So finden Sie den mf einer trigonometrischen Funktion. Typische Probleme lösen
D(f)- jene Werte, die das Argument annehmen kann, d.h. Domäne einer Funktion.
E(f)- jene Werte, die die Funktion annehmen kann, d.h. Satz von Funktionswerten.
Methoden zum Finden der Funktionsbereiche.
sequentielles Finden der Werte komplexer Funktionsargumente;
Schätz-/Grenzmethode;
Verwendung der Eigenschaften der Stetigkeit und Monotonie einer Funktion;
Verwendung von Derivaten;
Verwenden der größten und kleinsten Werte einer Funktion;
grafische Methode;
Parametereingabemethode;
Umkehrfunktionsmethode.
Schauen wir uns einige davon an.
Ableitung verwenden
Allgemeiner Ansatz Um die Wertemenge einer stetigen Funktion f(x) zu finden, besteht darin, den größten und kleinsten Wert der Funktion f(x) in ihrem Definitionsbereich zu finden (oder zu beweisen, dass einer oder beide nicht existieren).
Für den Fall, dass Sie Mengen von Funktionswerten finden müssen auf dem Segment:
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion f "(x);
Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion f(x) und wählen Sie diejenigen aus, die zu diesem Segment gehören;
Berechnen Sie die Funktionswerte an den Enden des Segments und an ausgewählten kritischen Punkten;
Wählen Sie unter den gefundenen Werten den kleinsten und den größten Wert aus.
Zwischen diesen Werten ist die Menge der Funktionswerte eingeschlossen.
Wenn der Definitionsbereich einer Funktion ist Intervall, dann wird das gleiche Schema verwendet, aber anstelle der Werte an den Enden werden die Grenzen der Funktion verwendet, da das Argument zu den Enden des Intervalls tendiert. Grenzwerte von sind nicht im Wertesatz enthalten.
Grenzen/Scores-Methode
Um die Menge der Funktionswerte zu finden, suchen Sie zuerst die Menge der Argumentwerte und dann die entsprechenden kleinsten und größten Werte der Funktion. Mithilfe von Ungleichungen werden Grenzen bestimmt.
Das Wesentliche besteht darin, eine kontinuierliche Funktion von unten und oben abzuschätzen und zu beweisen, dass die Funktion die Unter- und Obergrenzen der Schätzungen erreicht. In diesem Fall wird die Übereinstimmung der Menge der Funktionswerte mit dem Intervall von der Untergrenze der Schätzung zur Obergrenze durch die Kontinuität der Funktion und das Fehlen anderer Werte dafür bestimmt.
Eigenschaften einer stetigen Funktion
Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Funktion in eine kontinuierliche monotone Funktion umzuwandeln und dann anhand der Eigenschaften von Ungleichungen die Wertemenge der neu erhaltenen Funktion zu schätzen.
Sequentielles Ermitteln der Werte komplexer Funktionsargumente
Basierend auf der sequentiellen Suche nach einer Menge von Werten von Zwischenfunktionen, aus denen die Funktion besteht
Wertebereiche grundlegender Elementarfunktionen
| Funktion | Mehrere Bedeutungen |
|---|---|
| $y = kx+ b$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = x^(2n)$ | E(y) = |
| $y = \cos(x)$ | E(y) = [-1;1] |
| $y = (\rm tg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = (\rm ctg)\, x$ | E(y) = (-∞;+∞) |
| $y = \arcsin(x)$ | E(y) = [-π/2; π/2] |
| $y = \arccos(x)$ | E(y) = |
| $y = (\rm arctan)\, x$ | E(y) = (-π/2; π/2) |
| $y = (\rm arcctg)\, x$ | E(y) = (0; π) |
Beispiele
Finden Sie die Menge der Funktionswerte:
Ableitung verwenden
Wir finden den Definitionsbereich: D(f)=[-3;3], weil $9-x^(2)\geq 0$
Finden Sie die Ableitung: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$
f"(x) = 0, wenn x = 0. f"(x) existiert nicht, wenn $\sqrt(9-x^(2))=0$, also für x = ±3. Wir erhalten drei kritische Punkte: x 1 = –3, x 2 = 0, x 3 = 3, von denen zwei mit den Enden des Segments zusammenfallen. Berechnen wir: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Der kleinste Wert von f(x) ist also 0, der größte Wert ist 3.
Antwort: E(f) = .
KEINE Ableitung verwenden
Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion:
Seit $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , dann:
$f(x)\leq \frac(3)(4)$ für alle x;
$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ für alle x(da $|\cos (x)|\leq 1$);
$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;
$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;
Antwort: $\frac(3)(4)$ und $-\frac(3)(2)$
Wenn Sie dieses Problem mithilfe von Ableitungen lösen, müssen Sie Hindernisse überwinden, die damit zusammenhängen, dass die Funktion f(x) nicht auf einem Segment, sondern auf der gesamten Zahlengeraden definiert ist.
Verwendung der Grenzen/Schätzungen-Methode
Aus der Sinusdefinition folgt $-1\leq\sin(x)\leq 1$. Als nächstes verwenden wir die Eigenschaften numerischer Ungleichungen.
$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (alle drei Teile der doppelten Ungleichung mit -4 multipliziert);
$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (addiert zu den drei Teilen der doppelten Ungleichung 5);
Da diese Funktion über den gesamten Definitionsbereich stetig ist, liegt die Menge ihrer Werte zwischen ihrem kleinsten und ihrem größten Wert über den gesamten Definitionsbereich, sofern vorhanden.
In diesem Fall ist die Menge der Werte der Funktion $y = 5 - 4\sin(x)$ die Menge.
Aus den Ungleichungen $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ erhalten wir die Schätzung $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $
Bei x = p und x = 0 nimmt die Funktion die Werte -6 und 6 an, d.h. die untere und obere Grenze der Schätzung erreicht. Als Linearkombination der stetigen Funktionen cos(7x) und cos(x) ist die Funktion y auf der gesamten Zahlengeraden stetig, daher nimmt sie aufgrund der Eigenschaft einer stetigen Funktion alle Werte von -6 bis einschließlich 6 an , und nur sie, da seine anderen Werte aufgrund der Ungleichungen $- 6\leq y\leq 6$ unmöglich sind.
Daher ist E(y) = [-6;6].
$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Antwort: E(f) = .
$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .
Lassen Sie uns den Ausdruck $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ( umwandeln. (\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)(2 )) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac(\ pi) (4)) $$.
Aus der Definition des Kosinus folgt $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$
Da diese Funktion über den gesamten Definitionsbereich stetig ist, liegt die Menge ihrer Werte zwischen ihrem kleinsten und ihrem größten Wert, falls vorhanden, der Menge der Funktionswerte $y =\sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ ist die Menge $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.
$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$
Bezeichnen wir $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, wobei -∞≤t≤4. Somit reduziert sich das Problem darauf, die Wertemenge der Funktion $y = \log_(0,5)(t)$ auf dem Strahl (-∞;4) zu finden. Da die Funktion $y = \log_(0,5)(t)$ nur für t > 0 definiert ist, dann stimmt ihre Wertemenge auf dem Strahl (-∞;4) mit der Menge der Funktionswerte überein auf dem Intervall (0;4), was den Schnittpunkt des Strahls (-∞;4) mit dem Definitionsbereich (0;+∞) der logarithmischen Funktion darstellt. Im Intervall (0;4) ist diese Funktion stetig und abnehmend. Bei t > 0 tendiert es zu +∞ und bei t = 4 nimmt es den Wert -2 an, also E(y) = (-2, +∞).
Wir verwenden eine Technik, die auf einer grafischen Darstellung einer Funktion basiert.
Nach der Transformation der Funktion gilt: y 2 + x 2 = 25 und y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Es sei daran erinnert, dass $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ die Gleichung eines Kreises mit dem Radius r ist.
Unter diesen Einschränkungen ist der Graph dieser Gleichung der obere Halbkreis mit seinem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius gleich 5. Offensichtlich ist E(y) = .
Antwort: E(y) = .
Verwendete Literatur
Bedeutungsbereich der Funktionen bei Problemen des Einheitlichen Staatsexamens, Irina Borisovna Minyuk
Tipps zum Finden der Wertemenge einer Funktion, Belyaeva I., Fedorova S.
Finden der Menge von Funktionswerten
Wie man Probleme in Mathematik bei Aufnahmeprüfungen löst, I.I.Melnikov, I.N.Sergeev
GBOU Lyceum (Wirtschaft) s. Isakly
Mathematiklehrerin Kuzaeva V.N.
2016
Referenzmaterialien
Musterlösung Finden Sie eine Menge von Funktionswerten
Funktionsumfang 
Ist
j - eine beliebige Zahl
Funktionsumfang Ist
j
- eine beliebige Zahl
Mehrere Bedeutungen
j - eine beliebige Zahl
Höchster Wert
Niedrigster Wert
Definitionsbereich X
- eine beliebige Zahl 
, Wo 
, Wo
Mehrere Bedeutungen 
j
- eine beliebige Zahlj
- eine beliebige Zahl
Vorlagen für Diagramme einiger trigonometrischer Funktionen
Mehrere Werte trigonometrischer Funktionen
Option 1
Y =Sünde 3x+2.
1) (-5;5) 2) 3) 4) (1;5)
2. Finden Sie den Bereich der Funktion y =tg x + 1.
1) 3) (-∞;∞) 4)
1) -6 2) 6 3) -4 4) -2
4. Geben Sie die kleinste Ganzzahl im Funktionsbereich an
y = 12,7 + 5 Sünde(3x-2).
1) -5 2) 8 3) 5 4) 17
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Segment [-2;2] ist.
1) y = cos 2x 2) y = Sünde 2 X 3) j = cos 2 X +2
4) j = 2 Sünde 4 X
6. Finden Sie die Menge der Funktionswertej =
tg 2
Xauf dem Segment 
7. Ermitteln Sie die Summe aller ganzen Zahlen, die im Bereich der Funktion enthalten sindj = 4 cos 2 X – 7.
1) -25 2) 25 3) -22 4) 0
Option 2
j = 2 cos 5 X +3.
1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .
2. Finden Sie den Bereich der Funktion 
1) 3) (-∞;∞) 4) .
3. Geben Sie die kleinste Zahl im Funktionsbereich an
1) 4 2) -3 3) 1 4) -7
4. Geben Sie die größte Ganzzahl im Funktionsbereich an
1) 2 2) 13 3) 12 4) -2
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Segment [-5;5] ist.
1) y = sin 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)
4) y = sin 5x + 5
6. Finden Sie die Menge der Funktionswerte 
auf dem Segment 
7. Finden Sie das Produkt aller ganzen Zahlen, die im Wertebereich der Funktion y = 5 – 3 enthalten sindSünde 2 X.
1) 120 2) 14 3) -15 4) 0
Option 3
1. Geben Sie eine Reihe von Funktionswerten anj =
Sünde 3
X + 5.
1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)
1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)
3. Geben Sie die kleinste Zahl aus dem Wertebereich der Funktion y = 5 antg 2 X+2?
1) 5 2) 0 3) 7 4) 2
1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge ein Segment ist
[-17;-13].
1) y = 5 sin x – 8 3) y = -cos x +15
2) y = 2 cos x – 15 4) y = 3 sin x +10
6. Geben Sie die kleinste natürliche Zahl an, die nicht in der Menge der Funktionswerte enthalten ist 
1) 2 2) 4 3) 15 4) 6
7. Wie viele Ganzzahlen gehören zur Menge der Funktionswerte?
j = 2 cos 3 X +10?
1) 2 2) 3 3) 4 5) 5
Option 4
1) 2) 4) (-7;-6)
2. Finden Sie den Bereich der Funktion 
1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]
3. Geben Sie die größte Zahl im Funktionsbereich anj = -3 ctg 2 X+7.
1) 10 2) 4 3) 7 4) -3
4. Welche der folgenden Zahlen ist nicht in der Menge der Funktionswerte enthalten? 
1) -6 2) -5 3) -10 4) -7
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Segment ist.
6. Geben Sie die größte negative ganze Zahl an, die nicht im Bereich der Funktion liegt 
1) -1 2) -25 3) -6 4) -2
7. Wie viele Ganzzahlen gehören zur Menge der Funktionswerte? 
1) 11 2) 3 3) 5 4) 4
Option 5
1. Geben Sie die Wertemenge der Funktion y = 2 - anSünde 5 X.
1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]
2. Finden Sie den Bereich der Funktion 
1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)
3. Geben Sie die kleinste Ganzzahl im Funktionsbereich an
j = 3 + Sünde 2 2 X.
1) 0 2) 1 3) 3 4) 4
4. Welche der folgenden Zahlen ist in der Menge der Funktionswerte enthalten? 
1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Segment [-9;15] ist.
6. Ermitteln Sie die Summe der ganzen Zahlen, die in der Menge der Funktionswerte enthalten sind 
1) 0 2) 7 3) 18 4) 22
7. Finden Sie den größten Wert der Funktion 
auf dem Segment 
1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2
Option 6
1. Geben Sie das Segment an, das dem Satz von Funktionswerten entspricht 
1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]
2. Finden Sie den Bereich der Funktion 
3. Geben Sie die größte Zahl im Funktionsbereich an 
1) 5 2) -6 3) -3 4) 4
4. Welche der folgenden Zahlen ist in der Menge der Funktionswerte enthalten? 
1) 5 2) 0 3) -3 4) 4
5. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Segment ist.
1) bei = 15 – 7 cos 2x 3) y = 7 cos 2x + 3
2) j = 5 cos 4 X 4) j = - tg 2 X + 1
6. Finden Sie das Produkt der ganzen Zahlen, die in der Wertemenge enthalten sind
j = 3,8 – 1,4 Sünde 3 X.
1) 17 2) 12 3) 0 4) 60
7. Finden Sie die Menge der Funktionswerte 
dazwischen 
1) (3;4) 2) 3)
Option 7
2. Finden Sie den kleinsten ganzzahligen Wert der Funktion 
1) 2 2) 0 3) -3 4) -4
1) 0 2) 2 3) 4 4) 6
4. Für welche Werte von a gilt die GleichungSünde(3 X-4)+5= A lösbar?
1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]
Sünde 2 2 X – 2.
1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]
dazwischen 
2) 0 3) 1
j = 4 Sünde(X 4 ) -2?
1) 8 2) 9 3) 7 4) 10
Option 8
1. Finden Sie die Menge der Funktionswertej = arctgX- 2π.
2. Finden Sie den größten Wert der Funktion 
1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75
3. Welche der folgenden Zahlen könnte der Wert der Funktion sein? 
1) -4 2) -2 3) 0 4) 2
4. Bei welchen Werten von p gilt die Gleichung -2+cos(4 X-1)= P hat Wurzeln?
1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)
5. Finden Sie die Menge der Funktionswertej = -2 tg 2 X + 1.
1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)
dazwischen 
.
1) 0 2) 1 3) -1 4) 3
7. Wie viele Ganzzahlen liegen im Funktionsbereich vor?
1) 4 2) 3 3) 5 4) 2
Option 9
1. Finden Sie den Bereich der Funktion 
2. Finden Sie den größten ganzzahligen Wert der Funktion 
1) 4 2) 5 3) 6 4) 7
3. Welche der folgenden Zahlen könnte der Wert der Funktion sein? 
1) 0 2) 3 3) 6 4) 9
k Gleichung – k + Sünde(2 X-1) = 2 lösbar?
1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]
5. Finden Sie die Wertemenge der Funktion y = -cos 2 3 X + 4.
1) 2) 3) 4)
6. Geben Sie den kleinsten Wert der Funktion an dazwischen 
2) -1 3) 0 4) 1
7. Finden Sie heraus, wie viele ganze Zahlen im Wertebereich der Funktion y = 12 enthalten sindcos 3 X +5 Sünde 3 X.
1) 13 2) 27 3) 26 4) 14
Option 10
1. Finden Sie den Bereich der Funktion 
2. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion 
1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5
3. Welche der folgenden Zahlen könnte der Wert der Funktion sein? 
1) -4 2) -1 3) 3 4) 7
4. Bei welchen ParameterwertenM Gleichung cos (3 X + 2)- M= 5 hat Wurzeln?
1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]
5. Finden Sie die Wertemenge der Funktion y = -2ctg 2 3 X + 7.
1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]
6. Geben Sie den größten Wert der Funktion an 
dazwischen 
2) 0 3) 2 4) 1
7. Finden Sie heraus, wie viele ganze Zahlen im Bereich der Funktion liegen 
1) 30 2) 35 3) 17 4) 7
Mehrere Werte von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Option 1
1. Finden Sie den Bereich der Funktion 
1) 4) (-∞;3)
2. Geben Sie mehrere Funktionswerte an 
1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]
1) 0 2) 4 3) -3 4) -4
1) 15 2) 20 3) 43 4) 28
1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)
6. Geben Sie den kleinsten ganzzahligen Wert der Funktion an 
1) 1 2) -1 3) 0 4) -5
7. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Intervall (1;∞) ist.
Option 2
1. Geben Sie eine Reihe von Funktionswerten an 
1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)
2. Finden Sie den Bereich der Funktion 
1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)
3. Geben Sie den kleinsten ganzzahligen Wert der Funktion an 
1) -12 2) -11 3) -10 4) -15
4. Geben Sie eine Zahl an, die nicht zur Menge der Funktionswerte gehört 
1) -42 2) 3 3) 1 4) -20
5. Geben Sie mehrere Funktionswerte an 
1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]
6. Geben Sie den größten ganzzahligen Wert der Funktion an 
1) 10 2) 3 3) 9 4) 2
7. Geben Sie eine Funktion an, deren Wertemenge das Intervall ist
(-∞;13).
Option 5
1. Geben Sie den kleinsten ganzzahligen Wert der Funktion an 
1) 0 2) -1 3) -2 4) -3
2. Welche der folgenden Zahlen liegt im Bereich der Funktion? 
1) -3 2) -4 3) 5 4) 0
1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)
6. Finden Sie heraus, auf welchem Segment die Funktion liegt 
nimmt den größten Wert von 2 und den kleinsten Wert von -3 an.
1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)
dazwischen 
1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4
8. Ermitteln Sie die Summe aller natürlichen Zahlen, die nicht in der Menge der Funktionswerte enthalten sind 
1) 3 2) 6 3) 10 4) 8
Option 6
1. Geben Sie den größten ganzzahligen Wert der Funktion an 
1) 2 2) 4 3) 3 4) 5
2. Welche der folgenden Zahlen liegt nicht im Bereich der Funktion? 
1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128
3. Geben Sie mehrere Funktionswerte an 
1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)
4. Finden Sie alle Punkte auf dem Operationsverstärker, die Projektionen von Punkten auf dem Funktionsgraphen sind 
1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ Protokoll 2 3;2] 4) (Protokoll 2 3;2)
6. Finden Sie heraus, auf welchem Segment die Funktion liegt 
Der kleinste Wert ist -2 und der größte Wert ist 4.
1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)
7. Geben Sie den größten Wert der Funktion an 
dazwischen
[-0,9; 0].
2. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Segment. 
4. Wie viele ganzzahlige Werte nimmt die Funktion an?
Antworten
Teil 1
Mehrere Werte von Exponential- und Logarithmusfunktionen
Teil 2
Viele Probleme führen dazu, dass wir in einem bestimmten Segment oder im gesamten Definitionsbereich nach einer Reihe von Funktionswerten suchen. Zu diesen Aufgaben gehören verschiedene Auswertungen von Ausdrücken und das Lösen von Ungleichungen.
In diesem Artikel definieren wir den Wertebereich einer Funktion, betrachten Methoden zu ihrer Suche und analysieren die Lösung von Beispielen von einfach bis komplexer im Detail. Alle Materialien werden zur Verdeutlichung mit grafischen Illustrationen versehen. Dieser Artikel ist also eine ausführliche Antwort auf die Frage, wie man den Bereich einer Funktion ermittelt.
Definition. Die Wertemenge der Funktion y = f(x) im Intervall X
In diesem Artikel definieren wir den Wertebereich einer Funktion, betrachten Methoden zu ihrer Suche und analysieren die Lösung von Beispielen von einfach bis komplexer im Detail. Alle Materialien werden zur Verdeutlichung mit grafischen Illustrationen versehen. Dieser Artikel ist also eine ausführliche Antwort auf die Frage, wie man den Bereich einer Funktion ermittelt.
ist die Menge aller Werte einer Funktion, die sie bei der Iteration über alles annimmt. Funktionsumfang y = f(x)
ist die Menge aller Werte einer Funktion, die sie annimmt, wenn sie über alle x aus dem Definitionsbereich iteriert.
Der Bereich der Funktion wird als E(f) bezeichnet.
Der Bereich einer Funktion und die Wertemenge einer Funktion sind nicht dasselbe. Wir betrachten diese Konzepte als äquivalent, wenn das Intervall X beim Finden der Wertemenge der Funktion y = f(x) mit dem Definitionsbereich der Funktion übereinstimmt.
Verwechseln Sie außerdem nicht den Bereich der Funktion mit der Variablen x für den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung y=f(x) . Der Bereich zulässiger Werte der Variablen x für den Ausdruck f(x) ist der Definitionsbereich der Funktion y=f(x) .
Die Abbildung zeigt mehrere Beispiele.
Funktionsgraphen werden mit dicken blauen Linien dargestellt, dünne rote Linien sind Asymptoten, rote Punkte und Linien auf der Oy-Achse zeigen den Wertebereich der entsprechenden Funktion.
Wie Sie sehen, erhält man den Wertebereich einer Funktion, indem man den Graphen der Funktion auf die y-Achse projiziert. Es kann eine einzelne Zahl (erster Fall), eine Menge von Zahlen (zweiter Fall), ein Segment (dritter Fall), ein Intervall (vierter Fall), ein offener Strahl (fünfter Fall), eine Vereinigung (sechster Fall) usw. sein .
Was müssen Sie also tun, um den Wertebereich einer Funktion zu ermitteln?
Es ist bekannt, dass eine in einem Intervall kontinuierliche Funktion darauf ihre Maximal- und Minimalwerte erreicht. Somit ist die Menge der Werte der ursprünglichen Funktion auf dem Segment das Segment 
. Folglich besteht unsere Aufgabe darin, den größten und kleinsten Wert der Funktion im Segment zu finden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wertebereich der Arkussinusfunktion ermitteln.
Beispiel.
Geben Sie den Bereich der Funktion y = arcsinx an.
Lösung.
Der Definitionsbereich des Arkussinus ist das Segment [-1; 1]. Suchen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion in diesem Segment. 
Die Ableitung ist für alle x aus dem Intervall (-1; 1) positiv, d. h. die Arkussinusfunktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu. Folglich nimmt es den kleinsten Wert bei x = -1 und den größten bei x = 1 an. 
Wir haben den Bereich der Arkussinusfunktion erhalten 
.
Beispiel.
Finden Sie die Menge der Funktionswerte 
auf dem Segment.
Lösung.
Lassen Sie uns den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Segment ermitteln.
Bestimmen wir die zum Segment gehörenden Extrempunkte: 
Wir berechnen die Werte der Originalfunktion an den Enden des Segments und an Punkten 
:
Daher ist die Menge der Werte einer Funktion in einem Intervall das Intervall 
.
Jetzt zeigen wir, wie man die Wertemenge einer stetigen Funktion y = f(x) in den Intervallen (a; b) , findet.
Zuerst bestimmen wir die Extrempunkte, Extrema der Funktion, Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion in einem bestimmten Intervall. Als nächstes berechnen wir die Enden des Intervalls und (oder) die Grenzen im Unendlichen (d. h. wir untersuchen das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls oder im Unendlichen). Diese Informationen reichen aus, um die Menge der Funktionswerte in solchen Intervallen zu finden.
Beispiel.
Definieren Sie die Menge der Funktionswerte im Intervall (-2; 2).
Lösung.
Suchen wir die Extrempunkte der Funktion, die auf das Intervall (-2; 2) fallen: 
Punkt x = 0 ist ein Maximalpunkt, da die Ableitung beim Durchlaufen das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert und der Graph der Funktion von zunehmend nach fallend übergeht. 
es gibt ein entsprechendes Maximum der Funktion.
Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion herausfinden, wenn x rechts zu -2 tendiert und wenn x links zu 2 tendiert, das heißt, wir finden einseitige Grenzen: 
Was wir bekommen haben: Wenn sich das Argument von -2 auf Null ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von minus Unendlich auf minus ein Viertel (das Maximum der Funktion bei x = 0), wenn sich das Argument von Null auf 2 ändert Funktionswerte verringern sich auf minus unendlich. Somit ist die Menge der Funktionswerte im Intervall (-2; 2).
Beispiel.
Geben Sie die Wertemenge der Tangensfunktion y = tgx im Intervall an.
Lösung.
Die Ableitung der Tangensfunktion nach dem Intervall ist positiv 
, was auf eine Funktionssteigerung hinweist. Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion an den Grenzen des Intervalls untersuchen: 
Wenn sich also das Argument von zu ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von minus Unendlich auf plus Unendlich, d. h. die Menge der Tangentenwerte in diesem Intervall ist die Menge aller reellen Zahlen.
Beispiel.
Finden Sie den Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion y = lnx.
Lösung.
Die natürliche Logarithmusfunktion ist für positive Werte des Arguments definiert 
. In diesem Intervall ist die Ableitung positiv 
Dies weist auf eine Erhöhung der Funktion hin. Finden wir den einseitigen Grenzwert der Funktion, wenn das Argument rechts gegen Null tendiert, und den Grenzwert, wenn x gegen plus Unendlich tendiert: 
Wir sehen, dass die Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich ansteigen, wenn sich x von Null auf plus Unendlich ändert. Daher ist der Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion die gesamte Menge der reellen Zahlen.
Beispiel.
Lösung.
Diese Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert. Bestimmen wir die Extrempunkte sowie die Anstiegs- und Abfallintervalle der Funktion. 
Folglich nimmt die Funktion bei ab, steigt bei an, x = 0 ist der Maximalpunkt, 
das entsprechende Maximum der Funktion.
Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an: 
Somit nähern sich die Werte der Funktion im Unendlichen asymptotisch Null.
Wir haben festgestellt, dass, wenn sich das Argument von minus Unendlich auf Null (den Maximalpunkt) ändert, die Funktionswerte von Null auf Neun (bis zum Maximum der Funktion) ansteigen, und wenn sich x von Null auf Plus Unendlich ändert, steigen die Funktionswerte von neun auf null sinken.
Schauen Sie sich die schematische Zeichnung an.
Nun ist deutlich zu erkennen, dass der Wertebereich der Funktion beträgt.
Das Finden der Wertemenge der Funktion y = f(x) in Intervallen erfordert ähnliche Untersuchungen. Wir werden uns jetzt nicht im Detail mit diesen Fällen befassen. Wir werden sie in den folgenden Beispielen wieder treffen.
Der Definitionsbereich der Funktion y = f(x) sei die Vereinigung mehrerer Intervalle. Bei der Ermittlung des Wertebereichs einer solchen Funktion werden die Wertemengen in jedem Intervall bestimmt und deren Vereinigung gebildet.
Beispiel.
Finden Sie den Bereich der Funktion.
Lösung.
Der Nenner unserer Funktion sollte nicht Null werden, also .
Suchen wir zunächst die Menge der Funktionswerte auf dem offenen Strahl.
Ableitung einer Funktion 
ist in diesem Intervall negativ, d. h. die Funktion nimmt in diesem Intervall ab. 
Wir haben festgestellt, dass sich die Funktionswerte asymptotisch der Eins nähern, wenn das Argument gegen minus Unendlich tendiert. Wenn sich x von minus Unendlich auf zwei ändert, nehmen die Werte der Funktion von eins auf minus Unendlich ab, d. h. im betrachteten Intervall nimmt die Funktion eine Reihe von Werten an. Wir schließen die Einheit nicht ein, da die Werte der Funktion diese nicht erreichen, sondern nur asymptotisch bei minus Unendlich dazu tendieren.
Für den offenen Balken gehen wir ähnlich vor.
In diesem Intervall nimmt auch die Funktion ab. 
Die Menge der Funktionswerte auf diesem Intervall ist die Menge.
Somit ist der gewünschte Wertebereich der Funktion die Vereinigung der Mengen und .
Grafische Illustration.
Besonderes Augenmerk sollte auf periodische Funktionen gelegt werden. Der Wertebereich periodischer Funktionen stimmt mit der Wertemenge auf dem Intervall überein, das der Periode dieser Funktion entspricht.
Beispiel.
Finden Sie den Bereich der Sinusfunktion y = sinx.
Lösung.
Diese Funktion ist periodisch mit einer Periode von zwei pi. Nehmen wir ein Segment und definieren die Wertemenge darauf. 
Das Segment enthält zwei Extrempunkte und .
Wir berechnen die Werte der Funktion an diesen Punkten und wählen an den Grenzen des Segments die kleinsten und größten Werte aus: 
Somit, 
.
Beispiel.
Finden Sie den Bereich einer Funktion 
.
Lösung.
Wir wissen, dass der Arcuskosinusbereich der Abschnitt von Null bis Pi ist, d. h. 
oder in einem anderen Beitrag. Funktion 
kann aus arccosx durch Verschiebung und Streckung entlang der Abszissenachse erhalten werden. Solche Transformationen haben keinen Einfluss auf den Wertebereich, daher 
. Funktion 
erhalten von dreimal entlang der Oy-Achse strecken, das heißt, 
. Und die letzte Transformationsstufe ist eine Verschiebung um vier Einheiten nach unten entlang der Ordinate. Dies führt uns zu einer doppelten Ungleichheit 
Somit beträgt der erforderliche Wertebereich 
.
Lassen Sie uns die Lösung für ein anderes Beispiel geben, jedoch ohne Erklärungen (sie sind nicht erforderlich, da sie völlig ähnlich sind).
Beispiel.
Funktionsumfang definieren 
.
Lösung.
Schreiben wir die ursprüngliche Funktion in das Formular 
. Der Wertebereich der Potenzfunktion ist das Intervall. Das heißt, . Dann 
Somit, 
.
Um das Bild zu vervollständigen, sollten wir darüber sprechen, den Wertebereich einer Funktion zu finden, die im Definitionsbereich nicht stetig ist. In diesem Fall unterteilen wir den Definitionsbereich durch Haltepunkte in Intervalle und finden für jedes von ihnen Wertemengen. Durch die Kombination der resultierenden Wertemengen erhalten wir den Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Wir empfehlen, sich 3 auf der linken Seite zu merken, die Werte der Funktion tendieren zu minus eins, und da x auf der rechten Seite zu 3 tendiert, tendieren die Werte der Funktion zu plus Unendlich.
Daher unterteilen wir den Definitionsbereich der Funktion in drei Intervalle.
Auf dem Intervall haben wir die Funktion 
. Seitdem 
Somit beträgt die Wertemenge der ursprünglichen Funktion im Intervall [-6;2] .
Auf dem Halbintervall haben wir eine konstante Funktion y = -1. Das heißt, die Wertemenge der ursprünglichen Funktion im Intervall besteht aus einem einzigen Element.
Die Funktion ist für alle gültigen Argumentwerte definiert. Lassen Sie uns die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion herausfinden.
Die Ableitung verschwindet bei x=-1 und x=3. Markieren wir diese Punkte auf dem Zahlenstrahl und bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung der resultierenden Intervalle. 
Die Funktion nimmt um ab 
, erhöht sich um [-1; 3], x=-1 minimaler Punkt, x=3 maximaler Punkt.
Berechnen wir das entsprechende Minimum und Maximum der Funktion: 
Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen überprüfen: 
Der zweite Grenzwert wurde mit berechnet.
Lassen Sie uns eine schematische Zeichnung erstellen.
Wenn sich das Argument von minus Unendlich auf -1 ändert, verringern sich die Funktionswerte von plus Unendlich auf -2e, wenn sich das Argument von -1 auf 3 ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von -2e auf, wenn sich das Argument von ändert 3 bis plus Unendlich nehmen die Funktionswerte von auf Null ab, erreichen aber nicht Null.
Seite 1
Lektion 3
„Funktionsbereich“
Ziele: - Das Konzept des Wertebereichs auf die Lösung eines spezifischen Problems anwenden;
typische Probleme lösen.
Seit einigen Jahren treten bei Prüfungen regelmäßig Probleme auf, bei denen aus einer gegebenen Funktionsfamilie diejenigen ausgewählt werden müssen, deren Wertemengen die angegebenen Bedingungen erfüllen.
Betrachten wir ein solches Problem.
Wissen aktualisieren.
Was meinen wir mit der Menge der Funktionswerte?
Wie wird die Wertemenge einer Funktion bezeichnet?
Aus welchen Daten können wir die Menge der Funktionswerte ermitteln? (Entsprechend der analytischen Notation einer Funktion oder ihres Graphen)
(siehe USE-Aufgaben, Teil A)
Welche Funktionen kennen wir? (Die Hauptfunktionen werden aufgelistet und an die Tafel geschrieben; für jede Funktion ist ihr Wertesatz notiert). Als Ergebnis an der Tafel und in den Heften der Schüler
|
Funktion |
Mehrere Bedeutungen |
|
j = X 2 j = X 3 y=| X| y=
|
E( j) = E( j) = [- 1, 1] E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (– ∞, + ∞) E( j) = (0, + ∞) |
Können wir mit diesem Wissen sofort die Wertesätze der an der Tafel geschriebenen Funktionen finden? (siehe Tabelle 2).
Was kann bei der Beantwortung dieser Frage helfen? (Graphen dieser Funktionen).
Wie zeichnet man die erste Funktion grafisch auf? (Senken Sie die Parabel um 4 Einheiten nach unten).
|
Funktion |
Mehrere Bedeutungen |
|
j = X 2 – 4 |
E( j) = [-4, + ∞) |
|
j = + 5 |
E( j) = |
|
j = – 5 cos X |
E( j) = [- 5, 5] |
|
y= tg ( x+ / 6) – 1 |
E( j) = (– ∞, + ∞) |
|
y= Sünde( x+ / 3) – 2 |
E( j) = [- 3, - 1] |
|
y=| X – 1 | + 3 |
E( j) = |
|
y=| ctg X| |
E( j) = |
|
j =  = | cos(x + /4) | |
E( j) = |
|
y=(X - 5) 2 + 3 |
E( j) = . Finden Sie die Menge der Funktionswerte:   . 
Einführung eines Algorithmus zur Lösung von Problemen beim Finden einer Wertemenge trigonometrischer Funktionen. Schauen wir uns an, wie wir unsere vorhandene Erfahrung auf die verschiedenen Aufgaben anwenden können, die in den Unified Exam-Optionen enthalten sind. 1. Ermitteln der Werte von Funktionen für einen bestimmten Argumentwert. Beispiel. Finden Sie den Wert der Funktion y = 2 cos(π/2+ π/4 ) – 1, Wenn x = -π/2. Lösung. j(-π/2) = 2 cos(- π/2 – π/4 )- 1= 2 cos(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 Sündeπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Ermitteln des Wertebereichs trigonometrischer Funktionen
1≤ SündeX≤ 1 2 ≤ 2 SündeX≤ 2 9 ≤ 11+2SündeX≤ 13 3 ≤ Schreiben wir die ganzzahligen Werte der Funktion im Intervall auf. Das ist die Nummer 3. Antwort: 3.
bei= Sünde 2 X- 2 3 Sündex + 3 2 - 3 2 + 8, bei= (SündeX- 3) 2 -1. E ( SündeX) = [-1;1]; E ( SündeX -3) = [-4;-2]; E ( SündeX -3) 2 = ; E ( bei) = . Antwort: .
Können wir die Wertemenge dieser Funktion finden? (NEIN.) Was muss getan werden? (Auf eine Funktion reduzieren.) Wie geht das? (Verwenden Sie die Cos-2-Formel X= 1-Sünde 2 X.) Also, bei= 1-Sünde 2 X+ 2 Sünde X –2, j= -sünde 2 X+ 2 Sünde X –1, bei= -(Sünde X –1) 2 . Nun können wir eine Reihe von Werten finden und den kleinsten auswählen. 1 ≤ Sünde X ≤ 1, 2 ≤ Sünde X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (Sünde X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(Sünde X -1) 2 ≤ 0. Dies bedeutet, dass der kleinste Wert der Funktion ist bei Name= –4. Antwort: -4.
Lösung. bei= 1-cos 2 X+cos X + 1,5, bei= -cos 2 X+ 2∙0,5∙cos X - 0,25 + 2,75, bei= -(cos X- 0,5) 2 + 2,75. E(cos X) = [-1;1], E(cos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos X – 0,5) 2 = , E(-(cos X-0,5) 2) = [-2,25;0], E( bei) = . Größter Funktionswert bei naib= 2,75; kleinster Wert bei Name= 0,5. Finden wir das Produkt aus dem größten und kleinsten Wert der Funktion: bei naib ∙bei Name = 0,5∙2,75 = 1,375. Antwort: 1.375. Lösung. Schreiben wir die Funktion im Formular neu bei =, bei = Lassen Sie uns nun die Wertemenge der Funktion ermitteln. E(Sünde X) = [-1, 1], E(6sin X) = [-6, 6], E(6sin X + 1) = [-5, 7], E((6sin X + 1) 2) = , E(– (6sin X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sin X + 1) 2 + 64) = , E( j) = [ Finden wir die Summe der ganzzahligen Werte der Funktion: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Antwort: 30.  Lösung. 1) 2) Deshalb 2 X gehören zum zweiten Viertel. 3) Im zweiten Viertel nimmt die Sinusfunktion ab und ist stetig. Dies bedeutet, dass diese Funktion 4) Berechnen wir diese Werte:
Antwort :
 Lösung. 1) Da ein Sinus Werte von -1 bis 1 annimmt, dann die Menge der Differenzwerte 2) Arcuskosinus ist eine monoton fallende und stetige Funktion. Dies bedeutet, dass die Wertemenge des Ausdrucks ein Segment ist 3) Beim Multiplizieren dieses Segments mit Antwort:  Lösung. Da der Arkustangens also eine steigende Funktion ist 2) Beim Erhöhen X aus 3) Beim Erhöhen von 4) Mit der Formel, die den Sinus durch den Tangens eines halben Winkels ausdrückt, finden wir das heraus
Dies bedeutet, dass die gewünschte Wertemenge die Vereinigung von Segmenten ist Antwort: bei= a sin x + b cos x oder bei= eine Sünde (Rx) + b cos (RX).
Lösung. Finden wir den Wert Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln 15 sin 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 Sünde (2x + Die Menge der Funktionswerte y = sin (2x + Dann beträgt die Wertemenge der ursprünglichen Funktion -25 Antwort:
[-25; 25].
Funktion bei= сtg X nimmt im Intervall [π/4; π/2], daher nimmt die Funktion den kleinsten Wert an, wenn x =π/2, das heißt bei(π/2) = сtg π/2 = 0; und der größte Wert liegt bei x=π/4, das heißt bei(π/4) = сtg π/4 = 1. Antwort: 1, 0.  . Lösung. Lassen Sie uns gleichberechtigt auswählen Daraus folgt, dass der Graph der Funktion f(x) entweder eine Hyperbel (a≠ 0) oder eine Gerade ohne Punkt ist. Darüber hinaus, wenn a; 2a) und (2a; Wenn a = 0, dann ist f(x) = -2 im gesamten Definitionsbereich x ≠ 0. Daher ist es offensichtlich, dass die gewünschten Werte des Parameters nicht gleich Null sind. Da uns die Funktionswerte nur auf dem Intervall [-1; 1], dann wird die Klassifizierung von Situationen dadurch bestimmt, dass die Asymptote x = 2a der Hyperbel (a≠0) relativ zu diesem Segment liegt. Fall 1. Alle Punkte im Intervall [-1; 1] rechts von der vertikalen Asymptote x = 2a liegen, also wenn 2a Fall 2. Die vertikale Asymptote kreuzt das Intervall [-1; 1], und die Funktion nimmt ab (wie im Fall 1), also wann Fall 3. Die vertikale Asymptote kreuzt das Intervall [-1; 1] und die Funktion nimmt zu, also -1 Fall 4. Alle Punkte im Intervall [-1; 1] liegen links von der vertikalen Asymptote, also 1 a > . x durch y ausdrücken. (Suche nach dem Definitionsbereich der Umkehrfunktion) Empfang 5. Vereinfachung der Formel, die eine gebrochenrationale Funktion definiert Empfang 6. Ermitteln der Wertemenge quadratischer Funktionen (durch Ermitteln des Scheitelpunkts einer Parabel und Festlegen der Art des Verhaltens ihrer Zweige). Empfang 7. Funktion Seite 1 y=f(x) ist eine solche Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, wenn jeder gültige Wert der Variablen x einem einzelnen Wert der Variablen y entspricht. Funktionsdefinitionsdomäne D(f) ist die Menge aller möglichen Werte der Variablen x. Funktionsumfang E(f) ist die Menge aller zulässigen Werte der Variablen y. y=f(x) ist eine Menge von Punkten auf der Ebene, deren Koordinaten eine gegebene funktionale Abhängigkeit erfüllen, also Punkte der Form M (x; f(x)). Der Graph einer Funktion ist eine bestimmte Linie auf einer Ebene. Wenn b=0 ist, nimmt die Funktion die Form y=kx an und wird aufgerufen direkte Proportionalität. D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Steigung k der Geraden y=kx+b wird nach folgender Formel berechnet: k= tan \alpha, wobei \alpha der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse ist. 1) Die Funktion wächst monoton für k > 0. Zum Beispiel: y=x+1 2) Die Funktion nimmt monoton mit k ab< 0 . Beispiel: y=-x+1
3) Wenn k=0 und b beliebige Werte gegeben werden, erhalten wir eine Familie von geraden Linien parallel zur Ox-Achse. Beispiel: y=-1
Umgekehrte ProportionalitätUmgekehrte Proportionalität eine Funktion der Form genannt y=\frac(k)(x), wobei k eine reelle Zahl ungleich Null ist D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \). Funktionsgraph y=\frac(k)(x) ist eine Übertreibung. 1) Wenn k > 0, dann liegt der Graph der Funktion im ersten und dritten Viertel der Koordinatenebene. Zum Beispiel: y=\frac(1)(x)
2) Wenn k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости. Zum Beispiel: y=-\frac(1)(x)
Power-FunktionPower-Funktion ist eine Funktion der Form y=x^n, wobei n eine reelle Zahl ungleich Null ist 1) Wenn n=2, dann y=x^2. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; Hauptperiode der Funktion T=2 \pi
Kategorien
|
– 1.
, d.h. E(y) = .
,
, 8].
das heißt X gehört zum ersten Viertel.
Zu 
.
. Bei Multiplikation mit 
Dieses Segment wird in das Segment aufgenommen 
.
.
wir bekommen 
.
.
.
Zu 
Argument 2 X steigt von 
Zu 
. Da der Sinus über ein solches Intervall zunimmt, ist die Funktion 
zu 1.
Argument 2 X steigt von 
. Da der Sinus in einem solchen Intervall abnimmt, gilt die Funktion 
zu 1.
.
Und 
, also das Segment 
= 
= 25.
) = 25 () =
), wo cos 
Sünde (2x + 
) und steigt, wenn a > 0, auf diesen Strahlen monoton an.
.
