Umkehrfunktion. Das Konzept einer Umkehrfunktion. Wie man eine Umkehrfunktion eines gegebenen Beispiels konstruiert

Nehmen wir an, dass wir eine bestimmte Funktion y = f (x) haben, die streng monoton (fallend oder steigend) und stetig im Definitionsbereich x ∈ a ist; B ; sein Wertebereich y ∈ c ; d, und auf dem Intervall c; d In diesem Fall haben wir eine definierte Funktion x = g (y) mit einem Wertebereich a ; B. Die zweite Funktion wird ebenfalls stetig und streng monoton sein. Bezüglich y = f(x) handelt es sich um eine Umkehrfunktion. Das heißt, wir können von der Umkehrfunktion x = g (y) sprechen, wenn y = f (x) über ein bestimmtes Intervall entweder abnimmt oder zunimmt.

Diese beiden Funktionen f und g sind zueinander invers.

Warum brauchen wir überhaupt das Konzept der Umkehrfunktionen?

Wir benötigen dies, um die Gleichungen y = f(x) zu lösen, die genau mit diesen Ausdrücken geschrieben werden.

Nehmen wir an, wir müssen eine Lösung für die Gleichung cos (x) = 1 3 finden. Seine Lösungen werden alle Punkte sein: x = ± arc c o s 1 3 + 2 π · k, k ∈ Z

Beispielsweise sind die Umkehrkosinus- und Kosinusfunktionen zueinander invers.

Schauen wir uns mehrere Probleme an, um Funktionen zu finden, die zu gegebenen invers sind.

Beispiel 1

Zustand: Was ist die Umkehrfunktion für y = 3 x + 2?

Lösung

Der Definitionsbereich und Wertebereich der in der Bedingung angegebenen Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen. Versuchen wir, diese Gleichung durch x zu lösen, das heißt, indem wir x durch y ausdrücken.

Wir erhalten x = 1 3 y - 2 3 . Dies ist die Umkehrfunktion, die wir brauchen, aber y wird hier das Argument sein und x wird die Funktion sein. Ordnen wir sie neu an, um eine vertrautere Notation zu erhalten:

Antwort: Die Funktion y = 1 3 x - 2 3 ist die Umkehrung von y = 3 x + 2.

Beide zueinander inversen Funktionen können wie folgt aufgetragen werden:

Wir sehen die Symmetrie beider Graphen bezüglich y = x. Diese Linie ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten. Wir haben einen Beweis für eine der Eigenschaften zueinander inverser Funktionen erhalten, den wir später diskutieren werden.

Nehmen wir ein Beispiel, in dem wir die logarithmische Funktion finden müssen, die die Umkehrung einer gegebenen Exponentialfunktion ist.

Beispiel 2

Zustand: Bestimmen Sie, welche Funktion die Umkehrung für y = 2 x ist.

Lösung

Für eine gegebene Funktion umfasst der Definitionsbereich alle reellen Zahlen. Der Wertebereich liegt im Intervall 0; + ∞ . Jetzt müssen wir x durch y ausdrücken, das heißt, die angegebene Gleichung durch x lösen. Wir erhalten x = log 2 y. Ordnen wir die Variablen neu an und erhalten y = log 2 x.

Als Ergebnis haben wir exponentielle und logarithmische Funktionen erhalten, die im gesamten Definitionsbereich zueinander invers sind.

Antwort: y = log 2 x .

Im Diagramm sehen beide Funktionen folgendermaßen aus:

Grundlegende Eigenschaften zueinander inverser Funktionen

In diesem Absatz listen wir die Haupteigenschaften der Funktionen y = f (x) und x = g (y) auf, die zueinander invers sind.

Definition 1

1. Die erste Eigenschaft haben wir bereits früher abgeleitet: y = f (g (y)) und x = g (f (x)).
2. Die zweite Eigenschaft folgt aus der ersten: Der Definitionsbereich y = f (x) fällt mit dem Wertebereich der Umkehrfunktion x = g (y) zusammen und umgekehrt.
3. Die Graphen inverser Funktionen sind symmetrisch bezüglich y = x.
4. Wenn y = f (x) zunimmt, dann nimmt x = g (y) zu, und wenn y = f (x) abnimmt, dann nimmt auch x = g (y) ab.

Wir empfehlen Ihnen, den Begriffen Definitionsbereich und Bedeutungsbereich von Funktionen große Aufmerksamkeit zu schenken und diese niemals zu verwechseln. Nehmen wir an, wir haben zwei zueinander inverse Funktionen y = f (x) = a x und x = g (y) = log a y. Gemäß der ersten Eigenschaft ist y = f (g (y)) = a log a y. Diese Gleichheit gilt nur für positive Werte von y, und für negative Werte ist der Logarithmus nicht definiert. Beeilen Sie sich also nicht und schreiben Sie auf, dass ein Log a y = y ist. Überprüfen Sie unbedingt und fügen Sie hinzu, dass dies nur dann zutrifft, wenn y positiv ist.

Aber die Gleichheit x = f (g (x)) = log a a x = x gilt für alle reellen Werte von x.

Vergessen Sie diesen Punkt nicht, insbesondere wenn Sie mit trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen arbeiten müssen. Also a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, weil der Arkussinusbereich π 2 ist; π 2 und 7 π 3 sind darin nicht enthalten. Der richtige Eintrag wird sein

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = a r c sin sin π 3 = π 3

Aber sin a r c sin 1 3 = 1 3 ist eine korrekte Gleichheit, d.h. sin (a r c sin x) = x für x ∈ - 1 ; 1 und a r c sin (sin x) = x für x ∈ - π 2 ; π 2. Seien Sie immer vorsichtig mit dem Bereich und Umfang von Umkehrfunktionen!

• Grundlegende zueinander inverse Funktionen: Potenzfunktionen

Wenn wir eine Potenzfunktion y = x a haben, dann ist für x > 0 die Potenzfunktion x = y 1 a auch ihre Umkehrung. Ersetzen wir die Buchstaben und erhalten y = x a bzw. x = y 1 a.

In der Grafik sehen sie folgendermaßen aus (Fälle mit positivem und negativem Koeffizienten a):

• Grundlegende gegenseitig inverse Funktionen: exponentiell und logarithmisch

Nehmen wir a, das ist eine positive Zahl ungleich 1.

Graphen für Funktionen mit a > 1 und a< 1 будут выглядеть так:

• Grundlegende gegenseitig inverse Funktionen: trigonometrisch und invers trigonometrisch

Wenn wir den Sinus und Arkussinus des Hauptzweigs grafisch darstellen würden, würde das so aussehen (dargestellt als hervorgehobener heller Bereich).

Unterrichtsziele:

Pädagogisch:

• Kenntnisse zu einem neuen Thema entsprechend dem Programmmaterial entwickeln;
• studieren Sie die Eigenschaft der Reversibilität einer Funktion und lehren Sie, wie man die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion findet;

Entwicklung:

• Selbstkontrollfähigkeiten und sachliche Sprache entwickeln;
• Beherrschen Sie das Konzept der Umkehrfunktion und erlernen Sie Methoden zum Ermitteln der Umkehrfunktion.

Pädagogisch: Kommunikationskompetenz entwickeln.

Ausrüstung: Computer, Beamer, Leinwand, interaktives Whiteboard, SMART Board, Handouts (selbständige Arbeit) für Gruppenarbeiten.

Fortschritt der Lektion.

1. Organisatorischer Moment.

Ziel – Vorbereitung der Schüler auf die Arbeit im Unterricht:

Definition von Abwesenheiten,

Schüler auf die Arbeit einstimmen, Aufmerksamkeit organisieren;

Geben Sie das Thema und den Zweck der Lektion an.

2. Aktualisierung der Grundkenntnisse der Studierenden. Frontalvermessung.

Ziel - Feststellung der Richtigkeit und Bekanntheit des studierten theoretischen Materials, Wiederholung des behandelten Materials.<Приложение 1 >

Auf dem interaktiven Whiteboard für Schüler wird ein Diagramm einer Funktion angezeigt. Der Lehrer formuliert eine Aufgabe – betrachten Sie den Graphen einer Funktion und listen Sie die untersuchten Eigenschaften der Funktion auf. Die Studierenden listen die Eigenschaften einer Funktion entsprechend dem Forschungsdesign auf. Rechts neben dem Funktionsgraphen notiert der Lehrer die genannten Eigenschaften mit einem Marker auf der interaktiven Tafel.

Funktionseigenschaften:

Am Ende der Studie berichtet der Lehrer, dass er heute im Unterricht eine weitere Eigenschaft einer Funktion kennenlernen wird – die Reversibilität. Um neues Material sinnvoll zu studieren, lädt der Lehrer die Kinder ein, sich mit den wichtigsten Fragen vertraut zu machen, die die Schüler am Ende der Unterrichtsstunde beantworten müssen. Die Fragen werden auf eine normale Tafel geschrieben und jeder Schüler erhält sie als Handout (wird vor dem Unterricht verteilt).

1. Welche Funktion heißt invertierbar?
2. Ist jede Funktion invertierbar?
3. Welche Funktion wird als Umkehrung eines Datums bezeichnet?
4. Wie hängen der Definitionsbereich und die Wertemenge einer Funktion und ihrer Umkehrung zusammen?
5. Wenn eine Funktion analytisch gegeben ist, wie kann man die Umkehrfunktion durch eine Formel definieren?
6. Wenn eine Funktion grafisch angegeben wird, wie lässt sich dann ihre Umkehrfunktion grafisch darstellen?

3. Erläuterung des neuen Materials.

Ziel - Wissen zu einem neuen Thema entsprechend dem Programmmaterial generieren; studieren Sie die Eigenschaft der Reversibilität einer Funktion und lehren Sie, wie man die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion findet; eine inhaltliche Sprache entwickeln.

Der Lehrer präsentiert das Material entsprechend dem Material im Absatz. Auf dem interaktiven Whiteboard vergleicht der Lehrer die Diagramme zweier Funktionen, deren Definitionsbereiche und Wertesätze gleich sind, von denen jedoch eine der Funktionen monoton ist und die andere nicht, und führt so die Schüler in das Konzept einer invertierbaren Funktion ein .

Anschließend formuliert der Lehrer die Definition einer invertierbaren Funktion und führt einen Beweis des Satzes der invertierbaren Funktion anhand des Graphen einer monotonen Funktion auf dem interaktiven Whiteboard durch.

Definition 1: Die Funktion y=f(x), x X wird aufgerufen reversibel, wenn es einen seiner Werte nur an einem Punkt der Menge X annimmt.

Satz: Wenn eine Funktion y=f(x) auf einer Menge X monoton ist, dann ist sie invertierbar.

Nachweisen:

1. Lassen Sie die Funktion y=f(x) erhöht sich um X und lass x 1 ≠x 2- zwei Punkte des Satzes X.
2. Um genau zu sein, lassen Sie x 1< x 2.
   Dann aus der Tatsache, dass x 1< x 2 Daraus folgt f(x 1) < f(x 2).
3. Somit entsprechen unterschiedliche Werte des Arguments unterschiedlichen Werten der Funktion, d.h. Die Funktion ist invertierbar.

(Während der Beweis des Theorems voranschreitet, verwendet der Lehrer einen Marker, um alle notwendigen Erklärungen auf der Zeichnung zu machen.)

Bevor die Definition einer Umkehrfunktion formuliert wird, fordert der Lehrer die Schüler auf, zu bestimmen, welche der vorgeschlagenen Funktionen invertierbar ist. Das interaktive Whiteboard zeigt Diagramme von Funktionen und schreibt mehrere analytisch definierte Funktionen:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Der Lehrer stellt die Definition einer Umkehrfunktion vor.

Definition 2: Sei die invertierbare Funktion y=f(x) am Set definiert X Und E(f)=Y. Lassen Sie uns jeden einzelnen zuordnen j aus Y das ist die einzige Bedeutung X, bei dem f(x)=y. Dann erhalten wir eine Funktion, die definiert ist Y, A X– Funktionsumfang

Diese Funktion ist gekennzeichnet x=f -1 (y) und heißt die Umkehrung der Funktion y=f(x).

Die Studierenden werden gebeten, eine Schlussfolgerung über den Zusammenhang zwischen dem Definitionsbereich und der Wertemenge von Umkehrfunktionen zu ziehen.

Um die Frage zu untersuchen, wie man die Umkehrung einer bestimmten Funktion findet, zog der Lehrer zwei Schüler heran. Am Vortag erhielten die Kinder vom Lehrer den Auftrag, die analytischen und grafischen Methoden zur Ermittlung der Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion selbstständig zu analysieren. Der Lehrer fungierte als Berater bei der Vorbereitung der Schüler auf den Unterricht.

Nachricht vom ersten Schüler.

Hinweis: Die Monotonie der Funktion ist ausreichend Bedingung für die Existenz der Umkehrfunktion. Aber es ist nicht eine notwendige Bedingung.

Der Student gab Beispiele für verschiedene Situationen, in denen eine Funktion nicht monoton, aber invertierbar ist, wenn eine Funktion nicht monoton und nicht invertierbar ist, wenn sie monoton und invertierbar ist

Anschließend führt der Student die Studenten in eine Methode zur analytischen Ermittlung der Umkehrfunktion ein.

Algorithmus finden

1. Stellen Sie sicher, dass die Funktion monoton ist.
2. Drücken Sie die Variable x durch y aus.
3. Variablen umbenennen. Anstelle von x=f -1 (y) schreiben Sie y=f -1 (x)

Dann löst er zwei Beispiele, um die Umkehrfunktion eines gegebenen Beispiels zu finden.

Beispiel 1: Zeigen Sie, dass es für die Funktion y=5x-3 eine Umkehrfunktion gibt und finden Sie deren analytischen Ausdruck.

Lösung. Die lineare Funktion y=5x-3 ist auf R definiert, wächst auf R und ihr Wertebereich ist R. Das bedeutet, dass die Umkehrfunktion auf R existiert. Um ihren analytischen Ausdruck zu finden, lösen Sie die Gleichung y=5x- 3 für x; wir erhalten Dies ist die erforderliche Umkehrfunktion. Es ist definiert und wächst auf R.

Beispiel 2: Zeigen Sie, dass es für die Funktion y=x 2, x≤0 eine Umkehrfunktion gibt, und finden Sie ihren analytischen Ausdruck.

Die Funktion ist in ihrem Definitionsbereich stetig, monoton und daher invertierbar. Nach der Analyse der Definitionsbereiche und Wertemengen der Funktion wird eine entsprechende Schlussfolgerung über den analytischen Ausdruck für die Umkehrfunktion gezogen.

Der zweite Student hält einen Vortrag darüber Grafik Methode zur Bestimmung der Umkehrfunktion. Während seiner Erklärung nutzt der Schüler die Möglichkeiten des interaktiven Whiteboards.

Um einen Graphen der Funktion y=f -1 (x) zu erhalten, der zur Funktion y=f(x) invers ist, ist es notwendig, den Graphen der Funktion y=f(x) symmetrisch bezüglich der Geraden zu transformieren y=x.

Während der Erklärung am interaktiven Whiteboard wird folgende Aufgabe ausgeführt:

Konstruieren Sie einen Graphen einer Funktion und einen Graphen ihrer Umkehrfunktion im selben Koordinatensystem. Schreiben Sie den analytischen Ausdruck für die Umkehrfunktion auf.

4. Primäre Konsolidierung von neuem Material.

Ziel - Stellen Sie die Richtigkeit und das Bewusstsein für das Verständnis des untersuchten Materials fest, identifizieren Sie Lücken im primären Verständnis des Materials und korrigieren Sie diese.

Die Schüler werden in Paare aufgeteilt. Sie erhalten Aufgabenblätter, in denen sie die Arbeit paarweise erledigen. Die Zeit zur Fertigstellung der Arbeit ist begrenzt (5-7 Minuten). Ein Schülerpaar arbeitet am Computer, der Projektor schaltet sich in dieser Zeit aus und die übrigen Kinder können nicht sehen, wie die Schüler am Computer arbeiten.

Am Ende der Zeit (es wird davon ausgegangen, dass die Mehrheit der Studierenden die Arbeit abgeschlossen hat) wird die Arbeit der Studierenden auf der interaktiven Tafel gezeigt (der Projektor wird wieder eingeschaltet), wo bei der Überprüfung festgestellt wird, ob die Aufgabe erfüllt ist wurde paarweise korrekt absolviert. Bei Bedarf führt der Lehrer Korrektur- und Aufklärungsarbeiten durch.

Selbstständiges Arbeiten zu zweit<Anhang 2 >

5. Zusammenfassung der Lektion. Zu den Fragen, die vor dem Vortrag gestellt wurden. Bekanntgabe der Noten für die Lektion.

Hausaufgabe §10. Nr. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Algebra und die Anfänge der Analysis. Klasse 10 In 2 Teilen für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilebene) / A.G. Mordkovich, L.O. Koreshkova usw.; bearbeitet von A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Was ist eine Umkehrfunktion? Wie finde ich die Umkehrung einer gegebenen Funktion?

Definition.

Die Funktion y=f(x) sei auf der Menge D definiert und E sei die Menge ihrer Werte. Umkehrfunktion bezüglich Funktion y=f(x) ist eine Funktion x=g(y), die auf der Menge E definiert ist und jedem y∈E einen Wert x∈D zuweist, so dass f(x)=y.

Somit ist der Definitionsbereich der Funktion y=f(x) der Wertebereich ihrer Umkehrfunktion, und der Wertebereich y=f(x) ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

Um die Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion y=f(x) zu finden, benötigen Sie :

1) Ersetzen Sie in der Funktionsformel x anstelle von y und y anstelle von x:

2) Drücken Sie aus der resultierenden Gleichheit y durch x aus:

Finden Sie die Umkehrfunktion der Funktion y=2x-6.

Die Funktionen y=2x-6 und y=0,5x+3 sind zueinander invers.

Die Graphen der direkten und inversen Funktionen sind symmetrisch bezüglich der Geraden y=x(Halbierende der Koordinatenviertel I und III).

y=2x-6 und y=0,5x+3 - . Der Graph einer linearen Funktion ist . Um eine gerade Linie zu konstruieren, nehmen Sie zwei Punkte.

Es ist möglich, y eindeutig durch x auszudrücken, wenn die Gleichung x=f(y) eine eindeutige Lösung hat. Dies kann erreicht werden, wenn die Funktion y=f(x) jeden ihrer Werte an einem einzigen Punkt in ihrem Definitionsbereich annimmt (eine solche Funktion heißt reversibel).

Satz (notwendige und hinreichende Bedingung für die Invertibilität einer Funktion)

Wenn die Funktion y=f(x) definiert und in einem numerischen Intervall stetig ist, dann ist es notwendig und ausreichend, dass f(x) streng monoton ist, damit die Funktion invertierbar ist.

Wenn außerdem y=f(x) in einem Intervall zunimmt, dann nimmt auch die dazu inverse Funktion in diesem Intervall zu; Wenn y=f(x) abnimmt, dann nimmt die Umkehrfunktion ab.

Wenn die Reversibilitätsbedingung nicht im gesamten Definitionsbereich erfüllt ist, können Sie ein Intervall auswählen, in dem die Funktion nur zunimmt oder nur abnimmt, und in diesem Intervall die Funktion ermitteln, die zu der angegebenen invers ist.

Ein klassisches Beispiel ist . Dazwischen)