Wann können Sie die Intervallmethode verwenden? Bruchrationale Ungleichungen

Intervallmethode– eine einfache Möglichkeit, gebrochene rationale Ungleichungen zu lösen. Dies ist die Bezeichnung für Ungleichungen, die rationale (oder gebrochenrationale) Ausdrücke enthalten, die von einer Variablen abhängen.

1. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Ungleichung

Mit der Intervallmethode können Sie das Problem in wenigen Minuten lösen.

Auf der linken Seite dieser Ungleichung befindet sich eine gebrochene rationale Funktion. Rational, weil es keine Wurzeln, Sinus oder Logarithmen enthält, sondern nur rationale Ausdrücke. Rechts ist Null.

Die Intervallmethode basiert auf der folgenden Eigenschaft einer gebrochenen rationalen Funktion.

Eine gebrochene rationale Funktion kann das Vorzeichen nur an den Punkten ändern, an denen sie gleich Null ist oder nicht existiert.

Erinnern wir uns daran, wie ein quadratisches Trinom faktorisiert wird, also ein Ausdruck der Form .

Wo und sind die Wurzeln quadratische Gleichung.

Wir zeichnen eine Achse und platzieren die Punkte, an denen Zähler und Nenner auf Null gehen.

Die Nullstellen des Nenners und sind punktierte Punkte, da an diesen Stellen die Funktion auf der linken Seite der Ungleichung nicht definiert ist (Sie können nicht durch Null dividieren). Die Nullstellen des Zählers und - sind schattiert, da die Ungleichung nicht streng ist. Wenn und unsere Ungleichung erfüllt ist, da beide Seiten gleich Null sind.

Diese Punkte unterteilen die Achse in Intervalle.

Bestimmen wir das Vorzeichen der gebrochenen rationalen Funktion auf der linken Seite unserer Ungleichung in jedem dieser Intervalle. Wir erinnern uns, dass eine gebrochene rationale Funktion das Vorzeichen nur an den Punkten ändern kann, an denen sie gleich Null ist oder nicht existiert.

Das bedeutet, dass in jedem der Intervalle zwischen den Punkten, an denen der Zähler oder Nenner auf Null geht, das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung konstant ist – entweder „Plus“ oder „Minus“.
Um das Vorzeichen der Funktion in jedem dieser Intervalle zu bestimmen, nehmen wir daher jeden Punkt, der zu diesem Intervall gehört. Das, was für uns bequem ist.

. Nehmen Sie zum Beispiel das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite der Ungleichung und überprüfen Sie es. Jede der „Klammern“ ist negativ. Auf der linken Seite befindet sich ein Schild. Nächstes Intervall: . Schauen wir uns das Schild bei an. Wir verstehen das linke Seite

habe das Vorzeichen in geändert.

Nehmen wir es. Wenn der Ausdruck positiv ist, ist er also über das gesamte Intervall von bis positiv.

Wenn die linke Seite der Ungleichung negativ ist."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Und schließlich class="tex" alt="x>7

Wir haben herausgefunden, in welchen Abständen der Ausdruck positiv ist. Jetzt bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

Antwort: . Beim Durchlaufen jedes Punktes änderte genau einer der linearen Faktoren das Vorzeichen, während der Rest es unverändert ließ.

Wir sehen, dass die Intervallmethode sehr einfach ist. Um die fraktional-rationale Ungleichung mit der Intervallmethode zu lösen, reduzieren wir sie auf die Form:

Oder class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, oder , oder .

(auf der linken Seite ist eine gebrochene rationale Funktion, auf der rechten Seite ist Null).

Dann markieren wir auf dem Zahlenstrahl die Punkte, an denen der Zähler oder Nenner auf Null geht.
Diese Punkte unterteilen die gesamte Zahlengeraden in Intervalle, in denen die gebrochenrationale Funktion jeweils ihr Vorzeichen behält.
Es bleibt nur noch, das Vorzeichen jedes Intervalls herauszufinden.
Wir tun dies, indem wir das Vorzeichen des Ausdrucks an jedem Punkt überprüfen, der zu einem bestimmten Intervall gehört. Danach schreiben wir die Antwort auf. Das ist es.

Aber es stellt sich die Frage: Wechseln sich die Zeichen immer ab? Nein, nicht immer! Sie müssen vorsichtig sein und dürfen Schilder nicht mechanisch und gedankenlos anbringen.

2. Betrachten wir eine weitere Ungleichung.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ links(x-3 \rechts))>0"> !}

Platzieren Sie die Punkte erneut auf der Achse. Die Punkte und sind punktiert, weil sie Nullen des Nenners sind. Der Punkt wird ebenfalls gestrichen, da die Ungleichung streng ist.

Wenn der Zähler positiv ist, sind beide Faktoren im Nenner negativ. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man eine beliebige Zahl aus einem bestimmten Intervall nimmt, zum Beispiel . Auf der linken Seite steht das Schild:

Wenn der Zähler positiv ist; Der erste Faktor im Nenner ist positiv, der zweite Faktor ist negativ. Auf der linken Seite steht das Schild:

Die Situation ist die gleiche! Der Zähler ist positiv, der erste Faktor im Nenner ist positiv, der zweite ist negativ. Auf der linken Seite steht das Schild:

Schließlich mit class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Wir haben herausgefunden, in welchen Abständen der Ausdruck positiv ist. Jetzt bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

Warum wurde der Zeichenwechsel gestört? Denn beim Durchlaufen eines Punktes ist der Multiplikator dafür „verantwortlich“. hat das Vorzeichen nicht geändert. Folglich änderte die gesamte linke Seite unserer Ungleichung das Vorzeichen nicht.

Abschluss: Wenn der lineare Multiplikator eine gerade Potenz ist (z. B. im Quadrat), ändert sich beim Durchgang durch einen Punkt das Vorzeichen des Ausdrucks auf der linken Seite nicht. Bei einem ungeraden Grad ändert sich natürlich das Vorzeichen.

3. Lassen Sie uns mehr darüber nachdenken schwieriger Fall. Sie unterscheidet sich von der vorherigen darin, dass die Ungleichung nicht streng ist:

Die linke Seite ist die gleiche wie im vorherigen Problem. Das Bild der Zeichen wird das gleiche sein:

Vielleicht ist die Antwort dieselbe? NEIN! Eine Lösung wird hinzugefügt. Dies geschieht, weil sowohl die linke als auch die rechte Seite der Ungleichung gleich Null sind – daher ist dieser Punkt eine Lösung.

Wir haben herausgefunden, in welchen Abständen der Ausdruck positiv ist. Jetzt bleibt nur noch die Antwort aufzuschreiben:

Diese Situation tritt häufig bei Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik auf. Hier tappen Bewerber in die Falle und verlieren Punkte. Seien Sie vorsichtig!

4. Was tun, wenn Zähler oder Nenner nicht in lineare Faktoren zerlegt werden können? Betrachten Sie diese Ungleichung:

Ein quadratisches Trinom kann nicht faktorisiert werden: Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Aber das ist gut! Dies bedeutet, dass das Vorzeichen des Ausdrucks für alle gleich und insbesondere positiv ist. Mehr dazu können Sie im Artikel über Eigenschaften quadratischer Funktionen lesen.

Und jetzt können wir beide Seiten unserer Ungleichheit durch einen für alle positiven Wert teilen. Kommen wir zu einer äquivalenten Ungleichung:

Was mit der Intervallmethode leicht gelöst werden kann.

Bitte beachten Sie, dass wir beide Seiten der Ungleichung durch einen Wert geteilt haben, von dem wir sicher wussten, dass er positiv ist. Im Allgemeinen sollten Sie eine Ungleichung natürlich nicht mit einer Variablen multiplizieren oder dividieren, deren Vorzeichen unbekannt ist.

5 . Betrachten wir eine weitere Ungleichung, die scheinbar ganz einfach ist:

Ich möchte es einfach mit multiplizieren. Aber wir sind schon schlau und werden das nicht tun. Schließlich kann es sowohl positiv als auch negativ sein. Und wir wissen, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung ändert, wenn beide Seiten der Ungleichung mit einem negativen Wert multipliziert werden.

Wir werden es anders machen – wir werden alles in einem Teil sammeln und auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die rechte Seite bleibt Null:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Und danach – bewerben Intervallmethode.

Intervallmethode ist ein spezieller Algorithmus zur Lösung komplexer Ungleichungen der Form f(x) > 0. Der Algorithmus besteht aus 5 Schritten:

Lösen Sie die Gleichung f(x) = 0. Somit erhalten wir anstelle einer Ungleichung eine Gleichung, die viel einfacher zu lösen ist;
Markieren Sie alle erhaltenen Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Somit wird die Gerade in mehrere Intervalle unterteilt;
Finden Sie die Vielfalt der Wurzeln. Wenn die Wurzeln von gerader Multiplizität sind, zeichnen Sie eine Schleife über der Wurzel. (Eine Wurzel wird als Vielfaches betrachtet, wenn sie existiert gerade Zahl identische Lösungen)
Ermitteln Sie das Vorzeichen (Plus oder Minus) der Funktion f(x) im Intervall ganz rechts. Dazu reicht es aus, in f(x) eine beliebige Zahl einzusetzen, die rechts von allen markierten Wurzeln liegt;
Markieren Sie die Zeichen abwechselnd in den verbleibenden Abständen.

Danach müssen wir nur noch die Intervalle aufschreiben, die uns interessieren. Sie sind mit einem „+“-Zeichen gekennzeichnet, wenn die Ungleichung die Form f(x) > 0 hatte, oder mit einem „−“-Zeichen, wenn die Ungleichung die Form f(x) hatte.< 0.

Bei nichtstrikten Ungleichungen (≤ , ≥) ist es notwendig, in die Intervalle Punkte einzubeziehen, die eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 sind;

Beispiel 1:

Ungleichung lösen:

(x - 2)(x + 7)< 0

Wir arbeiten mit der Intervallmethode.

Schritt 1: Ersetze die Ungleichung durch eine Gleichung und löse sie:

(x - 2)(x + 7) = 0

Das Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Wir haben zwei Wurzeln.

Schritt 2: Wir markieren diese Wurzeln auf der Koordinatenlinie. Wir haben:

Schritt 3: Wir finden das Vorzeichen der Funktion im Intervall ganz rechts (rechts vom markierten Punkt x = 2). Dazu müssen Sie eine beliebige Zahl nehmen mehr Nummer x = 2. Nehmen wir zum Beispiel x = 3 (aber niemand verbietet die Annahme von x = 4, x = 10 und sogar x = 10.000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Wir erhalten f(3) = 10 > 0 (10 ist eine positive Zahl), also setzen wir ein Pluszeichen in das Intervall ganz rechts.

Schritt 4: Sie müssen die Schilder auf den verbleibenden Intervallen beachten. Wir erinnern uns, dass sich beim Durchgang durch jede Wurzel das Vorzeichen ändern muss. Zum Beispiel steht rechts von der Wurzel x = 2 ein Plus (das haben wir im vorherigen Schritt sichergestellt), also muss links ein Minus stehen. Dieses Minus erstreckt sich über das gesamte Intervall (−7; 2), sodass sich rechts von der Wurzel x = −7 ein Minus befindet. Daher gibt es links von der Wurzel x = −7 ein Plus. Es bleibt, diese Zeichen auf der Koordinatenachse zu markieren.

Kehren wir zur ursprünglichen Ungleichung zurück, die die Form hatte:

(x - 2)(x + 7)< 0

So sollte die Funktion sein kleiner als Null. Das bedeutet, dass wir uns für das Minuszeichen interessieren, das nur in einem Intervall vorkommt: (−7; 2). Das wird die Antwort sein.

Beispiel 2:

Ungleichung lösen:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Lösung:

Zuerst müssen Sie die Wurzeln der Gleichung finden

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Lassen Sie uns die erste Klammer reduzieren und erhalten:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Wenn wir diese Gleichungen lösen, erhalten wir:

Zeichnen wir die Punkte auf der Zahlengeraden ein:

Weil x 2 und x 3 mehrere Wurzeln sind, dann gibt es einen Punkt auf der Geraden und darüber „ Schleife”.

Nehmen wir eine beliebige Zahl, die kleiner als der Punkt ganz links ist, und setzen wir sie in die ursprüngliche Ungleichung ein. Nehmen wir die Zahl -1.

Vergessen Sie nicht, die Lösung der Gleichung (gefundenes X) anzugeben, denn Unsere Ungleichheit ist nicht streng.

Antwort: () U ∪(3)∪ (wir definieren das Vorzeichen auf dem Intervall (−6, 4) nicht, da es nicht Teil des Definitionsbereichs der Funktion ist). Nehmen Sie dazu einen Punkt aus jedem Intervall, zum Beispiel 16, 8, 6 und −8, und berechnen Sie darin den Wert der Funktion f:

Wenn Sie Fragen dazu haben, wie herausgefunden wurde, welche berechneten Werte der Funktion positiv oder negativ sind, lesen Sie das Material im Artikel Vergleich von Zahlen.

Wir platzieren die soeben definierten Zeichen und schattieren die Leerzeichen mit einem Minuszeichen:

In der Antwort schreiben wir die Vereinigung zweier Intervalle mit dem Vorzeichen −, wir haben (−∞, −6]∪(7, 12). Beachten Sie, dass −6 in der Antwort enthalten ist (der entsprechende Punkt ist fest, nicht punktiert) Tatsache ist, dass dies nicht der Nullpunkt der Funktion ist (den wir bei der Lösung einer strengen Ungleichung nicht in die Antwort einbeziehen würden), sondern der Randpunkt des Definitionsbereichs (er ist farbig, nicht schwarz) und der Der Wert der Funktion ist zu diesem Zeitpunkt negativ (was durch das Minuszeichen über das entsprechende Intervall angezeigt wird), d. h., 4 muss nicht in die Antwort einbezogen werden (sowie das gesamte Intervall). ∪(7, 12) .

Referenzen.

Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. 9. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Bildung, 2004. – 384 Seiten: Abb.
Kudryavtsev L. D. Kurs der mathematischen Analyse (in zwei Bänden): Lehrbuch für Universitäts- und College-Studenten. – M.: Höher. Schule, 1981, Bd. 1. – 687 S., Abb.

Die Intervallmethode ist eine universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen; sie ermöglicht insbesondere die Lösung quadratischer Ungleichungen mit einer Variablen. In diesem Artikel werden wir alle Nuancen der Lösung quadratischer Ungleichungen mit der Intervallmethode ausführlich behandeln. Zunächst stellen wir den Algorithmus vor, anschließend analysieren wir vorgefertigte Lösungen für typische Beispiele im Detail.

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Algorithmus

Die erste Bekanntschaft mit der Intervallmethode erfolgt meist im Algebraunterricht, wenn man lernt, quadratische Ungleichungen zu lösen. In diesem Fall wird der Algorithmus der Intervallmethode in einer Form angegeben, die speziell an die Lösung quadratischer Ungleichungen angepasst ist. Um der Einfachheit Tribut zu zollen, geben wir es auch in dieser Form an, und Sie können den allgemeinen Algorithmus der Intervallmethode unter dem Link ganz am Anfang dieses Artikels sehen.

Also, Algorithmus zur Lösung quadratischer Ungleichungen mit der Intervallmethode Ist:

Finden der Nullstellen eines quadratischen Trinoms a·x 2 +b·x+c von der linken Seite der quadratischen Ungleichung.
Wir zeichnen es und markieren, falls Wurzeln vorhanden sind, diese darauf. Wenn wir außerdem eine strikte Ungleichung lösen, markieren wir sie mit leeren (punktierten) Punkten, und wenn wir eine nicht strikte Ungleichung lösen, dann mit gewöhnlichen Punkten. Sie unterteilen die Koordinatenachse in Intervalle.
Wir bestimmen, welche Zeichen die Werte des Trinoms auf jedem Intervall (wenn im ersten Schritt Nullen gefunden wurden) oder auf dem gesamten Zahlenstrahl (wenn es keine Nullen gibt) haben, wir erklären Ihnen weiter unten, wie das geht. Und über diese Intervalle schreiben wir nach bestimmten Vorzeichen + oder −.
Wenn wir eine quadratische Ungleichung mit einem >- oder ≥-Zeichen lösen, dann wenden wir eine Schattierung über die Intervalle mit +-Zeichen an, wenn wir jedoch eine Ungleichung mit einem Vorzeichen lösen< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
Wir schreiben die Antwort auf.

Wie versprochen erklären wir den dritten Schritt des angekündigten Algorithmus. Es gibt mehrere grundlegende Ansätze, mit denen Sie Zeichen in Intervallen finden können. Wir werden sie anhand von Beispielen untersuchen und mit einer zuverlässigen, aber nicht schnellsten Methode beginnen, die darin besteht, die Werte des Trinoms an einzelnen Punkten der Intervalle zu berechnen.

Nehmen wir das Trinom x 2 +4·x−5, seine Wurzeln sind die Zahlen −5 und 1, sie teilen den Zahlenstrahl in drei Intervalle (−∞, −5), (−5, 1) und (1, +). ∞).

Bestimmen wir das Vorzeichen des Trinoms x 2 +4·x−5 auf dem Intervall (1, +∞) . Dazu berechnen wir den Wert dieses Trinoms für einen bestimmten Wert von x aus diesem Intervall. Damit die Berechnungen einfacher werden, empfiehlt es sich, den Wert der Variablen zu verwenden. In unserem Fall können wir beispielsweise x=2 annehmen (mit dieser Zahl lassen sich Berechnungen einfacher durchführen als beispielsweise mit 1,3, 74 oder). Wir setzen es anstelle der Variablen x in das Trinom ein, als Ergebnis erhalten wir 2 2 +4 2−5=7. 7 ist eine positive Zahl, was bedeutet, dass jeder Wert des quadratischen Trinoms im Intervall (1, +∞) positiv ist. So haben wir das +-Zeichen definiert.

Um die Fähigkeiten zu festigen, ermitteln wir die Beschilderung auf den verbleibenden beiden Feldern. Beginnen wir mit dem Vorzeichen des Intervalls (−5, 1) . Aus diesem Intervall nimmt man am besten x=0 und berechnet den Wert des quadratischen Trinoms für diesen Wert der Variablen, wir haben 0 2 +4·0−5=−5. Da −5 eine negative Zahl ist, sind in diesem Intervall alle Werte des Trinoms negativ, daher haben wir das Minuszeichen definiert.

Es bleibt noch das Vorzeichen des Intervalls (−∞, −5) herauszufinden. Nehmen wir x=−6 und ersetzen es durch x. Wir erhalten (−6) 2 +4·(−6)−5=7, daher ist das erforderliche Vorzeichen ein Pluszeichen.

Aber die folgenden Fakten ermöglichen es Ihnen, Schilder schneller zu platzieren:

Wenn ein quadratisches Trinom zwei Wurzeln hat (mit einer positiven Diskriminante), dann wechseln sich die Vorzeichen seiner Werte in den Intervallen ab, in die diese Wurzeln die Zahlengerade teilen (wie im vorherigen Beispiel). Das heißt, es reicht aus, das Vorzeichen in einem der drei Intervalle zu bestimmen und die Vorzeichen abwechselnd über die verbleibenden Intervalle zu platzieren. Dadurch ist eine von zwei Zeichenfolgen möglich: +, −, + oder −, +, −. Darüber hinaus kann man im Allgemeinen darauf verzichten, den Wert des quadratischen Trinoms an der Stelle des Intervalls zu berechnen, und aus dem Wert des führenden Koeffizienten a Rückschlüsse auf die Vorzeichen ziehen: Wenn a>0, dann haben wir eine Vorzeichenfolge + , −, +, und wenn a<0 – то −, +, −.
Wenn das quadratische Trinom eine Wurzel hat (wenn die Diskriminante Null ist), dann teilt diese Wurzel die Zahlenlinie in zwei Intervalle und die Vorzeichen darüber sind gleich. Das heißt, es reicht aus, über einem von ihnen ein Zeichen zu bestimmen und über dem anderen dasselbe zu platzieren. Dies führt entweder zu +, + oder −, −. Eine Schlussfolgerung anhand der Vorzeichen kann auch anhand des Werts des Koeffizienten a gezogen werden: Wenn a>0, dann ist es +, +, und wenn a<0 , то −, −.
Wenn ein quadratisches Trinom keine Wurzeln hat, dann stimmen die Vorzeichen seiner Werte auf der gesamten Zahlengeraden sowohl mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a als auch mit dem Vorzeichen des freien Termes c überein. Betrachten Sie zum Beispiel das quadratische Trinom −4 x 2 −7, es hat keine Wurzeln (seine Diskriminante ist negativ) und auf dem Intervall (−∞, +∞) sind seine Werte negativ, da der Koeffizient von x 2 ist eine negative Zahl −4, und der freie Term −7 ist ebenfalls negativ.

Nun wurden alle Schritte des Algorithmus analysiert und es müssen noch Beispiele für die Lösung quadratischer Ungleichungen mit ihm betrachtet werden.

Beispiele mit Lösungen

Kommen wir zum Üben. Lassen Sie uns mehrere quadratische Ungleichungen mit der Intervallmethode lösen und auf die wichtigsten charakteristischen Fälle eingehen.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung 8 x 2 −4 x−1≥0 .

Lösung.

Lösen wir diese quadratische Ungleichung mit der Intervallmethode. Im ersten Schritt werden die Wurzeln des quadratischen Trinoms 8 x 2 −4 x −1 gesucht. Der Koeffizient von x ist gerade, daher ist es bequemer, nicht die Diskriminante, sondern ihren vierten Teil zu berechnen: D"=(−2) 2 −8·(−1)=12. Da er größer als Null ist, finden wir zwei Wurzeln Und .

Jetzt markieren wir sie auf der Koordinatenlinie. Es ist leicht zu erkennen, dass x 1

Als nächstes bestimmen wir mit der Intervallmethode die Vorzeichen für jedes der drei resultierenden Intervalle. Dies geht am bequemsten und schnellsten, basierend auf dem Wert des Koeffizienten bei x 2, er ist gleich 8, also positiv, daher ist die Vorzeichenfolge +, −, +:

Da wir eine Ungleichung mit einem ≥-Zeichen lösen, zeichnen wir eine Schattierung über die Intervalle mit Pluszeichen:

Basierend auf dem resultierenden Bild einer Zahlenmenge ist es nicht schwierig, diese analytisch zu beschreiben: oder so . So haben wir die ursprüngliche quadratische Ungleichung gelöst.

Antwort:

oder .

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Ungleichung Intervallmethode.

Lösung.

Finden Sie die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der linken Seite der Ungleichung:

Da wir eine strikte Ungleichung lösen, stellen wir einen punktierten Punkt mit der Koordinate 7 auf der Koordinatenlinie dar:

Nun bestimmen wir die Vorzeichen auf den beiden resultierenden Intervallen (−∞, 7) und (7, +∞). Dies ist einfach, da die Diskriminante eines quadratischen Trinoms gleich Nullen ist und der führende Koeffizient negativ ist. Wir haben Zeichen −, −:

Da wir eine Ungleichung mit einem Vorzeichen lösen<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Es ist deutlich zu erkennen, dass beide Intervalle (−∞, 7), (7, +∞) Lösungen sind.

Antwort:

(−∞, 7)∪(7, +∞) oder in einer anderen Notation x≠7 .

Beispiel.

Ist die quadratische Ungleichung x 2 +x+7<0 решения?

Lösung.

Um die gestellte Frage zu beantworten, werden wir diese quadratische Ungleichung lösen und da wir die Intervallmethode analysieren, werden wir sie verwenden. Wie üblich beginnen wir damit, die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der linken Seite zu finden. Wir finden die Diskriminante: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27, sie ist kleiner als Null, was bedeutet, dass es keine reellen Wurzeln gibt.

Deshalb zeichnen wir einfach eine Koordinatenlinie, ohne Punkte darauf zu markieren:

Nun bestimmen wir das Vorzeichen der Werte des quadratischen Trinoms. Bei D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Wir lösen vorzeichenbehaftete Ungleichungen<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

Als Ergebnis haben wir eine leere Menge, was bedeutet, dass die ursprüngliche quadratische Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort:

Referenzen.

Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovich A. G. Algebra. 9. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. 11. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Profilniveau) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.

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Sie müssen diese Methode nur verstehen und wie Ihre Westentasche kennen! Schon allein deshalb, weil es zur Lösung rationaler Ungleichungen verwendet wird und weil die Lösung dieser Ungleichungen überraschend einfach ist, wenn man diese Methode richtig kennt. Etwas später verrate ich Ihnen ein paar Geheimnisse, wie Sie bei der Lösung dieser Ungleichungen Zeit sparen können. Na, sind Sie neugierig? Dann lass uns gehen!

Der Kern der Methode besteht darin, die Ungleichheit in Faktoren zu zerlegen (das Thema wiederholen) und die ODZ und das Vorzeichen der Faktoren zu bestimmen. Nehmen wir das einfachste Beispiel: .

Der Bereich akzeptabler Werte () muss hier nicht angegeben werden, da keine Division durch die Variable erfolgt und hier keine Radikale (Wurzeln) beobachtet werden. Hier ist für uns alles bereits faktorisiert. Aber entspannen Sie sich nicht, das alles dient dazu, Sie an die Grundlagen zu erinnern und das Wesentliche zu verstehen!

Nehmen wir an, Sie kennen die Intervallmethode nicht. Wie würden Sie diese Ungleichung lösen? Gehen Sie logisch vor und bauen Sie auf dem auf, was Sie bereits wissen. Erstens ist die linke Seite größer als Null, wenn beide Ausdrücke in Klammern entweder größer als Null oder kleiner als Null sind, weil „plus“ für „plus“ ergibt „plus“ und „minus“ für „minus“ ergibt „plus“, oder? Und wenn die Vorzeichen der Klammerausdrücke unterschiedlich sind, dann ist die linke Seite am Ende kleiner als Null. Was brauchen wir, um die Werte herauszufinden, bei denen die Ausdrücke in Klammern negativ oder positiv sind?

Wir müssen eine Gleichung lösen, sie ist genau das Gleiche wie eine Ungleichung, nur dass es anstelle eines Vorzeichens ein Vorzeichen gibt. Die Wurzeln dieser Gleichung ermöglichen es uns, die Grenzwerte zu bestimmen, bei deren Abweichung die Faktoren größer werden oder kleiner als Null.

Und nun die Intervalle selbst. Was ist ein Intervall? Dies ist ein bestimmtes Intervall der Zahlengeraden, also alle möglichen Zahlen, die zwischen zwei Zahlen enthalten sind – die Enden des Intervalls. Es ist nicht so einfach, sich diese Intervalle im Kopf vorzustellen, daher ist es üblich, Intervalle zu zeichnen, das werde ich Ihnen jetzt beibringen.

Wir zeichnen eine Achse; auf dieser befindet sich die gesamte Zahlenreihe von und bis. Auf der Achse sind Punkte aufgetragen, die sogenannten Nullstellen der Funktion, die Werte, bei denen der Ausdruck gleich Null ist. Diese Punkte sind „festgesteckt“, was bedeutet, dass sie nicht zu den Werten gehören, bei denen die Ungleichung wahr ist. In diesem Fall werden sie punktiert, weil Vorzeichen in der Ungleichung und nicht, das heißt streng genommen größer als und nicht größer oder gleich.

Ich möchte sagen, dass es nicht notwendig ist, Null zu markieren, es ist hier ohne Kreise, sondern nur zum Verständnis und zur Orientierung entlang der Achse. Okay, wir haben die Achse gezeichnet, die Punkte (genauer gesagt Kreise) gesetzt, was kommt als Nächstes, wie wird mir das bei der Lösung helfen? - du fragst. Nehmen Sie nun einfach den Wert für x aus den Intervallen der Reihe nach, setzen Sie sie in Ihre Ungleichung ein und sehen Sie, welches Vorzeichen die Multiplikation ergibt.

Kurz gesagt, nehmen wir es einfach als Beispiel und ersetzen es hier, es wird funktionieren, was bedeutet, dass die Ungleichung über das gesamte Intervall (über das gesamte Intervall) von bis gültig sein wird, von dem aus wir sie übernommen haben. Mit anderen Worten: Wenn x von bis ist, dann ist die Ungleichung wahr.

Dasselbe machen wir mit dem Intervall von bis, nehmen oder beispielsweise ersetzen in, bestimmen das Vorzeichen, das Vorzeichen wird „Minus“ sein. Und das Gleiche machen wir mit dem letzten, dritten Intervall von bis, wo sich das Vorzeichen als „Plus“ herausstellt. Es gibt so viel Text, aber nicht genug Klarheit, oder?

Schauen Sie sich die Ungleichheit noch einmal an.

Nun tragen wir auch die Vorzeichen, die sich dadurch ergeben, auf der gleichen Achse auf. In meinem Beispiel bezeichnet eine gestrichelte Linie den positiven und negativen Abschnitt der Achse.

Schauen Sie sich die Ungleichung an – auf die Zeichnung, noch einmal auf die Ungleichung – und noch einmal auf die Zeichnung, ist etwas klar? Versuchen Sie nun zu sagen, in welchen Intervallen X die Ungleichung wahr sein wird. Richtig, von bis gilt auch die Ungleichung von bis, aber im Intervall von bis ist die Ungleichung Null und dieses Intervall interessiert uns wenig, weil wir ein Vorzeichen in der Ungleichung haben.

Nun, da Sie es herausgefunden haben, müssen Sie nur noch die Antwort aufschreiben! Als Antwort schreiben wir die Intervalle, deren linke Seite größer als Null ist, was lautet, dass X zum Intervall von minus Unendlich bis minus Eins und von Zwei bis Plus Unendlich gehört. Es sollte klargestellt werden, dass die Klammern bedeuten, dass die Werte, durch die das Intervall begrenzt wird, keine Lösungen für die Ungleichung sind, das heißt, sie sind nicht in der Antwort enthalten, sondern geben nur an, dass bis zum Beispiel kein a ist Lösung.

Nun ein Beispiel, in dem Sie nicht nur das Intervall einzeichnen müssen:

Was muss Ihrer Meinung nach getan werden, bevor Punkte auf der Achse gesetzt werden? Ja, zerlege es in Faktoren:

Wir zeichnen Intervalle und platzieren Zeichen. Beachten Sie, dass wir Punktpunkte haben, weil das Vorzeichen streng kleiner als Null ist:

Es ist an der Zeit, Ihnen ein Geheimnis zu verraten, das ich zu Beginn dieses Themas versprochen habe! Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass Sie nicht die Werte aus jedem Intervall ersetzen müssen, um das Vorzeichen zu bestimmen, sondern Sie können das Vorzeichen in einem der Intervalle bestimmen und die Vorzeichen im Rest einfach abwechseln!

So haben wir beim Anbringen der Schilder ein wenig Zeit gespart – ich denke, dieser Zeitgewinn beim Einheitlichen Staatsexamen wird nicht schaden!

Wir schreiben die Antwort:

Betrachten Sie nun ein Beispiel einer fraktional-rationalen Ungleichung – einer Ungleichung, deren beide Teile rationale Ausdrücke sind (siehe).

Was können Sie zu dieser Ungleichheit sagen? Und Sie betrachten es als eine gebrochen-rationale Gleichung. Was machen wir zuerst? Wir sehen sofort, dass es keine Wurzeln gibt, was bedeutet, dass es definitiv rational ist, aber dann ist es ein Bruch und sogar mit einer Unbekannten im Nenner!

Genau, wir brauchen ODZ!

Gehen wir also weiter: Hier haben alle Faktoren außer einem eine Variable ersten Grades, aber es gibt einen Faktor, bei dem x einen zweiten Grad hat. Normalerweise änderte sich unser Vorzeichen, nachdem wir einen der Punkte passiert hatten, an denen die linke Seite der Ungleichung einen Nullwert annimmt, für den wir bestimmt haben, was x in jedem Faktor sein sollte. Aber hier ist es immer positiv, denn jede Zahl zum Quadrat > Null und ein positiver Term.

Glauben Sie, dass dies Auswirkungen auf die Bedeutung von Ungleichheit haben wird? Das ist richtig – es wird keine Auswirkungen haben! Wir können die Ungleichung sicher in beide Teile aufteilen und dadurch diesen Faktor entfernen, sodass er nicht störend wirkt.

Es ist an der Zeit, die Intervalle zu zeichnen; dazu müssen Sie die Grenzwerte bestimmen, ab denen die Multiplikatoren größer und kleiner als Null sein werden. Aber achten Sie darauf, dass es hier ein Vorzeichen gibt, was bedeutet, dass wir den Punkt, an dem die linke Seite der Ungleichung den Wert Null annimmt, nicht auswählen werden, er ist in der Anzahl der Lösungen enthalten, wir haben nur einen solchen Punkt, Dies ist der Punkt, an dem x gleich eins ist. Sollen wir den Punkt einfärben, an dem der Nenner negativ ist? - Natürlich nicht!

Der Nenner darf nicht Null sein, daher sieht das Intervall wie folgt aus:

Anhand dieses Diagramms können Sie die Antwort ganz einfach schreiben. Ich möchte nur sagen, dass Ihnen jetzt eine neue Art von Halterung zur Verfügung steht – quadratisch! Hier ist eine Klammer [ besagt, dass der Wert im Lösungsintervall enthalten ist, d.h. ist Teil der Antwort, diese Klammer entspricht einem ausgefüllten (nicht fixierten) Punkt auf der Achse.

Haben Sie die gleiche Antwort erhalten?

Wir zerlegen es in Faktoren und verschieben alles auf die Seite; schließlich müssen wir nur die Null auf der rechten Seite lassen, um damit zu vergleichen:

Ich mache Sie darauf aufmerksam, dass ich bei der letzten Transformation, um sowohl im Zähler als auch im Nenner zu erhalten, beide Seiten der Ungleichung mit multipliziere. Denken Sie daran, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändert, wenn beide Seiten einer Ungleichung multipliziert werden!!!

Wir schreiben ODZ:

Andernfalls geht der Nenner auf Null und Sie können, wie Sie sich erinnern, nicht durch Null dividieren!

Stimmen Sie zu, die resultierende Ungleichung ist verlockend, Zähler und Nenner zu reduzieren! Dies ist nicht möglich; Sie könnten einige der Entscheidungen oder ODZ verlieren!

Versuchen Sie nun, die Punkte selbst auf die Achse zu legen. Ich möchte nur darauf hinweisen, dass Sie beim Zeichnen von Punkten darauf achten müssen, dass ein Punkt mit einem Wert, der aufgrund des Vorzeichens auf der Achse schattiert dargestellt zu sein scheint, nicht schattiert wird, sondern schattiert wird ausgehöhlt! Warum fragst du? Und erinnern Sie sich an die ODZ, Sie werden nicht so durch Null dividieren?

Denken Sie daran: ODZ steht an erster Stelle! Wenn alle Ungleichungen und Gleichheitszeichen das eine sagen und die ODZ etwas anderes sagt, vertrauen Sie der ODZ, großartig und mächtig!

Nun, Sie haben die Intervalle erstellt. Ich bin sicher, Sie haben meinen Hinweis zum Wechsel verstanden und es so hinbekommen (siehe Bild unten). Jetzt streichen Sie es durch und machen Sie diesen Fehler nicht noch einmal! Welcher Fehler? - du fragst.

Tatsache ist, dass in dieser Ungleichung der Faktor zweimal wiederholt wurde (erinnern Sie sich, wie Sie versucht haben, ihn zu reduzieren?). Wenn also ein Faktor in der Ungleichung gerade oft vorkommt, ändert sich das Vorzeichen nicht, wenn er durch einen Punkt auf der Achse geht, der diesen Faktor auf Null setzt (in diesem Fall einen Punkt). , dann ändert sich das Vorzeichen!

Die folgende Achse mit Intervallen und Vorzeichen ist korrekt:

Antwort:

Und bitte beachten Sie, dass das Vorzeichen, an dem wir interessiert sind, nicht dasjenige ist, das am Anfang war (als wir die Ungleichung zum ersten Mal sahen, war das Vorzeichen da). Nach den Transformationen änderte sich das Vorzeichen in, was bedeutet, dass wir an Intervallen interessiert sind mit einem Schild.

Ich möchte auch sagen, dass es Situationen gibt, in denen es Wurzeln der Ungleichheit gibt, die in kein Intervall fallen. Als Antwort darauf werden sie in geschweiften Klammern geschrieben, zum Beispiel so: . Mehr über solche Situationen können Sie im Artikel Durchschnittsniveau lesen.

Fassen wir zusammen, wie man Ungleichungen mit der Intervallmethode löst:
Wir verschieben alles auf die linke Seite und lassen auf der rechten Seite nur Null übrig;
Wir finden ODZ;
Wir tragen alle Wurzeln der Ungleichung auf der Achse ein;
Wir nehmen ein beliebiges aus einem der Intervalle und bestimmen das Vorzeichen in dem Intervall, zu dem die Wurzel gehört, wechseln die Vorzeichen ab und achten dabei auf die Wurzeln, die sich in der Ungleichung mehrmals wiederholen von der Gleichmäßigkeit oder Ungeradheit der Häufigkeit, mit der sie wiederholt werden oder nicht;

Als Antwort schreiben wir Intervalle, beobachten die punktierten und nicht punktierten Punkte (siehe ODZ) und platzieren die erforderlichen Klammertypen dazwischen.

Und schließlich unser Lieblingsabschnitt: „Do it yourself“!

Beispiele:

Antworten:

INTERVALLMETHODE. MITTLERE EBENE

Eine Funktion der Form heißt linear. Nehmen wir als Beispiel eine Funktion. Es ist positiv und negativ. Der Punkt ist der Nullpunkt der Funktion (). Lassen Sie uns die Vorzeichen dieser Funktion auf der Zahlenachse zeigen:

Wir sagen: „Die Funktion ändert das Vorzeichen, wenn sie durch den Punkt geht.“

Es ist ersichtlich, dass die Vorzeichen der Funktion der Position des Funktionsgraphen entsprechen: Liegt der Graph über der Achse, ist das Vorzeichen „ “, liegt er darunter, ist „ “.

Wenn wir die resultierende Regel auf eine beliebige lineare Funktion verallgemeinern, erhalten wir den folgenden Algorithmus:

Den Nullpunkt der Funktion finden;
Wir markieren es auf der Zahlenachse;
Wir bestimmen das Vorzeichen der Funktion auf gegenüberliegenden Seiten von Null.

Quadratische Funktion

Ich hoffe, Sie erinnern sich, wie man quadratische Ungleichungen löst? Wenn nicht, lesen Sie das Thema. Ich möchte Sie an die allgemeine Ansicht erinnern quadratische Funktion: .

Erinnern wir uns nun daran, welche Vorzeichen die quadratische Funktion hat. Sein Graph ist eine Parabel, und die Funktion nimmt das Vorzeichen „ “ für diejenigen an, bei denen die Parabel über der Achse liegt, und „ “ – wenn die Parabel unter der Achse liegt:

Wenn eine Funktion Nullstellen hat (Werte, bei denen), schneidet die Parabel die Achse in zwei Punkten – den Wurzeln der entsprechenden quadratischen Gleichung. Somit ist die Achse in drei Intervalle unterteilt und die Vorzeichen der Funktion ändern sich beim Durchgang durch jede Wurzel abwechselnd.

Ist es möglich, die Vorzeichen irgendwie zu bestimmen, ohne jedes Mal eine Parabel zu zeichnen?

Denken Sie daran, dass ein quadratisches Trinom faktorisiert werden kann:

Zum Beispiel: .

Markieren wir die Wurzeln auf der Achse:

Wir erinnern uns, dass sich das Vorzeichen einer Funktion nur beim Durchgang durch die Wurzel ändern kann. Machen wir uns diese Tatsache zunutze: Für jedes der drei Intervalle, in die die Achse durch Wurzeln unterteilt ist, reicht es aus, das Vorzeichen der Funktion nur an einem willkürlich gewählten Punkt zu bestimmen: An den übrigen Punkten des Intervalls ist das Vorzeichen gleich .

In unserem Beispiel: at sind beide Ausdrücke in Klammern positiv (Ersatz, zum Beispiel:). Wir setzen ein „ “-Zeichen auf die Achse:

Nun, wenn (z. B. Ersatz) beide Klammern negativ sind, was bedeutet, dass das Produkt positiv ist:

Das ist es Intervallmethode: Wenn wir die Vorzeichen der Faktoren in jedem Intervall kennen, bestimmen wir das Vorzeichen des gesamten Produkts.

Betrachten wir auch Fälle, in denen die Funktion keine oder nur eine Nullstelle hat.

Wenn sie nicht da sind, gibt es keine Wurzeln. Dies bedeutet, dass es keinen „Durchgang durch die Wurzel“ geben wird. Das bedeutet, dass die Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl nur ein Vorzeichen benötigt. Sie lässt sich leicht ermitteln, indem man sie in eine Funktion einsetzt.

Wenn es nur eine Wurzel gibt, berührt die Parabel die Achse, sodass sich das Vorzeichen der Funktion beim Durchgang durch die Wurzel nicht ändert. Welche Regel können wir für solche Situationen aufstellen?

Wenn man eine solche Funktion faktorisiert, erhält man zwei identische Faktoren:

Und jeder quadratische Ausdruck ist nicht negativ! Daher ändert sich das Vorzeichen der Funktion nicht. In solchen Fällen markieren wir die Wurzel, durch die sich das Vorzeichen nicht ändert, indem wir sie mit einem Quadrat umkreisen:

Wir nennen eine solche Wurzel ein Vielfaches.

Intervallmethode in Ungleichungen

Jetzt kann jede quadratische Ungleichung gelöst werden, ohne eine Parabel zu zeichnen. Es reicht aus, nur die Vorzeichen der quadratischen Funktion auf der Achse zu platzieren und Intervalle abhängig vom Vorzeichen der Ungleichung auszuwählen. Zum Beispiel:

Lassen Sie uns die Wurzeln auf der Achse messen und die Zeichen platzieren:

Wir benötigen den Teil der Achse mit dem „ “-Zeichen; Da die Ungleichung nicht streng ist, werden auch die Wurzeln selbst in die Lösung einbezogen:

Betrachten Sie nun eine rationale Ungleichung – eine Ungleichung, deren beide Seiten rationale Ausdrücke sind (siehe).

Beispiel:

Alle Faktoren bis auf einen sind hier „linear“, das heißt, sie enthalten eine Variable nur in der ersten Potenz. Wir benötigen solche linearen Faktoren, um die Intervallmethode anzuwenden – das Vorzeichen ändert sich beim Durchgang durch ihre Wurzeln. Aber der Multiplikator hat überhaupt keine Wurzeln. Dies bedeutet, dass es immer positiv ist (überprüfen Sie es selbst) und daher das Vorzeichen der gesamten Ungleichung nicht beeinflusst. Das bedeutet, dass wir die linke und rechte Seite der Ungleichung dadurch dividieren und sie so loswerden können:

Jetzt ist alles wie bei quadratischen Ungleichungen: Wir bestimmen, an welchen Punkten jeder der Faktoren Null wird, markieren diese Punkte auf der Achse und ordnen die Vorzeichen an. Ich möchte Sie auf eine sehr wichtige Tatsache aufmerksam machen:

Antwort: . Beispiel: .

Um die Intervallmethode anzuwenden, muss einer der Teile der Ungleichung haben. Verschieben wir daher die rechte Seite nach links:

Zähler und Nenner haben den gleichen Faktor, aber reduzieren Sie ihn nicht überstürzt! Denn dann könnten wir vergessen, diesen Punkt hervorzuheben. Es ist besser, diese Wurzel als Vielfaches zu markieren, d. h. beim Durchlaufen ändert sich das Vorzeichen nicht:

Antwort: .

Und noch ein sehr anschauliches Beispiel:

Auch hier heben wir nicht die gleichen Faktoren von Zähler und Nenner auf, denn wenn wir das tun, müssen wir besonders daran denken, den Punkt zu punktieren.

: wiederholt;
: Zeiten;
: Zeiten (im Zähler und eins im Nenner).

Bei einer geraden Zahl machen wir dasselbe wie zuvor: Wir zeichnen ein Quadrat um den Punkt und ändern beim Durchgang durch die Wurzel das Vorzeichen nicht. Bei einer ungeraden Zahl gilt diese Regel jedoch nicht: Das Vorzeichen ändert sich beim Durchgang durch die Wurzel trotzdem. Deshalb machen wir mit einer solchen Wurzel nichts weiter, als wäre sie kein Vielfaches. Die oben genannten Regeln gelten für alle geraden und ungeraden Potenzen.

Was sollen wir in die Antwort schreiben?

Wenn der Zeichenwechsel verletzt wird, müssen Sie sehr vorsichtig sein, denn wenn die Ungleichung nicht streng ist, sollte die Antwort enthalten alle schattierten Punkte. Einige von ihnen stehen jedoch häufig abseits, sind also nicht im schattierten Bereich enthalten. In diesem Fall fügen wir sie als isolierte Punkte (in geschweiften Klammern) zur Antwort hinzu:

Beispiele (entscheide selbst):

Beispiele:

Wenn es unter den Faktoren einfach ist, ist es eine Wurzel, weil es dargestellt werden kann als.
.

INTERVALLMETHODE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Intervallmethode wird zur Lösung rationaler Ungleichungen verwendet. Es besteht darin, das Vorzeichen des Produkts aus den Vorzeichen der Faktoren in verschiedenen Intervallen zu bestimmen.

Algorithmus zur Lösung rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode.

Wir verschieben alles auf die linke Seite und lassen auf der rechten Seite nur Null übrig;
Wir finden ODZ;
Wir tragen alle Wurzeln der Ungleichung auf der Achse ein;
Wir nehmen ein beliebiges aus einem der Intervalle und bestimmen das Vorzeichen in dem Intervall, zu dem die Wurzel gehört, wechseln die Vorzeichen ab und achten dabei auf die Wurzeln, die sich in der Ungleichung mehrmals wiederholen von der Gleichmäßigkeit oder Ungeradheit der Häufigkeit, mit der sie wiederholt werden oder nicht;
Als Antwort schreiben wir Intervalle, beobachten die unterbrochenen und nicht unterbrochenen Punkte (siehe ODZ) und setzen die erforderlichen Klammertypen dazwischen.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Eintritt ins College mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die diese nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Ich weiß es nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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Es ist wie im Sport – man muss es viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

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„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

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