Что такое собственное подмножество. Как найти все подмножества множеств

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных по какому-то общему признаку.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множество обозначают символом A = {x }, где x - общее наименование элементов множества A . Часто множество записывают в виде A = {a , b , c , ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A . Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z 0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

a принадлежит множеству A .

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A .

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Множество B , все элементы которого принадлежат множеству A , называется подмножеством множества A , и при этом записывают (или )

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A . Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами , при этом записывают A = B .

5. Операции над множествами: объединение множеств, свойства этой операции.

Объединение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т.е. принадлежат А или принадлежат В.

объединением множеств A и B называется множество

6. Операции над множествами: пересечение множеств, свойства этой операции.

Пересечение множеств А и В - это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечением подмножеств A и B называется множество

7. Элементы комбинаторики: Перестановки.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения .

Правило суммы : пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A 1 , A 2 , …, A n , содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m 1 + m 2 + … + m n .

Пример . Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y , то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения : пусть имеется n множеств A 1 , A 2 , …, A n содержащих m 1 , m 2 , …, m n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а 1 , а 2 , ..., а n ), где а i Î А i1 (i = 1, 2, …, n ), равно m 1 · m 2 · … · m n .

Пример . Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Факториал. Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она . Для каждого целого положительного числа функция равна произведению всех целых чисел от 1 до . Например: . Для удобства полагают по определению . Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить школьников в одну шеренгу равняется

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой .

Общее число перестановок из m элементов обозначается P m и вычисляется по формуле:

8. Элементы комбинаторики: Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п .

Общее число сочетаний находится по формуле:

9. Элементы комбинаторики: Размещения.

Идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Определение 2

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Определение 3

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством .

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют - подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $\subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Пример 1

Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.

Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.

Вспомним признак делимости на $3$ : Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.

$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$

число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка

аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$

Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет

Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества - множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Пример 2

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$\ А\ \cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

Раздел очень прост в использовании. В предложенное поле достаточно ввести нужное слово, и мы вам выдадим список его значений. Хочется отметить, что наш сайт предоставляет данные из разных источников – энциклопедического, толкового, словообразовательного словарей. Также здесь можно познакомиться с примерами употребления введенного вами слова.

Значение слова подмножество

подмножество в словаре кроссвордиста

Энциклопедический словарь, 1998 г.

подмножество

понятие теории множеств. Подмножество множества А - множество В (обозначается В? А), каждый элемент которого принадлежит А. Напр., множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел.

Подмножество

множества А (математическое), любое множество, каждый элемент которого принадлежит А. Например, множество всех чётных чисел является П. множества всех целых чисел. Если к числу множеств причислить «пустое» множество, совсем не содержащее элементов, то, в силу определения, его следует считать П. любого другого множества. Само множество А и пустое множество называются иногда несобственными П., остальные же П. ≈ собственными. См.также Множеств теория.

Википедия

Подмножество

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Примеры употребления слова подмножество в литературе.

Вы можете также набрать следующую букву, чтобы перейти к подмножеству всех возможных завершений.

Представленный документ МОЖЕТ быть как подмножеством оригинальной версии, так и содержать сведения, которые в ней не были представлены.

Хармсовский ноль как некое множество, включающее в себя бесконечный ряд нулевых подмножеств , -- это мир бесконечности.

Возможность печати подмножества страниц требует наличия фильтра, который может обрабатывать такую ситуацию.

Создание индекса с правилом фрагментации, не совпадающим с правилом фрагментации таблицы, полезно в тех случаях, когда в разных приложениях выборки из таблицы осуществляются на основе разных подмножеств ее атрибутов.

Урок и презентация на тему: "Множества и подмножества, примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Электронное учебное пособие для учащихся 7-9 классов "Понятная алгебра"

Множества и подмножества

Так что же такое множество?
Множествами занимается специальный раздел математики теория множеств. Множество – одно из главных и фундаментальных понятий. Определения у него нет, но давайте попробуем понять, что же такое множество? Множество – это совокупность различных элементов, их можно посчитать, сгруппировать. Примерами множеств могут служить буквы алфавита – множество, состоящее из 33 элементов. Множество яблок на дереве – количество яблок на дереве, конечно и его можно посчитать и занумеровать. Примеров множеств можно придумать очень много. Попробуйте сами придумать какой-нибудь пример.
В математике множество обозначается в фигурных скобках {,}. Например, множество первых пяти букв английского алфавита обозначат вот так: {A,B,C,D,E}. Если записать это множество в другом порядке, оно не изменится.
Математика настолько интересный предмет, что у нас есть понятие пустого множества и бесконечного множества. Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента, его обозначают без скобок и используют значок Ø. Бесконечное множество, наверняка понятно из названия – множество, в котором бесконечное количество элементов, например множество всех чисел.
Множества можно описать различными словами, например, {10, 12, 16, 18, ..., 96 ,98} – это множество четных двузначных чисел. Многоточие используется, когда элементов очень много и все их записать сложно, но при этом запись множества должна быть понятной, и чтобы по ней можно было определить, что это за множество.
$ \{x| -2

Существуют специальные обозначения множеств. Например, для множества натуральных чисел. Ребята, а вы помните, как это множество обозначается?
Для обозначения принадлежности элемента множеству используется специальный знак $ϵ$. Запись $2 ϵ \{2,4,6,8... \}$. Читается так: "Два принадлежит множеству четных чисел".

Пример.
Некоторое множество состоит из корней уравнения $x^3+3x^2+2x=0$. Найдите элементы этого множества и перечислите все возможные варианты расположения элементов.

Решение.
Давайте решим уравнение, вынесем х за скобки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тогда решения нашего уравнения: $x=0;-2;-1$ – это и есть элементы искомого множества.
Давайте запишем возможные варианты расположения элементов:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Пример .
Опишите данные множества.

$а) \{1,2,3,4,...,9,10 \} \\ б) \{1,8,27,64 ... \}$
Решение.
а) Множество натуральных чисел от 1 до 10.
б) Множество всех значений кубов натуральных чисел.

Пример .
Решив неравенство, записать его решения в виде числового промежутка:

А) $\{x^2 | x^2+1>0\}$
б) $\{x| 1/x в) $\{x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ больше нуля при всех х. Тогда числовой промежуток запишется в виде: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Подмножество

Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.

Задачи для самостоятельного решения

Принадлежащие $A$, также принадлежит $B$. Формальное определение:

$(A\; \backslash subset\; B)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Rightarrow\; x\; \backslash in\; B).$

Множество $B$ называется надмно́жеством множества $A$, если $A$ - подмножество $B$.

Существует два символических обозначения для подмножеств:

Обе системы обозначений используют символ $\backslash subset$ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что $B$ называется надмножеством $A$, часто записывают $B\; \backslash supset\; A$.

Множество всех подмножеств множества $A$ обозначается $\backslash mathcal\{P\}(A)$ и называется булеаном .

Собственное подмножество

Любое множество $B$ является своим подмножеством. Если мы хотим исключить $B$ из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного

Множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$, если $A\; \backslash subset\; B$ и $A\; \backslash ne\; B$.

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество $A$ является нетривиальным подмножеством множества $B$, если $A$ является собственным подмножеством $B$ и $A\; \backslash ne\; \backslash varnothing$.

Примеры

• Множества $\backslash varnothing,\; \backslash \{0\backslash \},\; \backslash \{1,3,4\backslash \}.$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Множества $\backslash \{\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash \},\; \backslash \{\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash \},\; \backslash \{\backslash varnothing\backslash \},\; \backslash varnothing$ являются подмножествами множества $\backslash \{\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; moose\; \backslash \}$
• Пусть $A\; =\; \backslash \{a,b\backslash \}$, тогда $\backslash mathcal\{P\}(A)\; =\; \backslash \{\backslash varnothing,\; \backslash \{a\backslash \},\; \backslash \{b\backslash \},\; \backslash \{a,b\backslash \}\; \backslash \}$.
• Пусть $A\; =\; \backslash \{1,2,3,4,5\backslash \},\backslash ;\; B\; =\; \backslash \{1,2,3\backslash \},\backslash ;\; C\; =\; \backslash \{4,5,6,7\backslash \}$. Тогда $B\; \backslash subset\; A,\backslash ;\; C\; \backslash not\backslash subset\; A$.

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств .

• Отношение подмножества является отношением частичного порядка :
  • Отношение подмножества рефлексивно : $B\; \backslash subset\; B$
  • Отношение подмножества антисимметрично : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\; \backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; A)\; \backslash Leftrightarrow\; (A\; =\; B)$
  • Отношение подмножества транзитивно : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; C)\; \backslash Rightarrow\; (A\; \backslash subset\; C)$
• Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества: $\backslash varnothing\; \backslash subset\; B$
• Для любых двух множеств $A$ и $B$ следующие утверждения эквивалентны:
  • $A\; \backslash subset\; B.$
  • $A\; \backslash cap\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash cup\; B\; =\; B.$
  • $B^\{\backslash complement\}\; \backslash subset\; A^\{\backslash complement\}.$

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у $n$-элементного множества существует $2^n$ подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет $n$-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества $n$-элементного множества из $k\backslash le\; n$ элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом $\backslash textstyle\backslash binom\{n\}\{k\}$. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй $n-1$ способом, и так далее, и, наконец, $k$-й элемент можно выбрать $n-k+1$ способом. Таким образом мы получим последовательность из $k$ элементов, и ровно $k!$ таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется $\backslash textstyle\backslash frac\{n(n-1)\backslash dots(n-k+1)\}\{k!\}=\backslash binom\{n\}\{k\}$ таких подмножеств.

Напишите отзыв о статье "Подмножество"

Примечания

Литература

• Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. - 3-е изд., стереотип. - М .: МЦНМО, 2008. - 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0 .

Отрывок, характеризующий Подмножество

Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября.русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.