalna jednadžba koja se svodi na rješenje linearnog oblika 2 x − 1 ≥ 0. Ovi slučajevi će se razmatrati pri rješavanju nejednadžbi ovog tipa.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Rješavanje nejednakosti online

Prije rješavanja nejednadžbi, morate dobro razumjeti kako se rješavaju jednadžbe.

Nije važno je li nejednakost stroga () ili nije stroga (≤, ≥), prvi korak je riješiti jednadžbu zamjenom znaka nejednakosti s jednakošću (=).

Objasnimo što znači riješiti nejednadžbu?

Nakon proučavanja jednadžbi učenik u glavi dobije sljedeću sliku: treba pronaći vrijednosti varijable takve da obje strane jednadžbe imaju iste vrijednosti. Drugim riječima, pronađite sve točke u kojima vrijedi jednakost. Sve je točno!

Kada govorimo o nejednakostima, mislimo na pronalaženje intervala (odsječaka) na kojima nejednakost vrijedi. Ako u nejednadžbi postoje dvije varijable, tada rješenje više neće biti intervali, već neka područja na ravnini. Pogodite sami što će biti rješenje nejednadžbe u tri varijable?

Kako riješiti nejednadžbe?

Univerzalnim načinom rješavanja nejednakosti smatra se metoda intervala (poznata i kao metoda intervala), koja se sastoji u određivanju svih intervala u čijim granicama će određena nejednadžba biti zadovoljena.

Ne ulazeći u vrstu nejednakosti, u ovom slučaju to nije poanta, potrebno je riješiti odgovarajuću jednadžbu i odrediti njezine korijene, nakon čega slijedi označavanje tih rješenja na brojčanoj osi.

Kako pravilno napisati rješenje nejednadžbe?

Nakon što ste odredili intervale rješavanja nejednadžbe potrebno je ispravno napisati samo rješenje. Postoji važna nijansa - jesu li granice intervala uključene u rješenje?

Ovdje je sve jednostavno. Ako rješenje jednadžbe zadovoljava ODZ i nejednadžba nije stroga, tada se granica intervala uključuje u rješenje nejednadžbe. Inače, ne.

Uzimajući u obzir svaki interval, rješenje nejednadžbe može biti sam interval, ili poluinterval (kada jedna njegova granica zadovoljava nejednadžbu), ili segment - interval zajedno sa svojim granicama.

Važna točka

Nemojte misliti da samo intervali, poluintervali i segmenti mogu riješiti nejednadžbu. Ne, rješenje može uključivati ​​i pojedinačne točke.

Na primjer, nejednadžba |x|≤0 ima samo jedno rješenje - to je točka 0.

I nejednakost |x|

Čemu služi kalkulator nejednakosti?

Kalkulator nejednakosti daje točan konačni odgovor. U većini slučajeva prikazana je ilustracija brojčane osi ili ravnine. Vidljivo je da li su granice intervala uključene u rješenje ili ne - točke su prikazane kao zasjenjene ili punktirane.

Zahvaljujući online kalkulatoru nejednakosti možete provjeriti jeste li točno pronašli korijene jednadžbe, označili ih na brojčanoj osi i provjerili ispunjenost uvjeta nejednakosti na intervalima (i granicama)?

Ako se vaš odgovor razlikuje od odgovora kalkulatora, onda svakako trebate još jednom provjeriti svoje rješenje i identificirati pogrešku.