Faktoriranje trinomske formule. Kako razložiti kvadratni trinom na faktore: formula

Faktorizacija kvadratnih trinoma jedan je od školskih zadataka s kojima se svi prije ili kasnije susreću. Kako uraditi? Koja je formula za faktoriranje kvadratnog trinoma? Idemo kroz to korak po korak s primjerima.

Opća formula

Faktorizacija kvadratnih trinoma se provodi rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan problem koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminanta, korištenjem Vietine teoreme, postoji i grafički način rješenja. Prve dvije metode se izučavaju u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritam izvršavanja zadatka

Da biste rastavili kvadratne trinome na faktore, morate znati Witovu teoremu, imati pri ruci program za rješavanje, znati grafički pronaći rješenje ili tražiti korijene jednadžbe drugog stepena kroz diskriminantnu formulu. Ako je dat kvadratni trinom i mora se rastaviti na faktore, algoritam akcija je sljedeći:

1) Izjednačite originalni izraz sa nulom da biste dobili jednačinu.

2) Navedite slične uslove (ako je potrebno).

3) Pronađite korijene bilo kojom poznatom metodom. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako je unaprijed poznato da su korijeni cijeli brojevi i mali brojevi. Mora se imati na umu da je broj korijena jednak maksimalnom stepenu jednačine, odnosno kvadratna jednačina ima dva korijena.

4) Zamjenska vrijednost X u izraz (1).

5) Zapišite faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Praksa vam omogućava da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:

morate proširiti izraz:

Koristimo naš algoritam:

1) x 2 -17x+32=0

2) slični termini se smanjuju

3) prema Vietinoj formuli, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, stoga je bolje koristiti izraz za diskriminanta:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamijenite korijene koje smo pronašli u glavnoj formuli za dekompoziciju:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Tada će odgovor biti:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Provjerimo da li rješenja pronađena diskriminantom odgovaraju Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene je primijenjena Vietina teorema, oni su tačno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također tačna.

Slično, širimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

U prethodnom slučaju, rješenja su bila necijeli, već realni brojevi, koje je lako pronaći s kalkulatorom ispred sebe. Sada razmotrite više složen primjer, u kojem će korijeni biti složeni: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Prema Vietinoj formuli, korijeni se ne mogu pronaći, a diskriminanta je negativna. Korijeni će biti na kompleksnoj ravni.

D=-20

Na osnovu toga dobijamo korijene koji nas zanimaju -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 jer (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Dobijamo željenu ekspanziju zamjenom korijena u opću formulu.

Drugi primjer: trebate rastaviti izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo jednačinu 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dakle, korijeni su 14+21,166i i 14-21,166i. Odgovor će biti:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminanta.

Neka se razgradi kvadratna jednačina x 2 -32x + 255. Očigledno, to se može riješiti i diskriminantom, ali je u ovom slučaju brže pronaći korijene.

x 1 =15

x2=17

Sredstva x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako razložiti kvadratne trinome na linearne faktore. Za ovo je potrebno prisjetiti se Vietine teoreme i njenog inverza. Ova vještina će nam pomoći da brzo i prikladno razložimo kvadratne trinome u linearne faktore, a također će pojednostaviti redukciju razlomaka koji se sastoje od izraza.

Dakle, vratimo se na kvadratnu jednačinu , gdje je .

Ono što imamo na lijevoj strani naziva se kvadratni trinom.

Teorema je tačna: Ako - korijeni kvadratni trinom, zatim identitet

Gdje je vodeći koeficijent, korijeni su jednadžbe.

Dakle, imamo kvadratnu jednačinu - kvadratni trinom, gdje se korijeni kvadratne jednadžbe nazivaju i korijeni kvadratnog trinoma. Stoga, ako imamo korijene kvadratnog trinoma, onda se ovaj trinom razlaže na linearne faktore.

dokaz:

Dokaz ove činjenice provodi se pomoću Vietine teoreme, koju smo razmatrali u prethodnim lekcijama.

Prisjetimo se šta nam kaže Vietina teorema:

Ako su korijeni kvadratnog trinoma za koje , Tada .

Ova teorema implicira sljedeću tvrdnju da .

Vidimo da, prema Vietinoj teoremi, tj. zamjenom ovih vrijednosti u gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz

Q.E.D.

Podsjetimo da smo dokazali teoremu da ako su korijeni kvadratnog trinoma, onda je dekompozicija važeća.

Prisjetimo se sada primjera kvadratne jednadžbe, kojoj smo odabrali korijene koristeći Vietin teorem. Iz ove činjenice možemo dobiti sljedeću jednakost zahvaljujući dokazanoj teoremi:

Sada provjerimo ispravnost ove činjenice jednostavnim proširenjem zagrada:

Vidimo da smo ispravno razložili i bilo koji trinom, ako ima korijene, može se razložiti u linearne faktore prema ovoj teoremi po formuli

Međutim, hajde da proverimo da li je za bilo koju jednačinu takva faktorizacija moguća:

Uzmimo za primjer jednačinu. Prvo, provjerimo znak diskriminanta

I sjećamo se da da bi se ispunila teorema koju smo naučili, D mora biti veći od 0, stoga je u ovom slučaju faktoriranje prema proučavanoj teoremi nemoguće.

Stoga formuliramo novu teoremu: ako kvadratni trinom nema korijen, onda se ne može rastaviti na linearne faktore.

Dakle, razmotrili smo Vietinu teoremu, mogućnost dekompozicije kvadratnog trinoma na linearne faktore, a sada ćemo riješiti nekoliko problema.

Zadatak #1

U ovoj grupi ćemo zapravo rješavati problem obrnuto od postavljenog. Imali smo jednačinu i pronašli smo njene korijene, razlažući se na faktore. Ovdje ćemo učiniti suprotno. Recimo da imamo korijene kvadratne jednadžbe

Inverzni problem je sljedeći: napišite kvadratnu jednačinu tako da su njeni korijeni.

Postoje 2 načina za rješavanje ovog problema.

Pošto su korijeni jednadžbe, onda je kvadratna jednadžba čiji su korijeni dati brojevi. Sada otvorimo zagrade i provjerimo:

Ovo je bio prvi način na koji smo kreirali kvadratnu jednadžbu sa datim korijenima koja nema nijedan drugi korijen, budući da svaka kvadratna jednadžba ima najviše dva korijena.

Ova metoda uključuje korištenje inverzne Vietine teoreme.

Ako su korijeni jednadžbe, onda oni zadovoljavaju uvjet da .

Za redukovanu kvadratnu jednačinu , , tj. u ovom slučaju , i .

Tako smo kreirali kvadratnu jednačinu koja ima date korijene.

Zadatak #2

Trebate smanjiti razlomak.

Imamo trinom u brojniku i trinom u nazivniku, a trinomi se mogu ili ne moraju faktorizirati. Ako su i brojnik i imenilac razloženi na faktore, onda među njima mogu postojati jednaki faktori koji se mogu smanjiti.

Prije svega, potrebno je faktorizirati brojilac.

Prvo, trebate provjeriti da li se ova jednadžba može rastaviti na faktore, pronaći diskriminanta. Budući da , tada predznak ovisi o proizvodu (mora biti manji od 0), u ovaj primjer, tj. data jednadžba ima korijen.

Za rješavanje koristimo Vietinu teoremu:

U ovom slučaju, budući da imamo posla s korijenima, bit će prilično teško jednostavno pokupiti korijenje. Ali vidimo da su koeficijenti izbalansirani, tj. ako pretpostavimo da je , i zamijenimo ovu vrijednost u jednačinu, onda se dobija sljedeći sistem: tj. 5-5=0. Stoga smo odabrali jedan od korijena ove kvadratne jednadžbe.

Drugi korijen ćemo tražiti zamjenom onoga što je već poznato u sistem jednačina, na primjer, , tj. .

Dakle, pronašli smo oba korijena kvadratne jednadžbe i možemo zamijeniti njihove vrijednosti u originalnu jednadžbu da bismo je faktorirali:

Prisjetite se prvobitnog problema, trebali smo smanjiti razlomak.

Pokušajmo riješiti problem zamjenom umjesto brojnika.

Ne treba zaboraviti da u ovom slučaju imenilac ne može biti jednak 0, tj.

Ako su ovi uvjeti ispunjeni, onda smo originalni razlomak sveli na oblik .

Zadatak #3 (zadatak sa parametrom)

Pri kojim vrijednostima parametra je zbir korijena kvadratne jednadžbe

Ako korijeni ove jednadžbe postoje, onda , pitanje je kada .

Faktorizacija kvadratnog trinoma može biti korisno pri rješavanju nejednačina iz problema C3 ili problema s parametrom C5. Također, mnogi zadaci riječi B13 bit će riješeni mnogo brže ako znate Vietin teorem.

Ova teorema se, naravno, može posmatrati sa stanovišta 8. razreda u kojem se prvi put polaže. Ali naš zadatak je da se dobro pripremimo za ispit i naučimo kako da što efikasnije rješavamo ispitne zadatke. Stoga se u ovoj lekciji pristup malo razlikuje od školskog.

Formula za korijene jednadžbe prema Vietinoj teoremi znam (ili barem vidio) mnoge:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

gdje su `a, b` i `c` koeficijenti kvadratnog trinoma `ax^2+bx+c`.

Da bismo naučili kako lako koristiti teoremu, shvatimo odakle dolazi (na ovaj način će biti zaista lakše zapamtiti).

Neka nam je jednačina `ax^2+ bx+ c = 0`. Radi dalje pogodnosti, dijelimo ga sa `a` i dobijamo `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Takva jednačina naziva se redukovana kvadratna jednadžba.

Važne tačke lekcije: svaki kvadratni polinom koji ima korijen može se razložiti u zagrade. Pretpostavimo da se naše može predstaviti kao `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, gdje su `k` i `l` - neke konstante.

Pogledajmo kako se otvaraju zagrade:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Dakle, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ovo se malo razlikuje od klasične interpretacije Vietine teoreme- u njemu tražimo korijene jednačine. Predlažem da potražim uslove proširenja zagrada- tako da ne morate da pamtite minus iz formule (što znači `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Dovoljno je izabrati dva takva broja, čiji je zbir jednak prosječnom koeficijentu, a proizvod je jednak slobodnom članu.

Ako nam je potrebno rješenje jednačine, onda je očigledno: korijeni `x=-k` ili `x=-l` (pošto će u ovim slučajevima jedna od zagrada biti nula, što znači da će cijeli izraz biti jednak nuli).

Na primjer, pokazaću algoritam, kako rastaviti kvadratni polinom u zagrade.

Primjer jedan. Algoritam za faktoring kvadratnog trinoma

Put koji imamo je kvadratni trinom `x^2+5x+4`.

Smanjuje se (koeficijent `x^2` jednak je jedan). On ima korene. (Da biste bili sigurni, možete procijeniti diskriminanta i osigurati da je veći od nule.)

Sljedeći koraci (treba ih naučiti radeći sve zadaci obuke):

1. Napišite sljedeći unos: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Ostavite tačke umjesto toga slobodno mjesto, tamo ćemo dodati odgovarajuće brojeve i znakove.
2. Vidi sve moguće opcije, kako možete rastaviti broj `4` u proizvod dva broja. Dobijamo parove "kandidata" za korijene jednadžbe: `2, 2` i `1, 4`.
3. Procijenite iz kojeg para možete dobiti prosječni koeficijent. Očigledno je `1, 4`.
4. Napišite $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Sljedeći korak je postavljanje znakova ispred umetnutih brojeva.

   Kako razumjeti i zauvijek zapamtiti koji znakovi trebaju biti ispred brojeva u zagradama? Pokušajte ih proširiti (zagrade). Koeficijent prije `x` na prvi stepen će biti `(± 4 ± 1)` (još ne znamo predznake - treba da biramo), a trebao bi biti jednak `5`. Očigledno, ovdje će biti dva plusa $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Izvedite ovu operaciju nekoliko puta (zdravo, zadaci za obuku!) i s tim više nikada neće biti problema.

Ako trebate riješiti jednačinu `x^2+5x+4`, sada njeno rješenje nije teško. Njegovi korijeni su `-4, -1`.

Drugi primjer. Faktorizacija kvadratnog trinoma sa koeficijentima različitih predznaka

Trebamo riješiti jednačinu `x^2-x-2=0`. Namjerno, diskriminant je pozitivan.

Pratimo algoritam.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \lddots).$$
2. Postoji samo jedan cjelobrojni faktor 2: `2 · 1`.
3. Preskačemo poentu - nema šta birati.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Umnožak naših brojeva je negativan (`-2` je slobodan pojam), što znači da će jedan od njih biti negativan, a drugi pozitivan.
   Pošto je njihov zbir jednak `-1` (koeficijent `x`), tada će `2` biti negativan (intuitivno objašnjenje - dva je veći od dva broja, jače će se "uvući" u negativnu stranu). Dobijamo $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Treći primjer. Faktorizacija kvadratnog trinoma

Jednačina `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Dekompozicija 84 na cjelobrojne faktore: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Pošto nam je potrebna razlika (ili zbir) brojeva da bude 5, par `7, 12` će biti dovoljan.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

nada, dekompozicija ovog kvadratnog trinoma u zagrade To je jasno.

Ako vam treba rješenje jednadžbe, evo ga: `12, -7`.

Zadaci za obuku

Evo nekoliko primjera koje je lako se rješavaju korištenjem Vietine teoreme.(Primjeri preuzeti iz Matematike, 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Nekoliko godina nakon što je članak napisan, pojavila se zbirka od 150 zadataka za proširenje kvadratnog polinoma pomoću Vietine teoreme.

Lajkujte i postavljajte pitanja u komentarima!

Proširivanje polinoma da bi se dobio proizvod ponekad izgleda zbunjujuće. Ali to nije tako teško ako razumete proces korak po korak. Članak opisuje kako razložiti kvadratni trinom na faktore.

Mnogi ne razumiju kako razložiti kvadratni trinom na faktore i zašto se to radi. U početku se može činiti da je ovo beskorisna vježba. Ali u matematici se ništa ne radi tek tako. Transformacija je neophodna za pojednostavljenje izraza i pogodnost izračunavanja.

Polinom koji ima oblik - ax² + bx + c, naziva se kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratna jednačina. Stoga ponekad kažu drugačije: kako proširiti kvadratnu jednačinu.

Zanimljivo! Kvadratni polinom se zove zbog svog najvećeg stepena - kvadrat. I trinom - zbog trokomponentnih članova.

Neke druge vrste polinoma:

• linearni binom (6x+8);
• kubni četvorougao (x³+4x²-2x+9).

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Prvo, izraz je jednak nuli, zatim morate pronaći vrijednosti korijena x1 i x2. Možda nema korijena, može biti jedan ili dva korijena. Prisustvo korijena određuje diskriminant. Njegova formula mora biti poznata napamet: D=b²-4ac.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan, postoje dva korijena. Ako je rezultat nula, korijen je jedan. Korijeni se također izračunavaju po formuli.

Ako izračun diskriminanta rezultira nulom, možete primijeniti bilo koju od formula. U praksi, formula je jednostavno skraćena: -b / 2a.

Formule za različite vrijednosti diskriminantne su različite.

Ako je D pozitivan:

Ako je D nula:

Online kalkulatori

Internet ima online kalkulator. Može se koristiti za faktorizaciju. Neki resursi pružaju priliku da se rješenje vidi korak po korak. Takve usluge pomažu u boljem razumijevanju teme, ali morate pokušati dobro razumjeti.

Korisni video: Faktoriranje kvadratnog trinoma

Primjeri

Pozivamo Vas da pogledate jednostavni primjeri kako rastaviti na faktore kvadratnu jednačinu.

Primjer 1

Ovdje je jasno pokazano da će rezultat biti dva x, jer je D pozitivan. Treba ih zamijeniti u formuli. Ako su korijeni negativni, predznak u formuli je obrnut.

Znamo formulu za faktoring kvadratnog trinoma: a(x-x1)(x-x2). Vrijednosti stavljamo u zagrade: (x+3)(x+2/3). Nema broja ispred člana u eksponentu. To znači da postoji jedinica, ona je spuštena.

Primjer 2

Ovaj primjer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamijenite rezultirajuću vrijednost:

Primjer 3

Dato: 5x²+3x+7

Prvo izračunavamo diskriminanta, kao iu prethodnim slučajevima.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je negativan, što znači da nema korijena.

Nakon što dobijete rezultat, vrijedi otvoriti zagrade i provjeriti rezultat. Trebao bi se pojaviti originalni trinom.

Alternativno rješenje

Neki ljudi se nikada nisu mogli sprijateljiti sa diskriminantom. Postoji još jedan način za faktorizaciju kvadratnog trinoma. Radi praktičnosti, metoda je prikazana u primjeru.

Dato: x²+3x-10

Znamo da bismo trebali završiti sa 2 zagrade: (_)(_). Kada izraz izgleda ovako: x² + bx + c, stavljamo x na početak svake zagrade: (x_) (x_). Preostala dva broja su proizvod koji daje "c", tj. -10 u ovom slučaju. Da biste saznali koji su to brojevi, možete koristiti samo metodu odabira. Zamijenjeni brojevi moraju odgovarati preostalom pojmu.

Na primjer, množenje sledeći brojevi daje -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. br.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. br.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. br.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Odgovara.

Dakle, transformacija izraza x2+3x-10 izgleda ovako: (x-2)(x+5).

Bitan! Treba paziti da ne pobrkate znakove.

Dekompozicija kompleksnog trinoma

Ako je "a" veće od jedan, počinju poteškoće. Ali nije sve tako teško kao što se čini.

Da bi se faktoriziralo, prvo se mora vidjeti da li je moguće nešto rastaviti.

Na primjer, dat je izraz: 3x²+9x-30. Ovdje je broj 3 izvučen iz zagrada:

3(x²+3x-10). Rezultat je već poznati trinom. Odgovor izgleda ovako: 3(x-2)(x+5)

Kako rastaviti ako je izraz na kvadrat negativan? U ovom slučaju, broj -1 se vadi iz zagrade. Na primjer: -x²-10x-8. Izraz će tada izgledati ovako:

Shema se malo razlikuje od prethodne. Postoji samo nekoliko novih stvari. Recimo da je dat izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je također napisan u 2 zagrade, koje je potrebno popuniti (_) (_). U 2. zagradi je napisano X, a u 1. ono što je ostalo. To izgleda ovako: (2x_)(x_). U suprotnom, prethodna šema se ponavlja.

Broj 3 daje brojeve:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Jednačine rješavamo zamjenom datih brojeva. Poslednja opcija odgovara. Dakle, transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda ovako: (2x+1)(x+3).

Drugi slučajevi

Nije uvijek moguće transformirati izraz. U drugoj metodi rješenje jednačine nije potrebno. Ali mogućnost pretvaranja pojmova u proizvod provjerava se samo preko diskriminanta.

Vrijedi vježbati rješavanje kvadratnih jednadžbi tako da nema poteškoća pri korištenju formula.

Korisni video: faktorizacija trinoma

Zaključak

Možete ga koristiti na bilo koji način. Ali bolje je raditi i jedno i drugo do automatizma. Takođe, oni koji će svoj život povezati sa matematikom treba da nauče kako da dobro rešavaju kvadratne jednačine i razlažu polinome na faktore. Sve sljedeće matematičke teme su izgrađene na ovome.

Online kalkulator.
Izbor kvadrata binoma i faktorizacija kvadratnog trinoma.

One. problemi se svode na pronalaženje brojeva \(p, q \) i \(n, m \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješavanja.

Ovaj program može biti koristan srednjoškolcima u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog trinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomački dio od cijelog broja može se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale dakle: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cjelobrojni dio je odvojen od razlomka ampersandom: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primjer detaljno rješenje

Izbor kvadrata binoma.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lijevo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ odgovor:$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Ekstrakcija kvadratnog binoma iz kvadratnog trinoma

Ako je kvadratna trinoma ax 2 + bx + c predstavljena kao (x + p) 2 + q, gdje su p i q realni brojevi, onda kažu da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je istaknut.

Izdvojimo kvadrat binoma iz trinoma 2x 2 +12x+14.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Da bismo to učinili, predstavljamo 6x kao proizvod 2 * 3 * x, a zatim dodajemo i oduzimamo 3 2 . Dobijamo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. Mi izabrao kvadrat binoma iz kvadratnog trinoma, i pokazao da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Ako je kvadratna trinomska os 2 +bx+c predstavljena kao a(x+n)(x+m), gdje su n i m realni brojevi, tada se kaže da je operacija izvedena faktorizacije kvadratnog trinoma.

Upotrijebimo primjer da pokažemo kako se vrši ova transformacija.

Razložimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Uzmimo koeficijent a iz zagrada, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Hajde da transformišemo izraz u zagradama.
Da bismo to učinili, predstavljamo 2x kao razliku 3x-1x, a -3 kao -1*3. Dobijamo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. Mi razložiti kvadratni trinom na faktore, i pokazao da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Imajte na umu da je faktorizacija kvadratnog trinoma moguća samo kada kvadratna jednadžba koja odgovara ovom trinomu ima korijen.
One. u našem slučaju, faktoring trinoma 2x 2 +4x-6 je moguće ako kvadratna jednadžba 2x 2 +4x-6 =0 ima korijen. U procesu faktoringa, otkrili smo da jednačina 2x 2 +4x-6 =0 ima dva korijena 1 i -3, jer sa ovim vrijednostima, jednačina 2(x-1)(x+3)=0 pretvara se u pravu jednakost.