Oznake i simboli. Najjednostavniji geometrijski oblici: tačka, ravna linija, segment, zraka, izlomljena linija

U geometriji, glavne geometrijske figure su tačka i prava. Za označavanje tačaka uobičajeno je koristiti velika latinična slova: A, B, C, D, E, F .... Za označavanje ravnih linija koriste se mala latinična slova: a, b, c, d, e, f .... Na slici ispod prikazana je prava linija a i nekoliko tačaka A, B, C, D.

Za prikaz ravne linije na slici koristimo ravnalo, ali ne prikazujemo cijelu liniju, već samo njen dio. Pošto se linija u našem pogledu proteže do beskonačnosti u oba smjera, linija je beskonačna.

Na gornjoj slici vidimo da se tačke A i C nalaze na pravoj liniji. A. U takvim slučajevima kažemo da tačke A i C pripadaju pravoj a. Ili kažu da prava prolazi kroz tačke A i C. Prilikom pisanja, pripadnost tačke pravoj je označena posebnom ikonicom. A činjenica da tačka ne pripada liniji označena je istom ikonom, samo precrtanom.

U našem slučaju tačke B i D ne pripadaju pravoj a.

Kao što je gore navedeno, na slici tačke A i C pripadaju pravoj a. Zove se dio prave koji se sastoji od svih tačaka te prave koje se nalaze između dvije date tačke segment. Drugim riječima, segment je dio prave linije ograničen sa dvije tačke.

U našem slučaju imamo segment AB. Tačke A i B nazivaju se krajevi segmenta. Da bi se označio segment, njegovi krajevi su označeni, u našem slučaju, AB. Jedno od glavnih svojstava pripadnosti tačaka i pravih je sljedeće imovine: kroz bilo koje dvije tačke možete povući pravu, i osim toga, samo jednu.

Ako dvije prave imaju zajedničku tačku, onda se kaže da se dvije prave seku. Na slici se prave a i b seku u tački A. Prave a i c se ne seku.

Bilo koje dvije prave imaju samo jednu zajedničku tačku ili ih nema. Ako pretpostavimo suprotno, da dvije prave imaju dvije zajedničke tačke, onda bi dvije prave prolazile kroz njih. Ali to je nemoguće, jer se kroz dvije tačke može povući samo jedna prava.

Uprkos činjenici da je geometrija jedna od egzaktnih nauka, naučnici ne mogu jednoznačno definisati pojam "prava linija". U samom opšti pogled može se dati ova definicija: "Prava linija je linija duž koje je putanja jednaka udaljenosti između dvije tačke."

Šta je prava linija u matematici? Definicija prave u matematici: prava linija nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera do beskonačnosti.

Osnovni pojmovi geometrije uključuju tačku, pravu i ravan, oni su dati bez definicije, ali definicije drugih geometrijskih oblika su date kroz ove koncepte. Ravan, kao i prava linija, je primarni koncept koji nema definiciju. Ova tvrdnja je utvrđena sljedećim aksiomom: ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u ovoj ravni. A sama izjava, koja je dokazana, naziva se teoremom. Izjava teoreme obično se sastoji od dva dijela.

Zadatak: gdje je prava, zraka, segment, kriva? Vrhovi polilinije (slično vrhovima planina) su tačke od kojih polilinija počinje, tačke u kojima se spajaju segmenti koji formiraju poliliniju, tačka u kojoj se polilinija završava. Zadatak: koja polilinija je duža, a koja ima više vrhova? Susjedne strane poligona su susjedne veze isprekidane linije. Vrhovi poligona su vrhovi polilinije. Susedni vrhovi su krajnje tačke jedne strane poligona.

Na časovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima dužinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih tačaka koje leže na pravoj liniji između krajeva segmenta.

U budućnosti će postojati definicije za različite figure osim za dvije - tačku i pravu. Tako da ponekad možemo označiti ravnu liniju sa dvije velike sa latiničnim slovima, na primjer, prava\(AB\), pošto se nijedna druga prava ne može povući kroz ove dvije tačke. Simbolično pišemo segment \(AB\).

Šta je poenta u matematici?

Teorema: Srednja linija trougla je paralelna sa jednom od njegovih stranica i jednaka je polovini te stranice. C. Visina pravokutnog trougla povučena iz vrha pravi ugao, dijeli trokut na dva slična pravougaonog trougla, od kojih je svaki sličan datom trokutu. C. Upisani ugao zasnovan na polukrugu je pravi ugao. Ovdje su sakupljene glavne definicije, teoreme, svojstva figura na ravni.

Vektor sa koordinatama tačke naziva se vektor normale, okomit je na pravu.

U sistematskom izlaganju geometrije, prava linija se obično uzima kao jedan od početnih pojmova, koji je samo posredno određen aksiomima geometrije.

4. Dve nepodudarne prave u ravni ili se seku u jednoj tački ili su paralelne. Zraka je dio prave linije omeđen s jedne strane. Segment je, poput prave linije, označen jednim slovom ili dva. U potonjem slučaju, ova slova označavaju krajeve segmenta.

Razmotrićemo svaku od tema, a na kraju će biti testovi o temama.

Poenta u matematici

Šta je poenta u matematici? Matematička tačka nema dimenzije i označava se velikim latiničnim slovima: A, B, C, D, F, itd.

Na slici možete vidjeti sliku tačaka A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment iz matematike

Šta je segment u matematici? Na časovima matematike možete čuti sljedeće objašnjenje: matematički segment ima dužinu i krajeve. Segment u matematici je skup svih tačaka koje leže na pravoj liniji između krajeva segmenta. Krajevi segmenta su dvije granične točke.

Na slici vidimo sljedeće: segmente ,,,, i , kao i dvije tačke B i S.

Prave linije u matematici

Šta je prava linija u matematici? Definicija prave u matematici: prava linija nema krajeva i može se nastaviti u oba smjera do beskonačnosti. Pravu liniju u matematici označavaju bilo koje dvije tačke na pravoj liniji. Da bismo učeniku objasnili pojam prave, možemo reći da je prava odsječak koji nema dva kraja.

Na slici su prikazane dvije prave linije: CD i EF.

Ray u matematici

Šta je zraka? Definicija zraka u matematici: Zrak je dio prave koji ima početak i nema kraj. Naziv zraka sadrži dva slova, na primjer, DC. Štaviše, prvo slovo uvijek označava tačku početka grede, tako da ne možete zamijeniti slova.

Na slici su prikazane grede: DC, KC, EF, MT, MS. Grede KC i KD - jedna greda, jer imaju zajedničko poreklo.

Brojevna linija u matematici

Definicija brojevne prave u matematici: Prava čije tačke označavaju brojeve naziva se brojevna prava.

Na slici je prikazana brojevna prava, kao i zrak OD i ED

Stranica 1 od 3

§1. Kontrolna pitanja
Pitanje 1. Navedite primjere geometrijskih oblika.
Odgovori. Primjeri geometrijskih oblika: trokut, kvadrat, krug.

Pitanje 2.Šta su glavne geometrijske figure na površini.
Odgovori. Glavne geometrijske figure na ravni su tačka i prava.

Pitanje 3. Kako se definišu tačke i prave?
Odgovori. Bodovi su označeni velikim latiničnim slovima: A, B, C, D, .... Prave se označavaju malim latiničnim slovima: a, b, c, d, ....
Prava se može označiti sa dvije tačke koje leže na njoj. Na primjer, linija a na slici 4 može biti označena AC, a linija b može biti označena kao BC.

Pitanje 4. Formulirajte osnovna svojstva pripadnosti tačaka i pravih.
Odgovori.Šta god da je prava, postoje tačke koje pripadaju ovoj pravoj i tačke koje joj ne pripadaju.
Kroz bilo koje dvije tačke možete povući pravu, i to samo jednu.
Pitanje 5. Objasnite šta je segment sa krajevima u datim tačkama.
Odgovori. Segment je dio prave linije koji se sastoji od svih tačaka ove prave linije koje leže između dvije date njene tačke. Ove tačke se nazivaju krajevi segmenta. Segment je označen označavanjem njegovih krajeva. Kada kažu ili pišu: "segment AB", oni misle na segment sa krajevima u tačkama A i B.

Pitanje 6. Formulirajte glavno svojstvo položaja tačaka na pravoj liniji.
Odgovori. Od tri tačke na pravoj, jedna i samo jedna leži između druge dve.
Pitanje 7. Formulirajte glavna svojstva mjernih segmenata.
Odgovori. Svaki segment ima određenu dužinu veću od nule. Dužina segmenta jednaka je zbiru dužina dijelova na koje je podijeljen bilo kojom od njegovih tačaka.
Pitanje 8. Kolika je udaljenost između dvije date tačke?
Odgovori. Dužina segmenta AB naziva se rastojanje između tačaka A i B.
Pitanje 9. Koje su osobine cijepanja ravni na dvije poluravnine?
Odgovori. Podjela ravni na dvije poluravnine ima sljedeće svojstvo. Ako krajevi bilo kojeg segmenta pripadaju istoj poluravni, tada segment ne siječe pravu. Ako krajnje tačke segmenta pripadaju različitim poluravninama, tada segment siječe pravu.

U ovom članku ćemo se detaljno zadržati na jednom od primarnih koncepata geometrije - na konceptu prave linije na ravni. Prvo, hajde da definišemo osnovne pojmove i oznake. Zatim se raspravlja o relativnom položaju prave i tačke, kao i dve prave na ravni, i dajemo potrebne aksiome. U zaključku ćemo razmotriti načine postavljanja prave linije na ravninu i dati grafičke ilustracije.

Navigacija po stranici.

Prava linija na ravni je koncept.

Prije nego što damo koncept prave linije na ravni, treba jasno razumjeti šta je ravan. Reprezentacija aviona omogućava vam da dobijete, na primjer, ravnu površinu stola ili zida kuće. Međutim, treba imati na umu da su dimenzije tablice ograničene, a ravan se proteže izvan ovih granica do beskonačnosti (kao da imamo proizvoljno veliku tablicu).

Ako uzmemo dobro naoštrenu olovku i dodirnemo njeno jezgro na površinu „stola“, tada ćemo dobiti sliku tačke. Tako da dobijamo reprezentacija tačke na ravni.

Sada možete ići na koncept prave linije na ravni.

Stavimo na površinu stola (na avion) ​​list čistog papira. Da bismo nacrtali ravnu liniju potrebno je uzeti ravnalo i olovkom povući liniju koliko to dozvoljavaju dimenzije ravnala i lista papira. Treba napomenuti da na ovaj način dobijamo samo dio prave linije. Pravu liniju u cijelosti, koja se proteže do beskonačnosti, možemo samo zamisliti.

Međusobni položaj prave i tačke.

Trebalo bi da počnete sa aksiomom: postoje tačke na svakoj pravoj liniji i u svakoj ravni.

Tačke se obično označavaju velikim latiničnim slovima, na primjer, tačke A i F. Zauzvrat, ravne linije su označene malim latiničnim slovima, na primjer, ravne linije a i d.

Moguće dvije opcije za relativni položaj prave i tačke na ravni: ili tačka leži na pravoj (u ovom slučaju se kaže da prava prolazi kroz tačku), ili tačka ne leži na pravoj (takođe se kaže da tačka ne pripada pravoj, ili prava ne prolazi kroz tačku).

Za označavanje da tačka pripada određenoj liniji, koristi se simbol "". Na primjer, ako tačka A leži na pravoj a, onda možete pisati. Ako tačka A ne pripada pravoj a, zapišite.

Tačna je sljedeća tvrdnja: kroz bilo koje dvije tačke postoji samo jedna prava.

Ova izjava je aksiom i treba je prihvatiti kao činjenicu. Osim toga, ovo je sasvim očito: označavamo dvije točke na papiru, nanosimo ravnalo na njih i crtamo ravnu liniju. Prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke (na primjer, kroz tačke A i B) može se označiti sa ova dva slova (u našem slučaju prava AB ili BA).

Treba shvatiti da na pravoj liniji datoj na ravni postoji beskonačno mnogo različitih tačaka, a sve te tačke leže u istoj ravni. Ova tvrdnja je utvrđena aksiomom: ako dvije tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u ovoj ravni.

Zove se skup svih tačaka koje se nalaze između dve tačke date na pravoj liniji, zajedno sa tim tačkama duž ili jednostavno segment. Tačke koje ograničavaju segment nazivaju se krajevi segmenta. Segment je označen sa dva slova koja odgovaraju tačkama krajeva segmenta. Na primjer, neka su tačke A i B krajevi segmenta, tada se ovaj segment može označiti AB ili BA. Imajte na umu da je ova oznaka segmenta ista kao i oznaka prave linije. Da biste izbjegli zabunu, preporučujemo da oznaci dodate riječ "segment" ili "ravno".

Za kratku evidenciju pripadnosti i nepripadanja određene tačke određenom segmentu koriste se svi isti simboli i. Da bi se pokazalo da segment leži ili ne leži na pravoj liniji, koriste se simboli i. Na primjer, ako segment AB pripada pravoj a, možete ukratko zapisati.

Treba se zadržati i na slučaju kada tri različite tačke pripadaju istoj pravoj. U ovom slučaju, jedna i samo jedna tačka leži između druge dvije. Ova izjava je još jedan aksiom. Neka tačke A, B i C leže na istoj pravoj liniji, a tačka B leži između tačaka A i C. Tada možemo reći da su tačke A i C na suprotnim stranama tačke B. Takođe možete reći da tačke B i C leže na istoj strani tačke A, a tačke A i B leže na istoj strani tačke C.

Da bismo upotpunili sliku, napominjemo da bilo koja tačka prave linije dijeli ovu pravu liniju na dva dijela - dva greda. Za ovaj slučaj je dat aksiom: proizvoljna tačka O, koja pripada pravoj, deli ovu pravu na dve zrake, a bilo koje dve tačke jednog zraka leže na istoj strani tačke O, a bilo koje dve tačke različitih zraka leže na suprotnim stranama tačke O.

Međusobni raspored pravih linija na ravni.

Sada odgovorimo na pitanje: "Kako se dvije prave mogu nalaziti na ravni jedna u odnosu na drugu"?

Prvo, dvije linije u ravni mogu podudaraju.

Ovo je moguće kada linije imaju najmanje dvije zajedničke točke. Zaista, na osnovu aksioma izrečenog u prethodnom paragrafu, jedna prava linija prolazi kroz dvije tačke. Drugim riječima, ako dvije prave prolaze kroz dvije date tačke, one se poklapaju.

Drugo, dvije prave linije u ravni mogu krst.

U ovom slučaju, prave imaju jednu zajedničku tačku, koja se zove tačka preseka pravih. Presjek linija je označen simbolom "", na primjer, zapis znači da se linije a i b sijeku u tački M. Prave koje se seku dovode nas do koncepta ugla između linija koje se seku. Zasebno, vrijedi razmotriti lokaciju pravih linija na ravni kada je ugao između njih devedeset stepeni. U ovom slučaju, linije se pozivaju okomito(preporučujemo članak okomite linije, okomitost linija). Ako je pravac a okomit na pravu b, tada se može koristiti kratka notacija.

Treće, dvije prave u ravni mogu biti paralelne.

Sa praktične tačke gledišta, zgodno je razmotriti pravu liniju na ravni zajedno sa vektorima. Od posebne važnosti su vektori različiti od nule koji leže na datoj pravoj ili na bilo kojoj od paralelnih pravih, nazivaju se vektori pravca. Članak usmjeravajući vektor prave linije na ravni daje primjere usmjeravajućih vektora i prikazuje mogućnosti njihove upotrebe u rješavanju problema.

Također treba obratiti pažnju na vektore koji nisu nula koji leže na bilo kojoj od pravih okomitih na datu jedinicu. Takvi vektori se nazivaju normalni vektori linije. Upotreba vektora normale prave je opisana u članku normalni vektor prave linije na ravni.

Kada se na ravni daju tri ili više pravih, tada nastaje skup razne opcije njihov relativni položaj. Sve prave mogu biti paralelne, inače se neke ili sve seku. U ovom slučaju, sve prave se mogu ukrštati u jednoj tački (pogledajte članak olovka linija), ili mogu imati različite tačke preseka.

Nećemo se detaljnije zadržavati na tome, ali ćemo navesti nekoliko izuzetnih i vrlo često korištenih činjenica bez dokaza:

• ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne jedna s drugom;
• ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne jedna s drugom;
• ako u ravni prava siječe jednu od dvije paralelne prave, tada siječe i drugu pravu.

Metode postavljanja prave linije na ravni.

Sada ćemo navesti glavne načine na koje možete definirati određenu liniju u ravni. Ovo znanje je veoma korisno sa praktične tačke gledišta, jer se na njemu zasniva rešavanje tolikih primera i problema.

Prvo, prava linija se može definirati specificiranjem dvije tačke na ravni.

Zaista, iz aksioma razmatranog u prvom paragrafu ovog članka, znamo da prava prolazi kroz dvije tačke, i štaviše, samo jednu.

Ako su koordinate dvije neusklađene tačke naznačene u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni, tada je moguće zapisati jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke.

Drugo, prava se može specificirati specificiranjem tačke kroz koju prolazi i prave sa kojom je paralelna. Ova metoda je važeća, jer jedna prava linija prolazi kroz datu tačku ravni, paralelno sa datom pravom linijom. Dokaz ove činjenice izveden je na časovima geometrije u srednjoj školi.

Ako se ravna linija na ravni postavi na ovaj način u odnosu na uvedeni pravougaonik Kartezijanski sistem koordinate, odnosno sposobnost sastavljanja njegove jednačine. U članku je napisana jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku paralelno sa datom pravom linijom.

Treće, linija se može definirati specificiranjem tačke kroz koju prolazi i njenog vektora smjera.

Ako je prava linija data u pravougaonom koordinatnom sistemu na ovaj način, onda je lako sastaviti njenu kanonsku jednačinu prave na ravni i parametarske jednačine prave na ravni.

Četvrti način da odredite pravu je da odredite tačku kroz koju ona prolazi i pravu na koju je okomita. Zaista, postoji samo jedna prava kroz datu tačku ravni koja je okomita na datu pravu. Ostavimo ovu činjenicu bez dokaza.

Konačno, prava u ravni se može specificirati specificiranjem tačke kroz koju prolazi i vektora normale prave.

Ako su poznate koordinate tačke koja leži na datoj pravoj i koordinate vektora normale prave, onda je moguće zapisati opštu jednačinu prave.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrija. 7. - 9. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrija. Udžbenik za 10-11 razred srednje škole.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.website, uključujući unutrašnji materijali I vanjski dizajn ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.