Grundformeln der Trigonometrie. Grundlegende trigonometrische Identität

Die folgende Abbildung zeigt das Koordinatensystem Oxy mit dem darin abgebildeten Teil des Einheitshalbkreises ACB mit dem Mittelpunkt im Punkt O. Dieser Teil ist der Bogen des Einheitskreises. Der Einheitskreis wird durch die Gleichung x^2+y^2 = 1 beschrieben.

Grundlegende trigonometrische Identität

Die Ordinate y und die Abszisse x können mit den folgenden Formeln als Sinus und Cosinus des Winkels dargestellt werden:

Wenn wir diese Werte in die Gleichungen des Einheitskreises einsetzen, erhalten wir die folgende Gleichheit:

(sin(a))^2 + (cos(a))^2 = 1, was für jeden Wert von a von 0 Grad bis 180 Grad erfüllt ist. Diese Gleichheit heißt grundlegende trigonometrische Identität.

Reduktionsformeln

Reduktionsformeln werden verwendet, um die Werte trigonometrischer Funktionen aus Argumenten der Form (90˚ ±a), (180˚ ±a) durch die Werte von sin(a), cos(a), tg(a) auszudrücken ) und ctg(a).

Es gibt zwei Regeln für die Verwendung von Reduktionsformeln.

1. Wenn der Winkel als (90˚ ±a) dargestellt werden kann, ändert sich der Name der Funktion von sin zu cos, von cos zu sin, von tg zu ctg und von ctg zu tg. Wenn der Winkel in der Form (180˚ ±a) dargestellt werden kann, bleibt der Name der Funktion unverändert.

Schauen Sie sich das Bild unten an, das schematisch zeigt, wann das Vorzeichen geändert werden muss und wann nicht.

2. Die Regel „So wie du warst, so bleibst du.“

Das Vorzeichen der reduzierten Funktion bleibt gleich. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Pluszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Pluszeichen. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Minuszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Minuszeichen.

Die folgende Abbildung zeigt die Vorzeichen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit vom Viertel.

Definition. Reduktionsformeln sind Formeln, die den Übergang von trigonometrischen Formfunktionen zu Argumentfunktionen ermöglichen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines beliebigen Winkels auf Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels aus dem Intervall von 0 bis 90 Grad (von 0 bis Bogenmaß) reduzieren. Reduktionsformeln ermöglichen es uns daher, mit Winkeln innerhalb von 90 Grad zu arbeiten, was zweifellos sehr praktisch ist.

Reduktionsformeln:

Es gibt zwei Regeln für die Verwendung von Reduktionsformeln.

1. Wenn der Winkel als (π/2 ±a) oder (3*π/2 ±a) dargestellt werden kann, dann Funktionsname ändert sich sin zu cos, cos zu sin, tg zu ctg, ctg zu tg. Wenn der Winkel in der Form (π ±a) oder (2*π ±a) dargestellt werden kann, dann Der Funktionsname bleibt unverändert.

Schauen Sie sich das Bild unten an, es zeigt schematisch, wann Sie das Vorzeichen ändern sollten und wann nicht

2. Zeichen der reduzierten Funktion bleibt gleich. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Pluszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Pluszeichen. Wenn die ursprüngliche Funktion ein Minuszeichen hatte, dann hat die reduzierte Funktion auch ein Minuszeichen.

Die folgende Abbildung zeigt die Vorzeichen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen in Abhängigkeit vom Viertel.

Beispiel:

Berechnen

Verwenden wir die Reduktionsformeln:

Sin(150˚) liegt im zweiten Viertel; aus der Abbildung sehen wir, dass das Zeichen der Sünde in diesem Viertel gleich „+“ ist. Dies bedeutet, dass die angegebene Funktion auch ein „+“-Zeichen hat. Wir haben die zweite Regel angewendet.

Jetzt 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ ist π/2. Das heißt, wir haben es mit dem Fall π/2+60 zu tun, also ändern wir gemäß der ersten Regel die Funktion von sin in cos. Als Ergebnis erhalten wir Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Verbindung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es einem ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen durch eine bekannte andere zu finden.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist recht einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Vor dem Beweis der Hauptsache trigonometrische Identität Geben wir seine Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt lasst es uns beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke. Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität verwendet umgekehrte Reihenfolge: Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die Tangens und Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel ganz einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie einen Sinn ergeben, sind also .