C 14 ist die arithmetische Quadratwurzel. Wurzelformeln
Fakt 1.
\(\bullet\) Nehmen wir eine nichtnegative Zahl \(a\) (das heißt \(a\geqslant 0\) ). Dann (Arithmetik) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) nennt man eine solche nichtnegative Zahl \(b\), quadriert erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(same as )\quad a=b^2\] Aus der Definition ergibt sich das \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Voraussetzung Existenz Quadratwurzel und sie sollten in Erinnerung bleiben!
Denken Sie daran, dass jede quadrierte Zahl ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) gleich? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nichtnegative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, daher gilt \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Den Wert von \(\sqrt a\) zu ermitteln, nennt man Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) , und die Zahl \(a\) nennt man Wurzelausdruck.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition, dem Ausdruck \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) usw. ergibt keinen Sinn.
Fakt 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Quadrattabelle zu lernen natürliche Zahlen von \(1\) bis \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fakt 3.
Welche Operationen können Sie mit Quadratwurzeln durchführen?
\(\Kugel\) Summe oder Differenz Quadratwurzeln NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte von \(\sqrt(25)\) und \(\ sqrt(49)\ ) und falten Sie sie dann. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Können bei der Addition von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter transformiert und bleibt so wie er ist. Beispielsweise können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) feststellen, dass \(\sqrt(49)\) \(7\) ist, aber \(\sqrt 2\) kann nicht in umgewandelt werden Wie auch immer, Deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Leider kann dieser Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden\(\bullet\) Das Produkt/Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d. h \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (vorausgesetzt, dass beide Seiten der Gleichheiten Sinn ergeben)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Mithilfe dieser Eigenschaften ist es praktisch, die Quadratwurzeln von zu finden große Zahlen
indem man sie faktorisiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Gemäß dem Kriterium der Teilbarkeit ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da die Summe ihrer Ziffern 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\), das heißt, \(441=9\ cdot 49\) . So bekamen wir:\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an:
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \
\(\bullet\) Lassen Sie uns am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) zeigen, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt (Kurzschreibweise für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\)). Da \(5=\sqrt(25)\) , dann
Beachten Sie auch, dass z. B.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Warum ist das so? Erklären wir es anhand von Beispiel 1). Wie Sie bereits verstehen, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie umwandeln. Stellen wir uns vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\)). Und wir wissen, dass dies vier solchen Zahlen \(a\) entspricht, also \(4\sqrt2\) .
Fakt 4.
\(\bullet\) Sie sagen oft „Sie können die Wurzel nicht extrahieren“, wenn Sie das Vorzeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Radikal) nicht entfernen können, wenn Sie den Wert einer Zahl ermitteln . Beispielsweise können Sie die Wurzel der Zahl \(16\) ziehen, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber es ist unmöglich, die Wurzel der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, weil es keine Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt. Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen\(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)
Ebenfalls irrational sind die Zahlen \(\pi\) (die Zahl „pi“, ungefähr gleich \(3,14\)), \(e\) (diese Zahl wird Euler-Zahl genannt, sie ist ungefähr gleich \(2,7). \)) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational sein kann. Und zusammen sind alle rational und alles irrationale Zahlen bilden eine Menge namens eine Menge reeller Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Das bedeutet, dass alle Zahlen, die wir derzeit kennen, reelle Zahlen heißen.
Fakt 5.
\(\bullet\) Der Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der echte Linie. Zum Beispiel sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann ist \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) . Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Sie sagen, dass bei negativen Zahlen der Modul das Minus „frisst“, während positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) vom Modul unverändert bleiben. ABER Diese Regel gilt nur für Zahlen. Wenn unter Ihrem Modulzeichen ein unbekanntes \(x\) (oder ein anderes Unbekanntes) steht, zum Beispiel \(|x|\) , von dem wir nicht wissen, ob es positiv, null oder negativ ist, dann entfernen Sie es des Moduls können wir nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck derselbe: \(|x|\) .\(\bullet\) Es gelten die folgenden Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Sehr oft wird der folgende Fehler gemacht: Man sagt, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) ein und dasselbe seien. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist dies falsch. Es genügt, dieses Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\) . Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (schließlich Es ist unmöglich, das Wurzelzeichen für negative Zahlen zu verwenden!). Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel: 1)<0\)
;
\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , Weil \(-\sqrt2
Das heißt, wenn man die Wurzel einer Zahl zieht, die bis zu einem gewissen Grad ist, wird dieser Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (Beachten Sie, dass sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25\) ist, wenn das Modul nicht angegeben wird. ) ; aber wir erinnern uns, dass dies per Definition einer Wurzel nicht passieren kann: Wenn wir eine Wurzel ziehen, sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl zu einer geraden Potenz nicht negativ ist)
Fakt 6.
Wie vergleiche ich zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Für Quadratwurzeln gilt: if \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) Vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Lassen Sie uns zunächst den zweiten Ausdruck in umwandeln \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Da \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\)?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Vergleichen wir \(\sqrt 2-1\) und \(0.5\) . Nehmen wir an, dass \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((einen auf beiden Seiten hinzufügen))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((beide Seiten quadrieren))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl zu beiden Seiten der Ungleichung das Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl hat ebenfalls keinen Einfluss auf deren Vorzeichen, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Sie können beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung NUR dann quadrieren, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Beispielsweise kann man in der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel beide Seiten quadrieren, in der Ungleichung \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Daran sollte man sich erinnern \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, wird Ihnen beim Zahlenvergleich helfen!
\(\bullet\) Um die Wurzel aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle enthalten ist (sofern sie extrahiert werden kann), müssen Sie zunächst bestimmen, zwischen welchen „Hundertern“ sie liegt, und dann – zwischen welchen „ Zehner“ und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das funktioniert.
Bestimmen wir nun, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also zum Beispiel zwischen \(120\) und \(130\)). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen quadriert am Ende \(4\) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns dies überprüfen. Finden wir \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Daher ist \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
Um das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik adäquat zu lösen, müssen Sie zunächst theoretisches Material studieren, das Sie in zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. einführt. Auf den ersten Blick scheint dies recht einfach zu sein. Tatsächlich ist es jedoch eine ziemlich schwierige Aufgabe, eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende aller Ausbildungsniveaus einfach und verständlich dargestellt wird. Schulbücher können nicht immer griffbereit sein. Und selbst im Internet kann es schwierig sein, Grundformeln für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik zu finden.
Warum ist das Studium der Mathematiktheorie nicht nur für Absolventen des Einheitlichen Staatsexamens so wichtig?
- Weil es Ihren Horizont erweitert. Das Studium theoretischer Materialien in der Mathematik ist für jeden nützlich, der Antworten auf eine Vielzahl von Fragen im Zusammenhang mit dem Wissen über die Welt um ihn herum erhalten möchte. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
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Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Lehrmaterialien persönlich zu bewerten.
Was ist eine Quadratwurzel?
Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)
Dieses Konzept ist sehr einfach. Natürlich würde ich sagen. Mathematiker versuchen, für jede Aktion eine Reaktion zu finden. Es gibt Addition – es gibt auch Subtraktion. Es gibt Multiplikation – es gibt auch Division. Es gibt Quadrieren... Das gibt es auch Ziehe die Quadratwurzel! Das ist es. Diese Aktion ( Quadratwurzel) wird in der Mathematik durch dieses Symbol angezeigt:
Das Symbol selbst wird als schönes Wort bezeichnet. Radikale".
Wie extrahiere ich die Wurzel? Es ist besser anzuschauen Beispiele.
Was ist die Quadratwurzel von 9? Welche Zahl im Quadrat ergibt 9? 3 zum Quadrat ergibt 9! Diese:
Aber was ist die Quadratwurzel aus Null? Keine Frage! Welche Zahl im Quadrat ergibt Null? Ja, es gibt Null! Bedeutet:
Habe es, Was ist Quadratwurzel? Dann überlegen wir Beispiele:
Antworten (in Unordnung): 6; 1; 4; 9; 5.
Entschieden? Wirklich, wie viel einfacher ist das?!
Aber... Was macht ein Mensch, wenn er eine Aufgabe mit Wurzeln sieht?
Ein Mensch beginnt traurig zu werden... Er glaubt nicht an die Einfachheit und Leichtigkeit seiner Wurzeln. Obwohl er es zu wissen scheint Was ist Quadratwurzel?...
Dies liegt daran, dass die Person beim Studium der Wurzeln mehrere wichtige Punkte ignoriert hat. Dann rächen sich diese Modeerscheinungen grausam an Tests und Prüfungen ...
Punkt eins. Man muss die Wurzeln am Sehen erkennen!
Was ist die Quadratwurzel von 49? Sieben? Rechts! Woher wussten Sie, dass es sieben war? Sieben quadriert und 49 erhalten? Rechts! Bitte beachten Sie das Extrahieren Sie die Wurzel Von 49 mussten wir den umgekehrten Vorgang durchführen – Quadrat 7! Und stellen Sie sicher, dass wir es nicht verpassen. Oder sie hätten es verpassen können...
Das ist die Schwierigkeit Wurzelextraktion. Quadrat Sie können problemlos jede beliebige Rufnummer nutzen. Eine Zahl mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren – das ist alles. Aber für Wurzelextraktion Es gibt keine so einfache und ausfallsichere Technologie. Wir müssen abholen Beantworten Sie die Antwort und überprüfen Sie, ob sie richtig ist, indem Sie sie quadrieren.
Dieser komplexe kreative Prozess – die Auswahl einer Antwort – wird erheblich vereinfacht, wenn Sie erinnern Quadrate beliebter Zahlen. Wie eine Multiplikationstabelle. Wenn Sie beispielsweise 4 mit 6 multiplizieren müssen, addieren Sie doch nicht viermal 6, oder? Die Antwort 24 fällt sofort auf, obwohl sie nicht jeder versteht, ja ...
Um frei und erfolgreich mit Wurzeln arbeiten zu können, reicht es aus, die Quadrate der Zahlen von 1 bis 20 zu kennen Dort Und zurück. Diese. Sie sollten in der Lage sein, beispielsweise sowohl 11 zum Quadrat als auch die Quadratwurzel von 121 problemlos aufzusagen. Um dieses Auswendiglernen zu erreichen, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, die Quadrattabelle zu lernen. Dies wird eine große Hilfe bei der Lösung von Beispielen sein. Die zweite besteht darin, weitere Beispiele zu lösen. Dies wird Ihnen sehr helfen, sich an die Quadrattabelle zu erinnern.
Und keine Taschenrechner! Nur zu Testzwecken. Sonst wird man während der Prüfung gnadenlos langsamer...
Also, Was ist Quadratwurzel? Und wie Wurzeln extrahieren- Ich denke, es ist klar. Jetzt wollen wir herausfinden, WAS wir daraus extrahieren können.
Punkt zwei. Root, ich kenne dich nicht!
Aus welchen Zahlen kann man Quadratwurzeln ziehen? Ja, fast alle. Es ist einfacher zu verstehen, woher es kommt es ist verboten Extrahieren Sie sie.
Versuchen wir, diese Wurzel zu berechnen:
Dazu müssen wir eine Zahl wählen, deren Quadrat -4 ergibt. Wir wählen aus.
Was, es passt nicht? 2 2 ergibt +4. (-2) 2 ergibt wieder +4! Das ist alles... Es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben! Obwohl ich diese Zahlen kenne. Aber ich werde es dir nicht sagen). Gehen Sie aufs College und Sie werden es selbst herausfinden.
Die gleiche Geschichte wird mit jeder negativen Zahl passieren. Daher die Schlussfolgerung:
Ein Ausdruck, in dem unter dem Quadratwurzelzeichen eine negative Zahl steht - macht keinen Sinn! Dies ist eine verbotene Operation. Es ist ebenso verboten wie die Division durch Null. Merken Sie sich diese Tatsache genau! Oder mit anderen Worten:
Aus negativen Zahlen kann man keine Quadratwurzeln ziehen!
Aber von allen anderen ist es möglich. Eine Berechnung ist zum Beispiel durchaus möglich
Auf den ersten Blick ist das sehr schwierig. Brüche auswählen und quadrieren ... Keine Sorge. Wenn wir die Eigenschaften von Wurzeln verstehen, werden solche Beispiele auf die gleiche Quadrattabelle reduziert. Das Leben wird einfacher!
Okay, Brüche. Aber wir stoßen immer noch auf Ausdrücke wie:
Es ist in Ordnung. Alles ist gleich. Die Quadratwurzel aus zwei ist die Zahl, die quadriert zwei ergibt. Nur ist diese Zahl völlig ungerade... Hier ist sie:
Das Interessante ist, dass dieser Bruch nie endet... Solche Zahlen nennt man irrational. Bei Quadratwurzeln kommt dies am häufigsten vor. Aus diesem Grund werden übrigens Ausdrücke mit Wurzeln aufgerufen irrational. Es ist klar, dass es unbequem ist, ständig einen solchen unendlichen Bruch zu schreiben. Deshalb belassen sie es statt eines unendlichen Bruchs so:
Wenn Sie beim Lösen eines Beispiels am Ende auf etwas stoßen, das nicht extrahiert werden kann, wie zum Beispiel:
dann lassen wir es so. Das wird die Antwort sein.
Sie müssen klar verstehen, was die Symbole bedeuten
Natürlich, wenn die Wurzel der Zahl gezogen wird glatt, das musst du tun. Die Antwort auf die Aufgabe steht zum Beispiel im Formular
Eine ziemlich vollständige Antwort.
Und natürlich müssen Sie die ungefähren Werte aus dem Gedächtnis kennen:
Dieses Wissen hilft sehr, die Situation bei komplexen Aufgaben einzuschätzen.
Punkt drei. Das Schlaueste.
Die größte Verwirrung bei der Arbeit mit Wurzeln wird durch diesen Punkt verursacht. Er ist es, der Vertrauen in seine eigenen Fähigkeiten gibt... Lassen Sie uns diesen Punkt richtig behandeln!
Ziehen wir zunächst noch einmal die Quadratwurzel aus vier davon. Habe ich dich schon mit dieser Wurzel belästigt?) Egal, jetzt wird es interessant!
Welche Zahl ergibt 4 im Quadrat? Na ja, zwei, zwei – ich höre unzufriedene Antworten...
Rechts. Zwei. Aber auch minus zwei ergibt 4 zum Quadrat... In der Zwischenzeit die Antwort
richtig und die Antwort
grober Fehler. So was.
Also, was ist los?
Tatsächlich ist (-2) 2 = 4. Und unter der Definition der Quadratwurzel aus vier minus zwei durchaus geeignet... Dies ist auch die Quadratwurzel aus vier.
Aber! Im schulischen Mathematikunterricht ist es üblich, Quadratwurzeln zu berücksichtigen nur nicht negative Zahlen! Das heißt, Null und alle sind positiv. Sogar ein spezieller Begriff wurde erfunden: aus der Mitte A- Das nicht negativ Zahl, deren Quadrat ist A. Negative Ergebnisse beim Ziehen einer arithmetischen Quadratwurzel werden einfach verworfen. In der Schule ist alles Quadratwurzeln - Arithmetik. Obwohl dies nicht besonders erwähnt wird.
Okay, das ist verständlich. Noch besser ist es, sich nicht mit negativen Ergebnissen herumzuärgern... Das ist noch keine Verwirrung.
Verwirrung beginnt beim Lösen quadratischer Gleichungen. Beispielsweise müssen Sie die folgende Gleichung lösen.
Die Gleichung ist einfach, wir schreiben die Antwort (wie gelehrt):
Diese Antwort (übrigens absolut richtig) ist nur eine Kurzfassung zwei Antworten:
Hör auf, hör auf! Direkt oben habe ich geschrieben, dass die Quadratwurzel eine Zahl ist Stets nicht negativ! Und hier ist eine der Antworten: Negativ! Störung. Dies ist das erste (aber nicht das letzte) Problem, das Misstrauen gegenüber den Wurzeln hervorruft... Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Schreiben wir die Antworten (nur zum Verständnis!) so auf:
Die Klammern ändern nichts am Kern der Antwort. Ich habe es einfach durch Klammern getrennt Zeichen aus Wurzel. Jetzt können Sie deutlich erkennen, dass die Wurzel selbst (in Klammern) immer noch eine nicht negative Zahl ist! Und die Zeichen sind Ergebnis der Lösung der Gleichung. Schließlich müssen wir beim Lösen einer Gleichung schreiben Alle Xs, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, das richtige Ergebnis liefern. Die Wurzel aus fünf (positiv!) mit einem Plus und einem Minus passt in unsere Gleichung.
So was. Wenn du Ziehen Sie einfach die Quadratwurzel von allem, du Stets du bekommst eins nicht negativ Ergebnis. Zum Beispiel:
Denn es ist – arithmetische Quadratwurzel.
Aber wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen, wie zum Beispiel:
Das Stets es stellt sich heraus zwei Antwort (mit Plus und Minus):
Denn das ist die Lösung der Gleichung.
Hoffnung, Was ist Quadratwurzel? Sie haben Ihre Argumente klar dargelegt. Nun gilt es herauszufinden, was man mit den Wurzeln machen kann und welche Eigenschaften sie haben. Und was sind die Punkte und Fallstricke... sorry, Steine!)
All dies finden Sie in den folgenden Lektionen.
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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)
Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Die Mathematik entstand, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch, die Umgebung zu messen, zu vergleichen und zu zählen, ist eine der Grundwissenschaften unserer Zeit. Zunächst handelte es sich dabei um Teilchen der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verknüpfen, später wurden die Schlussfolgerungen (aufgrund ihrer Abstraktheit) nur noch theoretisch präsentiert, doch nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: „ Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen daraus verschwanden.“ Das Konzept der „Quadratwurzel“ entstand zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.
Wo alles begann
Die erste Erwähnung der Wurzel, die heute als √ bezeichnet wird, erfolgte in den Werken babylonischer Mathematiker, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich hatten sie wenig Ähnlichkeit mit der heutigen Form – Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zunächst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. Chr. e. Sie leiteten eine ungefähre Berechnungsformel ab, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, auf dem babylonische Wissenschaftler den Prozess zur Ableitung von √2 eingraviert haben, und er erwies sich als so korrekt, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle festgestellt wurde.
Darüber hinaus wurde die Wurzel verwendet, wenn es darum ging, eine Seite eines Dreiecks zu finden, sofern die beiden anderen bekannt waren. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.
Neben den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels auch im chinesischen Werk „Mathematik in neun Büchern“ untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen werden kann, ein irrationales Ergebnis liefert .
Der Ursprung dieses Begriffs ist mit der arabischen Zahlendarstellung verbunden: Antike Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer willkürlichen Zahl wie eine Pflanze aus einer Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (man kann ein Muster verfolgen – alles, was eine „Wurzel“-Bedeutung hat, ist ein Konsonant, sei es Rettich oder Radikulitis).
Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um beispielsweise anzuzeigen, dass die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl a gezogen wurde, schrieb man im 15. Jahrhundert R 2 a. Die dem modernen Auge bekannte „Zecke“ erschien erst im 17. Jahrhundert dank Rene Descartes.
Unsere Tage
Mathematisch ausgedrückt ist die Quadratwurzel einer Zahl y die Zahl z, deren Quadrat gleich y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. Diese Definition ist jedoch nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten: √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.
Im Allgemeinen gilt, was für die Bestimmung einer algebraischen Wurzel gilt, dass der Wert des Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein kann. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, gilt also: √y=±z oder √y=|z|.
Aufgrund der Tatsache, dass die Liebe zur Mathematik mit der Entwicklung der Naturwissenschaften nur zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Zuneigung zu ihr, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Neben so interessanten Phänomenen wie dem Pi-Tag werden beispielsweise auch Quadratwurzel-Feiertage gefeiert. Sie werden alle hundert Jahre neunmal gefeiert und nach folgendem Prinzip ermittelt: Die Zahlen, die in der Reihenfolge Tag und Monat angeben, müssen der Quadratwurzel des Jahres entsprechen. Das nächste Mal, dass wir diesen Feiertag feiern, ist der 4. April 2016.
Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Feld R
Fast alle mathematischen Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist, ist diesem Schicksal nicht entgangen.
Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?
Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Die einfachste, aber gleichzeitig recht umständliche, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:
1) Von der Zahl, deren Wurzel wir benötigen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert – bis der Rest am Ausgang kleiner als die subtrahierte Eins oder sogar gleich Null ist. Die Anzahl der Züge wird letztendlich zur gewünschten Anzahl werden. Berechnen Sie beispielsweise die Quadratwurzel von 25:
Die nächste ungerade Zahl ist 11, der Rest ist: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Für solche Fälle gibt es eine Taylor-Reihenentwicklung:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt
+∞ und |y|≤1.
Grafische Darstellung der Funktion z=√y
Betrachten Sie die Elementarfunktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Sein Zeitplan sieht folgendermaßen aus:
Die Kurve wächst vom Ursprung aus und schneidet notwendigerweise den Punkt (1; 1).
Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R
1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).
2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist wieder enthalten).
3. Die Funktion nimmt ihren Minimalwert (0) nur am Punkt (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.
4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.
5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.
6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).
7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch der Nullpunkt dieser Funktion.
8. Die Funktion z=√y wächst kontinuierlich.
9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.
Optionen zur Darstellung der Funktion z=√y
Um die Berechnung komplexer Ausdrücke zu erleichtern, wird in der Mathematik manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differentiation mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel als gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.
Und in der Programmierung wird das Symbol √ durch die Buchstabenkombination sqrt ersetzt.
Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten für Berechnungen erforderlichen geometrischen Formeln ist. Der Zählalgorithmus selbst ist recht komplex und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).
Quadratwurzel im komplexen Körper C
Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Körpers der komplexen Zahlen C anregte, da Mathematiker von der Frage heimgesucht wurden, wie man eine gerade Wurzel einer negativen Zahl erhält. So entstand die imaginäre Einheit i, die durch eine sehr interessante Eigenschaft gekennzeichnet ist: Ihr Quadrat ist -1. Dadurch konnten quadratische Gleichungen auch mit einer negativen Diskriminante gelöst werden. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Einschränkungen für den Radikalausdruck aufgehoben werden.
Studenten fragen immer: „Warum kann ich in der Matheprüfung keinen Taschenrechner verwenden?“ Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne Taschenrechner? Versuchen wir, diese Frage zu beantworten.
Wie zieht man die Quadratwurzel einer Zahl ohne die Hilfe eines Taschenrechners?
Aktion Quadratwurzel umgekehrt zum Quadrieren.
√81= 9 9 2 =81
Wenn Sie die Quadratwurzel einer positiven Zahl ziehen und das Ergebnis quadrieren, erhalten Sie dieselbe Zahl.
Aus kleinen Zahlen, die exakte Quadrate natürlicher Zahlen sind, zum Beispiel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, können Quadratwurzeln mündlich gezogen werden. Normalerweise unterrichten sie in der Schule eine Tabelle mit Quadraten natürlicher Zahlen bis zwanzig. Wenn man diese Tabelle kennt, ist es einfach, Quadratwurzeln aus den Zahlen 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 zu ziehen. Aus Zahlen größer als 400 können Sie sie mit der Auswahlmethode ziehen, indem Sie einige Tipps beachten. Versuchen wir, diese Methode anhand eines Beispiels zu betrachten.
Beispiel: Extrahieren Sie die Wurzel der Zahl 676.
Wir stellen fest, dass 20 2 = 400 und 30 2 = 900, was 20 bedeutet< √676 < 900.
Exakte Quadrate natürlicher Zahlen enden auf 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Die Zahl 6 ergibt sich aus 4 2 und 6 2.
Das heißt, wenn die Wurzel aus 676 genommen wird, dann ist sie entweder 24 oder 26.
Es bleibt noch zu prüfen: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Antwort: √676 = 26 .
Mehr Beispiel: √6889 .
Da 80 2 = 6400 und 90 2 = 8100, dann 80< √6889 < 90.
Die Zahl 9 ergibt sich aus 3 2 und 7 2, dann ist √6889 entweder 83 oder 87.
Überprüfen wir: 83 2 = 6889.
Antwort: √6889 = 83 .
Wenn die Lösung mit der Auswahlmethode für Sie schwierig ist, können Sie den Wurzelausdruck faktorisieren.
Zum Beispiel, finde √893025.
Lassen Sie uns die Zahl 893025 faktorisieren. Denken Sie daran, Sie haben das in der sechsten Klasse gemacht.
Wir erhalten: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Mehr Beispiel: √20736. Faktorisieren wir die Zahl 20736:
Wir erhalten √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Natürlich erfordert die Faktorisierung Kenntnisse über Teilbarkeitszeichen und Faktorisierungsfähigkeiten.
Und schließlich gibt es sie Regel zum Ziehen von Quadratwurzeln. Machen wir uns anhand von Beispielen mit dieser Regel vertraut.
Berechnen Sie √279841.
Um die Wurzel einer mehrstelligen ganzen Zahl zu extrahieren, teilen wir sie von rechts nach links in Flächen mit zwei Ziffern auf (die Kante ganz links kann eine Ziffer enthalten). Wir schreiben es so: 27’98’41
Um die erste Ziffer der Wurzel (5) zu erhalten, ziehen wir die Quadratwurzel des größten perfekten Quadrats, das in der ersten Fläche links (27) enthalten ist.
Dann wird das Quadrat der ersten Ziffer der Wurzel (25) von der ersten Fläche subtrahiert und die nächste Fläche (98) zur Differenz addiert (subtrahiert).
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 298 die doppelte Ziffer der Wurzel (10), dividieren Sie durch sie die Zahl aller Zehner der zuvor erhaltenen Zahl (29/2 ≈ 2) und testen Sie den Quotienten (102 ∙ 2 = 204). sollte nicht größer als 298 sein) und schreiben Sie (2) nach der ersten Ziffer der Wurzel.
Dann wird der resultierende Quotient 204 von 298 subtrahiert und die nächste Kante (41) zur Differenz (94) addiert.
Schreiben Sie links von der resultierenden Zahl 9441 das Doppelprodukt der Ziffern der Wurzel (52 ∙2 = 104), dividieren Sie die Zahl aller Zehner der Zahl 9441 (944/104 ≈ 9) durch dieses Produkt, testen Sie das Der Quotient (1049 ∙9 = 9441) sollte 9441 sein und notieren Sie (9) nach der zweiten Ziffer der Wurzel.
Wir haben die Antwort √279841 = 529 erhalten.
Auf ähnliche Weise extrahieren Wurzeln von Dezimalbrüchen. Lediglich die Grundzahl muss in Flächen unterteilt werden, sodass das Komma zwischen den Flächen liegt.
Beispiel. Finden Sie den Wert √0,00956484.
Denken Sie daran: Wenn ein Dezimalbruch eine ungerade Anzahl an Dezimalstellen hat, kann daraus nicht die Quadratwurzel gezogen werden.
Jetzt haben Sie drei Möglichkeiten gesehen, die Wurzel zu extrahieren. Wählen Sie diejenige aus, die am besten zu Ihnen passt, und üben Sie. Um zu lernen, Probleme zu lösen, müssen Sie sie lösen. Und wenn Sie Fragen haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an.
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In diesem Artikel stellen wir vor Konzept einer Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, gehen von dort aus zur Beschreibung der Kubikwurzel über und verallgemeinern anschließend das Konzept einer Wurzel, indem wir die n-te Wurzel definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erläuterungen und Kommentare.
Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel
Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, benötigen Sie . An dieser Stelle stoßen wir häufig auf die zweite Potenz einer Zahl – das Quadrat einer Zahl.
Beginnen wir mit Quadratwurzeldefinitionen.
Definition
Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist.
Führen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen wir mehrere Zahlen, zum Beispiel 5, −0,3, 0,3, 0, und quadrieren sie, wir erhalten die Zahlen 25, 0,09, 0,09 bzw. 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 und 0 2 =0·0=0 ). Dann ist nach der oben gegebenen Definition die Zahl 5 die Quadratwurzel der Zahl 25, die Zahlen −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.
Es ist zu beachten, dass es für keine Zahl a ein a gibt, dessen Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht negative Zahl ist. Daher, Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.
Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nichtnegative a“? Die Antwort ist ja. Diese Tatsache kann durch die konstruktive Methode zur Ermittlung des Wertes der Quadratwurzel gerechtfertigt werden.
Dann stellt sich die nächste logische Frage: „Wie groß ist die Anzahl aller Quadratwurzeln einer gegebenen nicht negativen Zahl a – eins, zwei, drei oder sogar mehr“? Hier ist die Antwort: Wenn a Null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus Null Null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann beträgt die Anzahl der Quadratwurzeln der Zahl a zwei und die Wurzeln sind . Begründen wir das.
Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Zeigen wir zunächst, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.
Beweisen wir nun, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Verwenden wir die umgekehrte Methode. Angenommen, es gibt eine Zahl b ungleich Null, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 =0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes b ungleich Null der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind zu einem Widerspruch gelangt. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.
Kommen wir zu den Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Wir haben oben gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt. Die Quadratwurzel von a sei die Zahl b. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c, die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann sind nach der Definition einer Quadratwurzel die Gleichungen b 2 =a und c 2 =a wahr, woraus folgt, dass b 2 −c 2 =a−a=0, aber da b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , dann ist (b−c)·(b+c)=0 . Die resultierende Gleichheit ist gültig Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen nur möglich, wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.
Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel der Zahl a ist, dann wird durch ähnliche Überlegungen wie die bereits gegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl beträgt also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.
Um die Arbeit mit Quadratwurzeln zu erleichtern, wird die negative Wurzel von der positiven „getrennt“. Zu diesem Zweck wird es eingeführt Definition der arithmetischen Quadratwurzel.
Definition
Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.
Die Notation für die arithmetische Quadratwurzel von a ist . Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Radikalzeichen genannt. Daher kann man manchmal sowohl „Wurzel“ als auch „Radikal“ hören, was dasselbe Objekt bedeutet.
Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen heißt Wurzelzahl, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck, während der Begriff „Radikalzahl“ oft durch „Radikalausdruck“ ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl und in der Notation der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.
Beim Lesen wird das Wort „Arithmetik“ oft weggelassen, beispielsweise wird der Eintrag als „Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig“ gelesen. Das Wort „Arithmetik“ wird nur verwendet, wenn betont werden soll, dass es sich konkret um die positive Quadratwurzel einer Zahl handelt.
Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition einer arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nichtnegative Zahl a .
Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Die Quadratwurzeln von 13 lauten beispielsweise und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir der Notation erst beim Studium eine Bedeutung beimessen komplexe Zahlen. Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.
Basierend auf der Definition der Quadratwurzel werden die Eigenschaften von Quadratwurzeln nachgewiesen, die in der Praxis häufig verwendet werden.
Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die Quadratwurzeln der Zahl a Lösungen der Form x 2 =a in Bezug auf die Variable x sind.
Kubikwurzel einer Zahl
Definition der Kubikwurzel der Zahl a erfolgt ähnlich wie die Definition der Quadratwurzel. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.
Definition
Kubikwurzel von a ist eine Zahl, deren Potenz gleich a ist.
Geben wir Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7, 0, −2/3, und würfeln Sie sie: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Basierend auf der Definition einer Kubikwurzel können wir dann sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343, 0 die Kubikwurzel von Null und −2/3 die Kubikwurzel von −8/27 ist.
Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel einer Zahl im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, nicht nur für nichtnegative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu können Sie dieselbe Methode verwenden, die wir bei der Untersuchung von Quadratwurzeln erwähnt haben.
Darüber hinaus gibt es nur eine einzige Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Aussage. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.
Es lässt sich leicht zeigen, dass die Kubikwurzel von a weder eine negative Zahl noch Null sein kann, wenn a positiv ist. Sei b tatsächlich die Kubikwurzel von a, dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit für negatives b und für b=0 nicht gelten kann, da in diesen Fällen b 3 =b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.
Nehmen wir nun an, dass es zusätzlich zur Zahl b eine weitere Kubikwurzel der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 =a. Daher ist b 3 −c 3 =a−a=0, aber b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Differenz der Würfel), woraus (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b−c=0 oder b 2 +b·c+c 2 =0. Aus der ersten Gleichung gilt b=c, und die zweite Gleichung hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe dreier positiver Terme b 2, b·c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.
Wenn a=0, ist die Kubikwurzel der Zahl a nur die Zahl Null. Wenn wir tatsächlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0.
Für negatives a können ähnliche Argumente wie für positives a angegeben werden. Zunächst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl weder einer positiven Zahl noch Null gleich sein kann. Zweitens gehen wir davon aus, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese notwendigerweise mit der ersten zusammenfällt.
Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a und zwar eine eindeutige.
Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.
Definition
Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Potenz gleich a ist.
Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird als bezeichnet, das Vorzeichen heißt das Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Notation heißt Stammindex. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelzahl, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.
Obwohl die arithmetische Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Notationen zu verwenden, in denen negative Zahlen unter dem Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, 
.
Über die Eigenschaften von Kubikwurzeln sprechen wir im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln.
Das Berechnen des Wertes einer Kubikwurzel wird als Extrahieren einer Kubikwurzel bezeichnet; dieser Vorgang wird im Artikel Extrahieren von Wurzeln: Methoden, Beispiele, Lösungen besprochen.
Um diesen Punkt abzuschließen, nehmen wir an, dass die Kubikwurzel der Zahl a eine Lösung der Form x 3 =a ist.
n-te Wurzel, arithmetische Wurzel vom Grad n
Lassen Sie uns das Konzept einer Wurzel einer Zahl verallgemeinern – wir führen es ein Definition der n-ten Wurzel für n.
Definition
n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.
Aus dieser Definition geht klar hervor, dass die Wurzel ersten Grades der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir bei der Untersuchung des Grades mit einem natürlichen Exponenten a 1 =a angenommen haben.
Oben haben wir uns Sonderfälle der n-ten Wurzel für n=2 und n=3 angesehen – Quadratwurzel und Kubikwurzel. Das heißt, eine Quadratwurzel ist eine Wurzel zweiten Grades und eine Kubikwurzel ist eine Wurzel dritten Grades. Um Wurzeln n-ten Grades für n=4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: Die erste Gruppe sind Wurzeln geraden Grades (d. h. für n = 4, 6, 8). , ...), die zweite Gruppe - Wurzeln ungeraden Grades (d. h. mit n=5, 7, 9, ...). Dies liegt daran, dass Wurzeln gerader Potenzen Quadratwurzeln ähneln und Wurzeln ungerader Potenzen kubischen Wurzeln ähneln. Lassen Sie uns sie einzeln behandeln.
Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8, ... sind. Wie wir bereits sagten, ähneln sie der Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel jedes geraden Grades der Zahl a existiert nur für nicht negatives a. Wenn außerdem a=0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a>0, dann gibt es zwei Wurzeln geraden Grades der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.
Untermauern wir die letzte Aussage. Sei b eine gerade Wurzel (wir bezeichnen sie als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist) der Zahl a. Angenommen, es gibt eine Zahl c – eine weitere Wurzel vom Grad 2·m aus der Zahl a. Dann ist b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt, dass b−c=0, oder b+c=0, oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0, da auf ihrer linken Seite ein Ausdruck steht, der für jedes b und c als Summe nichtnegativer Zahlen nicht negativ ist.
Die Wurzeln n-ten Grades für ungerades n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a und ist für eine gegebene Zahl a eindeutig.
Die Eindeutigkeit einer Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 der Zahl a wird analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel von a bewiesen. Nur hier statt Gleichheit a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) Es wird eine Gleichheit der Form b 2 m+1 −c 2 m+1 = verwendet (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel gilt mit m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind und ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 +c 2 +b·c in der höchsten geschachtelten Klammer positiv als Summe der positiven Zahlen. Wenn wir nun der Reihe nach zu den Ausdrücken in Klammern der vorherigen Verschachtelungsgrade übergehen, sind wir überzeugt, dass sie auch als Summe positiver Zahlen positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 nur möglich, wenn b−c=0, also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.
Es ist Zeit, die Notation der n-ten Wurzeln zu verstehen. Zu diesem Zweck ist es gegeben Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.
Definition
Arithmetische Wurzel n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.
