C 14 je aritmetički kvadratni korijen. Korijenske formule

Činjenica 1.
\(\bullet\) Uzmimo neki nenegativan broj \(a\) (to jest, \(a\geqslant 0\) ). Zatim (aritmetika) kvadratni korijen iz broja \(a\) se zove takav nenegativan broj \(b\) , kada se kvadrira dobijamo broj \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(isto kao )\quad a=b^2\] Iz definicije proizilazi da \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ova ograničenja su važan uslov postojanje kvadratni korijen i treba ih zapamtiti!
Podsjetimo da bilo koji broj kada se kvadrira daje nenegativan rezultat. To jest, \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Koliko je \(\sqrt(25)\) jednako? Znamo da je \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Pošto po definiciji moramo pronaći nenegativan broj, onda \(-5\) nije prikladan, dakle, \(\sqrt(25)=5\) (pošto \(25=5^2\) ).
Pronalaženje vrijednosti \(\sqrt a\) naziva se uzimanje kvadratnog korijena broja \(a\) , a broj \(a\) naziva se radikalni izraz.
\(\bullet\) Na osnovu definicije, izraza \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), itd. nema smisla.

Činjenica 2.
Za brza izračunavanja bit će korisno naučiti tablicu kvadrata prirodni brojevi od \(1\) do \(20\): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Činjenica 3.
Koje operacije možete raditi s kvadratnim korijenima?
\(\metak\) Zbir ili razlika kvadratni korijeni NIJE JEDNAKO kvadratnom korijenu zbira ili razlike, tj \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Dakle, ako trebate izračunati, na primjer, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada prvo morate pronaći vrijednosti \(\sqrt(25)\) i \(\ sqrt(49)\ ), a zatim ih presavijte. dakle, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ako se vrijednosti \(\sqrt a\) ili \(\sqrt b\) ne mogu pronaći pri sabiranju \(\sqrt a+\sqrt b\), onda se takav izraz ne transformira dalje i ostaje takav kakav jeste. Na primjer, u zbiru \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) možemo pronaći \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ali \(\sqrt 2\) se ne može transformirati u u svakom slučaju, zato \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Nažalost, ovaj izraz se ne može dalje pojednostaviti\(\bullet\) Proizvod/količnik kvadratnog korijena jednak je kvadratnom korijenu proizvoda/količnika, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod uslovom da obe strane jednakosti imaju smisla)
primjer: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Koristeći ova svojstva, zgodno je pronaći kvadratne korijene veliki brojevi faktoringom.
Pogledajmo primjer. Nađimo \(\sqrt(44100)\) . Budući da \(44100:100=441\) , onda \(44100=100\cdot 441\) . Prema kriteriju djeljivosti, broj \(441\) je djeljiv sa \(9\) (pošto je zbir njegovih znamenki 9 i djeljiv je sa 9), dakle, \(441:9=49\), odnosno \(441=9\ cdot 49\) .
Tako smo dobili: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pogledajmo još jedan primjer: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokažimo kako unositi brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena na primjeru izraza \(5\sqrt2\) (kratka oznaka za izraz \(5\cdot \sqrt2\)). Budući da je \(5=\sqrt(25)\) , onda \ Imajte na umu da npr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Žašto je to? Hajde da objasnimo koristeći primer 1). Kao što već razumijete, ne možemo nekako transformirati broj \(\sqrt2\). Zamislimo da je \(\sqrt2\) neki broj \(a\) . Prema tome, izraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nije ništa više od \(a+3a\) (jedan broj \(a\) plus još tri ista broja \(a\)). A znamo da je ovo jednako četiri takva broja \(a\) , odnosno \(4\sqrt2\) .

Činjenica 4.
\(\bullet\) Često kažu "ne možete izdvojiti korijen" kada se ne možete riješiti znaka \(\sqrt () \ \) korijena (radikala) prilikom pronalaženja vrijednosti broja . Na primjer, možete uzeti korijen broja \(16\) jer \(16=4^2\) , dakle \(\sqrt(16)=4\) . Ali nemoguće je izdvojiti korijen broja \(3\), odnosno pronaći \(\sqrt3\), jer ne postoji broj koji bi na kvadrat dao \(3\) .
Takvi brojevi (ili izrazi s takvim brojevima) su iracionalni. Na primjer, brojevi \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) i tako dalje. su iracionalni.
Iracionalni su i brojevi \(\pi\) (broj "pi", približno jednak \(3,14\)), \(e\) (ovaj broj se zove Eulerov broj, približno je jednak \(2,7\) \)) itd.
\(\bullet\) Imajte na umu da će bilo koji broj biti racionalan ili iracionalan. A zajedno su svi racionalni i sve iracionalni brojevi formiraju skup tzv skup realnih brojeva. Ovaj skup je označen slovom \(\mathbb(R)\) .
To znači da se svi brojevi koje trenutno poznajemo nazivaju realnim brojevima.

Činjenica 5.
\(\bullet\) Modul realnog broja \(a\) je nenegativan broj \(|a|\) jednak udaljenosti od tačke \(a\) do \(0\) na prava linija. Na primjer, \(|3|\) i \(|-3|\) su jednaki 3, jer su udaljenosti od tačaka \(3\) i \(-3\) do \(0\) jednake isto i jednako \(3 \) .
\(\bullet\) Ako je \(a\) nenegativan broj, onda \(|a|=a\) .
Primjer: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ako je \(a\) negativan broj, onda \(|a|=-a\) .
Primjer: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Kažu da za negativne brojeve modul „jede“ minus, dok pozitivni brojevi, kao i broj \(0\), ostaju nepromijenjeni modulom.
ALI Ovo pravilo vrijedi samo za brojeve. Ako se ispod vašeg predznaka modula nalazi nepoznato \(x\) (ili neka druga nepoznata), na primjer, \(|x|\) , za koju ne znamo da li je pozitivan, nula ili negativan, onda se riješite modula ne možemo. U ovom slučaju, ovaj izraz ostaje isti: \(|x|\) . \(\bullet\) Važe sljedeće formule: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( osiguran) a\geqslant 0\] Vrlo često se pravi sljedeća greška: kažu da su \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) jedno te isto. Ovo je tačno samo ako je \(a\) pozitivan broj ili nula. Ali ako je \(a\) negativan broj, onda je ovo netačno. Dovoljno je razmotriti ovaj primjer. Uzmimo umjesto \(a\) broj \(-1\) . Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ali izraz \((\sqrt (-1))^2\) uopće ne postoji (na kraju krajeva, nemoguće je koristiti korijenski znak stavite negativne brojeve!).
Stoga vam skrećemo pažnju na činjenicu da \(\sqrt(a^2)\) nije jednako \((\sqrt a)^2\) ! Primjer: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), jer \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Pošto je \(\sqrt(a^2)=|a|\) , onda je \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (izraz \(2n\) označava paran broj)
To jest, kada se uzme korijen broja koji je do nekog stepena, ovaj stepen se prepolovi.
primjer:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (imajte na umu da ako modul nije isporučen, ispada da je korijen broja jednak \(-25\ ) ) , ali sjećamo se da se po definiciji korijena to ne može dogoditi: kada izvlačimo korijen, uvijek bismo trebali dobiti pozitivan broj ili nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pošto bilo koji broj na paran stepen nije negativan)

Činjenica 6.
Kako uporediti dva kvadratna korijena?
\(\bullet\) Za kvadratne korijene vrijedi: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aprimjer:
1) uporedi \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Prvo, transformirajmo drugi izraz u \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dakle, pošto \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Između kojih cijelih brojeva se nalazi \(\sqrt(50)\)?
Budući da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Uporedimo \(\sqrt 2-1\) i \(0.5\) . Pretpostavimo da je \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\početi(poravnano) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((dodaj jedan na obje strane))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadriranje obje strane))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(poravnano)\] Vidimo da smo dobili netačnu nejednakost. Stoga je naša pretpostavka bila netačna i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Imajte na umu da dodavanje određenog broja na obje strane nejednakosti ne utječe na njen predznak. Množenje/dijeljenje obje strane nejednakosti pozitivnim brojem također ne utiče na njen predznak, ali množenje/dijeljenje negativnim brojem obrće predznak nejednakosti!
Možete kvadrirati obje strane jednačine/nejednačine SAMO AKO obje strane nisu negativne. Na primjer, u nejednakosti iz prethodnog primjera možete kvadrirati obje strane, u nejednakosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Treba to zapamtiti \[\početak(poravnano) &\sqrt 2\približno 1,4\\ &\sqrt 3\približno 1,7 \end(poravnano)\] Poznavanje približnog značenja ovih brojeva pomoći će vam kada upoređujete brojeve! \(\bullet\) Da biste izdvojili korijen (ako se može izvući) iz nekog velikog broja kojeg nema u tabeli kvadrata, prvo morate odrediti između kojih se „stotina“ nalazi, zatim – između kojih „ desetice”, a zatim odredite posljednju cifru ovog broja. Pokažimo kako to funkcionira na primjeru.
Uzmimo \(\sqrt(28224)\) . Znamo da \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), itd. Imajte na umu da je \(28224\) između \(10\,000\) i \(40\,000\) . Dakle, \(\sqrt(28224)\) je između \(100\) i \(200\) .
Sada odredimo između kojih se "desetica" nalazi naš broj (to je, na primjer, između \(120\) i \(130\)). Također iz tabele kvadrata znamo da \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., zatim \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Dakle, vidimo da je \(28224\) između \(160^2\) i \(170^2\) . Dakle, broj \(\sqrt(28224)\) je između \(160\) i \(170\) .
Pokušajmo odrediti posljednju cifru. Prisjetimo se koji jednocifreni brojevi, kada se kvadriraju, daju \(4\) na kraju? To su \(2^2\) i \(8^2\) . Prema tome, \(\sqrt(28224)\) će se završiti sa 2 ili 8. Provjerimo ovo. Nađimo \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prema tome, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Da biste adekvatno riješili Jedinstveni državni ispit iz matematike, prvo morate proučiti teorijski materijal koji vas upoznaje sa brojnim teoremama, formulama, algoritmima itd. Na prvi pogled može izgledati da je to prilično jednostavno. Međutim, pronalaženje izvora u kojem je teorija za Jedinstveni državni ispit iz matematike predstavljena na jednostavan i razumljiv način za studente bilo kojeg nivoa obuke je zapravo prilično težak zadatak. Školski udžbenici ne mogu uvijek biti pri ruci. A pronalaženje osnovnih formula za Jedinstveni državni ispit iz matematike može biti teško čak i na internetu.

Zašto je toliko važno proučavati teoriju u matematici ne samo za one koji polažu Jedinstveni državni ispit?

1. Zato što vam proširuje vidike. Proučavanje teorijskog gradiva iz matematike korisno je za sve koji žele da dobiju odgovore na širok spektar pitanja vezanih za poznavanje svijeta oko sebe. Sve je u prirodi uređeno i ima jasnu logiku. To je upravo ono što se ogleda u nauci, kroz koju je moguće razumjeti svijet.
2. Jer razvija inteligenciju. Proučavajući referentni materijal za Jedinstveni državni ispit iz matematike, kao i rješavanjem raznih zadataka, osoba uči logično razmišljati i zaključivati, kompetentno i jasno formulirati misli. Razvija sposobnost analize, generalizacije i izvođenja zaključaka.

Pozivamo Vas da lično ocijenite sve prednosti našeg pristupa sistematizaciji i prezentaciji edukativnog materijala.

Šta je kvadratni korijen?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ovaj koncept je vrlo jednostavan. Prirodno, rekao bih. Matematičari pokušavaju pronaći reakciju za svaku akciju. Postoji sabiranje - postoji i oduzimanje. Postoji množenje - postoji i dijeljenje. Postoji kvadratura... Tako da postoji i uzimajući kvadratni korijen! To je sve. Ova akcija ( kvadratni korijen) u matematici je označeno ovom ikonicom:

Sama ikona se zove prelepa reč" radikalan".

Kako izvaditi korijen? Bolje je pogledati primjeri.

Koliki je kvadratni korijen od 9? Koji broj na kvadrat će nam dati 9? 3 na kvadrat nam daje 9! oni:

Ali koliko je kvadratni korijen od nule? Nema problema! Koji broj na kvadrat čini nula? Da, daje nulu! znači:

shvaćam, šta je kvadratni korijen? Onda razmatramo primjeri:

Odgovori (u neredu): 6; 1; 4; 9; 5.

Odlučili? Zaista, koliko je to lakše?!

Ali... Šta čovek radi kada vidi neki zadatak sa korenima?

Čovek počinje da se oseća tužno... Ne veruje u jednostavnost i lakoću svojih korena. Iako izgleda da zna šta je kvadratni korijen...

To je zato što je osoba zanemarila nekoliko važnih tačaka prilikom proučavanja korijena. Onda se ovi modri okrutno osvećuju na testovima i ispitima...

Tačka jedan. Morate prepoznati korijene iz vida!

Koliki je kvadratni korijen od 49? Sedam? Tačno! Kako ste znali da je sedam? Na kvadrat sedam i dobijete 49? Tačno! Imajte na umu da izvadite koren od 49 morali smo da uradimo obrnutu operaciju - kvadrat 7! I pobrinite se da ne propustimo. Ili su mogli promašiti...

Ovo je poteškoća vađenje korena. Square Možete koristiti bilo koji broj bez ikakvih problema. Pomnožite broj sam po sebi sa kolonom - to je sve. Ali za vađenje korena Ne postoji tako jednostavna i sigurna tehnologija. Moramo pokupiti odgovorite i provjerite da li je tačno tako što ćete ga kvadrirati.

Ovaj složeni kreativni proces - odabir odgovora - je uvelike pojednostavljen ako ste zapamti kvadrati popularnih brojeva. Kao tablica množenja. Ako, recimo, treba da pomnožite 4 sa 6, ne dodajete četiri 6 puta, zar ne? Odgovor 24 odmah dolazi. Iako ga ne shvataju svi, da...

Za slobodan i uspješan rad s korijenima dovoljno je znati kvadrate brojeva od 1 do 20. Štaviše tamo I nazad. One. trebali biste biti u mogućnosti lako recitirati i, recimo, 11 na kvadrat i kvadratni korijen od 121. Da biste postigli ovo pamćenje, postoje dva načina. Prvi je naučiti tablicu kvadrata. Ovo će biti od velike pomoći u rješavanju primjera. Drugi je riješiti više primjera. Ovo će vam uvelike pomoći da zapamtite tablicu kvadrata.

I bez kalkulatora! Samo za potrebe testiranja. U suprotnom ćete nemilosrdno usporavati tokom ispita...

dakle, šta je kvadratni korijen I kako ekstrahovati korenje- Mislim da je jasno. Sada hajde da saznamo IZ ČEGA ih možemo izdvojiti.

Tačka dva. Root, ne poznajem te!

Iz kojih brojeva možete uzeti kvadratni korijen? Da, skoro svaki od njih. Lakše je shvatiti od čega je zabranjeno je izvuci ih.

Pokušajmo izračunati ovaj korijen:

Da bismo to učinili, moramo odabrati broj koji će nam na kvadrat dati -4. Mi biramo.

Šta, ne odgovara? 2 2 daje +4. (-2) 2 opet daje +4! To je to... Ne postoje brojevi koji će nam, kada se kvadriraju, dati negativan broj! Iako znam ove brojke. Ali neću vam reći). Idi na koledž i sam ćeš saznati.

Ista priča će se dogoditi sa bilo kojim negativnim brojem. Otuda zaključak:

Izraz u kojem se ispod predznaka kvadratnog korijena nalazi negativan broj - nema smisla! Ovo je zabranjena operacija. Zabranjeno je kao dijeljenje sa nulom. Zapamtite ovu činjenicu čvrsto! Ili drugim riječima:

Ne možete izvući kvadratne korijene iz negativnih brojeva!

Ali od svih ostalih, moguće je. Na primjer, sasvim je moguće izračunati

Na prvi pogled, ovo je veoma teško. Odabir razlomaka i kvadriranje... Ne brini. Kada shvatimo svojstva korijena, takvi primjeri će se svesti na istu tablicu kvadrata. Život će postati lakši!

U redu, razlomci. Ali i dalje nailazimo na izraze poput:

Uredu je. Sve isto. Kvadratni korijen od dva je broj koji nam, kada se kvadrira, daje dva. Samo je ovaj broj potpuno neparan... Evo ga:

Ono što je zanimljivo je da se ovaj razlomak nikada ne završava... Takvi brojevi se nazivaju iracionalnim. U kvadratnim korijenima ovo je najčešća stvar. Usput, zato se i zovu izrazi s korijenima iracionalno. Jasno je da je pisati tako beskonačan razlomak sve vrijeme nezgodno. Stoga, umjesto beskonačnog razlomka, ostavljaju ga ovako:

Ako, prilikom rješavanja primjera, završite s nečim što se ne može izdvojiti, na primjer:

onda to ostavljamo tako. Ovo će biti odgovor.

Morate jasno razumjeti šta znače ikone

Naravno, ako se uzme korijen broja glatko, morate ovo uraditi. Odgovor na zadatak je u formi, na primjer

Sasvim potpun odgovor.

I, naravno, morate znati približne vrijednosti iz memorije:

Ovo znanje uvelike pomaže u procjeni situacije u složenim zadacima.

Tačka tri. Najlukaviji.

Glavna zbrka u radu s korijenima je uzrokovana ovom točkom. On je taj koji daje poverenje u sopstvene sposobnosti... Hajde da se pozabavimo ovom tačkom kako treba!

Prvo, uzmimo kvadratni korijen od četiri od njih ponovo. Jesam li vas već zamarao ovim korijenom?) Nema veze, sad će biti zanimljivo!

Koji je broj 4 na kvadrat? Pa dva, dva - čujem nezadovoljne odgovore...

U redu. Dva. Ali takođe minus dvaće dati 4 na kvadrat... U međuvremenu, odgovor

tacno i odgovor

gruba greška. Volim ovo.

U čemu je stvar?

Zaista, (-2) 2 = 4. I pod definicijom kvadratnog korijena od četiri minus dva sasvim prikladno... Ovo je također kvadratni korijen od četiri.

Ali! U školskom kursu matematike uobičajeno je uzeti u obzir kvadratne korijene samo nenegativni brojevi! To jest, nula i svi su pozitivni. Čak je izmišljen i poseban termin: od broja A- Ovo nenegativan broj čiji je kvadrat A. Negativni rezultati prilikom vađenja aritmetičkog kvadratnog korijena jednostavno se odbacuju. U školi je sve kvadratni korijen - aritmetika. Iako se to posebno ne spominje.

U redu, to je razumljivo. Još bolje je ne zamarati se negativnim rezultatima... Ovo još nije zabuna.

Zabuna počinje pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Na primjer, trebate riješiti sljedeću jednačinu.

Jednačina je jednostavna, pišemo odgovor (kako se uči):

Ovaj odgovor (usput rečeno apsolutno tačan) je samo skraćena verzija dva odgovori:

Stani, stani! Malo iznad sam napisao da je kvadratni korijen broj Uvijek nenegativan! A evo jednog od odgovora - negativan! Poremećaj. Ovo je prvi (ali ne i posljednji) problem koji izaziva nepovjerenje u korijene... Hajde da riješimo ovaj problem. Zapišimo odgovore (samo radi razumijevanja!) ovako:

Zagrade ne mijenjaju suštinu odgovora. Samo sam ga odvojio zagradama znakovi od root. Sada možete jasno vidjeti da je sam korijen (u zagradama) još uvijek nenegativan broj! A znakovi su rezultat rješavanja jednadžbe. Na kraju krajeva, prilikom rješavanja bilo koje jednačine moramo pisati Sve Xs koji će, kada se zamijene u originalnu jednadžbu, dati ispravan rezultat. Koren od pet (pozitivan!) i sa plusom i sa minusom uklapa se u našu jednačinu.

Volim ovo. Ako ti samo uzmi kvadratni korijen od bilo čega, tebe Uvijek dobijaš jedan nenegativan rezultat. Na primjer:

Jer - aritmetički kvadratni korijen.

Ali ako rješavate neku kvadratnu jednačinu, na primjer:

To Uvijek ispostavilo se dva odgovor (sa plusom i minusom):

Jer ovo je rješenje jednadžbe.

nada, šta je kvadratni korijen Poente su vam jasne. Sada ostaje da saznamo šta se može učiniti s korijenima, koja su njihova svojstva. A koje su poente i zamke... pardon, kamenje!)

Sve ovo je u narednim lekcijama.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Matematika je nastala kada je čovjek postao svjestan sebe i počeo se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da izmjerite, uporedite, prebrojite ono što vas okružuje je ono što je u osnovi jedne od fundamentalnih nauka naših dana. U početku su to bile čestice elementarne matematike, koje su omogućavale povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su zaključci počeli da se iznose samo teoretski (zbog njihove apstrakcije), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, “ matematika je dostigla plafon složenosti kada su nestali iz nje.” Koncept “kvadratnog korijena” pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Gde je sve počelo

Prvo spominjanje korijena, koji se trenutno označava kao √, zabilježeno je u radovima vavilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličile na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. Izveli su približnu formulu izračuna koja je pokazala kako se izvlači kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali proces za izvođenje √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.

Uz babilonska djela, predmet članka proučavan je i u kineskom djelu “Matematika u devet knjiga”, a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne može izvući bez ostatka daje iracionalan rezultat .

Porijeklo ovog pojma povezano je s arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom, ova riječ zvuči kao radix (možete pratiti uzorak - sve što ima "korijensko" značenje je suglasno, bilo da se radi o rotkvici ili radikulitisu).

Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. vijeku, da bi naznačili da je uzet kvadratni korijen proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj“, poznat modernim očima, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Reneu Descartesu.

Naši dani

U matematičkom smislu, kvadratni korijen broja y je broj z čiji je kvadrat jednak y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova definicija je relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.

Općenito, što se odnosi na određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje razne manifestacije naklonosti prema njoj koje se ne izražavaju suvim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive pojave kao što je dan broja broja Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta svakih sto godina, a određuju se po sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sledeći put ćemo ovaj praznik slaviti 4. aprila 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, a √y, koji je definiran kao stranica kvadrata površine y, nije izbjegao ovu sudbinu.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji nam je korijen potreban redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili čak jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje Taylor serije:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , pri čemu n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njegov raspored izgleda ovako:

Kriva raste iz ishodišta i nužno siječe tačku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Domen definicije funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti funkcije koja se razmatra je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima svoju minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).

7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen kao obična funkcija stepena.

A u programiranju, zamjena simbola √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično složen i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, predmet ovog članka je potaknuo otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobivanja parnog korijena negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i, koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe su rješavane čak i sa negativnim diskriminantom. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na radikalni izraz uklonjena.

Učenici uvijek pitaju: „Zašto ne mogu koristiti kalkulator na ispitu iz matematike? Kako izvući kvadratni korijen broja bez kalkulatora? Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje.

Kako izvući kvadratni korijen broja bez pomoći kalkulatora?

Akcija kvadratni korijen inverzno djelovanju kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81

Ako uzmete kvadratni korijen pozitivnog broja i kvadrirate rezultat, dobit ćete isti broj.

Iz malih brojeva koji su tačni kvadrati prirodnih brojeva, na primjer 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kvadratni korijeni se mogu izvući usmeno. Obično u školi uče tablicu kvadrata prirodnih brojeva do dvadeset. Poznavajući ovu tablicu, lako je izvući kvadratne korijene iz brojeva 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Iz brojeva većih od 400 možete ih izdvojiti metodom odabira koristeći neke savjete. Pokušajmo pogledati ovu metodu na primjeru.

primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400, a 30 2 = 900, što znači 20< √676 < 900.

Tačni kvadrati prirodnih brojeva završavaju se sa 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Broj 6 je dat sa 4 2 i 6 2.
To znači da ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostaje provjeriti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odgovor: √676 = 26 .

Više primjer: √6889 .

Kako je 80 2 = 6400, a 90 2 = 8100, onda je 80< √6889 < 90.
Broj 9 je dat sa 3 2 i 7 2, tada je √6889 jednako 83 ili 87.

Provjerimo: 83 2 = 6889.

odgovor: √6889 = 83 .

Ako vam je teško riješiti korištenjem metode selekcije, možete faktorizirati radikalni izraz.

Na primjer, nađi √893025.

Uzmimo na faktor broj 893025, zapamtite, ovo ste radili u šestom razredu.

Dobijamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Više primjer: √20736. Razložimo broj 20736:

Dobijamo √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Naravno, faktorizacija zahtijeva poznavanje znakova djeljivosti i vještine faktorizacije.

I konačno, postoji pravilo za vađenje kvadratnih korijena. Upoznajmo se s ovim pravilom na primjerima.

Izračunaj √279841.

Da bismo izdvojili korijen višecifrenog cijelog broja, dijelimo ga s desna na lijevo na lica koja sadrže 2 znamenke (krajnja lijeva ivica može sadržavati jednu znamenku). Pišemo to ovako: 27’98’41

Da bismo dobili prvu znamenku korijena (5), uzimamo kvadratni korijen najvećeg savršenog kvadrata koji se nalazi u prvom licu s lijeve strane (27).
Tada se kvadrat prve cifre korijena (25) oduzima od prvog lica, a sljedeće lice (98) dodaje se razlici (oduzima).
Lijevo od rezultirajućeg broja 298 upišite dvocifren korijen (10), podijelite s njim broj svih desetica prethodno dobijenog broja (29/2 ≈ 2), testirajte količnik (102 ∙ 2 = 204 ne smije biti više od 298) i pisati (2) iza prve cifre korijena.
Tada se rezultujući količnik 204 oduzima od 298 i sljedeća ivica (41) dodaje se razlici (94).
Lijevo od rezultirajućeg broja 9441 upišite dvostruki proizvod cifara korijena (52 ∙2 = 104), podijelite broj svih desetica broja 9441 (944/104 ≈ 9) sa ovim umnoškom, testirajte količnik (1049 ∙9 = 9441) treba da bude 9441 i zapišite ga (9) iza druge cifre korena.

Dobili smo odgovor √279841 = 529.

Ekstrahirajte na sličan način korijeni decimalnih razlomaka. Samo radikalni broj mora biti podijeljen na lica tako da zarez bude između lica.

Primjer. Pronađite vrijednost √0,00956484.

Samo zapamtite da ako decimalni razlomak ima neparan broj decimalnih mjesta, kvadratni korijen se ne može izvući iz njega.

Dakle, sada ste vidjeli tri načina za izdvajanje korijena. Odaberite onaj koji vam najviše odgovara i vježbajte. Da biste naučili rješavati probleme, morate ih riješiti. A ako imate bilo kakvih pitanja, prijavite se na moje lekcije.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U ovom članku ćemo se predstaviti koncept korijena broja. Nastavit ćemo uzastopno: počet ćemo s kvadratnim korijenom, odatle ćemo prijeći na opis kubnog korijena, nakon čega ćemo generalizirati koncept korijena, definirajući n-ti korijen. Istovremeno ćemo uvoditi definicije, oznake, dati primjere korijena i dati potrebna objašnjenja i komentare.

Kvadratni korijen, aritmetički kvadratni korijen

Da biste razumjeli definiciju korijena broja, a posebno kvadratnog korijena, trebate imati . U ovom trenutku često ćemo se susresti sa drugim stepenom broja - kvadratom broja.

Počnimo sa definicije kvadratnog korijena.

Definicija

Kvadratni korijen od a je broj čiji je kvadrat jednak a.

Da bi doneo primjeri kvadratnih korijena, uzmemo nekoliko brojeva, na primjer, 5, −0,3, 0,3, 0, i kvadriramo ih, dobićemo brojeve 25, 0,09, 0,09 i 0, redom (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 i 0 2 =0·0=0 ). Zatim, prema gore datoj definiciji, broj 5 je kvadratni korijen broja 25, brojevi -0,3 i 0,3 su kvadratni korijeni od 0,09, a 0 je kvadratni korijen iz nule.

Treba napomenuti da ni za jedan broj a ne postoji a čiji je kvadrat jednak a. Naime, za bilo koji negativan broj a ne postoji realan broj b čiji je kvadrat jednak a. U stvari, jednakost a=b 2 je nemoguća za bilo koje negativno a, pošto je b 2 nenegativan broj za bilo koje b. dakle, ne postoji kvadratni korijen negativnog broja na skupu realnih brojeva. Drugim riječima, na skupu realnih brojeva kvadratni korijen negativnog broja nije definiran i nema značenje.

Ovo dovodi do logičnog pitanja: “Postoji li kvadratni korijen od a za bilo koje nenegativno a”? Odgovor je da. Ova se činjenica može opravdati konstruktivnom metodom koja se koristi za pronalaženje vrijednosti kvadratnog korijena.

Tada se postavlja sljedeće logično pitanje: “Koji je broj svih kvadratnih korijena datog nenegativnog broja a – jedan, dva, tri ili čak više”? Evo odgovora: ako je a nula, tada je jedini kvadratni korijen od nule nula; ako je a neki pozitivan broj, tada je broj kvadratnih korijena broja a dva, a korijeni su . Hajde da to opravdamo.

Počnimo sa slučajem a=0. Prvo, pokažimo da je nula zaista kvadratni korijen od nule. Ovo proizilazi iz očigledne jednakosti 0 2 =0·0=0 i definicije kvadratnog korijena.

Dokažimo sada da je 0 jedini kvadratni korijen od nule. Koristimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da postoji neki nenulti broj b koji je kvadratni korijen od nule. Tada mora biti zadovoljen uslov b 2 =0, što je nemoguće, pošto je za bilo koji b različit od nule vrednost izraza b 2 pozitivna. Došli smo do kontradikcije. Ovo dokazuje da je 0 jedini kvadratni korijen od nule.

Pređimo na slučajeve u kojima je a pozitivan broj. Gore smo rekli da uvijek postoji kvadratni korijen svakog nenegativnog broja, neka kvadratni korijen od a bude broj b. Recimo da postoji broj c, koji je ujedno i kvadratni korijen od a. Tada su, po definiciji kvadratnog korijena, jednakosti b 2 =a i c 2 =a tačne, iz čega slijedi da je b 2 −c 2 =a−a=0, ali pošto b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , tada (b−c)·(b+c)=0 . Rezultirajuća jednakost je važeća svojstva operacija sa realnim brojevima moguće samo kada je b−c=0 ili b+c=0 . Dakle, brojevi b i c su jednaki ili suprotni.

Ako pretpostavimo da postoji broj d, koji je drugi kvadratni korijen iz broja a, onda se rasuđivanjem sličnim već navedenim dokazuje da je d jednako broju b ili c. Dakle, broj kvadratnih korijena pozitivnog broja je dva, a kvadratni korijeni su suprotni brojevi.

Radi praktičnosti rada s kvadratnim korijenima, negativni korijen je "odvojen" od pozitivnog. U tu svrhu se uvodi definicija aritmetičkog kvadratnog korijena.

Definicija

Aritmetički kvadratni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a.

Zapis za aritmetički kvadratni korijen od a je . Znak se naziva aritmetički znak kvadratnog korijena. Naziva se i radikalnim znakom. Stoga ponekad možete čuti i "korijen" i "radikal", što znači isti objekat.

Poziva se broj ispod aritmetičkog znaka kvadratnog korijena radikalni broj, a izraz pod znakom korijena je radikalan izraz, dok se izraz “radikalni broj” često zamjenjuje “radikalnim izrazom”. Na primjer, u zapisu je broj 151 radikalni broj, a u zapisu izraz a je radikalni izraz.

Prilikom čitanja, riječ "aritmetika" se često izostavlja, na primjer, unos se čita kao "kvadratni korijen od sedam zareza dvadeset devet". Riječ “aritmetika” koristi se samo kada se želi naglasiti da je riječ upravo o pozitivnom kvadratnom korijenu broja.

U svjetlu uvedene notacije, iz definicije aritmetičkog kvadratnog korijena slijedi da je za bilo koji nenegativan broj a .

Kvadratni korijeni pozitivnog broja a zapisuju se pomoću aritmetičkog znaka kvadratnog korijena kao i . Na primjer, kvadratni korijeni od 13 su i . Aritmetički kvadratni korijen od nule je nula, to jest, . Za negativne brojeve a, nećemo pridavati značenje notaciji dok ne proučimo kompleksni brojevi. Na primjer, izrazi i su besmisleni.

Na osnovu definicije kvadratnog korijena dokazuju se svojstva kvadratnog korijena koji se često koriste u praksi.

U zaključku ovog paragrafa napominjemo da su kvadratni korijeni broja a rješenja oblika x 2 =a u odnosu na varijablu x.

Kockasti korijen broja

Definicija kubnog korijena broja a dat je slično definiciji kvadratnog korijena. Samo što se zasniva na konceptu kocke broja, a ne kvadrata.

Definicija

Kockasti korijen a je broj čija je kocka jednaka a.

Hajde da damo primjeri kubnih korijena. Da biste to učinili, uzmite nekoliko brojeva, na primjer, 7, 0, −2/3, i kockirajte ih: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Zatim, na osnovu definicije kubnog korijena, možemo reći da je broj 7 kubni korijen od 343, 0 je kubni korijen od nule, a -2/3 je kubni korijen od -8/27.

Može se pokazati da kubni korijen broja, za razliku od kvadratnog korijena, uvijek postoji, ne samo za nenegativan a, već i za bilo koji realan broj a. Da biste to učinili, možete koristiti istu metodu koju smo spomenuli kada proučavate kvadratne korijene.

Štaviše, postoji samo jedan kubni korijen datog broja a. Dokažimo posljednju tvrdnju. Da biste to učinili, razmotrite tri slučaja odvojeno: a je pozitivan broj, a=0 i a je negativan broj.

Lako je pokazati da ako je a pozitivno, kubni korijen a ne može biti ni negativan broj ni nula. Zaista, neka je b kubni korijen a, tada po definiciji možemo napisati jednakost b 3 =a. Jasno je da ova jednakost ne može biti tačna za minus b i za b=0, jer će u ovim slučajevima b 3 =b·b·b biti negativan broj, odnosno nula. Dakle, kubni korijen pozitivnog broja a je pozitivan broj.

Pretpostavimo sada da pored broja b postoji još jedan kubni korijen broja a, označimo ga c. Tada je c 3 =a. Dakle, b 3 −c 3 =a−a=0, ali b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ovo je skraćena formula za množenje razlika kockica), odakle je (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Rezultirajuća jednakost je moguća samo kada je b−c=0 ili b 2 +b·c+c 2 =0. Iz prve jednakosti imamo b=c, a druga jednakost nema rješenja, jer je njena lijeva strana pozitivan broj za bilo koje pozitivne brojeve b i c kao zbir tri pozitivna člana b 2, b·c i c 2. Ovo dokazuje jedinstvenost kubnog korijena pozitivnog broja a.

Kada je a=0, kubni korijen broja a je samo broj nula. Zaista, ako pretpostavimo da postoji broj b, koji je različit od nule kubni korijen od nule, tada mora vrijediti jednakost b 3 =0, što je moguće samo kada je b=0.

Za negativno a, mogu se dati argumenti slični slučaju za pozitivno a. Prvo, pokazujemo da kubni korijen negativnog broja ne može biti jednak ni pozitivnom broju ni nuli. Drugo, pretpostavljamo da postoji drugi kubni korijen negativnog broja i pokazujemo da će se on nužno podudarati s prvim.

Dakle, uvijek postoji kubni korijen svakog datog realnog broja a, i to jedinstven.

Hajde da damo definicija aritmetičkog kubnog korijena.

Definicija

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a je nenegativan broj čija je kocka jednaka a.

Aritmetički kubni korijen nenegativnog broja a označava se kao , znak se naziva znak aritmetičkog kubnog korijena, broj 3 u ovoj notaciji se naziva korijenski indeks. Broj pod znakom korijena je radikalni broj, izraz pod znakom korijena je radikalan izraz.

Iako je aritmetički kubni korijen definiran samo za nenegativne brojeve a, također je zgodno koristiti oznake u kojima se negativni brojevi nalaze pod znakom aritmetičkog kubnog korijena. Razumjet ćemo ih na sljedeći način: , gdje je a pozitivan broj. Na primjer, .

Govorit ćemo o svojstvima kubnih korijena u općem članku svojstva korijena.

Izračunavanje vrijednosti kockastog korijena naziva se ekstrahiranjem kubnog korijena. Ova radnja se razmatra u članku izdvajanje korijena: metode, primjeri, rješenja.

Da zaključimo ovu poentu, recimo da je kubni korijen broja a rješenje oblika x 3 =a.

n-ti korijen, aritmetički korijen stepena n

Hajde da generalizujemo pojam korena broja - uvodimo definicija n-tog korijena za n.

Definicija

n-ti korijen a je broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Iz ove definicije jasno je da je korijen prvog stepena broja a sam broj a, pošto smo prilikom proučavanja stepena sa prirodnim eksponentom uzeli a 1 =a.

Iznad smo pogledali posebne slučajeve n-tog korijena za n=2 i n=3 - kvadratni korijen i kubni korijen. To jest, kvadratni korijen je korijen drugog stepena, a kubni korijen je korijen trećeg stepena. Za proučavanje korijena n-tog stepena za n=4, 5, 6, ..., zgodno ih je podijeliti u dvije grupe: prva grupa - korijeni parnih stupnjeva (tj. za n = 4, 6, 8 , ...), druga grupa - korijeni neparnih stupnjeva (tj. sa n=5, 7, 9, ...). To je zbog činjenice da su korijeni parnih potencija slični kvadratnim korijenima, a korijeni neparnih potencija su slični kubnim korijenima. Hajde da se pozabavimo njima jedan po jedan.

Počnimo s korijenima čije su potencije parni brojevi 4, 6, 8,... Kao što smo već rekli, slični su kvadratnom korijenu broja a. To jest, korijen bilo kojeg parnog stepena broja a postoji samo za nenegativno a. Štaviše, ako je a=0, tada je korijen a jedinstven i jednak nuli, a ako je a>0, tada postoje dva korijena parnog stepena broja a, i to su suprotni brojevi.

Da potkrijepimo posljednju tvrdnju. Neka je b paran korijen (označavamo ga sa 2·m, gdje je m neki prirodni broj) broja a. Pretpostavimo da postoji broj c - drugi korijen stepena 2·m od broja a. Tada je b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Ali znamo oblik b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iz ove jednakosti slijedi da je b−c=0, ili b+c=0, ili b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prve dvije jednakosti znače da su brojevi b i c jednaki ili su b i c suprotni. A posljednja jednakost vrijedi samo za b=c=0, pošto se na njenoj lijevoj strani nalazi izraz koji nije negativan za bilo koje b i c kao zbir nenegativnih brojeva.

Što se tiče korijena n-tog stepena za neparno n, oni su slični kubnom korijenu. To jest, korijen bilo kojeg neparnog stepena broja a postoji za bilo koji realan broj a, a za dati broj a je jedinstven.

Jedinstvenost korena neparnog stepena 2·m+1 od broja a dokazuje se analogijom sa dokazom jedinstvenosti kubnog korena od a. Samo ovdje umjesto jednakosti a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) koristi se jednakost oblika b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Izraz u zadnjoj zagradi može se prepisati kao b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Na primjer, sa m=2 imamo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kada su a i b oba pozitivni ili oba negativna, njihov proizvod je pozitivan broj, tada je izraz b 2 +c 2 +b·c u najvišim ugniježđenim zagradama pozitivan kao zbir pozitivnih brojeva. Sada, prelazeći uzastopno na izraze u zagradama prethodnih stupnjeva ugniježđenja, uvjereni smo da su i oni pozitivni kao zbir pozitivnih brojeva. Kao rezultat, dobijamo da je jednakost b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 moguće samo kada je b−c=0, odnosno kada je broj b jednak broju c.

Vrijeme je da shvatimo notaciju n-tog korijena. U tu svrhu je dato definicija aritmetičkog korijena n-tog stepena.

Definicija

Aritmetički korijen n-tog stepena nenegativnog broja a je nenegativan broj čiji je n-ti stepen jednak a.