Privatni i totalni diferencijal funkcije. Parcijalne derivacije i totalni diferencijal

privatna izvedenica funkcije z = f(x, y varijablom x derivacija ove funkcije se poziva na konstantnu vrijednost varijable y, označava se ili z "x.

privatna izvedenica funkcije z = f(x, y) po varijabli y naziva se derivacija u odnosu na y pri konstantnoj vrijednosti varijable y; označava se ili z "y.

Parcijalna derivacija funkcije više varijabli prema jednoj varijabli definirana je kao derivacija te funkcije prema odgovarajućoj varijabli, pod uvjetom da se ostale varijable smatraju konstantnima.

puni diferencijal funkcija z = f(x, y) u nekoj točki M(X, y) naziva se izraz

Gdje su i izračunati u točki M(x, y), a dx = , dy = y.

Primjer 1

Izračunajte ukupni diferencijal funkcije.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 u točki M (1; 2)

Riješenje:

1) Pronađite parcijalne derivacije:

2) Izračunajte vrijednost parcijalnih derivacija u točki M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pitanja za samokontrolu:

1. Što se naziva antiderivativom? Navedite svojstva antiderivata.

2. Što se zove neodređeni integral?

3. Navedite svojstva neodređenog integrala.

4. Navedite osnovne integracijske formule.

5. Koje metode integracije poznajete?

6. Što je bit Newton-Leibnizove formule?

7. Dajte definiciju određenog integrala.

8. U čemu je bit računanja određenog integrala metodom supstitucije?

9. Što je bit metode izračunavanja određenog integrala po dijelovima?

10. Koju funkciju nazivamo funkcijom dviju varijabli? Kako se označava?

11. Koju funkciju nazivamo funkcijom triju varijabli?

12. Koji skup nazivamo domenom funkcije?

13. Uz pomoć kojih se nejednakosti može definirati zatvoreno područje D na ravnini?

14. Kako se naziva parcijalna derivacija funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu x? Kako se označava?

15. Kako se naziva parcijalna derivacija funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu y? Kako se označava?

16. Koji se izraz naziva totalni diferencijal funkcije

Tema 1.2 Obične diferencijalne jednadžbe.

Problemi koji vode do diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe sa separabilnim varijablama. Opća i privatna rješenja. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Linearne homogene jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.

Praktična lekcija br. 7 "Pronalaženje općih i posebnih rješenja diferencijalnih jednadžbi s odvojivim varijablama" *

Praktična lekcija br. 8 "Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe"

Praktična lekcija br. 9 "Rješavanje diferencijalnih jednadžbi 2. reda s konstantnim koeficijentima" *

L4, 15. poglavlje, str. 243 - 256

Smjernice

Praktični rad №2

"Funkcijski diferencijal"

Svrha lekcije: Naučiti rješavati primjere i zadatke na zadanu temu.

Teorijska pitanja (početna razina):

1. Korištenje derivacija za proučavanje funkcija do ekstrema.

2. Diferencijal funkcije, njegovo geometrijsko i fizikalno značenje.

3. Totalni diferencijal funkcije više varijabli.

4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.

5. Približni izračuni.

6. Određivanje parcijalnih derivacija i totalnog diferencijala.

7. Primjeri korištenja ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.

(samoobuka)

1. odgovarati na pitanja o temi lekcije;

2. rješavati primjere.

Primjeri

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Korištenje izvodnica za proučavanje funkcija

Uvjet da funkcija y = f(x) raste na segmentu [a, b]

Uvjet da funkcija y=f(x) opada na segmentu [a, b]

Uvjet maksimalne funkcije y=f(x) pri x= a

f"(a)=0 i f""(a)<0

Ako su za x \u003d a derivacije f "(a) \u003d 0 i f "(a) \u003d 0, tada je potrebno istražiti f "(x) u blizini točke x \u003d a. Funkcija y \u003d f (x) za x \u003d a ima maksimum, ako pri prolasku kroz točku x \u003d i izvod f "(x) mijenja predznak iz "+" u "-", u slučaju minimuma - od "-" do "+" Ako f "(x) ne mijenja predznak pri prolasku kroz točku x = a, tada u ovoj točki funkcija nema ekstremum

Funkcijski diferencijal.

Diferencijal nezavisne varijable jednak je njezinom prirastu:

Funkcijski diferencijal y=f(x)

Diferencijal zbroja (razlike) dviju funkcija y=u±v

Diferencijal umnoška dviju funkcija y=uv

Kvocijent diferencijal dviju funkcija y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Povećanje funkcije

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

gdje je Δx: prirast argumenta.

Približan izračun vrijednosti funkcije:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutne i relativne pogreške u neizravnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna pogreška rezultata mjerenja

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relativna pogreška rezultata mjerenja

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKCIONALNI DIFERENCIJAL.

Funkcijski diferencijal kao glavni dio funkcijskog prirasta I. Pojam diferencijala funkcije usko je povezan s pojmom derivacije. Neka funkcija f(x) kontinuirano za zadane vrijednosti x i ima izvedenicu

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle inkrement funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Gdje a(Dx)® 0 na Dx® 0. Definirajmo red infinitezimalnog f¢(x)Dx Dx.:

Dakle, infinitezimalno f¢(x)Dx I Dx imaju isti red veličine, tj f¢(x)Dx = O.

Definirajmo red infinitezimalnog a(Dh)Dh s obzirom na infinitezimalno Dx:

Prema tome, infinitezimalno a(Dh)Dh ima viši red malenosti od infinitezimalnog Dx, to je a(Dx)Dx = o.

Dakle, infinitezimalni prirast Df diferencijabilna funkcija može se prikazati u obliku dva člana: infinitezimalnog f¢(x)Dx istog reda malenkosti sa Dx i infinitezimalnog a(Dh)Dh viši red malenosti u usporedbi s infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx na Dx® 0 drugi član teži nuli "brže" od prvog, tj. a(Dx)Dx = o.

Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, nazvao funkcija diferencijal f(x) u točki x i označavaju dy ili df(čitaj "de game" ili "de ef"). Tako,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analitičko značenje diferencijala leži u činjenici da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno s obzirom na inkrement argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od prirasta funkcije infinitezimalnim priraštajem višeg reda malenosti od Dx. Stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.

Primjer. Izračunajte vrijednost diferencijala funkcije f(x) = x 3 + 2x, Kada x varira od 1 do 1,1.

Riješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:

Zamjena vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 I x=1 u posljednju formulu dobivamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.

PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.

Parcijalne derivacije prvog reda. Parcijalna derivacija prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentacijom x u razmatranoj točki (x; y) zove granica

ako postoji.

Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentacijom x označen jednim od sljedećih znakova:

Slično, parcijalna derivacija u odnosu na na označen i definiran formulom:

Budući da je parcijalna derivacija uobičajena derivacija funkcije jednog argumenta, nije je teško izračunati. Da biste to učinili, trebate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferenciranja, vodeći računa u svakom slučaju koji se od argumenata uzima kao "konstantan broj", a koji služi kao "varijabla diferenciranja".

Komentar. Za pronalaženje parcijalne derivacije, na primjer, s obzirom na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običnu derivaciju funkcije f(x,y), pod pretpostavkom da je potonji funkcija jednog argumenta x, A na- trajno; pronaći df/dy- obrnuto.

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih derivacija funkcije f(x,y) = 2x2 + y2 u točki P(1;2).

Riješenje. Brojanje f(x,y) funkcija s jednim argumentom x i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo

U točki P(1;2) izvedena vrijednost

Razmatrajući f(x; y) kao funkciju jednog argumenta y, nalazimo

U točki P(1;2) izvedena vrijednost

ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD STUDENATA:

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

Riješite sljedeće zadatke:

1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata stranice x = 10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?

2. Dana je jednadžba gibanja tijela: y=t 3 /2+2t 2 , gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Odredite put s koji tijelo prijeđe za t=1,92 s od početka gibanja.

KNJIŽEVNOST

1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M .: "Viša škola", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Po. s engleskog. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbirka problema iz medicinske i biološke fizike - M .: "Viša škola", 1987. C16-20.

Pojam funkcije dviju varijabli

Vrijednost z nazvao funkcija dviju neovisnih varijabli x I g, ako svakom paru dopuštenih vrijednosti tih veličina, prema određenom zakonu, odgovara jedna točno definirana vrijednost veličine z. Nezavisne varijable x I g nazvao argumenti funkcije.

Takva se funkcionalna ovisnost analitički označava

Z = f (x, y),(1)

Vrijednosti argumenata x i y koje odgovaraju stvarnim vrijednostima funkcije z, razmatran dopušteno, a skup svih dopuštenih parova vrijednosti x i y naziva se domena definicije funkcije dviju varijabli.

Za funkciju više varijabli, za razliku od funkcije jedne varijable, pojmovi njezina djelomični prirast za svaki od argumenata i koncepta puni prirast.

Djelomično povećanje Δ x z funkcije z=f (x,y) po argumentu x je inkrement koji ova funkcija prima ako se njezin argument x inkrementira Δx s istim g:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Djelomično povećanje Δ y z funkcije z= f (x, y) s obzirom na argument y je povećanje koje ova funkcija prima ako njezin argument y primi povećanje Δy s nepromijenjenim x:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Puni prirast Δz funkcije z= f (x, y) po argumentima x I g naziva se inkrement koji funkcija prima ako su oba njena argumenta inkrementirana:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Za dovoljno male korake Δx I Δy argumenti funkcije

postoji približna jednakost:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

i što je točnije, to manje Δx I Δy.

Parcijalne derivacije funkcija dviju varijabli

Parcijalna derivacija funkcije z=f (x, y) u odnosu na argument x u točki (x, y) naziva se granica omjera djelomičnog prirasta ∆xz ovu funkciju na odgovarajući inkrement Δx argument x kada teži Δx na 0 i pod uvjetom da ovo ograničenje postoji:

, (6)

Slično je definirana i derivacija funkcije z=f (x, y) argumentacijom y:

Osim navedene oznake, parcijalne derivacije funkcija označavaju se i sa , z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Glavno značenje djelomične derivacije je sljedeće: parcijalna derivacija funkcije nekoliko varijabli u odnosu na bilo koji od njenih argumenata karakterizira brzinu promjene ove funkcije kada se ovaj argument promijeni.

Pri izračunavanju djelomične derivacije funkcije nekoliko varijabli s obzirom na bilo koji argument, svi ostali argumenti te funkcije smatraju se konstantnima.

Primjer1. Pronađite djelomične derivacije funkcija

f (x, y)= x 2 + y 3

Riješenje. Pri pronalaženju djelomične derivacije ove funkcije u odnosu na argument x, argument y smatra se konstantnom vrijednošću:

;

Kada se nalazi parcijalna derivacija u odnosu na argument y, argument x se smatra konstantnom vrijednošću:

Parcijalni i totalni diferencijali funkcije više varijabli

Parcijalni diferencijal funkcije nekoliko varijabli s obzirom na koji-bilo iz svojih argumenata je umnožak djelomične derivacije ove funkcije s obzirom na dati argument i diferencijala ovog argumenta:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Ovdje d x z I d y z-parcijalni diferencijali funkcije z= f (x, y) po argumentima x I g. pri čemu

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

puni diferencijal Funkcija nekoliko varijabli naziva se zbroj njezinih parcijalnih diferencijala:

dz= d x z + d y z, (10)

Primjer 2 Nađite parcijalne i totalne diferencijale funkcije f (x, y)= x 2 + y 3 .

Budući da se parcijalne derivacije ove funkcije nalaze u primjeru 1, dobivamo

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Parcijalni diferencijal funkcije nekoliko varijabli s obzirom na svaki njen argument je glavni dio odgovarajućeg parcijalnog prirasta funkcije.

Kao rezultat, može se napisati:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Analitičko značenje ukupnog diferencijala je da je ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli glavni dio ukupnog prirasta ove funkcije.

Dakle, postoji približna jednakost

∆zdz, (12)

Korištenje formule (12) temelji se na korištenju ukupnog diferencijala u približnim izračunima.

Zamislite povećanje Δz kao

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

a ukupni diferencijal u obliku

Tada dobivamo:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Svrha učenika u lekciji:

Učenik mora znati:

1. Definicija funkcije dviju varijabli.

2. Pojam parcijalnog i ukupnog prirasta funkcije dviju varijabli.

3. Određivanje parcijalnog izvoda funkcije više varijabli.

4. Fizičko značenje djelomične derivacije funkcije više varijabli s obzirom na bilo koji njen argument.

5. Određivanje parcijalnog diferencijala funkcije više varijabli.

6. Određivanje totalnog diferencijala funkcije više varijabli.

7. Analitičko značenje totalnog diferencijala.

Student mora biti sposoban:

1. Odredite privatne i ukupne inkremente funkcije dviju varijabli.

2. Izračunati parcijalne derivacije funkcije više varijabli.

3. Naći parcijalne i totalne diferencijale funkcije više varijabli.

4. Primijeniti ukupni diferencijal funkcije više varijabli u približnim izračunima.

Teorijski dio:

1. Pojam funkcije više varijabli.

2. Funkcija dviju varijabli. Parcijalni i ukupni prirast funkcije dviju varijabli.

3. Parcijalni izvod funkcije više varijabli.

4. Parcijalni diferencijali funkcije više varijabli.

5. Totalni diferencijal funkcije više varijabli.

6. Primjena totalnog diferencijala funkcije više varijabli u aproksimativnim izračunima.

Praktični dio:

1. Nađite parcijalne derivacije funkcija:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definirajte parcijalni izvod funkcije s obzirom na zadani argument.

5. Što se naziva parcijalni i totalni diferencijal funkcije dviju varijabli? Kako su povezani?

6. Popis pitanja za provjeru završne razine znanja:

1. Je li u općem slučaju proizvoljne funkcije više varijabli njezin ukupni priraštaj jednak zbroju svih parcijalnih prirasta?

2. Koje je glavno značenje parcijalne derivacije funkcije više varijabli s obzirom na bilo koji njen argument?

3. Koje je analitičko značenje totalnog diferencijala?

7. Vremenski raspored lekcije:

1. Organizacijski trenutak - 5 minuta.

2. Analiza teme - 20 min.

3. Rješavanje primjera i zadataka - 40 min.

4. Tekuća provjera znanja -30 min.

5. Sažetak lekcije - 5 min.

8. Popis obrazovne literature za lekciju:

1. Morozov Yu.V. Osnove više matematike i statistike. M., "Medicina", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavluškov I.V. i dr. Osnove visoke matematike i matematička statistika. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Linearizacija funkcije. Tangentna ravnina i normala površine.

Derivacije i diferencijali viših redova.

1. Parcijalne derivacije FNP *)

Razmotrite funkciju I = f(P), RÎDÌR n ili, što je isto,

I = f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Popravljamo vrijednosti varijabli x 2 , ..., x n, i varijabla x 1 povećajmo D x 1 . Zatim funkcija I dobit će prirast određen jednakošću

= f (x 1+D x 1 , x 2 , ..., x n) – f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Ovaj prirast se zove privatni prirast funkcije I po varijabli x 1 .

Definicija 7.1. Parcijalni izvod funkcije I = f(x 1 , x 2 , ..., x n) po varijabli x 1 je granica omjera djelomičnog prirasta funkcije i prirasta argumenta D x 1 u D x 1 ® 0 (ako ta granica postoji).

Parcijalna derivacija u odnosu na x 1 znakova

Dakle po definiciji

Slično se definiraju i parcijalne derivacije s obzirom na preostale varijable. x 2 , ..., x n. Iz definicije je vidljivo da parcijalni izvod funkcije po varijabli x i je obična derivacija funkcije jedne varijable x i kada se ostale varijable smatraju konstantama. Stoga se sva prethodno proučena pravila i formule diferenciranja mogu koristiti za pronalaženje derivacije funkcije više varijabli.

Na primjer, za funkciju u = x 3 + 3xy – z 2 imamo

Dakle, ako je funkcija više varijabli zadana eksplicitno, tada se pitanja postojanja i nalaženja njezinih parcijalnih derivacija svode na odgovarajuća pitanja o funkciji jedne varijable - one po kojoj je potrebno odrediti derivaciju.

Razmotrimo implicitno definiranu funkciju. Neka je jednadžba F( x, g) = 0 definira implicitnu funkciju jedne varijable x. Pravedan

Teorem 7.1.

Neka F( x 0 , g 0) = 0 i funkcije F( x, g), F¢ x(x, g), F¢ na(x, g) su kontinuirani u nekoj okolini točke ( x 0 , na 0), i F¢ na(x 0 , g 0) ¹ 0. Tada funkcija na, dana implicitno jednadžbom F( x, g) = 0, ima u točki ( x 0 , g 0) izvod, koji je jednak

Ako su uvjeti teorema zadovoljeni u bilo kojoj točki područja DÌ R 2 , tada u svakoj točki tog područja .

Na primjer, za funkciju x 3 –2na 4 + vau+ 1 = 0 pronaći

Neka je sada jednadžba F( x, g, z) = 0 definira implicitnu funkciju dviju varijabli. Pronađimo i . Budući da je izračunavanje derivata u odnosu na x proizvedeno na fiksnoj (konstantnoj) na, tada pod tim uvjetima vrijedi jednakost F( x, g= konst, z) = 0 definira z kao funkcija jedne varijable x a prema teoremu 7.1 dobivamo

Na sličan način .

Dakle, za funkciju dviju varijabli implicitno zadanu jednadžbom , parcijalne derivacije se nalaze po formulama: ,

Kako bismo pojednostavili zapis i prikaz gradiva, ograničili smo se na slučaj funkcija dviju varijabli. Sve što slijedi vrijedi i za funkcije bilo kojeg broja varijabli.

Definicija. privatna izvedenica funkcije z = f(x, y) nezavisnom varijablom x naziva se izvedenica

izračunato na konstantu na.

Slično se definira parcijalna derivacija u odnosu na varijablu na.

Za parcijalne derivacije vrijede uobičajena pravila i formule diferenciranja.

Definicija. Umnožak djelomične derivacije i prirasta argumenta x(y) se zove privatni diferencijal po varijabli x(na) funkcije dviju varijabli z = f(x, y) (simboli: ):

Ako se pod diferencijalom nezavisne varijable dx(dy) razumjeti prirast x(na), To

Za funkciju z = f(x, y) saznati geometrijsko značenje njegovih frekvencijskih izvodnica i .

Razmotrite točku, točku P 0 (x 0 ,g 0 , z 0) na površini z = f(x,na) i krivulja L, koji se dobije kada se površina presječe ravninom y = y 0 . Ova se krivulja može promatrati kao graf funkcije jedne varijable z = f(x, y) u avionu y = y 0 . Ako crtate u točki R 0 (x 0 , g 0 , z 0) tangenta na krivulju L, zatim, prema geometrijskom značenju izvoda funkcije jedne varijable , Gdje a – kut koji tvori tangenta s pozitivnim smjerom osi Oh.