Definicija ukrštanja linija. Ukrštene linije
Predavanje: Presječne, paralelne i nagnute linije; okomitost linija
linije koje se seku
Ako na ravni ima nekoliko pravih linija, tada će se prije ili kasnije presjeći proizvoljno, ili pod pravim uglom, ili će biti paralelne. Pogledajmo svaki slučaj.
Prave koje se seku su one prave koje imaju barem jednu tačku preseka.
Možete pitati zašto barem jedna prava ne može dva ili tri puta preseći drugu pravu. Upravu si! Ali linije se mogu potpuno poklapati jedna s drugom. U ovom slučaju, postojaće beskonačan broj zajedničkih tačaka.
Paralelizam
Paralelno mogu se imenovati one prave koje se nikada neće ukrštati, čak ni u beskonačnosti.
Drugim riječima, paralelne su one koje nemaju jednu zajedničku tačku. Imajte na umu da ova definicija vrijedi samo ako su prave u istoj ravni, ali ako nemaju zajedničke tačke, nalaze se u različitim ravnima, onda se smatraju da se sijeku.
Primjeri paralelnih linija u životu: dvije suprotne ivice ekrana monitora, linije u bilježnicama, kao i mnogi drugi dijelovi stvari koje imaju kvadratne, pravokutne i druge oblike.
Kada žele da pokažu pismeno da je jedna prava paralelna sa drugom, onda se koristi sledeća notacija a||b. Ova notacija kaže da je prava a paralelna pravoj b.
Prilikom proučavanja ove teme važno je razumjeti još jednu tvrdnju: kroz neku tačku na ravni koja ne pripada datoj pravoj može se povući jedna paralelna prava. Ali obratite pažnju, opet je korekcija na nivou. Ako uzmemo u obzir trodimenzionalni prostor, onda je moguće nacrtati beskonačan broj linija koje se neće sjeći, ali će se sijeći.
Gore opisana izjava se zove aksiom paralelnih pravih.
Perpendikularnost
Direktne linije se mogu pozvati samo ako okomito ako se seku pod uglom od 90 stepeni.
U prostoru, kroz određenu tačku na pravoj, može se povući beskonačan broj okomitih linija. Međutim, ako govorimo o ravni, onda se kroz jednu tačku na pravoj može povući jedna okomita linija.
Ukrštene linije. Secant
Ako se neke prave seku u nekoj tački pod proizvoljnim uglom, mogu se pozvati ukrštanje.
Sve nagnute linije imaju okomite i susjedne uglove.
Ako uglovi koji formiraju dvije prave koje se sijeku imaju jednu zajedničku stranu, onda se nazivaju susjedni:
Susjedni uglovi iznose 180 stepeni.
TEKST OBJAŠNJENJE ČASA:
Već znate dva slučaja međusobnog rasporeda linija u prostoru:
1. linije koje se seku;
2. paralelne prave.
Pogledajmo njihove definicije.
Definicija. Prave u prostoru se nazivaju ukrštanjem ako leže u istoj ravni i imaju jednu zajedničku tačku
Definicija. Prave u prostoru nazivaju se paralelnim ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
Zajedničko ovim definicijama je da prave leže u istoj ravni.
To nije uvijek slučaj u svemiru. Možemo raditi sa nekoliko ravni, a neće svaka dva prava ležati u istoj ravni.
Na primjer, rubovi kocke ABCDA1B1C1D1
AB i A1D1 leže u različitim ravnima.
Definicija. Dvije prave se nazivaju ukrštanjem ako ne postoji ta ravan koja bi prolazila kroz te prave. Iz definicije je jasno da se ove prave ne seku i da nisu paralelne.
Dokažimo teoremu koja izražava znak kosih linija.
Teorema (znak kosih linija).
Ako jedna od pravih leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada ovoj pravoj, tada su ove prave nagnute.
Prava AB leži u ravni α. Prava CD seče ravan α u tački C koja nije na pravoj AB.
Dokazati da se prave AB i DC sijeku.
Dokaz
Dokaz će biti izveden kontradikcijom.
Recimo da AB i CD leže u istoj ravni, označimo to sa β.
Tada ravan β prolazi kroz pravu AB i tačku C.
Prema posledicama aksioma, može se povući ravan kroz pravu AB i tačku C koja ne leži na njoj, i štaviše, samo jednu.
Ali već imamo takvu ravan - ravan α.
Prema tome, ravni β i α se poklapaju.
Ali to je nemoguće, jer prava CD seče α, ali ne leži u njoj.
Došli smo do kontradikcije, stoga je naša pretpostavka pogrešna. AB i CD leže unutra
različite ravni i seku se.
Teorema je dokazana.
Dakle, postoje tri moguća načina međusobnog rasporeda linija u prostoru:
A) Prave se seku, odnosno imaju samo jednu zajedničku tačku.
B) Prave su paralelne, tj. leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
C) Prave se seku, tj. ne leže u istoj ravni.
Razmotrimo još jednu teoremu o kosim linijama
Teorema. Kroz svaku od dvije prave koje se ukrštaju prolazi ravan paralelna s drugom pravom, i osim toga, samo jedna.
AB i CD - linije koje se seku
Dokazati da postoji ravan α takva da prava AB leži u ravni α i da je prava CD paralelna ravni α.
Dokaz
Dokažimo postojanje takve ravni.
1) Povucite pravu AE kroz tačku A paralelno sa CD.
2) Kako se prave AE i AB sijeku, kroz njih se može povući ravan. Označimo ga sa α.
3) Kako je prava CD paralelna sa AE, a AE leži u ravni α, onda je prava CD ∥ ravan α (prema teoremu okomitosti prave i ravni).
Ravan α je željena ravan.
Dokažimo da je ravan α jedina koja zadovoljava uslov.
Svaka druga ravan koja prolazi kroz pravu AB presecaće AE, a samim tim i pravu CD paralelnu sa njom. Odnosno, bilo koja druga ravan koja prolazi kroz AB siječe pravu CD, stoga nije paralelna s njom.
Prema tome, ravan α je jedinstvena. Teorema je dokazana.
Teorema. Ako jedna prava leži u datoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada se ove dvije prave sijeku. Znak linija koje se seku Dokaz. Neka prava a leži u ravni, a prava b siječe ravan u tački B koja ne pripada pravoj a. Ako prave a i b leže u istoj ravni, onda bi u ovoj ravni ležala i tačka B. Pošto kroz pravu prolazi samo jedna ravan i tačka van ove prave, ova ravan mora biti ravan. Ali tada bi prava b ležala u ravni, što je u suprotnosti sa uslovom. Dakle, prave a i b ne leže u istoj ravni, tj. križanje.
Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne trouglaste prizme? Rješenje: Za svaku osnovnu ivicu postoje tri ivice koje se s njom seku. Za svaku bočnu ivicu postoje dvije ivice koje se s njom seku. Dakle, željeni broj parova kosih linija je vježba 5
Koliko ima parova kosih linija koje sadrže ivice pravilne šestougaone prizme? Rješenje: Svaki osnovni rub učestvuje u 8 parova linija koje se seku. Svaka bočna ivica učestvuje u 8 parova linija koje se seku. Dakle, željeni broj parova kosih linija je vježba 6
AG.40. Udaljenost između dvije linije koje se seku
U koordinatama 
FMP.3. FULL INCREMENT
funkcije nekoliko varijabli - prirast koji funkcija stiče kada svi argumenti dobiju (generalno, različite od nule) inkremente. Tačnije, neka je funkcija f definirana u susjedstvu tačke
n-dimenzionalni prostor varijabli x 1,. . ., x str. Povećanje
funkcija f u tački x (0) , gdje je
pozvao puni prirast ako se smatra funkcijom od n mogućih prirasta D x 1, . . ., D x n argumentima x 1 , . .., x p, samo pod uslovom da tačka x (0) + Dx pripada domenu funkcije f. Uz linearne inkremente funkcija, razmatramo parcijalne inkremente D x k f funkcija f u tački x (0) u varijabli x k, tj. takvi inkrementi Df, za koje je Dx yj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1, . . ., n, k - fiksno (k=1, 2, . . ., n).
FMP.4. O: Djelomični prirast funkcije z = (x, y) u odnosu na x je razlika s djelomičnim povećanjem u odnosu na
O: Djelomični izvod u odnosu na x funkcije z = (x, y) je granica omjera djelomičnog prirasta i prirasta Ax kada potonji teži nuli:
Ostale oznake: Slično za varijable
noah u. 
Primjećujući da je određeno pri konstanti y i - pri konstanti x, možemo formulirati pravilo: parcijalni izvod u odnosu na x funkcije z = (x, y) je uobičajeni izvod u odnosu na x, izračunat prema pretpostavka da je y = konst. Slično, da bi se izračunao parcijalni izvod u odnosu na y, mora se uzeti u obzir x = const. Dakle, pravila za izračunavanje parcijalnih izvoda su ista kao u slučaju funkcije jedne varijable.
FMP.5. Kontinuitet funkcija. Određivanje kontinuiteta funkcije
Funkcija se naziva kontinuirana u točki , ako je zadovoljen jedan od ekvivalentnih uvjeta:
2) za proizvoljan niz ( x n) vrijednosti, koje konvergiraju na n→ ∞ do tačke x 0 , odgovarajući niz ( f(x n)) vrijednosti funkcije konvergiraju za n→ ∞ do f(x 0);
3) ili f(x) - f(x 0) → 0 for x - x 0 → 0;
4) takav da ili, što je isto,
f: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f(x 0) - ε , f(x 0) + ε [.
Iz definicije kontinuiteta funkcije f u tački x 0 to slijedi
Ako je funkcija f kontinuirano u svakoj tački intervala ] a, b[, zatim funkcija f pozvao kontinuirano u ovom intervalu.
FMP.6. U matematičkoj analizi, parcijalni derivat- jedna od generalizacija koncepta derivacije na slučaj funkcije više varijabli.
Eksplicitno, parcijalni izvod funkcije f definira se kako slijedi:
Funkcija Graf z = x² + xy + y². Parcijalni izvod u tački (1, 1, 3) pri konstanti y odgovara kutu nagiba tangente paralelne s ravninom xz.
Dijelovi grafikona prikazani iznad ravninom y= 1
Imajte na umu da notaciju treba shvatiti kao cijeli simbol, za razliku od uobičajenog izvoda funkcije jedne varijable, koji se može predstaviti kao omjer diferencijala funkcije i argumenta. Međutim, parcijalni izvod se može predstaviti i kao omjer diferencijala, ali je u ovom slučaju potrebno naznačiti za koju varijablu se funkcija povećava: , gdje je d x f je parcijalni diferencijal funkcije f u odnosu na varijablu x. Često je pogrešno razumijevanje činjenice o integritetu simbola uzrok grešaka i nesporazuma, kao što je, na primjer, skraćenica u izrazu. (za detalje pogledajte Fikhtengolts, "Kurs diferencijalnog i integralnog računa").
Geometrijski, parcijalni izvod je izvod duž pravca jedne od koordinatnih osa. Parcijalni izvod funkcije f u tački duž koordinate x k jednaka je derivaciji u odnosu na pravac na kojem jedinica stoji k-mesto.
LA 76) Syst. ur-cija se zove Cramerova ako je broj jednačina jednak broju nepoznanica.
LA 77-78) Syst. naziva se zajedničkim ako ima barem jedno rješenje, a inače nespojivo.
LA 79-80) Sistem zglobova. naziva se definitivnim ako ima samo jedno rješenje, a neodređenim inače.
LA 81) ... determinanta Cramerovog sistema bila je različita od nule
LA 169) Da bi sistem bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice bude jednak rangu proširene matrice = .
LA 170) Ako je determinanta Cramerovog sistema različita od nule, tada je sistem definisan, a njegovo rešenje se može naći po formulama 
LA 171) 1. Naći rješenje Cramerovog sistema jednačina matričnom metodom; 2.. Zapišimo sistem u matričnom obliku; 3. Izračunajte determinantu sistema koristeći njegove osobine: 4. Zatim zapišite inverznu matricu A-1; 5. Stoga
LA 172) Homogeni sistem linearnih jednačina AX = 0. Homogeni sistem je uvijek konzistentan jer ima barem jedno rješenje
LA 173) Ako barem jedna od determinanti , , nije jednaka nuli, tada će sva rješenja sistema (1) biti određena formulama , , , gdje je t proizvoljan broj. Svako pojedinačno rješenje dobija se pri određenoj vrijednosti t.
LA 174) Skup rješenja je homogen. sistemi se nazivaju fundamentalnim sistemom rešenja ako su: 1) linearno nezavisni; 2) svako rješenje sistema je linearna kombinacija rješenja.
AG118. Opšta jednačina ravnine je…
Jednačina ravni pogleda se zove opšta jednačina ravni.
AG119.Ako je ravan a opisana jednačinom Ax+D=0, onda...
PR 10.Šta je infinitezimalna vrijednost i koja su njena glavna svojstva?
OL 11. Šta se naziva beskonačno velikim? Kakva je njena veza
sa beskonačno malim?
PR12.K Koja granična veza se naziva prvom značajnom granicom? Prva izuzetna granica je granični odnos
OL 13 Koja granična veza se zove druga izuzetna granica?
OL 14 Koje parove ekvivalentnih funkcija poznajete?
CR64Šta je harmonijski niz? Pod kojim uslovom se konvergira?
Serija vrste se zove harmonic.
CR 65.Koji je zbir beskonačno opadajuće progresije?
CH66. Koja se izjava podrazumijeva pod prvom teoremom poređenja?
Neka postoje dva pozitivna reda
Ako, barem iz određene točke (recimo, za ), vrijedi sljedeća nejednakost: , tada konvergencija niza implicira konvergenciju niza ili, što je isto, divergencija niza slijedi iz divergencije niza serije.
CR67. Koja izjava se podrazumijeva pod drugom teoremom poređenja?
Pretvarajmo se tako. Ako postoji granica
tada se oba niza konvergiraju ili divergiraju u isto vrijeme.
CR 45 Formulirajte traženi kriterij za konvergenciju niza.
Ako niz ima konačan zbir, onda se zove konvergentan.
CR 29 Harmonični niz je niz oblika…. Konvergira kada
Serija vrste se zove harmonic. Dakle, harmonijski niz konvergira na i divergira na .
AG 6. Uređeni sistem linearno nezavisnih vektora koji leže na datoj pravoj (u datoj ravni, u prostoru) naziva se baza na ovoj pravoj (na ovoj ravni, u prostoru), ako bilo koji vektor leži na datoj pravoj (u data ravan, prostor) ) može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora ovog linearno nezavisnog sistema.
Bilo koji par nekolinearnih vektora koji leže u datoj ravni čini osnovu na toj ravni.
AG 7. Uređeni sistem linearno nezavisnih vektora koji leže na datoj pravoj (u datoj ravni, u prostoru) naziva se baza na ovoj pravoj (na ovoj ravni, u prostoru), ako bilo koji vektor leži na datoj pravoj (u data ravan, prostor) ) može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora ovog linearno nezavisnog sistema.
Bilo koja trojka nekoplanarnih vektora čini osnovu u prostoru.
AG 8, Koeficijenti u proširenju vektora u smislu baze nazivaju se koordinate ovog vektora u datoj bazi. Da bismo pronašli koordinate vektora sa datim početkom i krajem, potrebno je oduzeti koordinate njegovog početka od koordinata kraja vektora: ako , , onda .
AG 9.a) Konstruirajmo vektor (poziva se vektor sa početkom u tački i krajem u tački vektor radijusa tačke ).
AG 10. Ne, jer radijanska mjera ugla između dva vektora je uvijek zatvorena između i
AG 11. Skalar je bilo koji realan broj. Dot product dva vektora i naziva se broj jednak umnošku njihovih modula i kosinusa ugla između njih.
AG 12. možemo izračunati udaljenost između tačaka, bazni vektori, ugao između vektora.
AG 13. Unakrsni proizvod vektora sa vektorom je treći vektor koji ima sljedeća svojstva:
Njegova dužina je 
Vektor je okomit na ravan koja sadrži vektore i
