Tabelle der Integrale grundlegender Elementarfunktionen. Grundlegende Integrale trigonometrischer Funktionen
Definition 1
Die Stammfunktion $F(x)$ für die Funktion $y=f(x)$ auf dem Segment $$ ist eine Funktion, die an jedem Punkt dieses Segments differenzierbar ist und für deren Ableitung die folgende Gleichung gilt:
Definition 2
Die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion $y=f(x)$, die auf einem bestimmten Segment definiert ist, wird als unbestimmtes Integral einer gegebenen Funktion $y=f(x)$ bezeichnet. Das unbestimmte Integral wird durch das Symbol $\int f(x)dx $ bezeichnet.
Aus der Ableitungstabelle und Definition 2 erhalten wir die Tabelle der Basisintegrale.
Beispiel 1
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 7 anhand der Integraltabelle:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) =tgx\]
Beispiel 2
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 8 anhand der Integraltabelle:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Es stellte sich heraus, dass die Ableitung gleich dem Integranden war. Daher ist die Formel korrekt.
Beispiel 3
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 11" anhand der Integraltabelle:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Es stellte sich heraus, dass die Ableitung gleich dem Integranden war. Daher ist die Formel korrekt.
Beispiel 4
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 12 anhand der Integraltabelle:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=const.\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Die Ableitung erwies sich als gleich dem Integranden. Daher ist die Formel korrekt.
Beispiel 5
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 13" anhand der Integraltabelle:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Es stellte sich heraus, dass die Ableitung gleich dem Integranden war. Daher ist die Formel korrekt.
Beispiel 6
Überprüfen Sie die Gültigkeit der Formel 14 anhand der Integraltabelle:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C ,\, \, C=const.\]
Differenzieren wir die rechte Seite: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\ frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt( x^(2) \pm a^(2) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Es stellte sich heraus, dass die Ableitung gleich dem Integranden war. Daher ist die Formel korrekt.
Beispiel 7
Finden Sie das Integral:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Verwenden wir den Summenintegralsatz:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Verwenden wir den Satz über die Platzierung eines konstanten Faktors außerhalb des Integralzeichens:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Nach der Integraltabelle:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Bei der Berechnung des ersten Integrals verwenden wir Regel 3:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Somit,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Lassen Sie uns die Integrale elementarer Funktionen auflisten, die manchmal tabellarisch genannt werden:
Jede der oben genannten Formeln kann durch Ableitung der rechten Seite bewiesen werden (das Ergebnis ist der Integrand).
Integrationsmethoden
Schauen wir uns einige grundlegende Integrationsmethoden an. Dazu gehören:
1. Zerlegungsmethode(direkte Integration).
Diese Methode basiert auf der direkten Anwendung tabellarischer Integrale sowie auf der Anwendung der Eigenschaften 4 und 5 des unbestimmten Integrals (d. h. Herausnehmen des konstanten Faktors und/oder Darstellung des Integranden als Summe von Funktionen – Zerlegung des). Integrand in Begriffe).
Beispiel 1. Um beispielsweise(dx/x 4) zu finden, können Sie direkt das Tabellenintegral fürx n dx verwenden. Tatsächlich ist(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an.
Beispiel 2. Um es zu finden, verwenden wir dasselbe Integral:
Beispiel 3. Um es zu finden, müssen Sie es nehmen
Beispiel 4. Um es zu finden, stellen wir die Integrandenfunktion in der Form dar 
und verwenden Sie das Tabellenintegral für die Exponentialfunktion:
Betrachten wir die Verwendung der Klammerung als konstanten Faktor.
Beispiel 5.
Finden wir zum Beispiel 
. Wenn man das bedenkt, bekommen wir
Beispiel 6. Wir werden es finden. Seit 
, verwenden wir das Tabellenintegral 
Wir bekommen
In den folgenden beiden Beispielen können Sie auch Klammerungen und Tabellenintegrale verwenden:
Beispiel 7.
(wir verwenden und 
);
Beispiel 8.
(wir verwenden 
Und 
).
Schauen wir uns komplexere Beispiele an, die das Summenintegral verwenden.
Beispiel 9. Lassen Sie uns zum Beispiel finden 
. Um die Erweiterungsmethode im Zähler anzuwenden, verwenden wir die Summenwürfelformel und dividieren dann das resultierende Polynom Term für Term durch den Nenner.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Es ist zu beachten, dass am Ende der Lösung eine gemeinsame Konstante C geschrieben wird (und nicht getrennte Konstanten bei der Integration jedes Termes). Zukünftig wird auch vorgeschlagen, die Konstanten aus der Integration einzelner Terme im Lösungsprozess wegzulassen, solange der Ausdruck mindestens ein unbestimmtes Integral enthält (wir werden eine Konstante am Ende der Lösung schreiben).
Beispiel 10. Wir werden finden 
. Um dieses Problem zu lösen, faktorisieren wir den Zähler (danach können wir den Nenner reduzieren).
Beispiel 11. Wir werden es finden. Hier können trigonometrische Identitäten verwendet werden.
Um einen Ausdruck in Begriffe zu zerlegen, müssen manchmal komplexere Techniken angewendet werden.
Beispiel 12. Wir werden finden 
. Im Integranden wählen wir den ganzen Teil des Bruchs aus 
. Dann
Beispiel 13. Wir werden finden
2. Variablenersetzungsmethode (Substitutionsmethode)
Die Methode basiert auf der folgenden Formel: f(x)dx=f((t))`(t)dt, wobei x =(t) eine Funktion ist, die im betrachteten Intervall differenzierbar ist.
Nachweisen. Finden wir die Ableitungen nach der Variablen t auf der linken und rechten Seite der Formel.
Beachten Sie, dass es auf der linken Seite eine komplexe Funktion gibt, deren Zwischenargument x = (t) ist. Um es also nach t zu differenzieren, differenzieren wir zunächst das Integral nach x und bilden dann die Ableitung des Zwischenarguments nach t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Ableitung von der rechten Seite:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Da diese Ableitungen gleich sind, unterscheiden sich die linke und rechte Seite der zu beweisenden Formel entsprechend dem Satz von Lagrange um eine bestimmte Konstante. Da die unbestimmten Integrale selbst bis auf einen unbestimmten konstanten Term definiert sind, kann diese Konstante in der endgültigen Notation weggelassen werden. Bewährt.
Eine erfolgreiche Variablenänderung ermöglicht es Ihnen, das ursprüngliche Integral zu vereinfachen und im einfachsten Fall auf ein tabellarisches zu reduzieren. Bei der Anwendung dieser Methode wird zwischen linearen und nichtlinearen Substitutionsverfahren unterschieden.
a) Lineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel 1.
. Dann sei t= 1 – 2x
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Es ist zu beachten, dass die neue Variable nicht explizit ausgeschrieben werden muss. In solchen Fällen spricht man von der Transformation einer Funktion unter dem Differentialzeichen oder von der Einführung von Konstanten und Variablen unter dem Differentialzeichen, d. h. O impliziter Variablenersatz.
Beispiel 2. Lassen Sie uns zum Beispiel cos(3x + 2)dx finden. Aufgrund der Eigenschaften des Differentials dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), danncos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
In beiden betrachteten Beispielen wurde die lineare Substitution t=kx+b(k0) verwendet, um die Integrale zu finden.
Im allgemeinen Fall gilt der folgende Satz.
Linearer Substitutionssatz. Sei F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x). Dannf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, wobei k und b einige Konstanten sind,k0.
Nachweisen.
Nach Definition des Integrals f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Nehmen wir den konstanten Faktor k aus dem Integralzeichen: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Nun können wir die linke und rechte Seite der Gleichheit in zwei Teile teilen und erhalten die zu beweisende Aussage bis zur Bezeichnung des konstanten Termes.
Dieser Satz besagt, dass, wenn wir in der Definition des Integrals f(x)dx= F(x) + C anstelle des Arguments x den Ausdruck (kx+b) ersetzen, dies zum Erscheinen eines Zusatzes führt Faktor 1/k vor der Stammfunktion.
Mit dem bewährten Satz lösen wir die folgenden Beispiele.
Beispiel 3.
Wir werden finden 
. Hier ist kx+b= 3 –x, also k= -1,b= 3. Dann
Beispiel 4.
Wir werden es finden. Herekx+b= 4x+ 3, d. h. k= 4,b= 3. Dann
Beispiel 5.
Wir werden finden 
. Hier kx+b= -2x+ 7, d. h. k= -2,b= 7. Dann
.
Beispiel 6. Wir werden finden 
. Hier ist kx+b= 2x+ 0, also k= 2,b= 0.
.
Vergleichen wir das erhaltene Ergebnis mit Beispiel 8, das mit der Zerlegungsmethode gelöst wurde. Indem wir das gleiche Problem mit einer anderen Methode lösten, bekamen wir die Antwort 
. Vergleichen wir die Ergebnisse: Somit unterscheiden sich diese Ausdrücke durch einen konstanten Term voneinander 
, d.h. Die eingegangenen Antworten widersprechen sich nicht.
Beispiel 7. Wir werden finden 
. Wählen wir im Nenner ein perfektes Quadrat aus.
In manchen Fällen reduziert die Änderung einer Variablen das Integral nicht direkt auf ein tabellarisches Integral, kann aber die Lösung vereinfachen, sodass die Erweiterungsmethode in einem späteren Schritt verwendet werden kann.
Beispiel 8. Lassen Sie uns zum Beispiel finden 
. Ersetze t=x+ 2, dann dt=d(x+ 2) =dx. Dann
,
wobei C = C 1 – 6 (wenn wir den Ausdruck (x+ 2) anstelle der ersten beiden Terme ersetzen, erhalten wir ½x 2 -2x– 6).
Beispiel 9. Wir werden finden 
. Sei t= 2x+ 1, dann dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Ersetzen wir t durch den Ausdruck (2x+ 1), öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Werte an.
Beachten Sie, dass wir im Prozess der Transformationen zu einem anderen konstanten Term übergegangen sind, weil Die Gruppe der konstanten Terme könnte während des Transformationsprozesses weggelassen werden.
b) Nichtlineare Substitutionsmethode Schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel 1.
. Lett= -x 2. Als nächstes könnte man x durch t ausdrücken, dann einen Ausdruck für dx finden und eine Änderung der Variablen im gewünschten Integral implementieren. Aber in diesem Fall ist es einfacher, die Dinge anders zu machen. Finden wir dt=d(-x 2) = -2xdx. Beachten Sie, dass der Ausdruck xdx ein Faktor des Integranden des gewünschten Integrals ist. Drücken wir es aus der resultierenden Gleichheit ausxdx= - ½dt. Dann
Ausnutzen der Tatsache, dass Integration die umgekehrte Wirkung der Differenzierung ist. Es ist möglich, eine Tabelle der Grundintegrale zu erhalten, indem man die entsprechenden Formeln der Differentialrechnung (Differentialtabelle) umkehrt und die Eigenschaften des unbestimmten Integrals nutzt. Zum Beispiel, Weil
D(Sünde u) = cos u*du, dann wird die Ableitung einer Reihe von Formeln in der Tabelle angegeben, wenn die grundlegenden Methoden der Integration betrachtet werden.
Die Integrale in der folgenden Tabelle werden aufgerufen tabellarisch. Sie sollten auswendig bekannt sein. In der Integralrechnung gibt es keine einfachen und universellen Regeln zum Finden von Stammfunktionen elementarer Funktionen wie in der Differentialrechnung. Methoden zum Finden von Stammfunktionen (d. h. zum Integrieren einer Funktion) werden auf die Angabe von Techniken reduziert, die ein gegebenes (gesuchtes) Integral in ein tabellarisches Integral bringen. Daher ist es notwendig, Tabellenintegrale zu kennen und erkennen zu können.
Beachten Sie, dass in der Tabelle der Basisintegrale die Integrationsvariable sowohl eine unabhängige Variable als auch eine Funktion der unabhängigen Variablen bezeichnen kann (gemäß der Invarianzeigenschaft der Integrationsformel).
Die Gültigkeit der folgenden Formeln kann überprüft werden, indem das Differential auf der rechten Seite genommen wird, das gleich dem Integranden auf der linken Seite der Formel ist.
Beweisen wir zum Beispiel die Gültigkeit der Formel 2. Funktion 1/ u definiert und stetig für alle Werte u, verschieden von Null.
Wenn u> 0. dann ln | u| = Protokoll u, Dann D ln | u| = D ln u = du/u. Deshalb 
Tabelle der Grundintegrale 
In der Schule gelingt es vielen Menschen nicht, Integrale zu lösen oder sie haben Schwierigkeiten damit. Dieser Artikel wird Ihnen dabei helfen, es herauszufinden, da Sie darin alles finden. Integrale Tabellen.
Integral ist eine der wichtigsten Berechnungen und Konzepte in der mathematischen Analyse. Sein Erscheinen erfolgte aus zwei Gründen:
Erstes Tor- Stellen Sie eine Funktion mithilfe ihrer Ableitung wieder her.
Zweites Tor- Berechnung der Fläche im Abstand vom Diagramm zur Funktion f(x) auf der Geraden, wobei a größer oder gleich x größer oder gleich b und der x-Achse ist.
Diese Ziele führen uns zu bestimmten und unbestimmten Integralen. Der Zusammenhang zwischen diesen Integralen liegt in der Suche nach Eigenschaften und der Berechnung. Aber alles fließt und alles verändert sich im Laufe der Zeit, neue Lösungen wurden gefunden, Ergänzungen identifiziert und führten so bestimmte und unbestimmte Integrale zu anderen Formen der Integration.
Was ist passiert unbestimmtes Integral du fragst. Dies ist eine Stammfunktion F(x) einer Variablen x im Intervall a größer als x größer als b. heißt jede Funktion F(x), in einem gegebenen Intervall für jede Bezeichnung x ist die Ableitung gleich F(x). Es ist klar, dass F(x) eine Stammfunktion für f(x) im Intervall a ist größer als x ist größer als b. Das bedeutet F1(x) = F(x) + C. C – ist eine beliebige Konstante und Stammfunktion für f(x) in einem gegebenen Intervall. Diese Aussage ist invertierbar; für die Funktion f(x) - 2 unterscheiden sich die Stammfunktionen nur in der Konstante. Basierend auf dem Satz der Integralrechnung stellt sich heraus, dass jede Stetigkeit im Intervall a
Bestimmtes Integral wird als Grenzwert in ganzzahligen Summen verstanden, oder in der Situation einer gegebenen Funktion f(x), die auf einer Geraden (a,b) definiert ist und auf der sich eine Stammfunktion F befindet, also die Differenz ihrer Ausdrücke an den Enden einer gegebenen Geraden F(b) - F(a).
Um das Studium dieses Themas zu veranschaulichen, schlage ich vor, das Video anzusehen. Es erklärt ausführlich und zeigt, wie man Integrale findet.
Jede Integraltabelle für sich ist sehr nützlich, da sie bei der Lösung eines bestimmten Integraltyps hilft.
Alle möglichen Arten von Schreibwaren und mehr. Sie können es über den Online-Shop v-kant.ru kaufen. Oder folgen Sie einfach dem Link Stationery Samara (http://v-kant.ru), die Qualität und die Preise werden Sie angenehm überraschen.
