Finden Sie zwei verschiedene gemeinsame Punkte der Ebenen. Flugzeug im Weltraum - notwendige Informationen

Frage 7.

Zwei Ebenen im Raum können entweder parallel zueinander sein und im Einzelfall miteinander zusammenfallen oder sich schneiden. Zueinander senkrechte Ebenen sind ein Sonderfall sich schneidender Ebenen und werden im Folgenden besprochen.

Parallele Ebenen. Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind. Bei der Lösung verschiedener Probleme ist es oft notwendig, eine Ebene β durch einen gegebenen Punkt A parallel zu einer gegebenen Ebene α zu zeichnen.

In Abb. 81 Ebene α wird durch zwei sich schneidende Linien a und b definiert. Die erforderliche Ebene β wird durch die Geraden a1 und b1 definiert, die jeweils parallel zu a und b sind und durch einen gegebenen Punkt A1 verlaufen.

Sich kreuzende Flugzeuge. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine Gerade, zu deren Konstruktion es ausreicht, zwei Punkte zu bestimmen, die beiden Ebenen gemeinsam sind, oder einen Punkt und die Richtung der Schnittlinie der Ebenen.

Bevor wir uns mit der Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen befassen, analysieren wir ein wichtiges Hilfsproblem: Wir finden den Schnittpunkt K einer allgemeinen Linie mit der projizierten Ebene.

Gegeben seien beispielsweise eine Gerade a und eine horizontal projizierende Ebene α (Abb. 82). Dann muss die horizontale Projektion K1 des gesuchten Punktes gleichzeitig auf der horizontalen Projektion α1 der Ebene α und auf der horizontalen Projektion a1 der Geraden a liegen, d.h. am Schnittpunkt von a1 mit α1 (Abb. 83). Die Frontalprojektion K2 des Punktes K liegt auf der Projektionsverbindungslinie und auf der Frontalprojektion a2 der Geraden a.

Schauen wir uns nun einen der Sonderfälle sich schneidender Ebenen an, bei denen eine davon projiziert.

In Abb. 84 zeigt die allgemeine Positionsebene, die durch das Dreieck ABC und die horizontal projizierende Ebene α definiert wird. Lassen Sie uns zwei gemeinsame Punkte für diese beiden Ebenen finden. Offensichtlich sind diese gemeinsamen Punkte für die Ebenen ∆ABC und α die Schnittpunkte der Seiten AB und BC des Dreiecks ABC mit der projizierten Ebene α. Die Konstruktion solcher Punkte D und E sowohl in der Raumzeichnung (Abb. 84) als auch im Diagramm (Abb. 85) bereitet nach dem oben diskutierten Beispiel keine Schwierigkeiten.

Indem wir die gleichen Projektionen der Punkte D und E verbinden, erhalten wir die Projektionen der Schnittlinie der Ebene ∆ ABC und der Ebene α.

Somit fällt die horizontale Projektion D1E1 der Schnittlinie der gegebenen Ebenen mit der horizontalen Projektion der projizierenden Ebene α – mit ihren horizontalen Spuren α1 – zusammen.

Betrachten wir nun den allgemeinen Fall. Gegeben seien zwei allgemeine Ebenen α und β im Raum (Abb. 86). Um die Schnittlinie zu konstruieren, ist es, wie oben erwähnt, notwendig, zwei Punkte zu finden, die beiden Ebenen gemeinsam sind.

Um diese Punkte zu bestimmen, werden die vorgegebenen Ebenen von zwei Hilfsebenen geschnitten. Zweckmäßiger ist es, projizierende Ebenen und insbesondere ebene Ebenen als solche Ebenen zu betrachten. In Abb. In Abb. 86 schneidet die erste Hilfsebene der Ebene γ jede dieser Ebenen entlang der Horizontalen h und h1, die den Punkt 1 definieren, der den Ebenen α und β gemeinsam ist. Dieser Punkt wird durch den Schnittpunkt der horizontalen Linien h2 und h3 bestimmt, entlang derer die Hilfsebene δ jede dieser Ebenen schneidet.

Gegeben seien zwei Flugzeuge

Die erste Ebene hat einen Normalenvektor (A 1;B 1;C 1), die zweite Ebene (A 2;B 2;C 2).

Sind die Ebenen parallel, dann sind die Vektoren kollinear, d.h. = l für eine Zahl l. Deshalb

─ Zustand der Parallelität der Ebene.

Bedingung für das Zusammentreffen von Ebenen:

,

denn in diesem Fall erhalten wir durch Multiplikation der zweiten Gleichung mit l = die erste Gleichung.

Ist die Parallelitätsbedingung nicht erfüllt, dann schneiden sich die Ebenen. Insbesondere wenn die Ebenen senkrecht stehen, dann sind die Vektoren , . Daher ist ihr Skalarprodukt gleich 0, d.h. = 0, oder

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

Dies ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Ebenen senkrecht stehen.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen.

Winkel zwischen zwei Ebenen

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

ist der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren und , also

cosj = =
.

Direkt im Weltraum.

Vektorparametrische Gleichung einer Geraden.

Definition. Der Richtungsvektor ist gerade Jeder Vektor, der auf oder parallel zu einer Geraden liegt, wird aufgerufen.

Erstellen wir eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt M 0 (x 0;y 0;z 0) verläuft und einen Richtungsvektor = (a 1;a 2;a 3) hat.

Zeichnen wir den Vektor 0 vom Punkt M aus . Sei M(x;y;z) ─ ein beliebiger Punkt auf einer gegebenen Geraden und ─ sein Radius ist der Vektor des Punktes M 0. Dann , , Deshalb . Diese Gleichung heißt vektorparametrische Gleichung einer Geraden.

Parametrische Gleichungen einer Geraden.

In der vektorparametrischen Gleichung der Linie geht zu den Koordinatenbeziehungen (x;y;z) = (x 0;y 0;z 0) + (a 1;a 2;a 3)t. Von hier aus bekommen wir parametrische Gleichungen der Linie

x = x 0 + a 1 t,

y = y 0 +a 2 t, (4)

Kanonische Gleichungen der Linie.

Aus den Gleichungen (4) drücken wir t aus:

t = , t = , t = ,

Woher bekommen wir es? kanonische Gleichungen der Linie

= = (5)

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) und M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Als Richtungsvektor einer Geraden können wir den Vektor = annehmen (x 2 – x 1; y 2 ​​​​– y 1; z 2 – z 1). Da die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) verläuft, werden ihre kanonischen Gleichungen gemäß (5) in der Form geschrieben

(6)

Der Winkel zwischen zwei Geraden.

Betrachten Sie zwei Geraden mit Richtungsvektoren = (a 1;a 2;a 3) und .

Der Winkel zwischen den Linien ist daher gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren

cosj = =
(7)

Bedingung für die Rechtwinkligkeit der Linien:

a 1 in 1 + a 2 in 2 + a 3 in 3 = 0.

Bedingung für parallele Linien:

lch,

. (8)

Die relative Position von Linien im Raum.

Gegeben seien zwei Zeilen
Und
.

Offensichtlich liegen die Geraden genau dann in derselben Ebene, wenn die Vektoren , und koplanar, d.h.

= 0 (9)

Wenn in (9) die ersten beiden Geraden proportional sind, dann sind die Geraden parallel. Wenn alle drei Linien proportional sind, dann fallen die Linien zusammen. Wenn Bedingung (9) erfüllt ist und die ersten beiden Linien nicht proportional sind, dann schneiden sich die Linien.

Wenn
¹ 0, dann sind die Linien schief.

Probleme auf Geraden und Flächen im Raum.

Eine Gerade ist der Schnittpunkt zweier Ebenen.

Gegeben seien zwei Flugzeuge

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Wenn die Ebenen nicht parallel sind, ist die Bedingung verletzt

.

Sei zum Beispiel ¹.

Finden wir die Gleichung der Geraden, entlang derer sich die Ebenen schneiden.

Als Richtungsvektor der gewünschten Geraden können wir den Vektor nehmen

= × = =
.

Um einen Punkt zu finden, der zur gewünschten Linie gehört, legen wir einen bestimmten Wert fest

z = z 0 und Lösung des Systems

,

wir erhalten die Werte x = x 0, y = y 0. Der gewünschte Punkt ist also M(x 0;y 0;z 0).

Die erforderliche Gleichung

.

Die relative Position einer Geraden und einer Ebene.

Gegeben sei die Gerade x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

und Flugzeug

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

Um gemeinsame Punkte einer Geraden und einer Ebene zu finden, ist es notwendig, das System ihrer Gleichungen zu lösen

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, dann hat das System eine eindeutige Lösung

t = t 0 = -
.

In diesem Fall schneiden sich die Gerade und die Ebene in einem einzigen Punkt M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), wo

x 1 = x 0 + a 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, dann haben die Gerade und die Ebene keine gemeinsamen Punkte, d.h. . parallel.

Wenn A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0, dann gehört die Gerade zur Ebene.

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.

Zwei Ebenen im Raum können entweder parallel zueinander sein oder sich schneiden.

Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind.

Die Wahl der Seiten von Dreiecken ist willkürlich, da man nur durch Konstruktion genau bestimmen kann, welche Seite welches Dreiecks tatsächlich die Ebene des anderen schneidet. Auch die Wahl der Hilfsebene ist willkürlich, da die Gerade die allgemeine Lage hat, deren alle Seiten ∆ sind ABC und ∆ DEF, kann in einer horizontal projizierten oder frontal projizierten Ebene eingeschlossen sein.

1. Um einen Punkt zu zeichnen M Es wird eine horizontal auskragende Hilfsebene verwendet F (F AB Dreieck ABC (AB Î F).

2. Wir erstellen eine Schnittlinie (in der Zeichnung durch die Punkte 1 und 2 angegeben) der Hilfsebene F (F 2) und Ebene ∆ DEF.

Ein Punkt gefunden M die gewünschte Schnittlinie.

4. Um einen Punkt zu zeichnen N Es wird eine horizontale Projektionsebene verwendet R (R 2), in dem die Partei eingeschlossen ist E.F. Dreieck DEF.

Der Aufbau ähnelt den vorherigen.

5. Bestimmen der Sichtbarkeit von Elementen auf der Ebene P 2 wird mit frontal konkurrierenden Punkten 1=2 und 5=2 durchgeführt.

Punkt 5 (5О AB) liegt weiter von der Achse entfernt X als Punkt 1 (1О DF), also im Flugzeug P 2. Teil des Dreiecks ABC, in Richtung Punkt 1 gelegen, deckt einen Teil des Dreiecks ab DEF, befindet sich von der Schnittlinie in Richtung Punkt 5.

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Zwei Ebenen im Raum können entweder parallel zueinander sein, im Einzelfall zusammenfallen, oder sich schneiden. Ein Sonderfall sich schneidender Ebenen sind zueinander senkrechte Ebenen.

1. Parallele Ebenen. Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind.

Diese Definition wird gut durch das Problem veranschaulicht, eine Ebene durch den Punkt B parallel zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende Geraden ab definiert wird (Abb. 61).

Aufgabe. Gegeben: eine allgemeine Ebene, die durch zwei sich schneidende Linien ab und Punkt B definiert wird.

Es ist erforderlich, eine Ebene durch den Punkt B parallel zur Ebene ab zu zeichnen und diese durch zwei sich schneidende Geraden c und d zu definieren.

Laut Definition sind diese Ebenen parallel zueinander, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind.

Um parallele Linien in einem Diagramm zu zeichnen, muss die Eigenschaft der Parallelprojektion genutzt werden – die Projektionen paralleler Linien sind parallel zueinander

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3, c3//b3.

Abbildung 61. Parallele Ebenen

2. Schnittebenen, Ein Sonderfall sind zueinander senkrechte Ebenen. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine Gerade, zu deren Konstruktion es ausreicht, ihre beiden gemeinsamen Punkte beider Ebenen oder einen Punkt und die Richtung der Schnittlinie der Ebenen zu bestimmen.

Betrachten wir die Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen, wenn eine davon projiziert wird (Abb. 62).

Aufgabe. Gegeben: Die allgemeine Lageebene ist durch das Dreieck ABC gegeben, und die zweite Ebene ist eine horizontal projizierende Ebene a.

Es ist erforderlich, eine Schnittlinie der Ebenen zu konstruieren.

Die Lösung des Problems besteht darin, zwei gemeinsame Punkte dieser Ebenen zu finden, durch die eine gerade Linie gezogen werden kann. Die durch das Dreieck ABC definierte Ebene kann als Geraden (AB), (AC), (BC) dargestellt werden. Der Schnittpunkt der Geraden (AB) mit der Ebene a ist Punkt D, die Gerade (AC) ist F. Das Segment definiert die Schnittlinie der Ebenen. Da a eine horizontal projizierende Ebene ist, fällt die Projektion D1F1 mit der Spur der Ebene aP1 zusammen, sodass nur noch die fehlenden Projektionen auf P2 und P3 konstruiert werden müssen.

Abbildung 62. Schnittpunkt einer allgemeinen Ebene mit einer horizontal projizierten Ebene

Kommen wir zum allgemeinen Fall. Gegeben seien zwei generische Ebenen a(m,n) und b (ABC) im Raum (Abb. 63)

Abbildung 63. Schnittpunkt von generischen Ebenen

Betrachten wir die Reihenfolge der Konstruktion der Schnittlinie der Ebenen a(m//n) und b(ABC). Um die Schnittlinie dieser Ebenen zu finden, zeichnen wir analog zur vorherigen Aufgabe die Hilfsschnittebenen g und d. Finden wir die Schnittlinien dieser Ebenen mit den betrachteten Ebenen. Die Ebene g schneidet die Ebene a auf einer Geraden (12) und die Ebene b schneidet sich auf einer Geraden (34). Punkt K – der Schnittpunkt dieser Linien gehört gleichzeitig zu drei Ebenen a, b und g und ist somit ein Punkt, der zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehört. Die Ebene d schneidet die Ebenen a und b entlang der Geraden (56) bzw. (7C), ihr Schnittpunkt M liegt gleichzeitig in drei Ebenen a, b, d und gehört zur Schnittlinie der Ebenen a und b. So wurden zwei Punkte gefunden, die zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehören – eine Gerade (KS).

Eine gewisse Vereinfachung bei der Konstruktion der Schnittlinie von Ebenen kann erreicht werden, wenn Hilfsschnittebenen durch gerade Linien gezeichnet werden, die die Ebene definieren.

Zueinander senkrechte Ebenen. Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen, wenn eine von ihnen durch die Senkrechte zur anderen verläuft. Durch Punkt A ist es möglich, viele Ebenen senkrecht zu einer gegebenen Ebene a(f,h) zu zeichnen. Diese Ebenen bilden ein Bündel von Ebenen im Raum, deren Achse die Senkrechte ist, die vom Punkt A zur Ebene a absteigt. Um eine Ebene von Punkt A senkrecht zu der durch zwei sich schneidende Linien hf gegebenen Ebene zu zeichnen, ist es notwendig, eine Linie n von Punkt A senkrecht zur Ebene hf zu zeichnen (die horizontale Projektion n steht senkrecht zur horizontalen Projektion der horizontalen Linie). h, Frontalprojektion n steht senkrecht zur Frontalprojektion der Frontalprojektion f). Jede durch die Linie n verlaufende Ebene steht senkrecht zur Ebene hf. Um eine Ebene durch die Punkte A zu definieren, zeichnen Sie daher eine beliebige Linie m. Die durch zwei sich schneidende Geraden mn definierte Ebene steht senkrecht zur Ebene hf (Abb. 64).

Abbildung 64. Zueinander senkrechte Ebenen