Herleitung der Formel für den Sinus eines Doppelwinkels. Grundformeln der Trigonometrie

– Es wird sicherlich Aufgaben zur Trigonometrie geben. Die Trigonometrie wird oft nicht gemocht, weil sie eine große Anzahl schwieriger Formeln vollstopfen muss, in denen es von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens wimmelt. Die Seite gab bereits einmal Ratschläge, wie man sich eine vergessene Formel merken kann, am Beispiel der Euler- und Peel-Formeln.

Und in diesem Artikel werden wir versuchen zu zeigen, dass es ausreicht, nur die fünf einfachsten zu kennen trigonometrische Formeln, und über den Rest haben allgemeine Idee und bring sie heraus, während du gehst. Es ist wie bei der DNA: Das Molekül speichert nicht die vollständigen Baupläne eines fertigen Lebewesens. Es enthält vielmehr Anweisungen zum Zusammenbau aus verfügbaren Aminosäuren. Also in der Trigonometrie, ich kenne einige Allgemeine Grundsätze, wir werden alle notwendigen Formeln aus einer kleinen Menge derjenigen erhalten, die im Auge behalten werden müssen.

Wir werden uns auf die folgenden Formeln verlassen:

Aus den Formeln für Sinus- und Kosinussummen erhalten wir Formeln für Differenzen, wenn wir die Parität der Kosinusfunktion und die Ungeradheit der Sinusfunktion kennen und -b anstelle von b einsetzen:

1. Sinus der Differenz: Sünde(ab) = SündeAcos(-B)+cosASünde(-B) = SündeAcosB-cosASündeB
2. Kosinus der Differenz: cos(ab) = cosAcos(-B)-SündeASünde(-B) = cosAcosB+SündeASündeB

Setzt man a = b in die gleichen Formeln ein, erhält man die Formeln für Sinus und Cosinus von Doppelwinkeln:

1. Sinus des doppelten Winkels: Sünde2a = Sünde(a+a) = SündeAcosA+cosASündeA = 2SündeAcosA
2. Kosinus des doppelten Winkels: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-SündeASündeA = cos2 a-Sünde2 a

Die Formeln für andere Mehrfachwinkel erhält man auf ähnliche Weise:

1. Sinus eines Dreifachwinkels: Sünde3a = Sünde(2a+a) = Sünde2acosA+cos2aSündeA = (2SündeAcosA)cosA+(cos2 a-Sünde2 a)SündeA = 2SündeAcos2 a+SündeAcos2 a-Sünde 3 a = 3 SündeAcos2 a-Sünde 3 a = 3 SündeA(1-Sünde2 a)-Sünde 3 a = 3 SündeA-4Sünde 3a
2. Kosinus des dreifachen Winkels: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-Sünde2aSündeA = (cos2 a-Sünde2 a)cosA-(2SündeAcosA)SündeA = cos 3 a- Sünde2 acosA-2Sünde2 acosA = cos 3 a-3 Sünde2 acosA = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA

Bevor wir fortfahren, schauen wir uns ein Problem an.
Gegeben: Der Winkel ist spitz.
Finden Sie seinen Kosinus, wenn
Lösung eines Studenten:
Weil , Das SündeA= 3,a cosA = 4.
(Aus Mathe-Humor)

Die Definition des Tangens bezieht diese Funktion also sowohl auf den Sinus als auch auf den Kosinus. Sie können jedoch eine Formel erhalten, die den Tangens nur mit dem Kosinus in Beziehung setzt. Um es abzuleiten, nehmen wir den Hauptteil trigonometrische Identität: Sünde 2 A+cos 2 A= 1 und teile es durch cos 2 A. Wir bekommen:

Die Lösung für dieses Problem wäre also:

(Da der Winkel spitz ist, wird beim Extrahieren der Wurzel das +-Zeichen verwendet)

Auch die Formel für den Tangens einer Summe ist schwer zu merken. Geben wir es so aus:

Sofort angezeigt und

Aus der Kosinusformel für einen doppelten Winkel können Sie die Sinus- und Kosinusformel für halbe Winkel erhalten. Gehen Sie dazu auf der linken Seite der Doppelwinkelkosinusformel wie folgt vor:
cos2 A = cos 2 A-Sünde 2 A
wir fügen eins hinzu und rechts - eine trigonometrische Einheit, d.h. die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus.
cos2a+1 = cos2 a-Sünde2 a+cos2 a+Sünde2 a
2cos 2 A = cos2 A+1
Ausdrücken cosA durch cos2 A und wenn wir eine Variablenänderung durchführen, erhalten wir:

Das Vorzeichen wird abhängig vom Quadranten genommen.

In ähnlicher Weise erhalten wir, wenn wir eins von der linken Seite der Gleichheit und die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus von der rechten Seite subtrahieren:
cos2a-1 = cos2 a-Sünde2 a-cos2 a-Sünde2 a
2Sünde 2 A = 1-cos2 A

Und schließlich verwenden wir die folgende Technik, um die Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt umzuwandeln. Nehmen wir an, wir müssen die Summe der Sinuswerte als Produkt darstellen SündeA+SündeB. Lassen Sie uns die Variablen x und y einführen, sodass a = x+y, b+x-y. Dann
SündeA+SündeB = Sünde(x+y)+ Sünde(x-y) = Sünde X cos y+ cos X Sünde y+ Sünde X cos y- cos X Sünde y=2 Sünde X cos j. Lassen Sie uns nun x und y durch a und b ausdrücken.

Da a = x+y, b = x-y, dann . Deshalb

Sie können sofort zurücktreten

1. Formel zur Partitionierung Produkte von Sinus und Cosinus V Menge: SündeAcosB = 0.5(Sünde(a+b)+Sünde(ab))

Wir empfehlen Ihnen, Formeln zur Umrechnung der Sinusdifferenz und der Summe und Differenz der Kosinuswerte in das Produkt sowie zur Division der Produkte aus Sinus und Kosinus in die Summe zu üben und selbst abzuleiten. Nach Abschluss dieser Übungen beherrschen Sie die Fähigkeit, trigonometrische Formeln abzuleiten, gründlich und verlieren sich auch bei der schwierigsten Prüfung, Olympiade oder Prüfung nicht.

Doppelwinkelformeln werden verwendet, um Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels mit einem Wert von 2 α mithilfe trigonometrischer Funktionen des Winkels α auszudrücken. In diesem Artikel werden alle Doppelwinkelformeln mit Beweisen vorgestellt. Beispiele für die Anwendung von Formeln werden berücksichtigt. Im letzten Teil werden die Formeln für Dreifach- und Vierfachwinkel gezeigt.

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Liste der Doppelwinkelformeln

Denken Sie beim Konvertieren von Doppelwinkelformeln daran, dass Winkel in der Trigonometrie die Form n α haben, wobei n ist natürliche Zahl, wird der Wert des Ausdrucks ohne Klammern geschrieben. Daher wird davon ausgegangen, dass die Notation sin n α die gleiche Bedeutung hat wie sin (n α). Wenn wir sin n α bezeichnen, haben wir eine ähnliche Notation (sin α) n. Die Verwendung der Notation ist auf alle trigonometrischen Funktionen mit Potenzen n anwendbar.

Unten sind die Doppelwinkelformeln:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Beachten Sie, dass diese Formeln sin und cos auf jeden Wert des Winkels α anwendbar sind. Die Doppelwinkeltangensformel gilt für jeden Wert von α, wobei t g 2 α sinnvoll ist, d. h. α ≠ π 4 + π 2 · z, z ist eine beliebige ganze Zahl. Der doppelte Winkelkotangens existiert für jedes α, wobei c t g 2 α für α ≠ π 2 z definiert ist.

Der Kosinus eines Doppelwinkels wird in der Dreifach-Doppelwinkelschreibweise angegeben. Sie sind alle anwendbar.

Beweis von Doppelwinkelformeln

Der Beweis der Formeln beginnt mit den Additionsformeln. Wenden wir die Formeln für den Sinus der Summe an:

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β und der Kosinus der Summe cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Nehmen wir an, dass β = α, dann erhalten wir das

sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α und cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - Sünde 2 α

Damit sind die Formeln für Sinus und Cosinus des Doppelwinkels sin 2 α = 2 · sin α · cos α und cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α bewiesen.

Ausruhen Cos-Formeln 2 α = 1 - 2 sin 2 α und cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 ergeben die Form cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, wenn 1 durch die Quadratsumme durch ersetzt wird Hauptidentität sin 2 α + cos 2 α = 1 . Wir erhalten, dass sin 2 α + cos 2 α = 1. Also 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α und 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.

Um die Formeln für den doppelten Winkel von Tangente und Kotangens zu beweisen, wenden wir die Gleichungen t g 2 α = sin 2 α cos 2 α und c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α an. Nach der Transformation erhalten wir, dass t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α und c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Teilen Sie den Ausdruck durch cos 2 α, wobei cos 2 α ≠ 0 mit einem beliebigen Wert von α, wenn t g α definiert ist. Wir dividieren einen anderen Ausdruck durch sin 2 α, wobei sin 2 α ≠ 0 mit beliebigen Werten von α ist, wenn c t g 2 α sinnvoll ist. Um die Doppelwinkelformel für Tangens und Kotangens zu beweisen, ersetzen wir und erhalten:

Am häufigsten gestellte Fragen

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