Απεικόνιση φυσικών αριθμών με τελείες σε μια αριθμητική γραμμή. Συντελεστής αριθμού (απόλυτη τιμή αριθμού), ορισμοί, παραδείγματα, ιδιότητες
Γνωρίζουμε ήδη ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $R$ σχηματίζεται από ρητούς και παράλογους αριθμούς.
Οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν πάντα να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί (πεπερασμένοι ή άπειροι περιοδικοί).
Οι παράλογοι αριθμοί γράφονται ως άπειροι αλλά μη επαναλαμβανόμενοι δεκαδικοί αριθμοί.
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών $R$ περιλαμβάνει επίσης τα στοιχεία $-\infty $ και $+\infty $, για τα οποία οι ανισώσεις $-\infty
Εξετάστε τρόπους αναπαράστασης πραγματικών αριθμών.
Κοινά κλάσματα
Τα συνηθισμένα κλάσματα γράφονται χρησιμοποιώντας δύο φυσικούς αριθμούς και μια οριζόντια κλασματική ράβδο. Η κλασματική μπάρα αντικαθιστά στην πραγματικότητα το σύμβολο της διαίρεσης. Ο αριθμός κάτω από τη γραμμή είναι ο παρονομαστής (διαιρέτης), ο αριθμός πάνω από τη γραμμή είναι ο αριθμητής (διαιρούμενος).
Ορισμός
Ένα κλάσμα λέγεται σωστό αν ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του. Αντίστροφα, ένα κλάσμα ονομάζεται ακατάλληλο εάν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή του.
Για τα συνηθισμένα κλάσματα, υπάρχουν απλοί, πρακτικά προφανείς, κανόνες σύγκρισης ($m$,$n$,$p$ είναι φυσικοί αριθμοί):
- από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο, δηλ. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ για $m>n$;
- από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο, δηλ. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ για $ m
- ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από ένα. Το ακατάλληλο κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα. ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή είναι ίσο με ένα.
- Κάθε ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε σωστό κλάσμα.
Δεκαδικοί αριθμοί
Ο συμβολισμός δεκαδικού αριθμού (δεκαδικό κλάσμα) έχει τη μορφή: ακέραιο μέρος, δεκαδικό σημείο, κλασματικό μέρος. Ο δεκαδικός συμβολισμός ενός συνηθισμένου κλάσματος μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τη "γωνία" του αριθμητή με τον παρονομαστή. Αυτό μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα είτε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Ορισμός
Τα κλασματικά ψηφία ονομάζονται δεκαδικά ψηφία. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή ονομάζεται δέκατο ψηφίο, το δεύτερο - το ψηφίο των εκατοστών, το τρίτο - το ψηφίο των χιλιοστών κ.λπ.
Παράδειγμα 1
Καθορίζουμε την τιμή του δεκαδικού αριθμού 3,74. Παίρνουμε: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Ο δεκαδικός αριθμός μπορεί να στρογγυλοποιηθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να καθορίσετε το ψηφίο στο οποίο εκτελείται η στρογγυλοποίηση.
Ο κανόνας στρογγυλοποίησης έχει ως εξής:
- όλα τα ψηφία στα δεξιά αυτού του ψηφίου αντικαθίστανται με μηδενικά (αν αυτά τα ψηφία είναι πριν από την υποδιαστολή) ή απορρίπτονται (εάν αυτά τα ψηφία είναι μετά την υποδιαστολή).
- εάν το πρώτο ψηφίο που ακολουθεί το δεδομένο ψηφίο είναι μικρότερο από 5, τότε το ψηφίο αυτού του ψηφίου δεν αλλάζει.
- εάν το πρώτο ψηφίο που ακολουθεί το δεδομένο ψηφίο είναι 5 ή περισσότερο, τότε το ψηφίο αυτού του ψηφίου αυξάνεται κατά ένα.
Παράδειγμα 2
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17302 στην πλησιέστερη χιλιάδα: 17000.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17378 στην πλησιέστερη εκατοντάδα: 17400.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17378,45 σε δεκάδες: 17380.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 378,91434 στο πλησιέστερο εκατοστό: 378,91.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 378,91534 στο πλησιέστερο εκατοστό: 378,92.
Μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε κοινό κλάσμα.
Περίπτωση 1
Ο δεκαδικός αριθμός είναι ένας τελικός δεκαδικός αριθμός.
Η μέθοδος μετατροπής φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.
Παράδειγμα 2
Έχουμε: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Μειώστε σε κοινό παρονομαστή και λάβετε:
Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Περίπτωση 2
Ένας δεκαδικός αριθμός είναι ένα άπειρο επαναλαμβανόμενο δεκαδικό.
Η μέθοδος μετασχηματισμού βασίζεται στο γεγονός ότι το περιοδικό μέρος ενός περιοδικού δεκαδικού κλάσματος μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των μελών μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.
Παράδειγμα 4
$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,74$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,01$.
Παράδειγμα 5
$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,08$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,1$.
Το άθροισμα των όρων μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται με τον τύπο $s=\frac(a)(1-q) $, όπου $a$ είναι ο πρώτος όρος και $q$ είναι ο παρονομαστής της προόδου $ \αριστερά (0
Παράδειγμα 6
Ας μετατρέψουμε το άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα $0,\left(72\right)$ σε κανονικό.
Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,72$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,01$. Παίρνουμε: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Άρα $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.
Παράδειγμα 7
Ας μετατρέψουμε το άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα $0,5\αριστερά(3\δεξιά)$ σε κανονικό.
Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,03$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,1$. Παίρνουμε: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 ) (30) $.
Άρα $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με σημεία στην αριθμητική γραμμή.
Σε αυτήν την περίπτωση, ονομάζουμε τον αριθμητικό άξονα μια άπειρη γραμμή στην οποία επιλέγονται η αρχή (σημείο $O$), η θετική κατεύθυνση (που υποδεικνύεται με ένα βέλος) και η κλίμακα (για την εμφάνιση τιμών).
Μεταξύ όλων των πραγματικών αριθμών και όλων των σημείων του αριθμητικού άξονα υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα: κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό και, αντίστροφα, κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο. Επομένως, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι συνεχές και άπειρο με τον ίδιο τρόπο που ο άξονας των αριθμών είναι συνεχής και άπειρος.
Ορισμένα υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών ονομάζονται αριθμητικά διαστήματα. Τα στοιχεία ενός αριθμητικού διαστήματος είναι αριθμοί $x\in R$ που ικανοποιούν μια ορισμένη ανισότητα. Έστω $a\in R$, $b\in R$ και $a\le b$. Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι κενών μπορεί να είναι οι εξής:
- Διάστημα $\left(a,\; b\right)$. Ταυτόχρονα $ α
- Τμήμα $\αριστερά$. Επιπλέον, $a\le x\le b$.
- Ημι-τμήματα ή μισά διαστήματα $\left$. Ταυτόχρονα $ a \le x
- Άπειρες εκτάσεις, π.χ. $a
Μεγάλη σημασία έχει επίσης ένα είδος διαστήματος, που ονομάζεται γειτονιά ενός σημείου. Η γειτονιά ενός δεδομένου σημείου $x_(0) \στο R$ είναι ένα αυθαίρετο διάστημα $\left(a,\; b\right)$ που περιέχει αυτό το σημείο μέσα του, δηλ. $a 0$ - 10η ακτίνα.
Η απόλυτη τιμή του αριθμού
Η απόλυτη τιμή (ή συντελεστής) ενός πραγματικού αριθμού $x$ είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός $\left|x\right|$, που ορίζεται από τον τύπο: $\left|x\right|=\left\(\ start(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x
Γεωμετρικά, το $\left|x\right|$ σημαίνει την απόσταση μεταξύ των σημείων $x$ και 0 στον πραγματικό άξονα.
Ιδιότητες απόλυτων τιμών:
- Από τον ορισμό προκύπτει ότι $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- για το μέτρο του αθροίσματος και για το μέτρο της διαφοράς δύο αριθμών, οι ανισώσεις $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ αριστερά|x-y\δεξιά|\le \αριστερά|x\δεξιά|+\αριστερά|y\δεξιά|$ και επίσης $\αριστερά|x+y\δεξιά|\ge \αριστερά|x\δεξιά|-\αριστερά|y \right|$,$\ αριστερά|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
- ο συντελεστής του γινομένου και ο συντελεστής του πηλίκου δύο αριθμών ικανοποιούν τις ισότητες $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ και $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\αριστερά|x\δεξιά|)(\αριστερά|y\δεξιά|) $.
Με βάση τον ορισμό της απόλυτης τιμής για έναν αυθαίρετο αριθμό $a>0$, μπορούμε επίσης να καθορίσουμε την ισοδυναμία των ακόλουθων ζευγών ανισώσεων:
- αν $ \αριστερά|x\δεξιά|
- αν $\left|x\right|\le a$ τότε $-a\le x\le a$;
- αν $\left|x\right|>a$ τότε είτε $xa$;
- αν $\left|x\right|\ge a$, τότε είτε $x\le -a$ είτε $x\ge a$.
Παράδειγμα 8
Λύστε την ανισότητα $\left|2\cdot x+1\right|
Αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με τις ανισότητες -7 $
Από εδώ παίρνουμε: -8 $
Μια αριθμητική γραμμή, ένας αριθμητικός άξονας, είναι μια γραμμή στην οποία απεικονίζονται πραγματικοί αριθμοί. Στην ευθεία, επιλέγεται η αρχή - το σημείο Ο (το σημείο Ο αντιπροσωπεύει το 0) και το σημείο L, που αντιπροσωπεύει τη μονάδα. Το σημείο L βρίσκεται συνήθως στα δεξιά του σημείου Ο. Το τμήμα OL ονομάζεται μοναδιαίο τμήμα.
Τα σημεία στα δεξιά του σημείου Ο αντιπροσωπεύουν θετικούς αριθμούς. Κουκκίδες στα αριστερά της κουκκίδας. Ω, απεικονίστε αρνητικούς αριθμούς. Αν το σημείο Χ αντιπροσωπεύει θετικό αριθμό x, τότε η απόσταση OX = x. Αν το σημείο Χ αντιπροσωπεύει αρνητικό αριθμό x, τότε η απόσταση OX = - x.
Ο αριθμός που δείχνει τη θέση ενός σημείου σε μια ευθεία ονομάζεται συντεταγμένη αυτού του σημείου.
Το σημείο V που φαίνεται στο σχήμα έχει συντεταγμένη 2 και το σημείο Η έχει συντεταγμένη -2,6.
Ο συντελεστής ενός πραγματικού αριθμού είναι η απόσταση από την αρχή έως το σημείο που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό. Προσδιορίστε το μέτρο του αριθμού x, άρα: | x |. Προφανώς, | 0 | = 0.
Αν ο αριθμός x είναι μεγαλύτερος από 0, τότε | x | = x, και αν το x είναι μικρότερο από 0, τότε | x | = - x. Σε αυτές τις ιδιότητες της ενότητας βασίζεται η λύση πολλών εξισώσεων και ανισώσεων με τη μονάδα.
Παράδειγμα: Επίλυση εξίσωσης | x - 3 | = 1.
Λύση: Εξετάστε δύο περιπτώσεις - την πρώτη περίπτωση, όταν x -3 > 0, και τη δεύτερη περίπτωση, όταν x - 3 0.
1. x - 3 > 0, x > 3.
Σε αυτή την περίπτωση | x - 3 | = x - 3.
Η εξίσωση έχει τη μορφή x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη.
2. x -3 0, x 3.
Σε αυτή την περίπτωση | x - 3 | = - x + 3
Η εξίσωση έχει τη μορφή x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - ικανοποιεί τη δεύτερη συνθήκη.
Απάντηση: x = 4, x = -2.
Αριθμητικές εκφράσεις.
Μια αριθμητική έκφραση είναι μια συλλογή από έναν ή περισσότερους αριθμούς και συναρτήσεις που συνδέονται με αριθμητικούς τελεστές και αγκύλες.
Παραδείγματα αριθμητικών παραστάσεων: 
Η τιμή μιας αριθμητικής παράστασης είναι ένας αριθμός.
Οι πράξεις στην αριθμητική έκφραση εκτελούνται με την ακόλουθη σειρά:
1. Ενέργειες σε αγκύλες.
2. Υπολογισμός συναρτήσεων.
3. Εκτίμηση
4. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση.
5. Πρόσθεση και αφαίρεση.
6. Οι πράξεις του ίδιου τύπου εκτελούνται από αριστερά προς τα δεξιά.
Άρα η τιμή της πρώτης παράστασης θα είναι ο ίδιος ο αριθμός 12.3
Για να υπολογίσουμε την τιμή της δεύτερης παράστασης, θα εκτελέσουμε τις ενέργειες με την ακόλουθη σειρά:
1. Εκτελέστε τις ενέργειες σε αγκύλες με την ακόλουθη σειρά - πρώτα ανεβάζουμε το 2 στην τρίτη δύναμη και μετά αφαιρούμε το 11 από τον αριθμό που προκύπτει:
3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)
2. Πολλαπλασιάστε το 3 με το 4:
3 4 + (-3) = 12 + (-3)
3. Εκτελέστε τις λειτουργίες διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά:
12 + (-3) = 9.
Μια έκφραση με μεταβλητές είναι μια συλλογή από έναν ή περισσότερους αριθμούς, μεταβλητές και συναρτήσεις που συνδέονται με αριθμητικούς τελεστές και αγκύλες. Οι τιμές των παραστάσεων με μεταβλητές εξαρτώνται από τις τιμές των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε αυτό. Η ακολουθία των πράξεων εδώ είναι η ίδια όπως και για τις αριθμητικές εκφράσεις. Μερικές φορές είναι χρήσιμο να απλοποιούμε εκφράσεις με μεταβλητές εκτελώντας διάφορες ενέργειες - παρενθέσεις, επέκταση παρενθέσεων, ομαδοποίηση, μείωση κλασμάτων, μείωση παρόμοιων κ.λπ. Επίσης, για την απλοποίηση των εκφράσεων, χρησιμοποιούνται συχνά διάφοροι τύποι, για παράδειγμα, συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού, ιδιότητες διαφόρων συναρτήσεων κ.λπ.
Αλγεβρικές εκφράσεις.
Μια αλγεβρική έκφραση είναι ένα ή περισσότερα αλγεβρικά μεγέθη (αριθμοί και γράμματα) που διασυνδέονται με σημάδια αλγεβρικών πράξεων: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση, καθώς και εξαγωγή της ρίζας και αύξηση σε ακέραια δύναμη (επιπλέον, η ρίζα και ο εκθέτης πρέπει απαραίτητα είναι ακέραιοι) και σημάδια της ακολουθίας αυτών των ενεργειών (συνήθως αγκύλες διαφόρων ειδών). Ο αριθμός των τιμών που περιλαμβάνονται στην αλγεβρική έκφραση πρέπει να είναι πεπερασμένος.
Παράδειγμα αλγεβρικής έκφρασης:
Η «αλγεβρική έκφραση» είναι συντακτική έννοια, δηλαδή κάτι είναι αλγεβρική έκφραση αν και μόνο αν υπακούει σε ορισμένους γραμματικούς κανόνες (βλ. Τυπική γραμματική). Εάν τα γράμματα μιας αλγεβρικής παράστασης θεωρούνται μεταβλητές, τότε η αλγεβρική έκφραση αποκτά την έννοια μιας αλγεβρικής συνάρτησης.
Νο. 1. Ιδιότητες ρητών αριθμών.
τάξη . Για οποιουσδήποτε λογικούς αριθμούς και υπάρχει ένας κανόνας που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε μοναδικά μεταξύ τους έναν και μόνο έναν από τους τρεις συγγένειες: "", "" ή "". Αυτός ο κανόνας ονομάζεται κανόνας παραγγελίαςκαι διατυπώνεται ως εξής: δύο θετικοί αριθμοί συνδέονται με την ίδια σχέση με δύο ακέραιους αριθμούς. δύο μη θετικοί αριθμοί και σχετίζονται με την ίδια σχέση με δύο μη αρνητικούς αριθμούς και? αν ξαφνικά όχι αρνητικό, αλλά αρνητικό, τότε.
άθροιση κλασμάτων
Λειτουργία προσθήκης
.
κανόνας άθροισης, που τα βάζει σε αντιστοιχία με κάποιο ρητό αριθμό . Σε αυτήν την περίπτωση, καλείται ο ίδιος ο αριθμός άθροισμα
αριθμοί u συμβολίζεται και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται άθροιση. Ο κανόνας άθροισης έχει την ακόλουθη μορφή: 
.
λειτουργία πολλαπλασιασμού
.
Για τυχόν ρητούς αριθμούς και υπάρχει ένα λεγόμενο κανόνας πολλαπλασιασμού, που τα βάζει σε αντιστοιχία με κάποιο ρητό αριθμό . Σε αυτήν την περίπτωση, καλείται ο ίδιος ο αριθμός δουλειά
αριθμοί ii συμβολίζεται και η διαδικασία εύρεσης ενός τέτοιου αριθμού ονομάζεται επίσης πολλαπλασιασμός. Ο κανόνας πολλαπλασιασμού έχει ως εξής: 
.
Μεταβατικότητα σχέσεις τάξης.Για οποιοδήποτε τριπλό ρητών αριθμών , και αν είναι λιγότεροι και λιγότεροι, τότε μικρότεροι, και αν ίσοι και ίσοι, τότε ίσοι.
ανταλλαξιμότητα πρόσθεση.Από μια αλλαγή στις θέσεις των ορθολογικών όρων, το άθροισμα δεν αλλάζει.
Συνεταιρισμός πρόσθεση.Η σειρά με την οποία προστίθενται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
Διαθεσιμότηταμηδέν . Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 0 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν αθροίζεται.
Η παρουσία αντίθετων αριθμών.Κάθε ρητός αριθμός έχει έναν αντίθετο ρητό αριθμό, ο οποίος, όταν αθροιστεί, δίνει το 0.
Ανταλλαγή πολλαπλασιασμού.Αλλάζοντας τις θέσεις των ορθολογικών παραγόντων, το προϊόν δεν αλλάζει.
Συσχετισμός πολλαπλασιασμού.Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται τρεις ρητικοί αριθμοί δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα.
Διαθεσιμότηταμονάδες . Υπάρχει ένας ρητός αριθμός 1 που διατηρεί κάθε άλλο ρητό αριθμό όταν πολλαπλασιάζεται.
Διαθεσιμότητααμοιβαίοι αριθμοί . Κάθε μη μηδενικός ρητός αριθμός έχει έναν αντίστροφο ρητό αριθμό, πολλαπλασιασμός με τον οποίο δίνει το 1.
διανεμητικότητα πολλαπλασιασμός ως προς την πρόσθεση.Η πράξη πολλαπλασιασμού είναι συνεπής με την πράξη πρόσθεσης μέσω του νόμου κατανομής:
Σύνδεση της σχέσης παραγγελίας με τη λειτουργία της προσθήκης.Ο ίδιος ρητός αριθμός μπορεί να προστεθεί στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας.
Σύνδεση της σχέσης τάξης με την πράξη του πολλαπλασιασμού.Η αριστερή και η δεξιά πλευρά μιας ορθολογικής ανισότητας μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο θετικό ρητό αριθμό.
Αξίωμα του Αρχιμήδη . Όποιος κι αν είναι ο ρητός αριθμός , μπορείτε να πάρετε τόσες πολλές μονάδες που το άθροισμά τους θα υπερβεί.
Νο 2. Συντελεστής πραγματικού αριθμού.
Ορισμός . Το μέτρο ενός μη αρνητικού πραγματικού αριθμού x είναι ο ίδιος ο αριθμός: | x | = x; το μέτρο ενός αρνητικού πραγματικού αριθμού x είναι ο αντίθετος αριθμός: I x | = - x.
Εν ολίγοις, γράφεται ως εξής:
2. Η γεωμετρική σημασία του συντελεστή ενός πραγματικού αριθμού
Ας επιστρέψουμε στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών και στα γεωμετρικά του μοντέλα- αριθμός γραμμής. Σημειώνουμε δύο σημεία α και β στη γραμμή (δύο πραγματικοί αριθμοί α και β), συμβολίζουμε με (α, β) την απόσταση μεταξύ των σημείων α και β (- το γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου "ro"). Αυτή η απόσταση είναι ίση με b - a, αν b > a (Εικ. 101), είναι ίση με a - b, αν a > b (Εικ. 102), τέλος, είναι μηδέν αν a = b.
Και οι τρεις περιπτώσεις καλύπτονται από έναν τύπο:
β) Εξίσωση | x + 3,2 | = 2 ξαναγράψτε με τη μορφή | x - (- 3,2) | \u003d 2 και περαιτέρω (x, - 3.2) \u003d 2. Υπάρχουν δύο σημεία στη γραμμή συντεταγμένων που αφαιρούνται από το σημείο - 3.2 σε απόσταση ίση με 2. Αυτά είναι σημεία - 5.2 και - 1.2 (Εικ. . 104). Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζα: -5,2 και -1,2.
№4.ΣΕΤ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Η ένωση του συνόλου των ρητών αριθμών και του συνόλου των άρρητων αριθμών ονομάζεται σύνολο έγκυρος (ή υλικό ) αριθμοί . Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με το σύμβολο R. Προφανώς, .
Οι πραγματικοί αριθμοί εμφανίζονται στο αριθμητικός άξονας
Ωτελείες (Εικ.). 
Σε αυτή την περίπτωση, κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο σημείο του αριθμητικού άξονα και κάθε σημείο του άξονα αντιστοιχεί σε έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό.
Επομένως, αντί για τις λέξεις "πραγματικός αριθμός" μπορείτε να πείτε "σημείο".
Νο 5. αριθμητικά κενά.
|
Τύπος κενού |
γεωμετρικές εικόνες |
Ονομασία |
Γράψιμο με χρήση ανισοτήτων |
|
Διάστημα |
| ||
|
| |||
|
Μισό διάστημα |
| ||
|
Μισό διάστημα |
| ||
|
| |||
|
| |||
|
ανοιχτό δοκάρι |
| ||
|
ανοιχτό δοκάρι |
|
Νο 6. Αριθμητική συνάρτηση.
Αφήστε ένα σύνολο αριθμών να δοθεί Αν σε κάθε αριθμό εκχωρηθεί ένας μόνο αριθμός y, τότε το λέμε στο πλατό ρεαριθμητικός λειτουργία :
|
y = φά (Χ), |
Πολλά ρεπου ονομάζεται εύρος λειτουργίας και συμβολίζεται ρε (φά (Χ)). Το σύνολο όλων των στοιχείων φά (Χ), όπου ονομάζεται εύρος λειτουργίας και συμβολίζεται μι (φά (Χ)).
Αριθμός Χσυχνά καλούν όρισμα συνάρτησης ή μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και ο αριθμός y- εξαρτημένη μεταβλητή ή, στην πραγματικότητα, λειτουργία μεταβλητός Χ. Ο αριθμός που αντιστοιχεί στην τιμή καλείται τιμή συνάρτησης σε ένα σημείο και δηλώνουν ή
Για να ορίσετε μια λειτουργία φά, πρέπει να προσδιορίσετε:
1) το πεδίο ορισμού του ρε (φά (Χ));
2) προσδιορίστε τον κανόνα φά, σύμφωνα με το οποίο κάθε τιμή συνδέεται με κάποια τιμή y = φά (Χ).
№7. αντίστροφη συνάρτηση,
Αντίστροφη συνάρτηση
Εάν οι ρόλοι του ορίσματος και της συνάρτησης αντιστραφούν, τότε Χγίνεται συνάρτηση του y. Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για μια νέα συνάρτηση που ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση.Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση:
v = u 2 ,
όπου u- επιχείρημα, α v- λειτουργία. Αν αντιστρέψουμε τους ρόλους τους, παίρνουμε u ως συνάρτηση v :
Αν συμβολίσουμε το όρισμα και στις δύο συναρτήσεις ως Χ , και η λειτουργία μέσω y, τότε έχουμε δύο συναρτήσεις:
καθένα από τα οποία είναι το αντίστροφο του άλλου.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Αυτές οι συναρτήσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους:
1) αμαρτία Χκαι τόξο Χ, αφού αν y= αμαρτία Χ, έπειτα Χ= Arcsin y;
2) συν Χκαι Arccos Χ, αφού αν y= κοσ Χ, έπειτα Χ= Άρκκος y;
3) μαύρισμα Χκαι Αρκτάν Χ, αφού αν y= μαύρισμα Χ, έπειτα Χ= Αρκτάν y;
4) μι Χκαι ln Χ, αφού αν y= μι Χ, έπειτα Χ=ln y.
Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις- μαθηματικές συναρτήσεις που είναι αντίστροφες προς τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνήθως περιλαμβάνουν έξι συναρτήσεις:
τόξο(σύμβολο: arcsin)
τόξο συνημίτονο(σύμβολο: τόξο)
εφαπτομένη τόξου(ονομασία: arctg, στην ξένη λογοτεχνία arctan)
εφαπτομένη τόξου(ονομασία: arcctg, στην ξένη λογοτεχνία arccotan)
τόξο(σύμβολο: arcsec)
arccosecant(ονομασία: arccosec, στην ξένη βιβλιογραφία arcsc)
№8. Βασικές στοιχειώδεις λειτουργίες. Στοιχειώδεις Συναρτήσεις
Αξίζει να σημειωθεί ότι οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι πολλαπλών τιμών (άπειρα σημαντικές), όταν λειτουργούν με αυτές, χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες κύριες τιμές.
№9. Μιγαδικοί αριθμοί
γράφονται ως: α+ δις. Εδώ ένακαι σι – πραγματικούς αριθμούς, ένα Εγώ – φανταστική μονάδα, δηλ. Εγώ 2 = –1. Αριθμός ένα που ονομάζεται τετμημένη, ένα σι – τεταγμένημιγαδικός αριθμός α+ β.θ. Δύο μιγαδικοί αριθμοί α+ δις και ένα – δις που ονομάζεται κλίνωμιγαδικοί αριθμοί.
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με σημεία σε μια ευθεία γραμμή, όπως φαίνεται στο σχήμα, όπου το σημείο Α αντιπροσωπεύει τον αριθμό 4 και το σημείο Β αντιπροσωπεύει τον αριθμό -5. Οι ίδιοι αριθμοί μπορούν επίσης να αντιπροσωπευτούν από τμήματα OA, OB, λαμβάνοντας υπόψη όχι μόνο το μήκος τους, αλλά και την κατεύθυνσή τους.
Κάθε σημείο M της αριθμητικής γραμμής απεικονίζει κάποιο πραγματικό αριθμό (ορθολογικός αν το τμήμα OM είναι συγκρίσιμο με μονάδα μήκους και παράλογο εάν είναι ασύμμετρο). Έτσι, δεν υπάρχει χώρος στην αριθμητική γραμμή για μιγαδικούς αριθμούς.
Αλλά οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στο αριθμητικό επίπεδο. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, με την ίδια κλίμακα και στους δύο άξονες.
Μιγαδικός αριθμός a + b iαντιπροσωπεύεται από το σημείο Μ, στο οποίο η τετμημένη x είναι ίση με την τετμημένη έναμιγαδικός αριθμός, και η τεταγμένη του y είναι ίση με την τεταγμένη σιμιγαδικός αριθμός.
Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε λεπτομερώς η απόλυτη τιμή ενός αριθμού. Θα δώσουμε διάφορους ορισμούς του συντελεστή ενός αριθμού, θα εισαγάγουμε σημειογραφία και θα δώσουμε γραφικές απεικονίσεις. Σε αυτή την περίπτωση, εξετάζουμε διάφορα παραδείγματα εύρεσης του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού εξ ορισμού. Μετά από αυτό, παραθέτουμε και αιτιολογούμε τις κύριες ιδιότητες της ενότητας. Στο τέλος του άρθρου, θα μιλήσουμε για το πώς καθορίζεται και βρίσκεται το μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Ενότητα αριθμού - ορισμός, σημειογραφία και παραδείγματα
Πρώτα εισάγουμε προσδιορισμός συντελεστή. Η ενότητα του αριθμού α θα γραφεί ως , δηλαδή στα αριστερά και στα δεξιά του αριθμού θα βάλουμε κάθετες γραμμές που σχηματίζουν το πρόσημο της ενότητας. Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα. Για παράδειγμα, το modulo -7 μπορεί να γραφτεί ως ; Η ενότητα 4,125 γράφεται ως και η ενότητα γράφεται ως .
Ο ακόλουθος ορισμός της ενότητας αναφέρεται, και επομένως, σε, και σε ακέραιους αριθμούς, και σε ορθολογικούς και παράλογους αριθμούς, ως προς τα συστατικά μέρη του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Θα μιλήσουμε για το συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού στο.
Ορισμός.
Μέτρο του αείναι είτε ο ίδιος ο αριθμός a, εάν το a είναι θετικός αριθμός, είτε ο αριθμός −a, το αντίθετο του αριθμού a, εάν το a είναι αρνητικός αριθμός, είτε το 0, εάν a=0 .
Ο φωνητικός ορισμός του συντελεστή ενός αριθμού συχνά γράφεται με την ακόλουθη μορφή 
, αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι αν a>0 , εάν a=0 , και αν a<0
.
Ο δίσκος μπορεί να αναπαρασταθεί σε πιο συμπαγή μορφή 
. Αυτός ο συμβολισμός σημαίνει ότι αν (το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0), και αν a<0
.
Υπάρχει και ρεκόρ 
. Εδώ, η περίπτωση που a=0 πρέπει να εξηγηθεί χωριστά. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε , αλλά −0=0 , αφού μηδέν θεωρείται ένας αριθμός που είναι αντίθετος προς τον εαυτό του.
Ας φέρουμε παραδείγματα εύρεσης του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμούμε δεδομένο ορισμό. Για παράδειγμα, ας βρούμε ενότητες των αριθμών 15 και . Ας ξεκινήσουμε με την εύρεση. Δεδομένου ότι ο αριθμός 15 είναι θετικός, ο συντελεστής του είναι, εξ ορισμού, ίσος με αυτόν τον ίδιο τον αριθμό, δηλαδή . Ποιο είναι το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού; Δεδομένου ότι είναι αρνητικός αριθμός, τότε ο συντελεστής του είναι ίσος με τον αριθμό που βρίσκεται απέναντι από τον αριθμό, δηλαδή τον αριθμό 
. Με αυτόν τον τρόπο, .
Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, δίνουμε ένα συμπέρασμα, το οποίο είναι πολύ βολικό να εφαρμοστεί στην πράξη κατά την εύρεση του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού. Από τον ορισμό του συντελεστή ενός αριθμού προκύπτει ότι ο συντελεστής ενός αριθμού είναι ίσος με τον αριθμό κάτω από το πρόσημο του συντελεστή, ανεξάρτητα από το πρόσημο του, και από τα παραδείγματα που συζητήθηκαν παραπάνω, αυτό είναι πολύ καθαρά ορατό. Η εκφρασμένη δήλωση εξηγεί γιατί καλείται και ο συντελεστής ενός αριθμού την απόλυτη τιμή του αριθμού. Άρα το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού και η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ένα και το αυτό.
Συντελεστής ενός αριθμού ως απόσταση
Γεωμετρικά, το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού μπορεί να ερμηνευτεί ως απόσταση. Ας φέρουμε προσδιορισμός του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού ως προς την απόσταση.
Ορισμός.
Μέτρο του αείναι η απόσταση από την αρχή στη γραμμή συντεταγμένων μέχρι το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό α.
Αυτός ο ορισμός είναι συνεπής με τον ορισμό του συντελεστή μέτρησης ενός αριθμού που δίνεται στην πρώτη παράγραφο. Ας εξηγήσουμε αυτό το σημείο. Η απόσταση από την αρχή μέχρι το σημείο που αντιστοιχεί σε έναν θετικό αριθμό είναι ίση με αυτόν τον αριθμό. Το μηδέν αντιστοιχεί στην αρχή, επομένως η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με συντεταγμένη 0 είναι μηδέν (κανένα μεμονωμένο τμήμα και κανένα τμήμα που αποτελείται από οποιοδήποτε κλάσμα του τμήματος μονάδας δεν χρειάζεται να αναβληθεί για να φτάσει από το σημείο Ο στο σημείο με συντεταγμένη 0). Η απόσταση από την αρχή σε ένα σημείο με αρνητική συντεταγμένη είναι ίση με τον αριθμό που είναι αντίθετος από τη συντεταγμένη του δεδομένου σημείου, αφού είναι ίση με την απόσταση από την αρχή έως το σημείο του οποίου η συντεταγμένη είναι ο αντίθετος αριθμός.
Για παράδειγμα, ο συντελεστής του αριθμού 9 είναι 9, αφού η απόσταση από την αρχή έως το σημείο με συντεταγμένη 9 είναι εννέα. Ας πάρουμε ένα άλλο παράδειγμα. Το σημείο με συντεταγμένη −3,25 βρίσκεται σε απόσταση 3,25 από το σημείο Ο, άρα 
.
Ο ηχητικός ορισμός του συντελεστή ενός αριθμού είναι μια ειδική περίπτωση ορισμού του συντελεστή της διαφοράς δύο αριθμών.
Ορισμός.
Συντελεστής διαφοράς δύο αριθμώνα και β ισούται με την απόσταση μεταξύ των σημείων της ευθείας συντεταγμένων με τις συντεταγμένες a και b .
Δηλαδή, αν δίνονται σημεία στην ευθεία συντεταγμένων A(a) και B(b), τότε η απόσταση από το σημείο A στο σημείο B είναι ίση με το μέτρο της διαφοράς μεταξύ των αριθμών a και b. Αν πάρουμε το σημείο Ο (σημείο αναφοράς) ως σημείο Β, τότε θα πάρουμε τον ορισμό του συντελεστή μέτρησης του αριθμού που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου.
Προσδιορισμός του συντελεστή ενός αριθμού μέσω της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας
Μερικές φορές βρέθηκε προσδιορισμός του συντελεστή μέσω της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας.
Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τις ενότητες των αριθμών −30 και με βάση αυτόν τον ορισμό. Εχουμε . Ομοίως, υπολογίζουμε το μέτρο των δύο τρίτων: 
.
Ο ορισμός του συντελεστή ενός αριθμού ως προς την αριθμητική τετραγωνική ρίζα είναι επίσης συνεπής με τον ορισμό που δίνεται στην πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Ας το δείξουμε. Έστω ένας θετικός αριθμός και έστω −a αρνητικός. Επειτα 
και 
, αν a=0 , τότε 
.
Ιδιότητες ενότητας
Η ενότητα έχει μια σειρά από χαρακτηριστικά αποτελέσματα - ιδιότητες της μονάδας. Τώρα θα δώσουμε τα κύρια και πιο συχνά χρησιμοποιούμενα από αυτά. Κατά την τεκμηρίωση αυτών των ιδιοτήτων, θα βασιστούμε στον ορισμό του μέτρου ενός αριθμού ως προς την απόσταση.
Ας ξεκινήσουμε με την πιο προφανή ιδιότητα ενότητας − το μέτρο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός. Σε κυριολεκτική μορφή, αυτή η ιδιότητα έχει τη μορφή οποιουδήποτε αριθμού a . Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ εύκολο να δικαιολογηθεί: ο συντελεστής ενός αριθμού είναι η απόσταση και η απόσταση δεν μπορεί να εκφραστεί ως αρνητικός αριθμός.
Ας προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα της ενότητας. Το μέτρο συντελεστή ενός αριθμού είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν αυτός ο αριθμός είναι μηδέν. Το μέτρο μηδέν είναι εξ ορισμού μηδέν. Το μηδέν αντιστοιχεί στην αρχή, κανένα άλλο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων δεν αντιστοιχεί στο μηδέν, αφού κάθε πραγματικός αριθμός συνδέεται με ένα μόνο σημείο στη γραμμή συντεταγμένων. Για τον ίδιο λόγο, οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν αντιστοιχεί σε σημείο διαφορετικό από την αρχή. Και η απόσταση από την αρχή σε οποιοδήποτε σημείο εκτός από το σημείο Ο δεν είναι ίση με μηδέν, αφού η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι ίση με μηδέν εάν και μόνο εάν αυτά τα σημεία συμπίπτουν. Ο παραπάνω συλλογισμός αποδεικνύει ότι μόνο το μέτρο μηδέν είναι ίσο με μηδέν.
Προχώρα. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες ενότητες, δηλαδή για οποιονδήποτε αριθμό a . Πράγματι, δύο σημεία στη γραμμή συντεταγμένων, των οποίων οι συντεταγμένες είναι αντίθετοι αριθμοί, βρίσκονται στην ίδια απόσταση από την αρχή, πράγμα που σημαίνει ότι οι μονάδες των αντίθετων αριθμών είναι ίσες.
Η επόμενη ιδιότητα της ενότητας είναι: ο συντελεστής του γινομένου δύο αριθμών είναι ίσος με το γινόμενο των μονάδων αυτών των αριθμών, αυτό είναι, . Εξ ορισμού, το μέτρο του γινομένου των αριθμών a και b είναι είτε a b εάν , είτε −(a b) εάν . Από τους κανόνες πολλαπλασιασμού των πραγματικών αριθμών προκύπτει ότι το γινόμενο των συντελεστών των αριθμών a και b ισούται είτε με a b , , είτε με −(a b) , εάν , που αποδεικνύει την εξεταζόμενη ιδιότητα.
Το μέτρο του πηλίκου της διαίρεσης του a με το b είναι ίσο με το πηλίκο της διαίρεσης του μέτρου του a με το μέτρο του b, αυτό είναι, . Ας δικαιολογήσουμε αυτήν την ιδιότητα της ενότητας. Εφόσον το πηλίκο είναι ίσο με το γινόμενο, τότε . Δυνάμει της προηγούμενης ιδιοκτησίας, έχουμε 
. Μένει μόνο να χρησιμοποιηθεί η ισότητα , η οποία ισχύει λόγω του ορισμού του συντελεστή του αριθμού.
Η ακόλουθη ιδιότητα ενότητας γράφεται ως ανισότητα: 
, a , b και c είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί. Η γραπτή ανισότητα δεν είναι άλλο από τριγωνική ανισότητα. Για να γίνει αυτό ξεκάθαρο, ας πάρουμε τα σημεία A(a) , B(b) , C(c) στην ευθεία συντεταγμένων και ας θεωρήσουμε το εκφυλισμένο τρίγωνο ABC, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Εξ ορισμού, το μέτρο της διαφοράς είναι ίσο με το μήκος του τμήματος AB, - το μήκος του τμήματος AC και - το μήκος του τμήματος CB. Δεδομένου ότι το μήκος οποιασδήποτε πλευράς ενός τριγώνου δεν υπερβαίνει το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, η ανισότητα 
άρα ισχύει και η ανισότητα.
Η ανισότητα που μόλις αποδείχθηκε είναι πολύ πιο κοινή στη μορφή 
. Η γραπτή ανισότητα θεωρείται συνήθως ως ξεχωριστή ιδιότητα της ενότητας με τη διατύπωση: « Ο συντελεστής του αθροίσματος δύο αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των συντελεστών αυτών των αριθμών". Αλλά η ανισότητα προκύπτει άμεσα από την ανισότητα , αν βάλουμε −b αντί για b σε αυτήν και πάρουμε c=0 .
Συντελεστής μιγαδικού αριθμού
Ας δώσουμε προσδιορισμός του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού. Ας μας δοθεί μιγαδικός αριθμός, γραμμένο σε αλγεβρική μορφή , όπου x και y είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί, που αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη ενός δεδομένου μιγαδικού αριθμού z, και είναι μια φανταστική μονάδα.
Ορισμός.
Το μέτρο συντελεστή μιγαδικού αριθμού z=x+i y λέγεται η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των πραγματικών και φανταστικών μερών ενός δεδομένου μιγαδικού αριθμού.
Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z συμβολίζεται ως , τότε ο ηχητικός ορισμός του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί να γραφεί ως 
.
Αυτός ο ορισμός σας επιτρέπει να υπολογίσετε το συντελεστή οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού σε αλγεβρικό συμβολισμό. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού. Σε αυτό το παράδειγμα, το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού είναι , και το φανταστικό μέρος είναι μείον τέσσερα. Τότε, με τον ορισμό του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού, έχουμε 
.
Η γεωμετρική ερμηνεία του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού μπορεί να δοθεί ως προς την απόσταση, κατ' αναλογία με τη γεωμετρική ερμηνεία του συντελεστή ενός πραγματικού αριθμού.
Ορισμός.
Συντελεστής μιγαδικού αριθμού z είναι η απόσταση από την αρχή του μιγαδικού επιπέδου μέχρι το σημείο που αντιστοιχεί στον αριθμό z σε αυτό το επίπεδο.
Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόσταση από το σημείο Ο έως το σημείο με συντεταγμένες (x, y) βρίσκεται ως , επομένως, , όπου . Επομένως, ο τελευταίος ορισμός του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού συμφωνεί με τον πρώτο.
Αυτός ο ορισμός σας επιτρέπει επίσης να υποδείξετε αμέσως ποιο είναι το μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού z, εάν είναι γραμμένο σε τριγωνομετρική μορφή ως 
ή σε εκθετική μορφή. Εδώ . Για παράδειγμα, ο συντελεστής ενός μιγαδικού αριθμού 
είναι 5 και ο συντελεστής του μιγαδικού αριθμού είναι .
Μπορεί επίσης να φανεί ότι το γινόμενο ενός μιγαδικού αριθμού και του μιγαδικού συζυγούς του δίνει το άθροισμα των τετραγώνων του πραγματικού και του φανταστικού μέρους. Πραγματικά, . Η προκύπτουσα ισότητα μας επιτρέπει να δώσουμε έναν ακόμη ορισμό του συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού.
Ορισμός.
Συντελεστής μιγαδικού αριθμού z είναι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του γινομένου αυτού του αριθμού και του μιγαδικού συζυγούς του, δηλαδή .
Συμπερασματικά, σημειώνουμε ότι όλες οι ιδιότητες της ενότητας που διατυπώθηκαν στην αντίστοιχη υποενότητα ισχύουν και για μιγαδικούς αριθμούς.
Βιβλιογραφία.
- Vilenkin N.Ya. κλπ. Μαθηματικά. 6η τάξη: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για 8 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
- Lunts G.L., Elsgolts L.E. Λειτουργίες μιγαδικής μεταβλητής: εγχειρίδιο για πανεπιστήμια.
- Privalov I.I. Εισαγωγή στη θεωρία των συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής.
Γνωρίζουμε ήδη ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών $R$ σχηματίζεται από ρητούς και παράλογους αριθμούς.
Οι ορθολογικοί αριθμοί μπορούν πάντα να αναπαρασταθούν ως δεκαδικοί (πεπερασμένοι ή άπειροι περιοδικοί).
Οι παράλογοι αριθμοί γράφονται ως άπειροι αλλά μη επαναλαμβανόμενοι δεκαδικοί αριθμοί.
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών $R$ περιλαμβάνει επίσης τα στοιχεία $-\infty $ και $+\infty $, για τα οποία οι ανισώσεις $-\infty
Εξετάστε τρόπους αναπαράστασης πραγματικών αριθμών.
Κοινά κλάσματα
Τα συνηθισμένα κλάσματα γράφονται χρησιμοποιώντας δύο φυσικούς αριθμούς και μια οριζόντια κλασματική ράβδο. Η κλασματική μπάρα αντικαθιστά στην πραγματικότητα το σύμβολο της διαίρεσης. Ο αριθμός κάτω από τη γραμμή είναι ο παρονομαστής (διαιρέτης), ο αριθμός πάνω από τη γραμμή είναι ο αριθμητής (διαιρούμενος).
Ορισμός
Ένα κλάσμα λέγεται σωστό αν ο αριθμητής του είναι μικρότερος από τον παρονομαστή του. Αντίστροφα, ένα κλάσμα ονομάζεται ακατάλληλο εάν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή του.
Για τα συνηθισμένα κλάσματα, υπάρχουν απλοί, πρακτικά προφανείς, κανόνες σύγκρισης ($m$,$n$,$p$ είναι φυσικοί αριθμοί):
- από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αυτό με τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο, δηλ. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ για $m>n$;
- από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, αυτό με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο, δηλ. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ για $ m
- ένα σωστό κλάσμα είναι πάντα μικρότερο από ένα. Το ακατάλληλο κλάσμα είναι πάντα μεγαλύτερο από ένα. ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή είναι ίσο με ένα.
- Κάθε ακατάλληλο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε σωστό κλάσμα.
Δεκαδικοί αριθμοί
Ο συμβολισμός δεκαδικού αριθμού (δεκαδικό κλάσμα) έχει τη μορφή: ακέραιο μέρος, δεκαδικό σημείο, κλασματικό μέρος. Ο δεκαδικός συμβολισμός ενός συνηθισμένου κλάσματος μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τη "γωνία" του αριθμητή με τον παρονομαστή. Αυτό μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα είτε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Ορισμός
Τα κλασματικά ψηφία ονομάζονται δεκαδικά ψηφία. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή ονομάζεται δέκατο ψηφίο, το δεύτερο - το ψηφίο των εκατοστών, το τρίτο - το ψηφίο των χιλιοστών κ.λπ.
Παράδειγμα 1
Καθορίζουμε την τιμή του δεκαδικού αριθμού 3,74. Παίρνουμε: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Ο δεκαδικός αριθμός μπορεί να στρογγυλοποιηθεί. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να καθορίσετε το ψηφίο στο οποίο εκτελείται η στρογγυλοποίηση.
Ο κανόνας στρογγυλοποίησης έχει ως εξής:
- όλα τα ψηφία στα δεξιά αυτού του ψηφίου αντικαθίστανται με μηδενικά (αν αυτά τα ψηφία είναι πριν από την υποδιαστολή) ή απορρίπτονται (εάν αυτά τα ψηφία είναι μετά την υποδιαστολή).
- εάν το πρώτο ψηφίο που ακολουθεί το δεδομένο ψηφίο είναι μικρότερο από 5, τότε το ψηφίο αυτού του ψηφίου δεν αλλάζει.
- εάν το πρώτο ψηφίο που ακολουθεί το δεδομένο ψηφίο είναι 5 ή περισσότερο, τότε το ψηφίο αυτού του ψηφίου αυξάνεται κατά ένα.
Παράδειγμα 2
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17302 στην πλησιέστερη χιλιάδα: 17000.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17378 στην πλησιέστερη εκατοντάδα: 17400.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 17378,45 σε δεκάδες: 17380.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 378,91434 στο πλησιέστερο εκατοστό: 378,91.
- Ας στρογγυλοποιήσουμε τον αριθμό 378,91534 στο πλησιέστερο εκατοστό: 378,92.
Μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε κοινό κλάσμα.
Περίπτωση 1
Ο δεκαδικός αριθμός είναι ένας τελικός δεκαδικός αριθμός.
Η μέθοδος μετατροπής φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.
Παράδειγμα 2
Έχουμε: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Μειώστε σε κοινό παρονομαστή και λάβετε:
Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Περίπτωση 2
Ένας δεκαδικός αριθμός είναι ένα άπειρο επαναλαμβανόμενο δεκαδικό.
Η μέθοδος μετασχηματισμού βασίζεται στο γεγονός ότι το περιοδικό μέρος ενός περιοδικού δεκαδικού κλάσματος μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των μελών μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.
Παράδειγμα 4
$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,74$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,01$.
Παράδειγμα 5
$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,08$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,1$.
Το άθροισμα των όρων μιας άπειρης φθίνουσας γεωμετρικής προόδου υπολογίζεται με τον τύπο $s=\frac(a)(1-q) $, όπου $a$ είναι ο πρώτος όρος και $q$ είναι ο παρονομαστής της προόδου $ \αριστερά (0
Παράδειγμα 6
Ας μετατρέψουμε το άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα $0,\left(72\right)$ σε κανονικό.
Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,72$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,01$. Παίρνουμε: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Άρα $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.
Παράδειγμα 7
Ας μετατρέψουμε το άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα $0,5\αριστερά(3\δεξιά)$ σε κανονικό.
Το πρώτο μέλος της προόδου είναι $a=0,03$, ο παρονομαστής της προόδου είναι $q=0,1$. Παίρνουμε: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 ) (30) $.
Άρα $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με σημεία στην αριθμητική γραμμή.
Σε αυτήν την περίπτωση, ονομάζουμε τον αριθμητικό άξονα μια άπειρη γραμμή στην οποία επιλέγονται η αρχή (σημείο $O$), η θετική κατεύθυνση (που υποδεικνύεται με ένα βέλος) και η κλίμακα (για την εμφάνιση τιμών).
Μεταξύ όλων των πραγματικών αριθμών και όλων των σημείων του αριθμητικού άξονα υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα: κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο αριθμό και, αντίστροφα, κάθε αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο. Επομένως, το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι συνεχές και άπειρο με τον ίδιο τρόπο που ο άξονας των αριθμών είναι συνεχής και άπειρος.
Ορισμένα υποσύνολα του συνόλου των πραγματικών αριθμών ονομάζονται αριθμητικά διαστήματα. Τα στοιχεία ενός αριθμητικού διαστήματος είναι αριθμοί $x\in R$ που ικανοποιούν μια ορισμένη ανισότητα. Έστω $a\in R$, $b\in R$ και $a\le b$. Σε αυτήν την περίπτωση, οι τύποι κενών μπορεί να είναι οι εξής:
- Διάστημα $\left(a,\; b\right)$. Ταυτόχρονα $ α
- Τμήμα $\αριστερά$. Επιπλέον, $a\le x\le b$.
- Ημι-τμήματα ή μισά διαστήματα $\left$. Ταυτόχρονα $ a \le x
- Άπειρες εκτάσεις, π.χ. $a
Μεγάλη σημασία έχει επίσης ένα είδος διαστήματος, που ονομάζεται γειτονιά ενός σημείου. Η γειτονιά ενός δεδομένου σημείου $x_(0) \στο R$ είναι ένα αυθαίρετο διάστημα $\left(a,\; b\right)$ που περιέχει αυτό το σημείο μέσα του, δηλ. $a 0$ - 10η ακτίνα.
Η απόλυτη τιμή του αριθμού
Η απόλυτη τιμή (ή συντελεστής) ενός πραγματικού αριθμού $x$ είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός $\left|x\right|$, που ορίζεται από τον τύπο: $\left|x\right|=\left\(\ start(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm on)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm on)\; \; x
Γεωμετρικά, το $\left|x\right|$ σημαίνει την απόσταση μεταξύ των σημείων $x$ και 0 στον πραγματικό άξονα.
Ιδιότητες απόλυτων τιμών:
- Από τον ορισμό προκύπτει ότι $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
- για το μέτρο του αθροίσματος και για το μέτρο της διαφοράς δύο αριθμών, οι ανισώσεις $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ αριστερά|x-y\δεξιά|\le \αριστερά|x\δεξιά|+\αριστερά|y\δεξιά|$ και επίσης $\αριστερά|x+y\δεξιά|\ge \αριστερά|x\δεξιά|-\αριστερά|y \right|$,$\ αριστερά|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
- ο συντελεστής του γινομένου και ο συντελεστής του πηλίκου δύο αριθμών ικανοποιούν τις ισότητες $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ και $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\αριστερά|x\δεξιά|)(\αριστερά|y\δεξιά|) $.
Με βάση τον ορισμό της απόλυτης τιμής για έναν αυθαίρετο αριθμό $a>0$, μπορούμε επίσης να καθορίσουμε την ισοδυναμία των ακόλουθων ζευγών ανισώσεων:
- αν $ \αριστερά|x\δεξιά|
- αν $\left|x\right|\le a$ τότε $-a\le x\le a$;
- αν $\left|x\right|>a$ τότε είτε $xa$;
- αν $\left|x\right|\ge a$, τότε είτε $x\le -a$ είτε $x\ge a$.
Παράδειγμα 8
Λύστε την ανισότητα $\left|2\cdot x+1\right|
Αυτή η ανισότητα είναι ισοδύναμη με τις ανισότητες -7 $
Από εδώ παίρνουμε: -8 $
