Что такое система линейных неравенств. Системы неравенств — Гипермаркет знаний
Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.
4x + 29 \end{array} \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Чтобы решить систему, нужно каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.
В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Решение неравенств отмечаем на числовых прямых:
В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.
Ответ: x∈[-2;1).
В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.
Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом « «. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству
Отмечаем его решение на числовой прямой:
Ответ: x∈(-∞;1].
Раскрываем скобки. В первом неравенстве — . Оно равно сумме кубов этих выражений.
Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, что равно разности квадратов. Поскольку здесь перед скобками стоит знак «минус», лучше их раскрытие провести в два этапа: сначала воспользоваться формулой, а уже потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Оба знака «больше». Используя правило «больше большего», сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел 5, следоветельно,
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">
Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:
Ответ: x∈(5;∞).
Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречается не только в качестве самостоятельных заданий, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т.д., важно вовремя усвоить эту тему.
В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений либо его решением является любое число.
Рубрика: |ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 23 Системы линейных неравенств
Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и ту же неизвестную величину.
Примерами таких систем могут служить системы:
Решить систему неравенств - это значит найти все значения неизвестной величины, при которых выполняется каждое неравенство системы.
Решим приведенные выше системы.
Расположим одну под другой две числовые прямые (рис. 31); на верхней отметим те значения х , при которых выполняется первое неравенство (х > 1), а на нижней-те значения х , при которых выполняется второе неравенство (х > 4).
Сравнивая результаты на числовых прямых, замечаем, что оба неравенства одновременно будут удовлетворяться при х > 4. Ответ, х > 4.
Первое неравенство дает -3х < -б, или х > 2, а второе - х > -8, или х < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения х , при которых выполняется первое неравенство системы, а на второй числовой прямой, расположенной под первой, все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы (рис. 32).
Сравнение этих двух результатов показывает, что оба неравенства одновременно будут выполняться при всех значениях х , заключенных от 2 до 8. Множество таких значений х записывается в виде двойного неравенства 2 < х < 8.
Пример 3. Решить систему неравенств
Первое неравенство системы дает 5х < 10, или х < 2, второе х > 4. Таким образом, любое число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, должно быть не больше 2 и больше 4 (рис. 33).
Но таких чисел не существует. Поэтому данная система неравенств не выполняется ни при каких значениях х . Подобные системы неравенств называются несовместными.
Упражнения
Решить данные системы неравенств (№ 179 -184):
Решить неравенства (№ 185, 186):
185. (2х + 3) (2 - 2х ) > 0. 186. (2 - π ) (2х - 15) (х + 4) > 0.
Найти допустимые значения букв, входящих в данные равенства (№ 187, 188):
Решить неравенства (№ 189, 190):
189. 1 < 2х - 5 < 2. 190. -2 < 1 - ах < 5.
191. Какой должна быть температура 10 л воды, чтобы при смешении ее с 6 л воды при температуре 15° получить воду с температурой не менее 30° и не более 40°?
192. Одна сторона треугольника равна 4 см, а сумма двух других 10 см. Найти эти стороны, если они выражаются целыми числами.
193. Известно, что система двух линейных неравенств не удовлетворяется ни при каких значениях неизвестной величины. Можно ли сказать, что отдельные неравенства этой системы невыполняются ни при каких значениях неизвестной величины?
Определение 1 . Совокупность точек пространства R n , координаты которых удовлетворяют уравнению а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n = b , называется (n - 1 )-мерной гиперплоскостью в n -мерном пространстве.
Теорема 1. Гиперплоскость делит все пространство на два полупространства. Полупространство является выпуклым множеством.
Пересечение конечного числа полупространств является выпуклым множеством.
Теорема 2 . Решением линейного неравенства с n неизвестными
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+ a n x n b
является одно из полупространств, на которые все пространство делит гиперплоскость
а 1 х 1 + а 2 х 2 +…+a n x n = b .
Рассмотрим систему из m линейных неравенств с n неизвестными.
Решением каждого неравенства системы является некоторое полупространство. Решением системы будет являться пересечение всех полупространств. Это множество будет замкнутым и выпуклым.
Решение систем линейных неравенств
с двумя переменными
Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными.
Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости Х 1 0 Х 2 .
37. Представление выпуклого многогранника
Определение 1. Замкнутое выпуклое ограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек , называется выпуклым n -мерным многогранником.
Определение 2 . Замкнутое выпуклое неограниченное множество в R n , имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклой многогранной областью.
Определение 3 . Множество А R n называется ограниченным, если найдется n -мерный шар, содержащий это множество.
Определение 4. Выпуклой линейной комбинацией точек называется выражение, гдеt i , .
Теорема (теорема о представлении выпуклого многогранника). Любую точку выпуклого многогранника можно представить в виде выпуклой линейной комбинации его угловых точек.
38. Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными.
Определение 1 . Точка R n называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений (ОВР) системы.
Определение 2. Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР) системы.
Теорема 1 . ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным (или неограниченным) подмножеством вR n .
Теорема 2. Допустимое решение системы является опорным тогда и только тогда, когда эта точка являетсяугловой точкой ОДР.
Теорема 3 (теорема о представлении ОДР). Если ОДР - ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР (в виде выпуклой линейной комбинации опорных решений системы).
Теорема 4 (теорема о существовании опорного решения системы). Если система имеет хотя бы одно допустимое решение (ОДР), то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.
называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину
Вот образцы подобных систем:
Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.
Ответ: х
Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш .
Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В . Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи - сонаправленные, противонаправленные и так далее.
Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Вычислим систему неравенств :
Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x >7 , а на нижней - которые выступают решением второго неравенства x >10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x >10.
Ответ: (10;+∞).
Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы , а на второй числовой оси, размещенной под первой, - все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7<х≤10
Ответ: (7; 10].
Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.
