Kosinus 1 Sonderfall. Grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Lektion und Präsentation zum Thema: „Einfache trigonometrische Gleichungen lösen“

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Was wir studieren werden:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Schauen wir uns nun trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen an.

Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, in denen eine Variable im Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wiederholen wir die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1)Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x) = a eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen. 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: T(kx+m)=a, T ist eine trigonometrische Funktion.

Lösen Sie die Gleichungen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Bezeichnen wir 3x=t, dann schreiben wir unsere Gleichung in der Form um:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kehren wir zu unserer Variablen zurück: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n – minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösung:

A) Kommen wir dieses Mal direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann ist x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben es in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wir wissen: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Lösen Sie die Gleichungen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln im Segment.

Lösung:

Lösen wir unsere Gleichung in allgemeiner Form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sehen wir uns nun an, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Bei k Bei k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment.
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen wir erneut.
Für k=2, x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir für große k offensichtlich auch nicht getroffen haben.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen mit der Bezeichnung: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann ist tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir erhalten die einfachste trigonometrische Gleichung, finden wir ihre Wurzeln.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für die Lösung einer Gleichung

Lösen Sie die Gleichungen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung wird die Form annehmen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Führen wir den Ersatz t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Weil Kosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, dividieren Sie sie durch cos(x): Sie können nicht durch den Kosinus dividieren, wenn dieser gleich Null ist. Stellen wir sicher, dass dies nicht der Fall ist:
Sei cos(x)=0, dann ist asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir erhalten einen Widerspruch, sodass wir sicher dividieren können um Null.

Lösen Sie die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

Cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 bei x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0. Teilen Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, befolgt immer diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a ist. Wenn a=0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) an, ein Beispiel für die Lösung finden Sie auf der vorherigen Folie

2. Wenn a≠0, dann müssen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat dividieren, wir erhalten:

Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Lösen Sie Beispiel Nr.:3

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann gilt: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Lösen Sie Beispiel Nr.:4

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Beispiel Nr.:5 lösen

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:

Führen wir den Ersatz tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleme zur unabhängigen Lösung.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lösen Sie die Gleichungen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Trigonometrische Gleichungen sind kein einfaches Thema. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und so...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Solche Gleichungen erfordern eine individuelle Herangehensweise. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.

Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. Im ersten Schritt wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Sonst auf keinen Fall.

Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.

Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logik ist stärker als Gedächtnis!)

Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)

Oh, weißt du!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein. Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:

cosx = 0,5

Wir müssen X finden. Sie müssen in menschlicher Sprache sprechen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.

Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Jetzt machen wir das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So was:

Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und Du wirst sehen genau diese Ecke X.

Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil

Es können unendlich viele solcher vollständigen Umdrehungen gemacht werden ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)

Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist doch angenehmer, als dummerweise ein paar geheimnisvolle Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.

2π ist eine komplette Umdrehung im Bogenmaß.

N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Das ist klar N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie aus dem kurzen Eintrag hervorgeht:

n ∈ Z

N gehört zu ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)

Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alle? NEIN. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.

Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Hier ist es:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 = - π /3

Nun addieren wir natürlich alle Winkel, die man durch volle Umdrehungen erhält:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und wir haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf einem Kreis, zeichnen die dazugehörigen Winkel ein und schreiben die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich habe gesagt, dass hier Logik gefragt ist.)

Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:

Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle diesem Sinus entsprechenden Winkel auf einmal ein. Wir erhalten dieses Bild:

Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:

x = π /6

Wir erinnern uns an volle Runden und schreiben guten Gewissens die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Es ist ganz einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Gezählt wird nur vom Winkel π in negativer Richtung. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir den korrekt berechneten Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:

π - x

X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:

π - π /6 = 5π /6

Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist es. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt verpflichtet. Erweitern wir nun unsere Fähigkeiten auf alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)

Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:

In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Kosinuswert. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache eiskalt. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.

Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Sie wissen es nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort können wir, rein durch die Definition des Arkuskosinus, schreiben:

Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Den aufmerksamsten wird übrigens auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt Im Wesentlichen unterscheidet es sich nicht vom Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Das stimmt! Das allgemeine Prinzip ist genau das! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir entscheiden.

Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:

Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:

Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Wieder beginnen wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Keine Frage!

Nun ist die erste Packung Wurzeln fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall spart, in trigonometrischen Ungleichungen – sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.

Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.

Jetzt ist es komplizierter.

Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)

Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt... Und wie man eine statt zwei Antwortreihen schreibt. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)

Na ja, ganz einfach):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Die einfachsten Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Es klappt nicht alles? Passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(Es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

An einem Punkt zentriert A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wann haben wir:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Formeln ableiten > > >

Ableitungen n-ter Ordnung:

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus
Arccosinus, arccos

Verwendete Literatur:

IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

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