Что нужно сделать чтобы найти площадь. Как посчитать площадь прямоугольника: практические советы

Периодически нам требуется знать площадь и объем комнаты. Эти данные могут понадобиться при проектировании отопления и вентиляции, при закупке стройматериалов и еще во многих других ситуациях. Также периодически требуется знать площадь стен. Все эти данные вычисляются легко, но предварительно придется поработать рулеткой — измерять все требуемые габариты. О том, как посчитать площадь комнаты и стен, объем помещения и пойдет речь дальше.

Площадь комнаты в квадратных метрах

• Рулетка. Лучше — с фиксатором, но подойдет и обычная.
• Бумага и карандаш или ручка.
• Калькулятор (или считайте в столбик или в уме).

Набор инструментов нехитрый, найдется в каждом хозяйстве. Проще измерения проводить с помощником, но можно справиться и самостоятельно.

Для начала надо измерить длину стен. Делать это желательно вдоль стен, но если все они заставлены тяжелой мебелью, можно проводить измерения и посередине. Только в этом случае следите чтобы лента рулетки лежала вдоль стен, а не наискосок — погрешность измерений будет меньше.

Прямоугольная комната

Если помещение правильной формы, без выступающих частей, вычислить площадь комнаты просто. Измеряете длину и ширину, записываете на бумажке. Цифры пишите в метрах, после запятой ставите сантиметры. Например, длина 4,35 м (430 см), ширина 3,25 м (325 см).

Найденные цифры перемножаем, получаем площадь комнаты в квадратных метрах. Если обратимся к нашему примеру, то получится следующее: 4,35 м * 3,25 м = 14,1375 кв. м. В данной величине оставляют обычно две цифры после запятой, значит округляем. Итого, рассчитанная квадратура комнаты 14,14 квадратных метров.

Помещение неправильной формы

Если надо высчитать площадь комнаты неправильной формы, ее разбивают на простые фигуры — квадраты, прямоугольники, треугольники. Потом измеряют все нужные размеры, производят расчеты по известным формулам (есть в таблице чуть ниже).

Один из примеров — на фото. Так как и то, и другое — прямоугольник, площадь считается по той же формуле: длину умножаем на ширину. Найденную цифру надо отнять или прибавить к размеру помещения — в зависимости от конфигурации.

Площадь комнаты сложной формы

1. Считаем квадратуру без выступа: 3,6 м * 8,5 м = 30,6 кв. м.
2. Считаем габариты выступающей части: 3,25 м * 0,8 м = 2,6 кв. м.
3. Складываем две величины: 30,6 кв. м. + 2,6 кв. м. = 33,2 кв. м.

Еще бывают помещения со скошенными стенами. В этом случае разбиваем ее так, чтобы получились прямоугольники и треугольник (как на рисунке ниже). Как видите, для данного случая требуется иметь пять размеров. Разбить можно было по-другому, поставив вертикальную, а не горизонтальную черту. Это не важно. Просто требуется набор простых фигур, а способ их выделения произвольный.

В этом случае порядок вычислений такой:

1. Считаем большую прямоугольную часть: 6,4 м * 1,4 м = 8,96 кв. м. Если округлить, получим 9, 0 кв.м.
2. Высчитываем малый прямоугольник: 2,7 м * 1,9 м = 5,13 кв. м. Округляем, получаем 5,1 кв. м.
3. Считаем площадь треугольника. Так как он с прямым углом, то равен половине площади прямоугольника с такими же размерами. (1,3 м * 1,9 м) / 2 = 1,235 кв. м. После округления получаем 1,2 кв. м.
4. Теперь все складываем чтобы найти общую площадь комнаты: 9,0 + 5,1 + 1,2 = 15,3 кв. м.

Планировка помещений может быть очень разнообразной, но общий принцип вы поняли: делим на простые фигуры, измеряем все требуемые размеры, высчитываем квадратуру каждого фрагмента, потом все складываем.

Еще одно важное замечание: площадь комнаты, пола и потолка — это все одинаковые величины. Отличия могут быть если есть какие-то полу-колоны, не доходящие до потолка. Тогда из общей квадратуры вычитается квадратура этих элементов. В результате получаем площадь пола.

Как рассчитать квадратуру стен

Определение площади стен часто требуется при закупке отделочных материалов — обоев, штукатурки и т.п. Для этого расчета нужны дополнительные измерения. К имеющимся уже ширине и длине комнаты нужны будут:

• высота потолков;
• высота и ширина дверных проемов;
• высота и ширина оконных проемов.

Все измерения — в метрах, так как квадратуру стен тоже принято измерять в квадратных метрах.

Так как стены прямоугольные, то и площадь считается как для прямоугольника: длину умножаем на ширину. Таким же образом вычисляем размеры окон и дверных проемов, их габариты вычитаем. Для примера рассчитаем площадь стен, изображенных на схеме выше.

1. Стена с дверью:
   • 2,5 м * 5,6 м = 14 кв. м. — общая площадь длинной стены
   • сколько занимает дверной проем: 2,1 м *0,9 м = 1,89 кв.м.
   • стена без учета дверного проема — 14 кв.м — 1,89 кв. м = 12,11 кв. м
2. Стена с окном:
   1. квадратура маленьких стен: 2,5 м * 3,2 м = 8 кв.м.
   2. сколько занимает окно: 1,3 м * 1,42 м = 1,846 кв. м, округляем, получаем 1,75 кв.м.
   3. стена без оконного проема: 8 кв. м — 1,75 кв.м = 6,25 кв.м.

Найти общую площадь стен не составит труда. Складываем все четыре цифры: 14 кв.м + 12,11 кв.м. + 8 кв.м + 6,25 кв.м. = 40,36 кв. м.

Объем комнаты

Для некоторых расчетов требуется объем комнаты. В этом случае перемножаются три величины: ширина, длинна и высота помещения. Измеряется данная величина в кубических метрах (кубометрах), называется еще кубатурой. Для примера используем данные из предыдущего пункта:

• длинна — 5,6 м;
• ширина — 3,2 м;
• высота — 2,5 м.

Если все перемножить, получаем: 5,6 м * 3,2 м * 2,5 м = 44,8 м 3 . Итак, объем помещения 44,8 куба.

Начиная с 5 класса, ученики начинают знакомиться с понятием площадей разных фигур. Особая роль отводится площади прямоугольника, так как эта фигура одна из наиболее простых в изучении.

Понятия площади

Любая фигура имеет свою площадь, а вычисление площади отталкиваются от единичного квадрата, то есть от квадрата с длинной стороны в 1 мм, либо 1 см, 1 дм и так далее. Площадь такой фигуры равна $1*1 = 1мм^2$, либо $1см^2$ и т. д. Площадь, как правило, обозначается буквой – S.

Площадь показывает размер части плоскости, которую занимает фигура, очерченная отрезками.

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы одинаковой градусной меры и равны по 90 градусов, а противоположные стороны попарно параллельны и ровны.

Особое внимание нужно обращать на единицы измерения длины и ширины. Они должны совпадать. Если единицы не совпадают, их переводят. Как правило переводят большую единицу в меньшую, например, если длина дается в дм, а ширина в см, то дм переводят в см, а результат получится в $см^2$.

Формула площади прямоугольника

Для того, чтобы найти площадь прямоугольника без формулы необходимо посчитать количество единичных квадратов, на которые разбита фигура.

Рис. 1. Прямоугольник, разбитый на единичные квадраты

Прямоугольник разбит на 15 квадратов, то есть его площадь равна 15 см2. Стоит обратить внимание, что в ширину фигура занимает 3 квадрата, а в длину 5, потому чтобы вычислить количество единичных квадратов, необходимо умножить длину на ширину. Меньшая сторона четырехугольника – ширина, большая длина. Таким образом, можно вывести формулу площади прямоугольника:

S = a · b, где a,b – ширина и длина фигуры.

К примеру, если длина прямоугольника 5 см, а ширина 4 см, то площадь будет равна 4*5=20 см 2 .

Расчет площади прямоугольника, с использованием его диагонали

Для того, что бы расчета площади прямоугольника через диагональ необходимо применить формулу:

$$S = {1\over{2}} ⋅ d^2 ⋅ sin{α}$$

Если в задании дано значения угла между диагоналями, а также значение самой диагонали, то можно вычислить площадь прямоугольника по общей формуле произвольных выпуклых четырехугольников.

Диагональ – это отрезок, который соединяет противоположные точки фигуры. Диагонали прямоугольника равны, и точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 2. Прямоугольник с начерченными диагоналями

Примеры

Для закрепления темы рассмотрим примеры заданий:

№1. Найти площадь огородного участка, такой формы как на рисунку.

Рис. 3. Рисунок к задаче

Решение:

Для того чтобы вычесть площадь, необходимо фигуру разбить на два прямоугольника. Один из них будет иметь размеры 10 м и 3 м, другой 5 м. и 7 м. Отдельно находим их площади:

$S_1 =3*10=30 м^2$;

Это и будет площадь огородного участка $S = 65 м^2$.

№2. Вычесть площадь прямоугольник, если дано его диагональ d=6 см. и угол между диагоналями α =30 0 .

Решение:

Значение $sin 30 ={1\over{2}} $,

$ S ={1\over{2}}⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S ={1\over{2}} * 6^2 * {1\over{2}} =9 см^2$

Таким образом, $S=9 см^2$.

Диагонали разделяет прямоугольник на 4 фигуры – 4 треугольника. При этом треугольники попарно равны. Если провести диагональ в прямоугольнике, то она разделяет фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 214.

Что такое площадь и что такое прямоугольник

Площадь – это такая геометрическая величина, с помощью которой можно определить размер какой-либо поверхности геометрической фигуры.

На протяжении многих веков так повелось, что вычисление площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площадь несложных геометрических фигур, достаточно было подсчитать количество единичных квадратов, которыми условно были покрыты фигуры. А фигуру, которая имела площадь, называли квадрируемой.

Поэтому, можно подвести итог, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер части плоскости, соединенной между собой отрезками.

Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть, четырехстороннюю фигуру, которая имеет четыре прямых угла и ее противоположные стороны равны, называют прямоугольником.

Как найти площадь прямоугольника

Самый простой способ нахождения площади прямоугольника – взять прозрачную бумагу, например кальку, или клеенку и расчертить ее на равные квадратики по 1 см, а потом приложить к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в сантиметрах квадратных. Например, на рисунке видно, что прямоугольник попадает в 12 квадратов, значит, его площадь равна – 12 кв. см.

Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, необходим более универсальный способ, поэтому была доказана формула, чтобы найди площадь прямоугольника необходимо умножить его длину на ширину.

А теперь давайте попробуем записать правило нахождения площади прямоугольника в виде формулы. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буква а – будет обозначать его длину, а буква b – ширину.

В итоге получаем вот такую формулу:

S = а * b.

Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4 * 3 = 12 кв.см.

Если взять две идентичные фигуры, и наложить их одну на другую, то они совпадут, а будут называться равными. У таких равных фигур будут также равны их площади и периметры.

Зачем уметь находить площадь

Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.

То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:

П = Д х Ш,

Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.

А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника? Какая разница между площадью и периметром

Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.

Единицы измерения площади

Если периметр одномерный измеряется в линейных единицах, которыми являются дюймы, футы и метры, то S относится к двумерным исчислениям и имеет свою длину и ширину.

И измеряется S в квадратных единицах, таких, как:

Один квадратный миллиметр, где S квадрата имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет S такого квадрата, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр равен S этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет S квадрата, сторона которого равна одному метру;
И наконец, квадратный километр имеет S квадрата, сторона которого равна одному километру.

Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли используют такие единицы, как:

Один ар или сотка – если S квадрата имеет сторону десять метров;
Один гектар равен S квадрата, у которого сторона имеет сто метров.

Задачи и упражнения

А теперь давайте рассмотрим несколько примеров.

На рисунке 62 нарисована фигура, которая имеет восемь квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Поэтому S такого квадрата будет квадратный сантиметр.

Если записать, то это будет выглядеть так:

1 см2. А S все этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет равняться 8 кв.см.

Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:

Р см2.

Давайте рассмотрим прямоугольник, изображений на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, а каждая такая полоска разбита на пять равных квадратов, имеющих сторону в 1 см.

Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.см.:

Рассмотрим следующий пример. На рисунке 64 изображен прямоугольник ABCD, ломаной линией KLMN он разбит на две части. Первая его часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь давайте найдем площадь всего прямоугольника:

Итак, берем три и умножаем на семь и получаем 21 кв.см:

3 7 = 21 кв.см. При этом 21 = 12 + 9.

И приходим к выводу, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей ее отдельных частей.

Рассмотрим еще один пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который с помощью отрезка АС разбит на два равных треугольника ABC и ADC

А так, как нам уже известно, что квадрат – это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь каждого треугольника будет равняться половине площади всего прямоугольника.

Представим, что сторона квадрата равна а, то:

S = a a = a2.

Делаем вывод, что формула площади квадрата будет иметь такой вид:

А запись a2 называется квадратом числа а.

И так, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:

4 4, то есть 4 * 2 = 16 кв.см.

Вопросы и задания

Найдите площадь фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Вспомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли иметь равные фигуры различные площади? А периметры?
Если вам известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Сформулируйте и запишите, чему равняется площадь квадрата.

Историческая справка

А известно ли вам, что древние люди в Вавилоне умели рассчитать площадь прямоугольника. Так же древние египтяне делали расчеты различных фигур, но так как точных формул они не знали, то вычисления имели небольшие погрешности.

В своей книге «Начала» знаменитый древнегреческий математик Евклид, описывает различные способы вычисления площадей разных геометрических фигур.

Инструкция

Чтобы найти длину стороны прямоугольника, если известна ширина и площадь , разделите числовое значение площади на числовое значение ширины. То есть воспользуйтесь формулой:Д = П / Ш, где:Д – длина стороны прямоугольника,
Ш – ширина прямоугольника,
П – его площадь .Например, если площадь прямоугольника равна 20 см², а его ширина – 5 см, то длина его стороны будет: 20 / 5 = 4 см.

Перед началом вычислений переведите ширину и площадь прямоугольника в одну систему измерений. То есть, площадь должна выражаться в соответствующих ширине квадратных единицах измерения. При этом, длина получится в тех же единицах, что и ширина . Так, если ширина задана в метрах, то площадь необходимо в . Особенно актуален такой при измерении земельных участков, где площадь обычно задана в гектарах, арах и «сотках».

Например, пусть площадь дачного участка равняется шести соткам, а его ширина – 30 метров. Требуется найти длину участка.
Так как «соткой» 100 , то площадь «стандартных» шести можно записать как 600 м². Отсюда длину земельного участка можно найти разделив 600 на 30. Получается – 20 метров.

Иногда заданы площадь и ширина фигуры, имеющей не прямоугольную, а произвольную форму. При этом, также требуется найти ее длину . Как правило, в это случае подразумеваются габаритные фигуры, то есть параметры прямоугольника, в который эту фигуру можно заключить.
Если большая точность вычислений не требуется, то воспользуйтесь вышеприведенной формулой (Д = П / Ш). Однако, значение длины при этом получится заниженным. Чтобы получить более точное значение длины фигуры, оцените насколько полно фигура заполняет свой габаритный прямоугольник и разделите полученную длину на коэффициент заполнения.

Источники:

• Какова длина прямоугольника, если известна его ширина

Каждая геометрическая фигура обладает определенными характеристиками, которые, в свою очередь, связаны между собой. Поэтому для того, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно знать, какова длина его сторон.

Прямоугольник - одна из самых распространенных геометрических фигур. Он представляет собой четырехугольник, все углы которого равны между собой и составляют по 90 градусов. Эта характеристика, в свою очередь, влечет за собой определенные последствия в отношении других параметров рассматриваемой фигуры.

Во-первых, его стороны, располагающиеся друг напротив друга, будут параллельны. Во-вторых, эти стороны будут попарно равны между собой по длине. Эти характеристики оказываются очень важными для исчисления других его параметров, таких как площадь.

Порядок вычисления площади прямоугольника

Поэтому для обозначения различающихся сторон прямоугольника приняты особые обозначения: так, сторону с большой протяженностью обычно называют длиной фигуры, а сторону с меньшей протяженностью - его шириной. При этом каждый прямоугольник в силу его свойств, описанных выше, имеет две длины и две ширины.

Собственно алгоритм вычисления площади этой фигуры достаточно прост: необходимо лишь его одну длину умножить на одну его ширину. Полученное произведение будет представлять собой площадь прямоугольника.

Пример вычисления

Для нахождения площади фигуры необходимо ее ширину умножить на длину: таким образом, площадь рассматриваемого прямоугольника составит 40 квадратных сантиметров. Обратите внимание, что для осуществления вычислений оба используемых параметра должны измеряться в одинаковых единицах, например