Funktionsgraph 3x 2. Quadratische und kubische Funktionen

Lektion zum Thema: „Graph und Eigenschaften der Funktion $y=x^3$. Beispiele für das Zeichnen von Graphen“

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Eigenschaften der Funktion $y=x^3$

Beschreiben wir die Eigenschaften dieser Funktion:

1. x ist eine unabhängige Variable, y ist eine abhängige Variable.

2. Definitionsbereich: Es ist offensichtlich, dass für jeden Wert des Arguments (x) der Wert der Funktion (y) berechnet werden kann. Dementsprechend ist der Definitionsbereich dieser Funktion der gesamte Zahlenstrahl.

3. Wertebereich: y kann alles sein. Dementsprechend ist der Wertebereich auch der gesamte Zahlenstrahl.

4. Wenn x= 0, dann y= 0.

Graph der Funktion $y=x^3$

1. Lassen Sie uns eine Wertetabelle erstellen:

2. Für positive Werte von x ist der Graph der Funktion $y=x^3$ einer Parabel sehr ähnlich, deren Äste stärker zur OY-Achse „gedrückt“ sind.

3. Weil für negative Werte Wenn die x-Funktion $y=x^3$ entgegengesetzte Werte hat, ist der Graph der Funktion symmetrisch zum Ursprung.

Markieren wir nun die Punkte auf der Koordinatenebene und erstellen wir ein Diagramm (siehe Abb. 1).

Diese Kurve wird als kubische Parabel bezeichnet.

Beispiele

I. Dem kleinen Schiff ging völlig das Frischwasser aus. Es ist notwendig, ausreichend Wasser aus der Stadt zu holen. Wasser wird im Voraus bestellt und für einen vollen Würfel bezahlt, auch wenn man etwas weniger einfüllt. Wie viele Würfel sollte ich bestellen, um nicht zu viel für einen zusätzlichen Würfel zu bezahlen und den Tank vollständig zu füllen? Es ist bekannt, dass der Tank die gleiche Länge, Breite und Höhe hat, die 1,5 m entsprechen. Lösen wir dieses Problem, ohne Berechnungen durchzuführen.

Lösung:

1. Zeichnen wir die Funktion $y=x^3$.
2. Finden Sie Punkt A, x-Koordinate, der gleich 1,5 ist. Wir sehen, dass die Koordinate der Funktion zwischen den Werten 3 und 4 liegt (siehe Abb. 2). Sie müssen also 4 Würfel bestellen.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Funktionswerten erstellen

Wir sehen, wann (die Potenz einer positiven Zahl ist positiv) und wann (die Potenz einer negativen Zahl ist negativ). Folglich liegt der Graph im 1. und 3. Viertel auf der Koordinatenebene. Ersetzen wir den Wert des Arguments x durch den entgegengesetzten Wert, dann nimmt die Funktion den entgegengesetzten Wert an; denn wenn, dann

Dies bedeutet, dass jeder Punkt im Diagramm einem Punkt im selben Diagramm entspricht, der symmetrisch zum Koordinatenursprung liegt.

Somit ist der Ursprung das Symmetriezentrum des Graphen.

Der Graph der Funktion ist in Abbildung 81 dargestellt. Diese Linie wird als kubische Parabel bezeichnet.

Im ersten Viertel steigt die kubische Parabel (bei ) „steil“ an

nach oben (die Werte von y nehmen „schnell“ zu, wenn x zunimmt. Siehe Tabelle), bei kleinen Werten von x nähert sich die Linie „nah“ der Abszissenachse (bei „kleinen“ Werten von y „sehr klein“ , siehe Tabelle). Linke Seite Die kubische Parabel (im dritten Viertel) ist relativ zum Ursprung rechtssymmetrisch.

Ein sauber gezeichneter Graph kann als Mittel zur Approximation von Zahlenwürfeln dienen. So stellen wir beispielsweise fest, dass wir nach der Grafik suchen

Zur ungefähren Berechnung von Würfeln wurden spezielle Tabellen zusammengestellt.

Eine solche Tabelle ist auch im Handbuch von V. M. Bradis „Vierstellige mathematische Tabellen“ verfügbar.

Diese Tabelle enthält ungefähre Zahlenwürfel von 1 bis 10, gerundet auf 4 signifikante Ziffern.

Der Aufbau der Würfeltabelle und die Regeln für ihre Verwendung sind die gleichen wie bei der quadratischen Tabelle. Wenn jedoch eine Zahl um das 10-, 100-fache usw. erhöht (oder verringert) wird, erhöht (oder verringert) sich ihre Potenz um das 1000-fache, 1000.000-fache usw. Das bedeutet, dass Sie bei der Verwendung einer Würfeltabelle die folgende Regel für den Kommaumbruch beachten müssen:

Wenn Sie in einer Zahl das Komma um mehrere Ziffern verschieben, müssen Sie im Würfel dieser Zahl das Komma um die dreifache Anzahl von Ziffern in die gleiche Richtung verschieben.

Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen erklären:

1) Berechnen Sie 2,2353. Aus der Tabelle finden wir: ; Fügen Sie zur letzten Ziffer eine Korrektur von 8 für die letzte Ziffer hinzu:

2) Berechnen. Also finden wir es

Mithilfe der Tabelle ermitteln wir durch Verschieben des Kommas, dass wir erhalten

Näherungsformeln. Wenn in Identität

die Zahl a klein im Vergleich zur Eins ist, dann erhalten wir durch Weglassen der Terme c Näherungsformeln:

Mit diesen Formeln ist es einfach, ungefähre Würfelzahlen nahe eins zu finden, zum Beispiel: Exakter Würfel: 1,061208;

Sehen wir uns an, wie man mit einem Modul ein Diagramm erstellt.

Finden wir die Punkte, an deren Übergang sich das Vorzeichen der Module ändert.
Wir setzen jeden Ausdruck unter dem Modul mit 0 gleich. Wir haben zwei davon x-3 und x+3.
x-3=0 und x+3=0
x=3 und x=-3

Unser Zahlenstrahl wird in drei Intervalle (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) unterteilt. In jedem Intervall müssen Sie das Vorzeichen der modularen Ausdrücke bestimmen.

1. Dies ist sehr einfach, betrachten Sie das erste Intervall (-∞;-3). Nehmen wir einen beliebigen Wert aus diesem Segment, zum Beispiel -4, und setzen wir den Wert von x in jede der modularen Gleichungen ein.
x=-4
x-3=-4-3=-7 und x+3=-4+3=-1

Beide Ausdrücke haben negative Vorzeichen, was bedeutet, dass wir vor dem Modulzeichen in der Gleichung ein Minuszeichen setzen und anstelle des Modulzeichens Klammern setzen und die erforderliche Gleichung für das Intervall (-∞;-3) erhalten.

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Auf dem Intervall (-∞;-3) wurde der Graph der linearen Funktion (gerade) y=6 erhalten

2. Betrachten Sie das zweite Intervall (-3;3). Lassen Sie uns herausfinden, wie die Diagrammgleichung in diesem Segment aussehen wird. Nehmen wir eine beliebige Zahl von -3 bis 3, zum Beispiel 0. Ersetzen Sie den Wert x durch den Wert 0.
x=0
x-3=0-3=-3 und x+3=0+3=3

Der erste Ausdruck x-3 hat ein negatives Vorzeichen und der zweite Ausdruck x+3 hat ein positives Vorzeichen. Daher schreiben wir vor dem Ausdruck x-3 ein Minuszeichen und vor dem zweiten Ausdruck ein Pluszeichen.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Auf dem Intervall (-3;3) haben wir einen Graphen einer linearen Funktion (gerade Linie) y=-2x erhalten

3. Betrachten Sie das dritte Intervall (3;+∞). Nehmen wir einen beliebigen Wert aus diesem Segment, zum Beispiel 5, und setzen wir den Wert x in jede der modularen Gleichungen ein.

x=5
x-3=5-3=2 und x+3=5+3=8

Für beide Ausdrücke erwiesen sich die Vorzeichen als positiv, was bedeutet, dass wir vor dem Modulzeichen in der Gleichung ein Pluszeichen setzen und anstelle des Modulzeichens Klammern setzen und die erforderliche Gleichung für das Intervall (3;+) erhalten ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Auf dem Intervall (3;+∞) haben wir einen Graphen einer linearen Funktion (gerade) у=-6 erhalten

4. Lassen Sie uns nun zusammenfassen. Lassen Sie uns den Graphen y=|x-3|-|x+3| zeichnen.
Auf dem Intervall (-∞;-3) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) y=6.
Auf dem Intervall (-3;3) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) y=-2x.
Um einen Graphen von y = -2x zu erstellen, wählen wir mehrere Punkte aus.
x=-3 y=-2*(-3)=6 das Ergebnis ist ein Punkt (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 das Ergebnis ist ein Punkt (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 das Ergebnis ist Punkt (3;-6)
Auf dem Intervall (3;+∞) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) у=-6.

5. Analysieren wir nun das Ergebnis und beantworten wir die Frage: Finden Sie den Wert von k, den die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| hat Eine gegebene Funktion hat genau einen gemeinsamen Punkt.

Die Gerade y=kx für jeden Wert von k verläuft immer durch den Punkt (0;0). Daher können wir nur die Steigung dieser Linie y=kx ändern, und der Koeffizient k ist für die Steigung verantwortlich.

Wenn k eine positive Zahl ist, gibt es einen Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3|. Diese Option passt zu uns.

Wenn k den Wert (-2;0) annimmt, dann ist der Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| es werden drei sein. Diese Option passt nicht zu uns.

Wenn k=-2, gibt es viele Lösungen [-2;2], da die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| zusammenfällt An diesem Bereich. Diese Option passt nicht zu uns.

Wenn k kleiner als -2 ist, dann ist die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| wird eine Kreuzung haben. Diese Option passt zu uns.

Wenn k=0, dann ist der Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| es wird auch eine geben.

Antwort: wenn k zum Intervall (-∞;-2)U gehört und im Intervall zunimmt)