Redoslijed razlaganja. Složeni slučajevi faktoringa polinoma

Faktoring polinoma je transformacija identiteta, zbog koje se polinom pretvara u proizvod više faktora - polinoma ili monoma.

Postoji nekoliko načina za faktoriranje polinoma.

Metod 1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Ova transformacija je zasnovana na distributivnom zakonu množenja: ac + bc = c(a + b). Suština transformacije je da se zajednički faktor u dvije razmatrane komponente izoluje i „izvuče“ iz zagrada.

Razložimo polinom 28x 3 – 35x 4.

Rješenje.

1. Pronađite zajednički djelitelj za elemente 28x3 i 35x4. Za 28 i 35 to će biti 7; za x 3 i x 4 – x 3. Drugim riječima, naš zajednički faktor je 7x 3.

2. Svaki od elemenata predstavljamo kao proizvod faktora, od kojih jedan
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Izvlačimo zajednički faktor iz zagrada
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Upotreba skraćenih formula za množenje. “Majstorstvo” korištenja ove metode je primijetiti jednu od skraćenih formula za množenje u izrazu.

Hajde da činimo polinom x 6 – 1.

Rješenje.

1. Na ovaj izraz možemo primijeniti formulu razlike kvadrata. Da biste to učinili, zamislite x 6 kao (x 3) 2, a 1 kao 1 2, tj. 1. Izraz će poprimiti oblik:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Formulu za zbir i razliku kocki možemo primijeniti na rezultirajući izraz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

dakle,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Grupisanje. Metoda grupisanja je da se komponente polinoma kombinuju na način da se na njima lako mogu izvršiti operacije (sabiranje, oduzimanje, oduzimanje zajedničkog faktora).

Razložimo polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Rješenje.

1. Grupirajmo komponente na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. U rezultirajućem izrazu izvlačimo zajedničke faktore iz zagrada: x 2 u prvom slučaju i 5 u drugom.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Uzimamo zajednički faktor x – 3 iz zagrada i dobijamo:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

dakle,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Osigurajmo materijal.

Faktor polinoma a 2 – 7ab + 12b 2 .

Rješenje.

1. Predstavimo monom 7ab kao zbir 3ab + 4ab. Izraz će poprimiti oblik:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otvorimo zagrade i dobijemo:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Grupirajmo komponente polinoma na ovaj način: 1. sa 2. i 3. sa 4.. Dobijamo:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Uzmimo uobičajene faktore iz zagrada:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Izvadimo zajednički faktor (a – 3b) iz zagrada:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

dakle,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Općenito, ovaj zadatak zahtijeva kreativan pristup, jer ne postoji univerzalna metoda za njegovo rješavanje. Ali pokušajmo dati nekoliko savjeta.

U ogromnoj većini slučajeva, faktorizacija polinoma se zasniva na posledicama Bezoutove teoreme, to jest, koren se pronađe ili odabere, a stepen polinoma se smanjuje za jedan dijeljenjem sa . Traži se korijen rezultujućeg polinoma i postupak se ponavlja do potpunog proširenja.

Ako se korijen ne može pronaći, tada se koriste specifične metode proširenja: od grupiranja do uvođenja dodatnih međusobno isključivih pojmova.

Dalje izlaganje se zasniva na vještinama rješavanja jednačina viših stupnjeva sa cjelobrojnim koeficijentima.

Izdvajanje zajedničkog faktora.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je slobodan termin jednaka nuli, odnosno polinom ima oblik .

Očigledno, korijen takvog polinoma je , To jest, možemo predstaviti polinom u obliku .

Ova metoda nije ništa drugo do stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Primjer.

Faktor polinoma trećeg stepena.

Rješenje.

Očigledno, šta je korijen polinoma, tj X može se izvaditi iz zagrada:

Nađimo korijene kvadratnog trinoma

dakle,

Vrh stranice

Faktoriranje polinoma s racionalnim korijenima.

Prvo, razmotrimo metodu za proširenje polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima oblika , koeficijent najvišeg stepena jednak je jedan.

U ovom slučaju, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni djelitelji slobodnog člana.

Primjer.

Rješenje.

Provjerimo da li ima netaknutih korijena. Da biste to učinili, zapišite djelitelje broja -18 : . To jest, ako polinom ima cjelobrojne korijene, onda su oni među napisanim brojevima. Provjerimo ove brojeve uzastopno koristeći Hornerovu šemu. Njegova pogodnost je i u činjenici da na kraju dobijemo koeficijente ekspanzije polinoma:

To je, x=2 I x=-3 su korijeni originalnog polinoma i možemo ga predstaviti kao proizvod:

Ostaje samo da se razgradi kvadratni trinom.

Diskriminant ovog trinoma je negativan, stoga nema pravi korijen.

odgovor:

komentar:

Umjesto Hornerove sheme, mogao bi se koristiti odabir korijena i naknadno dijeljenje polinoma polinomom.

Sada razmotrimo proširenje polinoma sa cijelim koeficijentima oblika , a koeficijent najvišeg stepena nije jednak jedinici.

U ovom slučaju, polinom može imati frakciono racionalne korijene.

Primjer.

Faktor izraza.

Rješenje.

Izvođenjem promjene varijable y=2x, pređimo na polinom sa koeficijentom jednakim jedan u najvišem stepenu. Da biste to učinili, prvo pomnožite izraz sa 4 .

Ako rezultirajuća funkcija ima cjelobrojne korijene, onda su oni među djeliteljima slobodnog člana. Hajde da ih zapišemo:

Izračunajmo sekvencijalno vrijednosti funkcije g(y) u ovim tačkama dok se ne postigne nula.

Faktoriranje jednačine je proces pronalaženja onih pojmova ili izraza koji, kada se pomnože, dovode do početne jednačine. Faktoring je korisna vještina za rješavanje osnovnih algebarskih problema i postaje gotovo neophodna kada se radi s kvadratnim jednadžbama i drugim polinomima. Faktoring se koristi za pojednostavljenje algebarskih jednadžbi kako bi se lakše riješile. Faktoring vam može pomoći da eliminišete određene moguće odgovore brže nego što biste to učinili rješavanjem jednadžbe ručno.

Koraci

Faktoring brojeva i osnovnih algebarskih izraza

1. Faktoring brojevi. Koncept faktoringa je jednostavan, ali u praksi faktoring može biti izazovan (ako je data složena jednačina). Stoga, prvo, pogledajmo koncept faktorizacije koristeći brojeve kao primjer i nastavimo s tim jednostavne jednačine, a zatim prijeđite na složene jednadžbe. Faktori datog broja su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 12 su brojevi: 1, 12, 2, 6, 3, 4, jer je 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Isto tako, faktore broja možete zamisliti kao njegove djelitelje, odnosno brojeve kojima je broj djeljiv.
   • Pronađite sve faktore broja 60. Često koristimo broj 60 (na primjer, 60 minuta u satu, 60 sekundi u minuti, itd.) i ovaj broj ima prilično veliki broj množitelji.
     • 60 množitelja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60.

2. Zapamtite: termini izraza koji sadrže koeficijent (broj) i varijablu također se mogu faktorizirati. Da biste to učinili, pronađite faktore koeficijenta za varijablu. Znajući kako da faktorizujete termine jednačina, možete lako pojednostaviti ovu jednačinu.

   • Na primjer, pojam 12x može se napisati kao proizvod 12 i x. Također možete napisati 12x kao 3(4x), 2(6x), itd., razlažući 12 na faktore koji vam najbolje odgovaraju.
     • Možete se baviti 12x više puta za redom. Drugim riječima, ne biste trebali stati na 3(4x) ili 2(6x); nastavite proširenje: 3(2(2x)) ili 2(3(2x)) (očigledno 3(4x)=3(2(2x)), itd.)

3. Primijenite distributivno svojstvo množenja na faktorske algebarske jednadžbe. Znajući kako da faktorizujete brojeve i izraze (koeficijente sa varijablama), možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednačine pronalaženjem zajedničkog faktora broja i izraza. Obično, da biste pojednostavili jednačinu, morate pronaći najveći zajednički faktor (GCD). Ovo pojednostavljenje je moguće zbog distributivnog svojstva množenja: za bilo koje brojeve a, b, c, jednakost a(b+c) = ab+ac je tačna.

   • Primjer. Faktorirajte jednačinu 12x + 6. Prvo, pronađite gcd od 12x i 6. 6 je najveći broj koji dijeli i 12x i 6, tako da možete činiti ovu jednačinu sa: 6(2x+1).
   • Ovaj proces važi i za jednačine koje imaju negativne i razlomke. Na primjer, x/2+4 se može rastaviti u 1/2(x+8); na primjer, -7x+(-21) se može rastaviti u -7(x+3).

   Faktoring kvadratne jednadžbe

   1. Uvjerite se da je jednadžba data u kvadratnom obliku (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratne jednadžbe imaju oblik: ax 2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c numerički koeficijenti različiti od 0. Ako vam je data jednačina s jednom promjenljivom (x) i u ovoj jednačini postoji jedan ili više članova sa promenljivom drugog reda, možete pomeriti sve članove jednačine na jednu stranu jednačine i postaviti je jednaku nuli.

      • Na primjer, data jednačina: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Ovo se može pretvoriti u jednačinu x 2 + 6x + 9 = 0, koja je kvadratna jednačina.
      • Jednačine sa promenljivom x velikog reda, na primer, x 3, x 4, itd. nisu kvadratne jednadžbe. To su kubične jednadžbe, jednačine četvrtog reda i tako dalje (osim ako se takve jednadžbe ne mogu pojednostaviti u kvadratne jednačine s promjenljivom x podignutom na stepen 2).

   2. Kvadratne jednadžbe, gdje je a = 1, se proširuju u (x+d)(x+e), gdje je d*e=c i d+e=b. Ako kvadratna jednadžba koja vam je data ima oblik: x 2 + bx + c = 0 (to jest, koeficijent od x 2 je 1), tada se takva jednačina može (ali nije zagarantovana) proširiti na gore navedene faktore. Da biste to učinili, morate pronaći dva broja koja, kada se pomnože, daju "c", a kada se zbroje, "b". Kada pronađete ova dva broja (d i e), zamijenite ih u sljedeći izraz: (x+d)(x+e), koji, kada otvorite zagrade, vodi do originalne jednačine.

      • Na primjer, data je kvadratna jednačina x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 i 3+2=5, tako da možete faktorisati ovu jednačinu u (x+3)(x+2).
      • Za negativne termine napravite sljedeće manje promjene u procesu faktorizacije:
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx+c, onda se širi u: (x-_)(x-_).
        • Ako kvadratna jednadžba ima oblik x 2 -bx-c, onda se širi u: (x+_)(x-_).
      • Napomena: razmaci se mogu zamijeniti razlomcima ili decimalni brojevi. Na primjer, jednačina x 2 + (21/2)x + 5 = 0 je proširena u (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizacija metodom pokušaja i grešaka. Jednostavne kvadratne jednadžbe se mogu faktorizirati jednostavnom zamjenom brojeva moguća rješenja dok ne nađeš ispravna odluka. Ako jednadžba ima oblik ax 2 +bx+c, gdje je a>1, moguća rješenja se zapisuju u obliku (dx +/- _)(ex +/- _), gdje su d i e numerički koeficijenti različiti od nule , koji kada se pomnoži daje a. Bilo d ili e (ili oba koeficijenta) mogu biti jednaki 1. Ako su oba koeficijenta jednaka 1, onda koristite metodu opisanu iznad.

      • Na primjer, data jednačina 3x 2 - 8x + 4. Ovdje 3 ima samo dva faktora (3 i 1), pa se moguća rješenja zapisuju kao (3x +/- _)(x +/- _). U ovom slučaju, zamjenom -2 za razmake, naći ćete tačan odgovor: -2*3x=-6x i -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x i -2*-2=4, odnosno takvo proširenje pri otvaranju zagrada će dovesti do članova originalne jednačine.

Bilo koji algebarski polinom stepena n može se predstaviti kao proizvod n-linearnih faktora oblika i konstantnog broja, koji su koeficijenti polinoma na najvišem stepenu x, tj.

Gdje - su korijeni polinoma.

Korijen polinoma je broj (realan ili kompleksan) koji čini da polinom nestaje. Korijeni polinoma mogu biti ili pravi korijeni ili kompleksno konjugirani korijeni, tada se polinom može predstaviti u sljedećem obliku:

Razmotrimo metode za dekomponovanje polinoma stepena “n” u proizvod faktora prvog i drugog stepena.

Metoda broj 1.Metoda neodređenih koeficijenata.

Koeficijenti takvog transformisanog izraza određuju se metodom neodređenih koeficijenata. Suština metode je da je vrsta faktora na koje se dati polinom razlaže unaprijed poznata. Kada se koristi metoda nesigurnih koeficijenata, tačne su sljedeće tvrdnje:

P.1. Dva polinoma su identično jednaka ako su im koeficijenti jednaki za iste potencije x.

P.2. Svaki polinom trećeg stepena se razlaže na proizvod linearnih i kvadratnih faktora.

P.3. Bilo koji polinom četvrtog stepena može se razložiti u proizvod dva polinoma drugog stepena.

Primjer 1.1. Potrebno je faktorizirati kubni izraz:

P.1. U skladu s prihvaćenim tvrdnjama, identična jednakost vrijedi i za kubni izraz:

P.2. Desna strana izraza može se predstaviti kao termini kako slijedi:

P.3. Sistem jednačina sastavljamo iz uslova jednakosti koeficijenata na odgovarajućim potencijama kubnog izraza.

Ovaj sistem jednadžbi se može riješiti odabirom koeficijenata (ako se radi o jednostavnom akademskom problemu) ili se mogu koristiti metode rješenja nelinearni sistemi jednačine. Odlučivanje ovaj sistem jednadžbi, nalazimo da su neizvjesni koeficijenti određeni na sljedeći način:

Dakle, originalni izraz je faktoriziran u sljedećem obliku:

Ova metoda se može koristiti i u analitičkim proračunima i u kompjuterskom programiranju za automatizaciju procesa pronalaženja korijena jednadžbe.

Metoda broj 2.Vieta formule

Vietine formule su formule koje povezuju koeficijente algebarskih jednadžbi stepena n i njene korijene. Ove formule su implicitno predstavljene u radovima francuskog matematičara Françoisa Viete (1540. - 1603.). Zbog činjenice da je Vieth smatrao samo pozitivne realne korijene, on stoga nije imao priliku da napiše ove formule u općem eksplicitnom obliku.

Za bilo koji algebarski polinom stepena n koji ima n realnih korijena,

Važeće sljedeće relacije koje povezuju korijene polinoma sa njegovim koeficijentima:

Vietine formule pogodne su za korištenje za provjeru ispravnosti pronalaženja korijena polinoma, kao i za konstruiranje polinoma iz datih korijena.

Primjer 2.1. Razmotrimo kako su korijeni polinoma povezani s njegovim koeficijentima na primjeru kubične jednadžbe

U skladu s Vietinim formulama, odnos između korijena polinoma i njegovih koeficijenata ima sljedeći oblik:

Slične relacije se mogu napraviti za bilo koji polinom stepena n.

Metoda br. 3. Raspadanje kvadratna jednačina faktorima sa racionalnim korenima

Iz Vietine posljednje formule slijedi da su korijeni polinoma djelitelji njegovog slobodnog člana i vodećeg koeficijenta. S tim u vezi, ako iskaz problema specificira polinom stepena n sa cjelobrojnim koeficijentima

tada ovaj polinom ima racionalni korijen (nesvodljivi razlomak), gdje je p djelitelj slobodnog člana, a q djelitelj vodećeg koeficijenta. U ovom slučaju, polinom stepena n može se predstaviti kao (Bezoutov teorem):

Polinom čiji je stepen za 1 manji od stepena početnog polinoma određen je dijeljenjem polinoma stepena n binoma, na primjer koristeći Hornerovu shemu ili većinu na jednostavan način- “kolona”.

Primjer 3.1. Polinom je potrebno rastaviti na faktore

P.1. Zbog činjenice da je koeficijent najvišeg člana jednak jedinici, racionalni korijeni ovog polinoma su djelitelji slobodnog člana izraza, tj. mogu biti cijeli brojevi . Svaki od prikazanih brojeva zamjenjujemo u originalni izraz i nalazimo da je korijen predstavljenog polinoma jednak .

Podijelimo originalni polinom binomom:

Koristimo Hornerovu šemu

Koeficijenti originalnog polinoma se postavljaju u gornji red, dok prva ćelija gornjeg reda ostaje prazna.

U prvoj ćeliji drugog reda upisuje se pronađeni korijen (u primjeru koji se razmatra upisuje se broj "2"), a sljedeće vrijednosti u ćelijama se izračunavaju na određeni način i to su koeficijenti polinoma, koji se dobija dijeljenjem polinoma binomom. Nepoznati koeficijenti se određuju na sljedeći način:

Vrijednost iz odgovarajuće ćelije prvog reda prenosi se u drugu ćeliju drugog reda (u primjeru koji se razmatra upisuje se broj "1").

Treća ćelija drugog reda sadrži vrijednost proizvoda prve ćelije i druge ćelije drugog reda plus vrijednost iz treće ćelije prvog reda (u primjeru koji se razmatra 2 ∙ 1 -5 = -3 ).

Četvrta ćelija drugog reda sadrži vrijednost proizvoda prve ćelije i treće ćelije drugog reda plus vrijednost iz četvrte ćelije prvog reda (u primjeru koji se razmatra, 2 ∙ (-3) + 7 = 1).

Dakle, originalni polinom je faktorizovan:

Metoda broj 4.Korištenje skraćenih formula za množenje

Formule skraćenog množenja se koriste za pojednostavljenje izračunavanja, kao i faktoring polinoma. Skraćene formule množenja omogućuju vam da pojednostavite rješavanje pojedinačnih problema.

Formule koje se koriste za faktorizaciju

S obzirom na množenje polinoma, zapamtili smo nekoliko formula, i to: formule za (a + b)², za (a – b)², za (a + b) (a – b), za (a + b)³ i za (a – b)³.

Ako se pokaže da se dati polinom poklapa s jednom od ovih formula, tada će ga biti moguće faktorizirati. Na primjer, polinom a² – 2ab + b², znamo, jednak je (a – b)² [ili (a – b) · (a – b), tj. uspjeli smo da faktoriziramo a² – 2ab + b² u 2 faktora ]; Također

Pogledajmo drugi od ovih primjera. Vidimo da polinom koji je ovdje dat odgovara formuli dobivenoj kvadriranjem razlike dva broja (kvadrat prvog broja, minus proizvod dva na prvi broj i drugi, plus kvadrat drugog broja): x 6 je kvadrat prvog broja, i prema tome , sam prvi broj je x 3, kvadrat drugog broja je posljednji član datog polinoma, tj. 1, sam drugi broj je, dakle, također 1; proizvod dva sa prvim brojem, a drugi je član –2x 3, jer je 2x 3 = 2 x 3 1. Dakle, naš polinom je dobijen kvadriranjem razlike brojeva x 3 i 1, tj. jednak je (x 3 – 12 . Pogledajmo još jedan 4. primjer. Vidimo da se ovaj polinom a 2 b 2 – 25 može smatrati razlikom kvadrata dva broja, naime kvadrat prvog broja je a 2 b 2, dakle, sam prvi broj je ab, kvadrat od drugi broj je 25, zašto je sam drugi broj 5. Stoga se naš polinom može smatrati dobijenim množenjem zbira dva broja njihovom razlikom, tj.

(ab + 5) (ab – 5).

Ponekad se dešava da u datom polinomu pojmovi nisu raspoređeni onim redom na koji smo navikli, na primjer.

9a 2 + b 2 + 6ab – mentalno možemo preurediti drugi i treći član i tada će nam postati jasno da je naš trinom = (3a + b) 2.

... (mentalno preuređujemo prvi i drugi član).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, itd.

Razmotrimo još jedan polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vidimo da je njegov prvi član kvadrat broja a, a treći je kvadrat broja 2b, ali drugi član nije proizvod dva sa prvim brojem i drugim - takav proizvod bi bio jednak 2 a 2b = 4ab. Stoga je na ovaj polinom nemoguće primijeniti formulu za kvadrat zbira dva broja. Ako je neko napisao da je a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, onda bi to bilo netačno - potrebno je pažljivo razmotriti sve članove polinoma prije nego što na njega primijenimo faktorizaciju koristeći formule.

40. Kombinacija obje tehnike. Ponekad, kada činite polinome, morate kombinovati i tehniku ​​uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada i tehniku ​​korišćenja formula. Evo primjera:

1. 2a 3 – 2ab 2. Izvadimo prvo zajednički faktor 2a iz zagrada i dobićemo 2a (a 2 – b 2). Faktor a 2 – b 2 se, pak, prema formuli razlaže na faktore (a + b) i (a – b).

Ponekad morate više puta koristiti tehniku ​​dekompozicije formule:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Vidimo da prvi faktor a 2 + b 2 ne odgovara nijednoj od poznatih formula; Štaviše, prisjećajući se posebnih slučajeva dijeljenja (tačka 37), ustanovit ćemo da se a 2 + b 2 (zbir kvadrata dva broja) uopće ne može faktorizirati. Drugi od rezultujućih faktora a 2 – b 2 (razlika kvadratom dva broja) razlaže se na faktore (a + b) i (a – b). dakle,

41. Primjena posebnih slučajeva podjele. Na osnovu paragrafa 37 možemo odmah napisati da je npr.