So vereinfachen Sie einen mathematischen Ausdruck. Video-Tutorial „Ausdrücke vereinfachen“

Hinweis 1

Eine boolesche Funktion kann mithilfe eines booleschen Ausdrucks geschrieben und dann in eine Logikschaltung übertragen werden. Es ist notwendig, logische Ausdrücke zu vereinfachen, um eine möglichst einfache (und damit kostengünstigere) logische Schaltung zu erhalten. Tatsächlich sind eine logische Funktion, ein logischer Ausdruck und ein logischer Schaltkreis drei verschiedene Sprachen, die über eine Entität sprechen.

Um logische Ausdrücke zu vereinfachen, verwenden Sie Gesetze der Algebra-Logik.

Einige Transformationen ähneln Transformationen von Formeln in der klassischen Algebra (Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Verwendung von Kommutativ- und Kombinationsgesetzen usw.), während andere Transformationen auf Eigenschaften basieren, die die Operationen der klassischen Algebra nicht haben (unter Verwendung des Distributivs). Konjunktionsgesetz, Absorptionsgesetz, Klebegesetz, De-Morgan-Regeln usw.).

Die Gesetze der logischen Algebra werden für grundlegende logische Operationen formuliert – „NICHT“ – Umkehrung (Negation), „UND“ – Konjunktion (logische Multiplikation) und „ODER“ – Disjunktion (logische Addition).

Das Gesetz der doppelten Negation bedeutet, dass die „NOT“-Operation umkehrbar ist: Wenn Sie sie zweimal anwenden, ändert sich am Ende der logische Wert nicht.

Das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte besagt, dass jeder logische Ausdruck entweder wahr oder falsch ist („es gibt keinen Dritten“). Wenn also $A=1$, dann ist $\bar(A)=0$ (und umgekehrt), was bedeutet, dass die Konjunktion dieser Größen immer gleich Null und die Disjunktion immer gleich Eins ist.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Vereinfachen wir diese Formel:

Abbildung 3.

Daraus folgt, dass $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Antwort: Die Schüler $B$, $C$ und $D$ spielen Schach, aber Schüler $A$ spielt nicht.

Beim Vereinfachen logischer Ausdrücke können Sie die folgende Abfolge von Aktionen ausführen:

Ersetzen Sie alle „nicht-grundlegenden“ Operationen (Äquivalenz, Implikation, Exklusiv-ODER usw.) durch ihre Ausdrücke durch die Grundoperationen Inversion, Konjunktion und Disjunktion.
Erweitern Sie Inversionen komplexer Ausdrücke nach den Regeln von De Morgan so, dass Negationsoperationen nur für einzelne Variablen übrig bleiben.
Vereinfachen Sie dann den Ausdruck, indem Sie Klammern öffnen, gemeinsame Faktoren außerhalb der Klammern platzieren und andere Gesetze der logischen Algebra anwenden.

Beispiel 2

Hier werden nacheinander die De-Morgan-Regel, das Verteilungsgesetz, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, das Kommutativgesetz, das Wiederholungsgesetz, wiederum das Kommutativgesetz und das Absorptionsgesetz verwendet.

Ein Literalausdruck (oder ein Ausdruck mit Variablen) ist mathematischer Ausdruck, das aus Zahlen, Buchstaben und Symbolen mathematischer Operationen besteht. Der folgende Ausdruck ist beispielsweise literal:

a+b+4

Mit alphabetischen Ausdrücken können Sie Gesetze, Formeln, Gleichungen und Funktionen schreiben. Die Fähigkeit, Buchstabenausdrücke zu manipulieren, ist der Schlüssel zu guten Kenntnissen in Algebra und höherer Mathematik.

Jedes ernsthafte Problem in der Mathematik besteht darin, Gleichungen zu lösen. Und um Gleichungen lösen zu können, muss man mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten können.

Um mit wörtlichen Ausdrücken arbeiten zu können, müssen Sie mit den Grundrechenarten vertraut sein: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Grundgesetze der Mathematik, Brüche, Operationen mit Brüchen, Proportionen. Und nicht nur studieren, sondern gründlich verstehen.

Unterrichtsinhalte

Variablen

Buchstaben, die in Literalausdrücken enthalten sind, werden aufgerufen Variablen. Zum Beispiel im Ausdruck a+b+4 Die Variablen sind die Buchstaben A Und B. Wenn wir diese Variablen durch beliebige Zahlen ersetzen, erhalten wir einen Literalausdruck a+b+4 wird in einen numerischen Ausdruck umgewandelt, dessen Wert gefunden werden kann.

Zahlen, die Variablen ersetzen, werden aufgerufen Werte von Variablen. Lassen Sie uns beispielsweise die Werte der Variablen ändern A Und B. Das Gleichheitszeichen wird zum Ändern von Werten verwendet

a = 2, b = 3

Wir haben die Werte der Variablen geändert A Und B. Variable A einen Wert zugewiesen 2 , variabel B einen Wert zugewiesen 3 . Daraus ergibt sich der wörtliche Ausdruck a+b+4 wird zu einem regulären numerischen Ausdruck 2+3+4 dessen Wert zu finden ist:

2 + 3 + 4 = 9

Wenn Variablen multipliziert werden, werden sie zusammengeschrieben. Zum Beispiel aufzeichnen ab bedeutet dasselbe wie der Eintrag a×b. Wenn wir die Variablen ersetzen A Und B Zahlen 2 Und 3 , dann erhalten wir 6

2 × 3 = 6

Sie können die Multiplikation einer Zahl mit einem Ausdruck auch in Klammern zusammenfassen. Zum Beispiel statt a×(b + c) kann aufgeschrieben werden a(b + c). Unter Anwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation erhalten wir a(b + c)=ab+ac.

Chancen

In literalen Ausdrücken findet man häufig eine Schreibweise, bei der beispielsweise eine Zahl und eine Variable zusammen geschrieben werden 3a. Dies ist eigentlich eine Abkürzung für die Multiplikation der Zahl 3 mit einer Variablen. A und dieser Eintrag sieht so aus 3×a .

Mit anderen Worten, der Ausdruck 3a ist das Produkt der Zahl 3 und der Variablen A. Nummer 3 in dieser Arbeit nennen sie Koeffizient. Dieser Koeffizient gibt an, wie oft die Variable erhöht wird A. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ A dreimal“ oder „dreimal A“ oder „den Wert einer Variablen erhöhen“. A dreimal“, wird aber am häufigsten als „drei“ gelesen A«

Wenn beispielsweise die Variable A gleich 5 , dann der Wert des Ausdrucks 3a wird gleich 15 sein.

3 × 5 = 15

Apropos in einfacher Sprache, der Koeffizient ist die Zahl, die vor dem Buchstaben (vor der Variablen) steht.

Es können beispielsweise mehrere Buchstaben sein 5abc. Hier ist der Koeffizient die Zahl 5 . Dieser Koeffizient zeigt das Produkt von Variablen ABC verfünffacht. Dieser Ausdruck kann gelesen werden als „ ABC fünfmal“ oder „den Wert des Ausdrucks erhöhen“. ABC fünfmal“ oder „fünf ABC«.

Wenn anstelle von Variablen ABC Ersetzen Sie die Zahlen 2, 3 und 4 und dann den Wert des Ausdrucks 5abc wird gleich sein 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Sie können sich gedanklich vorstellen, wie die Zahlen 2, 3 und 4 zunächst multipliziert wurden und sich der resultierende Wert verfünffachte:

Das Vorzeichen des Koeffizienten bezieht sich nur auf den Koeffizienten und gilt nicht für die Variablen.

Betrachten Sie den Ausdruck −6b. Minus vor dem Koeffizienten 6 , gilt nur für den Koeffizienten 6 und gehört nicht zur Variablen B. Wenn Sie diese Tatsache verstehen, können Sie in Zukunft keine Fehler mehr bei Schildern machen.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln −6b bei b = 3.

−6b −6×b. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck −6b in erweiterter Form und ersetzen Sie den Wert der Variablen B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −6b bei b = −5

Schreiben wir den Ausdruck auf −6b in erweiterter Form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −5a+b bei a = 3 Und b = 2

−5a+b Dies ist eine Kurzform für −5 × a + b, also schreiben wir der Klarheit halber den Ausdruck −5×a+b in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen A Und B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Manchmal werden beispielsweise Buchstaben ohne Koeffizienten geschrieben A oder ab. In diesem Fall ist der Koeffizient eins:

aber traditionell wird die Einheit nicht aufgeschrieben, also wird einfach geschrieben A oder ab

Steht vor dem Buchstaben ein Minus, ist der Koeffizient eine Zahl −1 . Zum Beispiel der Ausdruck −a sieht tatsächlich so aus −1a. Dies ist das Produkt aus minus eins und der Variablen A. Es stellte sich so heraus:

−1 × a = −1a

Hier gibt es einen kleinen Haken. Im Ausdruck −a Minuszeichen vor der Variablen A bezieht sich tatsächlich eher auf eine „unsichtbare Einheit“ als auf eine Variable A. Daher sollten Sie bei der Lösung von Problemen vorsichtig sein.

Zum Beispiel, wenn der Ausdruck gegeben wird −a und wir werden gebeten, seinen Wert zu ermitteln a = 2, dann haben wir in der Schule eine Zwei anstelle einer Variablen eingesetzt A und erhielt eine Antwort −2 , ohne sich zu sehr darauf zu konzentrieren, wie es ausgegangen ist. Tatsächlich wurde minus eins mit der positiven Zahl 2 multipliziert

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Wenn der Ausdruck gegeben ist −a und Sie müssen seinen Wert finden a = −2, dann ersetzen wir −2 anstelle einer Variablen A

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Um Fehler zu vermeiden, können zunächst unsichtbare Einheiten explizit angegeben werden.

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=2 , b=3 Und c=4

Ausdruck ABC 1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck ABC a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Beispiel 5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks ABC bei a=−2 , b=−3 Und c=−4

Schreiben wir den Ausdruck auf ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Beispiel 6. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=3, b=5 und c=7

Ausdruck − ABC Dies ist eine Kurzform für −1×a×b×c. Der Klarheit halber schreiben wir den Ausdruck − ABC in erweiterter Form und ersetzen Sie die Werte der Variablen a, b Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Beispiel 7. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks − ABC bei a=−2 , b=−4 und c=−3

Schreiben wir den Ausdruck auf − ABC in erweiterter Form:

−abc = −1 × a × b × c

Ersetzen wir die Werte der Variablen A , B Und C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

So bestimmen Sie den Koeffizienten

Manchmal müssen Sie ein Problem lösen, bei dem Sie den Koeffizienten eines Ausdrucks bestimmen müssen. Im Prinzip ist diese Aufgabe sehr einfach. Es reicht aus, Zahlen richtig multiplizieren zu können.

Um den Koeffizienten in einem Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie die in diesem Ausdruck enthaltenen Zahlen und die Buchstaben separat multiplizieren. Der resultierende numerische Faktor ist der Koeffizient.

Beispiel 1. 7m×5a×(−3)×n

Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Dies kann man deutlich erkennen, wenn man den Ausdruck in erweiterter Form schreibt. Das heißt, die Werke 7m Und 5a schreibe es in das Formular 7×m Und 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Wenden wir das assoziative Multiplikationsgesetz an, das es Ihnen ermöglicht, Faktoren in beliebiger Reihenfolge zu multiplizieren. Wir werden nämlich die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben (Variablen) separat multiplizieren:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Der Koeffizient ist −105 . Nach Fertigstellung empfiehlt es sich, den Buchstabenteil alphabetisch zu ordnen:

−105 Uhr

Beispiel 2. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Der Koeffizient beträgt 6.

Beispiel 3. Bestimmen Sie den Koeffizienten im Ausdruck:

Lassen Sie uns Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

Der Koeffizient ist −1. Bitte beachten Sie, dass die Einheit nicht angeschrieben wird, da es üblich ist, den Koeffizienten 1 nicht anzugeben.

Diese scheinbar einfachsten Aufgaben können uns einen sehr grausamen Streich spielen. Es stellt sich oft heraus, dass das Vorzeichen des Koeffizienten falsch eingestellt ist: Entweder fehlt das Minus oder es wurde im Gegenteil vergeblich eingestellt. Um diese lästigen Fehler zu vermeiden, muss es auf einem guten Niveau studiert werden.

Addends in Literalausdrücken

Bei der Addition mehrerer Zahlen erhält man die Summe dieser Zahlen. Zahlen, die addieren, werden Addenden genannt. Es kann mehrere Begriffe geben, zum Beispiel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wenn ein Ausdruck aus Termen besteht, ist die Auswertung viel einfacher, da das Addieren einfacher ist als das Subtrahieren. Der Ausdruck kann aber nicht nur Addition, sondern auch Subtraktion enthalten, zum Beispiel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In diesem Ausdruck sind die Zahlen 3 und 5 Subtrahenden, keine Summanden. Aber nichts hindert uns daran, die Subtraktion durch die Addition zu ersetzen. Dann erhalten wir wieder einen Ausdruck bestehend aus Termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Es spielt keine Rolle, dass die Zahlen −3 und −5 jetzt ein Minuszeichen haben. Die Hauptsache ist, dass alle Zahlen in diesem Ausdruck durch ein Additionszeichen verbunden sind, das heißt, der Ausdruck ist eine Summe.

Beide Ausdrücke 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Und 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gleich dem gleichen Wert - minus eins

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Daher wird die Bedeutung des Ausdrucks nicht beeinträchtigt, wenn wir irgendwo die Subtraktion durch die Addition ersetzen.

Sie können in Literalausdrücken auch die Subtraktion durch die Addition ersetzen. Betrachten Sie beispielsweise den folgenden Ausdruck:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Für beliebige Werte von Variablen a, b, c, d Und S Ausdrücke 7a + 6b − 3c + 2d − 4s Und 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) wird dem gleichen Wert entsprechen.

Sie müssen darauf vorbereitet sein, dass ein Lehrer in einer Schule oder einem Institut gerade Zahlen (oder Variablen) nennen kann, die keine Summanden sind.

Zum Beispiel, wenn die Differenz an die Tafel geschrieben wird a − b, dann wird der Lehrer das nicht sagen A ist ein Minuend, und B- subtrahierbar. Er wird beide Variablen mit einem gemeinsamen Wort bezeichnen – Bedingungen. Und das alles wegen des Ausdrucks der Form a − b Der Mathematiker sieht, wie die Summe entsteht a+(−b). In diesem Fall wird der Ausdruck zu einer Summe und den Variablen A Und (−b) werden zu Begriffen.

Ausdrücke vereinfachen

„den Ausdruck vereinfachen“ und unten ist der Ausdruck, der vereinfacht werden muss. Vereinfachen Sie einen Ausdruck bedeutet, es einfacher und kürzer zu machen.

Tatsächlich haben wir Ausdrücke bereits vereinfacht, als wir Brüche reduziert haben. Nach der Reduktion wurde der Bruch kürzer und leichter verständlich.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Vereinfachen Sie den Ausdruck.

Diese Aufgabe kann wörtlich wie folgt verstanden werden: „Wenden Sie alle gültigen Aktionen auf diesen Ausdruck an, aber machen Sie es einfacher.“ .

In diesem Fall können Sie den Bruch kürzen, nämlich Zähler und Nenner des Bruchs durch 2 dividieren:

Was können Sie sonst noch tun? Sie können den resultierenden Bruch berechnen. Dann erhalten wir den Dezimalbruch 0,5

Infolgedessen wurde der Bruch auf 0,5 vereinfacht.

Die erste Frage, die Sie sich stellen müssen, wenn Sie solche Probleme lösen, sollte sein „Was kann getan werden?“ . Denn es gibt Aktionen, die Sie ausführen können, und es gibt Aktionen, die Sie nicht ausführen können.

Ein anderer wichtiger Punkt Beachten Sie, dass sich der Wert des Ausdrucks nach der Vereinfachung des Ausdrucks nicht ändern sollte. Kehren wir zum Ausdruck zurück. Dieser Ausdruck stellt eine Division dar, die durchgeführt werden kann. Nachdem wir diese Division durchgeführt haben, erhalten wir den Wert dieses Ausdrucks, der 0,5 beträgt

Aber wir haben den Ausdruck vereinfacht und einen neuen vereinfachten Ausdruck erhalten. Der Wert des neuen vereinfachten Ausdrucks beträgt immer noch 0,5

Wir haben aber auch versucht, den Ausdruck zu vereinfachen, indem wir ihn berechnet haben. Als Ergebnis erhielten wir eine endgültige Antwort von 0,5.

Unabhängig davon, wie wir den Ausdruck vereinfachen, ist der Wert der resultierenden Ausdrücke immer noch gleich 0,5. Dies bedeutet, dass die Vereinfachung in jeder Phase korrekt durchgeführt wurde. Genau das sollten wir bei der Vereinfachung von Ausdrücken anstreben – die Bedeutung des Ausdrucks soll durch unser Handeln nicht leiden.

Oft ist es notwendig, wörtliche Ausdrücke zu vereinfachen. Für sie gelten die gleichen Vereinfachungsregeln wie für numerische Ausdrücke. Sie können alle gültigen Aktionen ausführen, solange sich der Wert des Ausdrucks nicht ändert.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 5,21s × t × 2,5

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie die Zahlen separat multiplizieren und die Buchstaben separat multiplizieren. Diese Aufgabe ist derjenigen sehr ähnlich, die wir uns angesehen haben, als wir lernten, den Koeffizienten zu bestimmen:

5,21 s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025 st

Also der Ausdruck 5,21s × t × 2,5 vereinfacht zu 13.025st.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2

Zweites Stück (−6,3b) kann in eine für uns verständliche Form übersetzt werden, nämlich geschrieben in der Form ( −6,3)×b , Dann multipliziere die Zahlen einzeln und multipliziere die Buchstaben einzeln:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Also der Ausdruck −0,4 × (−6,3b) × 2 vereinfacht zu 5.04b

Beispiel 3. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um deutlich zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Lassen Sie uns nun die Zahlen einzeln multiplizieren und die Buchstaben einzeln multiplizieren:

Also der Ausdruck vereinfacht zu −abc. Diese Lösung kann kurz geschrieben werden:

Beim Vereinfachen von Ausdrücken können Brüche während des Lösungsprozesses reduziert werden und nicht ganz am Ende, wie wir es getan haben gewöhnliche Brüche. Wenn wir beispielsweise im Laufe der Lösung auf einen Ausdruck der Form stoßen, ist es überhaupt nicht notwendig, Zähler und Nenner zu berechnen und so etwas zu tun:

Ein Bruch lässt sich reduzieren, indem man sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor wählt und diese Faktoren um ihren größten gemeinsamen Faktor reduziert. Mit anderen Worten, eine Verwendung, bei der wir nicht im Detail beschreiben, in was Zähler und Nenner unterteilt wurden.

Zum Beispiel ist im Zähler der Faktor 12 und im Nenner kann der Faktor 4 um 4 reduziert werden. Wir behalten die Vier im Kopf, dividieren 12 und 4 durch diese Vier und schreiben die Antworten neben diese Zahlen. nachdem ich sie zuerst durchgestrichen habe

Nun können Sie die resultierenden kleinen Faktoren multiplizieren. In diesem Fall gibt es nur wenige davon und Sie können sie in Ihrem Kopf multiplizieren:

Mit der Zeit stellen Sie möglicherweise fest, dass die Ausdrücke beim Lösen eines bestimmten Problems „fetter“ werden. Daher ist es ratsam, sich an schnelle Berechnungen zu gewöhnen. Was im Kopf berechnet werden kann, muss im Kopf berechnet werden. Was schnell reduziert werden kann, muss schnell reduziert werden.

Beispiel 4. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 5. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt multiplizieren:

Also der Ausdruck vereinfacht zu mn.

Beispiel 6. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Schreiben wir diesen Ausdruck detaillierter, um deutlich zu sehen, wo sich die Zahlen und wo die Buchstaben befinden:

Jetzt multiplizieren wir die Zahlen getrennt und die Buchstaben getrennt. Zur Vereinfachung der Berechnung ist der Dezimalbruch −6,4 und gemischte Zahl kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Die Lösung für dieses Beispiel kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

Beispiel 7. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Lassen Sie uns Zahlen getrennt und Buchstaben getrennt multiplizieren. Zur Vereinfachung der Berechnung können gemischte Zahlen und Dezimalbrüche 0,1 und 0,6 in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden:

Also der Ausdruck vereinfacht zu abcd. Wenn Sie die Details weglassen, kann diese Lösung viel kürzer geschrieben werden:

Beachten Sie, wie der Bruch reduziert wurde. Auch neue Faktoren, die durch Reduzierung früherer Faktoren entstehen, dürfen reduziert werden.

Lassen Sie uns nun darüber sprechen, was Sie nicht tun sollten. Bei der Vereinfachung von Ausdrücken ist es strengstens verboten, Zahlen und Buchstaben zu multiplizieren, wenn der Ausdruck eine Summe und kein Produkt ist.

Zum Beispiel, wenn Sie den Ausdruck vereinfachen möchten 5a+4b, dann kannst du es nicht so schreiben:

Das ist dasselbe, als ob wir aufgefordert würden, zwei Zahlen zu addieren und sie zu multiplizieren, anstatt sie zu addieren.

Beim Ersetzen beliebiger Variablenwerte A Und B Ausdruck 5a +4b verwandelt sich in einen gewöhnlichen numerischen Ausdruck. Nehmen wir an, dass die Variablen A Und B haben folgende Bedeutung:

a = 2, b = 3

Dann ist der Wert des Ausdrucks gleich 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Zuerst wird eine Multiplikation durchgeführt und dann werden die Ergebnisse addiert. Und wenn wir versuchen würden, diesen Ausdruck durch Multiplikation von Zahlen und Buchstaben zu vereinfachen, würden wir Folgendes erhalten:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Es ergibt sich eine völlig andere Bedeutung des Ausdrucks. Im ersten Fall hat es funktioniert 22 , im zweiten Fall 120 . Dies bedeutet, dass der Ausdruck vereinfacht wird 5a+4b wurde falsch durchgeführt.

Nach der Vereinfachung eines Ausdrucks sollte sich sein Wert bei gleichen Werten der Variablen nicht ändern. Wenn beim Einsetzen beliebiger Variablenwerte in den ursprünglichen Ausdruck ein Wert erhalten wird, sollte nach der Vereinfachung des Ausdrucks derselbe Wert wie vor der Vereinfachung erhalten werden.

Mit Ausdruck 5a+4b Es gibt wirklich nichts, was du tun kannst. Es vereinfacht es nicht.

Wenn ein Ausdruck ähnliche Begriffe enthält, können diese hinzugefügt werden, wenn unser Ziel darin besteht, den Ausdruck zu vereinfachen.

Beispiel 8. Vereinfachen Sie einen Ausdruck 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

oder kürzer: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Also der Ausdruck 0,3a−0,4a+a vereinfacht zu 0,9a

Beispiel 9. Vereinfachen Sie einen Ausdruck −7,5a − 2,5b + 4a

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

oder kürzer −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Begriff (−2,5b) blieb unverändert, weil es nichts gab, was man dagegen tun könnte.

Beispiel 10. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Der Koeffizient diente der einfacheren Berechnung.

Also der Ausdruck vereinfacht zu

Beispiel 11. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

IN in diesem Beispiel Sinnvoller wäre es, zuerst den ersten und den letzten Koeffizienten zu addieren. In diesem Fall hätten wir eine kurze Lösung. Es würde so aussehen:

Beispiel 12. Vereinfachen Sie einen Ausdruck

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Begriffe hinzufügen:

Also der Ausdruck vereinfacht zu .

Der Begriff blieb unverändert, da ihm nichts hinzuzufügen war.

Diese Lösung kann viel kürzer geschrieben werden. Es wird so aussehen:

In der kurzen Lösung wurden die Schritte des Ersetzens der Subtraktion durch Addition und die Beschreibung, wie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, übersprungen.

Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass in detaillierte Lösung Die Antwort sieht so aus , aber kurz als . Tatsächlich handelt es sich um denselben Ausdruck. Der Unterschied besteht darin, dass im ersten Fall die Subtraktion durch die Addition ersetzt wird, da wir zu Beginn die Lösung geschrieben haben ausführlich, haben wir die Subtraktion, wo immer möglich, durch die Addition ersetzt, und dieser Ersatz wurde für die Antwort beibehalten.

Identitäten. Identisch gleiche Ausdrücke

Sobald wir einen Ausdruck vereinfacht haben, wird er einfacher und kürzer. Um zu überprüfen, ob der vereinfachte Ausdruck korrekt ist, reicht es aus, alle Variablenwerte zuerst in den vorherigen Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den neuen, vereinfachten Ausdruck einzusetzen. Wenn der Wert in beiden Ausdrücken gleich ist, ist der vereinfachte Ausdruck wahr.

Lassen Sie uns überlegen einfachstes Beispiel. Lassen Sie es notwendig sein, den Ausdruck zu vereinfachen 2a×7b. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können Sie Zahlen und Buchstaben getrennt multiplizieren:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Überprüfen wir, ob wir den Ausdruck richtig vereinfacht haben. Ersetzen wir dazu beliebige Werte der Variablen A Und B Zuerst in den ersten Ausdruck, der vereinfacht werden musste, und dann in den zweiten, der vereinfacht wurde.

Lassen Sie die Werte der Variablen A , B wird wie folgt sein:

a = 4, b = 5

Ersetzen wir sie im ersten Ausdruck 2a×7b

Ersetzen wir nun dieselben Variablenwerte in den Ausdruck, der sich aus der Vereinfachung ergibt 2a×7b, nämlich im Ausdruck 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Wir sehen das, wenn a=4 Und b=5 Wert des ersten Ausdrucks 2a×7b und die Bedeutung des zweiten Ausdrucks 14ab gleich

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Das Gleiche gilt für alle anderen Werte. Lassen Sie zum Beispiel a=1 Und b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Also für beliebige Werte der Ausdrucksvariablen 2a×7b Und 14ab gleich dem gleichen Wert sind. Solche Ausdrücke heißen identisch gleich.

Wir schließen das zwischen den Ausdrücken 2a×7b Und 14ab Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie denselben Wert haben.

2a × 7b = 14ab

Eine Gleichheit ist jeder Ausdruck, der durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden ist.

Und Gleichheit der Form 2a×7b = 14ab angerufen Identität.

Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle Werte der Variablen gilt.

Weitere Beispiele für Identitäten:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, die Gesetze der Mathematik, die wir untersucht haben, sind Identitäten.

Auch echte numerische Gleichheiten sind Identitäten. Zum Beispiel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Entscheiden schwierige Aufgabe Um die Berechnung zu vereinfachen, wird der komplexe Ausdruck durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt, der identisch mit dem vorherigen ist. Dieser Ersatz wird aufgerufen identische Transformation des Ausdrucks oder einfach den Ausdruck umwandeln.

Wir haben zum Beispiel den Ausdruck vereinfacht 2a×7b, und erhielt einen einfacheren Ausdruck 14ab. Diese Vereinfachung kann als Identitätstransformation bezeichnet werden.

Oft findet man eine Aufgabe, die besagt „Beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist“ und dann ist die zu beweisende Gleichheit gegeben. Normalerweise besteht diese Gleichheit aus zwei Teilen: dem linken und dem rechten Teil der Gleichheit. Unsere Aufgabe besteht darin, Identitätstransformationen mit einem der Teile der Gleichheit durchzuführen und den anderen Teil zu erhalten. Oder führen Sie identische Transformationen mit beiden Seiten der Gleichheit durch und stellen Sie sicher, dass beide Seiten der Gleichheit die gleichen Ausdrücke enthalten.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Gleichheit beweisen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Vereinfachen wir die linke Seite dieser Gleichheit. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen und Buchstaben getrennt:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Als Ergebnis einer kleinen Identitätstransformation, linke Seite Gleichheit wurde gleich der rechten Seite der Gleichheit. Damit haben wir die Gleichheit bewiesen 0,5a × 5b = 2,5ab ist eine Identität.

Aus identischen Transformationen haben wir gelernt, Zahlen zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, Brüche zu reduzieren, ähnliche Terme hinzuzufügen und auch einige Ausdrücke zu vereinfachen.

Dies sind jedoch nicht alle identischen Transformationen, die es in der Mathematik gibt. Es gibt noch viele weitere identische Transformationen. Das werden wir in Zukunft noch mehr als einmal sehen.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

Hat dir die Lektion gefallen?
Treten Sie unserer neuen VKontakte-Gruppe bei und erhalten Sie Benachrichtigungen über neue Lektionen

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist einer der Schlüssel zum Erlernen der Algebra und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch die Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf einen einfachen Ausdruck reduzieren, mit dem Sie leicht arbeiten können. Grundlegende Vereinfachungskenntnisse sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Indem man mehrere beobachtet einfache Regeln können Sie viele der gebräuchlichsten Arten algebraischer Ausdrücke ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfachen.

Schritte

Wichtige Definitionen

Ähnliche Mitglieder. Dies sind Mitglieder mit einer Variablen derselben Ordnung, Mitglieder mit denselben Variablen oder freie Mitglieder (Mitglieder, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten: Ähnliche Begriffe umfassen dieselbe Variable im gleichen Ausmaß, umfassen mehrere derselben Variablen oder umfassen eine Variable überhaupt nicht. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.
- Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 ähnliche Begriffe, da sie eine Variable zweiter Ordnung (zweite Potenz) „x“ enthalten. Allerdings sind x und x2 keine ähnlichen Begriffe, da sie die Variable „x“ unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Begriffe, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.
Faktorisierung. Hierbei handelt es sich um das Finden von Zahlen, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Jede Originalzahl kann mehrere Faktoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgenden Faktorenreihen zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie die Faktoren, also die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl geteilt wird.
- Wenn Sie beispielsweise die Zahl 20 faktorisieren möchten, schreiben Sie es so: 4×5.
- Beachten Sie, dass beim Faktorisieren die Variable berücksichtigt wird. Beispiel: 20x = 4(5x).
- Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.
Denken Sie an die Reihenfolge der Vorgänge und befolgen Sie diese, um Fehler zu vermeiden.
- Klammern
- Grad
- Multiplikation
- Division
- Zusatz
- Subtraktion
Ähnliche Mitglieder mitbringen
1. Schreiben Sie den Ausdruck auf. Protozoen algebraische Ausdrücke(die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.
  - Vereinfachen Sie beispielsweise den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.
2. Definieren Sie ähnliche Begriffe (Begriffe mit einer Variablen gleicher Ordnung, Begriffe mit gleichen Variablen oder freie Begriffe).
  - Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Terme 2x und 4x enthalten eine Variable gleicher Ordnung (erste). Außerdem sind 1 und -3 freie Begriffe (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4x sind ähnlich, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.
3. Geben Sie ähnliche Mitglieder an. Das bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 - 3 = -2
4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der angegebenen Begriffe um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem ursprünglichen.
  - In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu bearbeiten.
5. Befolgen Sie die Reihenfolge der Vorgänge, wenn Sie ähnliche Mitglieder einbringen. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe bereitzustellen. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Begriffe in Klammern stehen und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe einzubringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.
  - Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als ähnliche Begriffe zu definieren und anzugeben, da dazu zunächst die Klammern geöffnet werden müssen. Führen Sie die Vorgänge daher entsprechend ihrer Reihenfolge aus.
    - 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
    - 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt Wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Begriffe verwenden.
    - x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
    - x 2 + 12x + 3
Herausnehmen des Multiplikators aus Klammern
1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist die größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks geteilt werden.
  - Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist GCD = 3, da jeder Koeffizient dieses Ausdrucks durch 3 teilbar ist.
2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.
  - Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Term im Ausdruck durch 3.
    - 9x 2 /3 = 3x 2
    - 27x/3 = 9x
    - -3/3 = -1
    - Das Ergebnis war ein Ausdruck 3x 2 + 9x - 1. Es entspricht nicht dem ursprünglichen Ausdruck.
3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt von gcd und dem resultierenden Ausdruck auf. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und nehmen Sie den gcd aus den Klammern.
  - In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)
4. Vereinfachen Sie gebrochene Ausdrücke, indem Sie den Faktor aus Klammern entfernen. Warum den Multiplikator einfach aus Klammern setzen, wie es zuvor geschehen ist? Anschließend erfahren Sie, wie Sie komplexe Ausdrücke, beispielsweise Bruchausdrücke, vereinfachen. In diesem Fall kann es hilfreich sein, den Faktor aus der Klammer zu entfernen, um den Bruch (aus dem Nenner) zu entfernen.
  - Betrachten Sie zum Beispiel den Bruchausdruck (9x 2 + 27x - 3)/3. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck mit der Faktorisierung.
    - Setzen Sie den Faktor 3 in Klammern (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
    - Beachten Sie, dass jetzt sowohl im Zähler als auch im Nenner eine 3 steht. Dies kann reduziert werden, um den Ausdruck zu erhalten: (3x 2 + 9x – 1)/1
    - Da jeder Bruch, dessen Nenner die Zahl 1 hat, einfach gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x 2 + 9x - 1.
Zusätzliche Vereinfachungsmethoden
Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an: √(90). Die Zahl 90 kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 9 und 10, und aus 9 extrahiert werden Quadratwurzel(3) und 3 unter der Wurzel entfernen.
- √(90)
- √(9×10)
- √(9)×√(10)
- 3×√(10)
- 3√(10)
Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. Einige Ausdrücke enthalten Operationen zur Multiplikation oder Division von Termen mit Potenzen. Bei der Multiplikation von Termen mit gleicher Basis addieren sich deren Potenzen; Bei der Division von Termen mit gleicher Basis werden deren Grade subtrahiert.
- Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Bei der Multiplikation addieren Sie die Potenzen, bei der Division subtrahieren Sie sie.
  - 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
  - (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
  - 48x 7 + x 2
- Im Folgenden werden die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit Potenzen erläutert.
  - Die Multiplikation von Termen mit Potenzen entspricht der Multiplikation von Termen mit sich selbst. Da beispielsweise x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
  - Ebenso ist die Division von Termen durch Grade gleichbedeutend mit der Division von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Da ähnliche Terme sowohl im Zähler als auch im Nenner reduziert werden können, verbleibt das Produkt zweier „x“ oder x 2 im Zähler.

Denken Sie immer an die Zeichen (Plus oder Minus) vor den Begriffen des Ausdrucks, da viele Menschen Schwierigkeiten haben, das richtige Zeichen zu wählen.
Bitten Sie bei Bedarf um Hilfe!
Algebraische Ausdrücke zu vereinfachen ist nicht einfach, aber wenn Sie erst einmal den Dreh raus haben, ist es eine Fähigkeit, die Sie für den Rest Ihres Lebens anwenden können.

Jede Sprache kann die gleichen Informationen ausdrücken mit anderen Worten und Revolutionen. Die mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Derselbe Ausdruck kann jedoch auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. In dieser Lektion werden wir über die Vereinfachung von Ausdrücken sprechen.

Menschen kommunizieren weiter verschiedene Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen kommuniziert werden. Darüber hinaus kann es in einer Sprache jedoch auf unterschiedliche Weise ausgesprochen werden.

Zum Beispiel: „Petya ist mit Vasya befreundet“, „Vasya ist mit Petya befreundet“, „Petya und Vasya sind Freunde“. Anders ausgedrückt, aber das Gleiche. Aus jedem dieser Sätze würden wir verstehen, wovon wir sprechen.

Schauen wir uns diesen Satz an: „Der Junge Petja und der Junge Wasja sind Freunde.“ Wir verstehen, was wir meinen wir reden darüber. Allerdings gefällt uns der Klang dieses Satzes nicht. Können wir es nicht vereinfachen, das Gleiche sagen, aber einfacher? „Junge und Junge“ – man kann einmal sagen: „Die Jungs Petya und Vasya sind Freunde.“

„Jungs“... Geht aus ihren Namen nicht klar hervor, dass es sich nicht um Mädchen handelt? Wir entfernen die „Jungs“: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Und das Wort „Freunde“ kann durch „Freunde“ ersetzt werden: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine gleichwertige Aussage ersetzt, die einfacher auszusprechen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher auszudrücken, aber die Bedeutung nicht zu verlieren oder zu verzerren.

In der mathematischen Sprache passiert ungefähr das Gleiche. Man kann ein und dasselbe sagen, aber anders schreiben. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es zum ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Vielfalt müssen wir unserer Meinung nach die einfachste oder für unsere weiteren Zwecke am besten geeignete auswählen.

Betrachten Sie beispielsweise den numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.

Es wird auch den ersten beiden entsprechen: .

Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.

Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer alles tun, um den entsprechenden Ausdruck als einzelne Zahl zu erhalten.

Schauen wir uns ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck an . Natürlich wird es einfacher sein.

Beim Vereinfachen von Literalausdrücken müssen alle möglichen Aktionen ausgeführt werden.

Ist es immer notwendig, einen Ausdruck zu vereinfachen? Nein, manchmal ist es für uns bequemer, einen gleichwertigen, aber längeren Eintrag zu haben.

Beispiel: Sie müssen eine Zahl von einer Zahl subtrahieren.

Es ist möglich, eine Berechnung durchzuführen, aber wenn die erste Zahl durch die entsprechende Notation dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .

Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns für weitere Berechnungen nicht immer von Vorteil.

Dennoch stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die einfach nach „Vereinfachung des Ausdrucks“ klingt.

Vereinfachen Sie den Ausdruck: .

Lösung

1) Führen Sie die Aktionen in der ersten und zweiten Klammer aus: .

2) Berechnen wir die Produkte: .

Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der Anfangsausdruck. Wir haben es vereinfacht.

Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (gleich) ersetzt werden.

Um den äquivalenten Ausdruck zu ermitteln, benötigen Sie:

1) alle möglichen Aktionen ausführen,

2) Nutzen Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.

Eigenschaften der Addition und Subtraktion:

1. Kommutative Eigenschaft der Addition: Eine Neuanordnung der Terme ändert die Summe nicht.

2. Kombinationseigenschaft der Addition: Um zur Summe zweier Zahlen eine dritte Zahl zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.

3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.

Eigenschaften der Multiplikation und Division

1. Kommutative Eigenschaft der Multiplikation: Eine Neuordnung der Faktoren verändert das Produkt nicht.

2. Kombinative Eigenschaft: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zunächst mit dem ersten Faktor multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.

3. Distributive Eigenschaft der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term einzeln multiplizieren.

Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.

Berechnen:

Lösung

1) Stellen wir uns vor, wie

2) Stellen wir uns den ersten Faktor als Summe von Bittermen vor und führen die Multiplikation durch:

3) Sie können sich vorstellen, wie und Multiplikation durchführen:

4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:

Das Verteilungsgesetz kann auch in umgekehrter Richtung angewendet werden: .

Befolgen Sie diese Schritte:

1) 2)

Lösung

1) Der Einfachheit halber können Sie das Distributivgesetz verwenden, verwenden Sie es jedoch nur in der entgegengesetzten Richtung – entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern.

2) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern

Für Küche und Flur muss Linoleum gekauft werden. Küchenbereich - , Flur - . Es gibt drei Arten von Linoleum: für und für Rubel. Wie viel kostet es jeweils? drei Typen Linoleum? (Abb. 1)

Reis. 1. Illustration zur Problemstellung

Lösung

Methode 1. Sie können separat herausfinden, wie viel Geld Sie für den Kauf von Linoleum für die Küche und dann für den Flur benötigen, und die resultierenden Produkte addieren.

Es ist bekannt, dass in der Mathematik kein Weg an der Vereinfachung von Ausdrücken vorbeiführt. Dies ist notwendig für korrekte und schnelle Lösung eine Vielzahl von Problemen sowie verschiedene Arten von Gleichungen. Die besprochene Vereinfachung impliziert eine Reduzierung der Anzahl der zur Erreichung eines Ziels erforderlichen Maßnahmen. Dadurch werden die Berechnungen spürbar vereinfacht und eine deutliche Zeitersparnis erzielt. Aber wie vereinfacht man den Ausdruck? Dabei werden etablierte mathematische Zusammenhänge verwendet, oft auch Formeln oder Gesetze genannt, die es ermöglichen, Ausdrücke deutlich zu kürzen und so Berechnungen zu vereinfachen.

Es ist kein Geheimnis, dass es heutzutage nicht mehr schwierig ist, sich online auszudrücken. Hier sind Links zu einigen der beliebtesten:

Dies ist jedoch nicht bei jedem Ausdruck möglich. Schauen wir uns daher die traditionelleren Methoden genauer an.

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers

Wenn ein Ausdruck Monome mit denselben Faktoren enthält, können Sie die Summe ihrer Koeffizienten ermitteln und diese dann mit dem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Diese Operation wird auch „Entfernen des gemeinsamen Teilers“ genannt. Konsequent verwenden diese Methode, manchmal kann man den Ausdruck deutlich vereinfachen. Schließlich basiert die Algebra im Allgemeinen auf der Gruppierung und Neuanordnung von Faktoren und Teilern.

Die einfachsten Formeln für die abgekürzte Multiplikation

Eine der Konsequenzen der zuvor beschriebenen Methode sind die verkürzten Multiplikationsformeln. Wie man mit ihrer Hilfe Ausdrücke vereinfacht, ist viel klarer für diejenigen, die diese Formeln nicht einmal auswendig gelernt haben, aber wissen, wie sie abgeleitet werden, das heißt, woher sie kommen und dementsprechend ihre mathematische Natur. Grundsätzlich bleibt die bisherige Aussage in der gesamten modernen Mathematik gültig, von der ersten Klasse bis zu den höheren Studiengängen der mechanischen und mathematischen Fakultäten. Differenz von Quadraten, Quadrat von Differenz und Summe, Summe und Differenz von Kubikzahlen – alle diese Formeln werden in der elementaren und höheren Mathematik häufig verwendet, wenn es zur Lösung von Problemen erforderlich ist, den Ausdruck zu vereinfachen. Beispiele für solche Transformationen finden sich leicht in jedem Algebra-Schulbuch oder, noch einfacher, im World Wide Web.

Gradwurzeln

Wenn man sie als Ganzes betrachtet, gibt es in der Elementarmathematik nicht viele Möglichkeiten, einen Ausdruck zu vereinfachen. Der Abschluss und Betrieb mit ihnen ist für die meisten Studierenden in der Regel relativ einfach. Doch viele moderne Schüler und Studenten haben erhebliche Schwierigkeiten, wenn es darum geht, einen Ausdruck mit Wurzeln zu vereinfachen. Und das ist völlig unbegründet. Denn die mathematische Natur von Wurzeln unterscheidet sich nicht von der Natur derselben Grade, bei denen es in der Regel viel weniger Schwierigkeiten gibt. Es ist bekannt, dass die Quadratwurzel einer Zahl, Variablen oder eines Ausdrucks nichts anderes ist als die gleiche Zahl, Variable oder den gleichen Ausdruck hoch zur Hälfte, die Kubikwurzel gleich hoch zur Potenz eines Drittels und so weiter laut Korrespondenz.

Ausdrücke mit Brüchen vereinfachen

Schauen wir uns auch ein allgemeines Beispiel an, wie man einen Ausdruck mit Brüchen vereinfacht. In Fällen, in denen die Ausdrücke sind natürliche Brüche, sollten Sie den gemeinsamen Faktor aus Nenner und Zähler isolieren und dann den Bruch dadurch reduzieren. Wenn Monome identische Faktoren potenzieren, muss bei der Summierung darauf geachtet werden, dass die Potenzen gleich sind.

Vereinfachung grundlegender trigonometrischer Ausdrücke

Was für einige heraussticht, ist das Gespräch darüber, wie man einen trigonometrischen Ausdruck vereinfacht. Der weiteste Zweig der Trigonometrie ist vielleicht die erste Stufe, auf der Mathematikstudenten auf eher abstrakte Konzepte, Probleme und Methoden zu deren Lösung stoßen. Hier gibt es entsprechende Formeln, von denen die erste die grundlegende trigonometrische Identität ist. Mit einem ausreichenden mathematischen Verstand kann man die systematische Ableitung aller Grundlagen aus dieser Identität verfolgen trigonometrische Identitäten und Formeln, darunter Formeln für Differenz und Summe von Argumenten, Doppel- und Dreifachargumente, Reduktionsformeln und viele andere. Natürlich darf man hier nicht die allerersten Methoden vergessen, wie zum Beispiel die Addition eines gemeinsamen Faktors, die zusammen mit neuen Methoden und Formeln vollständig genutzt werden.

Zusammenfassend geben wir dem Leser einige allgemeine Ratschläge:

Polynome sollten faktorisiert werden, das heißt, sie sollten in Form eines Produkts einer bestimmten Anzahl von Faktoren dargestellt werden – Monome und Polynome. Wenn eine solche Möglichkeit besteht, ist es notwendig, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu entfernen.
Es ist besser, ausnahmslos alle abgekürzten Multiplikationsformeln auswendig zu lernen. Es gibt nicht so viele davon, aber sie bilden die Grundlage für die Vereinfachung mathematischer Ausdrücke. Wir sollten auch die Methode zur Isolierung perfekter Quadrate in Trinomen nicht vergessen, die die Umkehrung einer der abgekürzten Multiplikationsformeln darstellt.
Alle im Ausdruck vorkommenden Brüche sollten so oft wie möglich gekürzt werden. Vergessen Sie jedoch nicht, dass nur die Multiplikatoren reduziert werden. Für den Fall, dass Nenner und Zähler vorhanden sind algebraische Brüche multipliziert mit derselben Zahl, die von Null verschieden ist, ändert sich die Bedeutung der Brüche nicht.
Generell können alle Ausdrücke durch Aktionen oder in einer Kette transformiert werden. Die erste Methode ist vorzuziehen, weil die Ergebnisse von Zwischenmaßnahmen sind leichter zu überprüfen.
Sehr oft müssen wir in mathematischen Ausdrücken Wurzeln ziehen. Es sollte daran erinnert werden, dass die Wurzeln gerader Potenzen nur aus einer nichtnegativen Zahl oder einem nichtnegativen Ausdruck gezogen werden können, und die Wurzeln ungerader Potenzen können aus absolut allen Ausdrücken oder Zahlen gezogen werden.

Wir hoffen, dass unser Artikel Ihnen in Zukunft dabei hilft, mathematische Formeln zu verstehen und Ihnen beizubringen, wie Sie sie in der Praxis anwenden können.