Kako pojednostaviti matematički izraz. Video tutorial "Pojednostavljivanje izraza

Napomena 1

Logička funkcija se može napisati pomoću logičkog izraza, a zatim možete ići na logičko kolo. Potrebno je pojednostaviti logičke izraze kako bi se dobilo što jednostavnije (a samim tim i jeftinije) logičko kolo. U stvari, logička funkcija, logički izraz i logičko kolo su tri različita jezika koji govore o istom entitetu.

Da biste pojednostavili logičke izraze, koristite zakoni algebre logike.

Neke transformacije su slične transformacijama formula u klasičnoj algebri (stavljanje zajedničkog faktora u zagrade, korištenje komutativnih i kombinacijskih zakona, itd.), dok su druge transformacije zasnovane na svojstvima koja klasične algebarske operacije nemaju (koristeći distributivni zakon za konjunkciju, zakoni apsorpcije, lijepljenja, de Morganova pravila, itd.).

Zakoni algebre logike formulisani su za osnovne logičke operacije - "NE" - inverzija (negacija), "I" - konjunkcija (logičko množenje) i "ILI" - disjunkcija (logičko sabiranje).

Zakon dvostruke negacije znači da je operacija "NE" reverzibilna: ako je primijenite dvaput, na kraju se logička vrijednost neće promijeniti.

Zakon isključene sredine kaže da je svaki logički izraz ili istinit ili lažan („nema trećeg“). Dakle, ako je $A=1$, onda je $\bar(A)=0$ (i obrnuto), što znači da je konjunkcija ovih veličina uvijek jednaka nuli, a disjunkcija jednaka jedan.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pojednostavimo ovu formulu:

Slika 3

Ovo implicira da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odgovor: učenici $B$, $C$ i $D$ igraju šah, ali učenik $A$ ne igra.

Kada pojednostavljujete logičke izraze, možete izvršiti sljedeći niz radnji:

1. Zamijenite sve “ne-osnovne” operacije (ekvivalentnost, implikacije, XOR, itd.) njihovim izrazima kroz osnovne operacije inverzije, konjunkcije i disjunkcije.
2. Proširite inverzije složenih izraza prema de Morganovim pravilima na takav način da samo pojedinačne varijable imaju operacije negacije.
3. Zatim pojednostavite izraz koristeći proširenje zagrada, zajedničke faktore u zagradama i druge zakone algebre logike.

Primjer 2

Ovdje se uzastopno koriste de Morganovo pravilo, distributivni zakon, zakon isključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, opet komutativni zakon i zakon apsorpcije.

Doslovni izraz (ili izraz sa varijablama) jeste matematički izraz, koji se sastoji od brojeva, slova i znakova matematičkih operacija. Na primjer, sljedeći izraz je doslovan:

a+b+4

Koristeći doslovne izraze, možete zapisati zakone, formule, jednačine i funkcije. Sposobnost manipulacije bukvalnim izrazima ključ je za dobro poznavanje algebre i više matematike.

Svaki ozbiljan problem u matematici svodi se na rješavanje jednačina. A da biste mogli rješavati jednačine, morate znati raditi s bukvalnim izrazima.

Za rad s bukvalnim izrazima potrebno je dobro proučiti osnovnu aritmetiku: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnovne zakone matematike, razlomke, radnje sa razlomcima, proporcije. I ne samo da prouči, već i da temeljno razume.

Varijable

Zovu se slova koja su sadržana u doslovnim izrazima varijable. Na primjer, u izrazu a+b+4 slova su varijable a I b. Ako umjesto ovih varijabli zamijenimo bilo koje brojeve, onda literalni izraz a+b+4će se pretvoriti u numerički izraz čija se vrijednost može pronaći.

Pozivaju se brojevi koji se zamjenjuju za varijable varijabilne vrijednosti. Na primjer, promijenimo vrijednosti varijabli a I b. Koristite znak jednakosti da promijenite vrijednosti

a = 2, b = 3

Promijenili smo vrijednosti varijabli a I b. varijabla a dodijeljena vrijednost 2 , varijabla b dodijeljena vrijednost 3 . Kao rezultat, doslovni izraz a+b+4 pretvara u normalan numerički izraz 2+3+4 čija se vrijednost može naći:

2 + 3 + 4 = 9

Kada se varijable pomnože, one se pišu zajedno. Na primjer, unos ab znači isto što i unos a×b. Ako zamijenimo umjesto varijabli a I b brojevi 2 I 3 , onda dobijamo 6

2 x 3 = 6

Zajedno možete napisati i množenje broja izrazom u zagradama. Na primjer, umjesto a×(b + c) može se napisati a(b + c). Primjenom distributivnog zakona množenja dobijamo a(b + c)=ab+ac.

Odds

U doslovnim izrazima često možete pronaći zapis u kojem su broj i varijabla napisani zajedno, na primjer 3a. Zapravo, ovo je skraćenica za množenje broja 3 promjenljivom. a a ovaj unos izgleda tako 3×a .

Drugim riječima, izraz 3a je proizvod broja 3 i varijable a. Broj 3 u ovom radu se zove koeficijent. Ovaj koeficijent pokazuje koliko će se puta varijabla povećati a. Ovaj izraz se može čitati kao " a tri puta ili tri puta A", ili "povećaj vrijednost varijable a tri puta", ali se najčešće čita kao "tri a«

Na primjer, ako je varijabla a je jednako 5 , zatim vrijednost izraza 3a biće jednako 15.

3 x 5 = 15

razgovor običan jezik, koeficijent je broj koji dolazi prije slova (ispred varijable).

Može biti nekoliko slova, na primjer 5abc. Ovdje je koeficijent broj 5 . Ovaj koeficijent pokazuje da je proizvod varijabli abc povećava pet puta. Ovaj izraz se može čitati kao " abc pet puta" ili "povećajte vrijednost izraza abc pet puta" ili "pet abc«.

Ako umjesto varijabli abc zamijenite brojeve 2, 3 i 4, a zatim vrijednost izraza 5abcće biti jednako 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Mentalno možete zamisliti kako su brojevi 2, 3 i 4 prvi put pomnoženi, a rezultirajuća vrijednost se povećala pet puta:

Znak koeficijenta se odnosi samo na koeficijent, a ne odnosi se na varijable.

Razmotrite izraz −6b. Minus ispred koeficijenta 6 , odnosi se samo na koeficijent 6 , i ne odnosi se na varijablu b. Razumijevanje ove činjenice omogućit će vam da u budućnosti ne griješite sa znakovima.

Pronađite vrijednost izraza −6b at b = 3.

−6b −6×b. Radi jasnoće pišemo izraz −6b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednost varijable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza −6b at b = −5

Hajde da napišemo izraz −6b u proširenom obliku

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza −5a+b at a = 3 I b = 2

−5a+b je skraćeni oblik za −5 × a + b, stoga, radi jasnoće, pišemo izraz −5×a+b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a I b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Ponekad se slova pišu bez koeficijenta, na primjer a ili ab. U ovom slučaju koeficijent je jedan:

ali jedinica se tradicionalno ne zapisuje, pa samo pišu a ili ab

Ako je ispred slova minus, tada je koeficijent broj −1 . Na primjer, izraz -a zapravo izgleda −1a. Ovo je proizvod minus jedan i varijable a. Ispalo je ovako:

−1 × a = −1a

Ovdje se krije mali trik. U izrazu -a minus ispred varijable a zapravo se odnosi na "nevidljivu jedinicu", a ne na varijablu a. Stoga pri rješavanju problema treba biti oprezan.

Na primjer, s obzirom na izraz -a i od nas se traži da pronađemo njegovu vrijednost u a = 2, onda smo u školi umjesto varijable zamijenili dvojku a i dobiti odgovor −2 , ne fokusirajući se baš na to kako je ispalo. U stvari, došlo je do množenja minus jedan sa pozitivnim brojem 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Ako je dat izraz -a i potrebno je pronaći njegovu vrijednost u a = −2, onda vršimo zamjenu −2 umjesto varijable a

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Kako bi se izbjegle greške, u početku se nevidljive jedinice mogu napisati eksplicitno.

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza abc at a=2 , b=3 I c=4

Izraz abc 1×a×b×c. Radi jasnoće pišemo izraz abc a , b I c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Primjer 5 Pronađite vrijednost izraza abc at a=−2 , b=−3 I c=−4

Hajde da napišemo izraz abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a , b I c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Primjer 6 Pronađite vrijednost izraza − abc at a=3, b=5 i c=7

Izraz − abc je skraćeni oblik za −1×a×b×c. Radi jasnoće pišemo izraz − abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a , b I c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Primjer 7 Pronađite vrijednost izraza − abc at a=−2, b=−4 i c=−3

Hajde da napišemo izraz − abc prošireno:

−abc = −1 × a × b × c

Zamijenite vrijednost varijabli a , b I c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Kako odrediti koeficijent

Ponekad je potrebno riješiti problem u kojem je potrebno odrediti koeficijent izraza. U principu, ovaj zadatak je vrlo jednostavan. Dovoljno je moći pravilno množiti brojeve.

Da biste odredili koeficijent u izrazu, potrebno je zasebno pomnožiti brojeve uključene u ovaj izraz i posebno pomnožiti slova. Rezultirajući numerički faktor će biti koeficijent.

Primjer 1 7m×5a×(−3)×n

Izraz se sastoji od nekoliko faktora. To se može jasno vidjeti ako je izraz napisan u proširenom obliku. Odnosno, radi 7m I 5a napišite u formularu 7×m I 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Primjenjujemo asocijativni zakon množenja, koji nam omogućava da množimo faktore bilo kojim redoslijedom. Naime, posebno množite brojeve i posebno množite slova (varijable):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 man

Koeficijent je −105 . Nakon završetka, poželjno je da se slovni dio rasporedi po abecednom redu:

−105 ujutro

Primjer 2 Odredite koeficijent u izrazu: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeficijent je 6.

Primjer 3 Odredite koeficijent u izrazu:

Pomnožimo brojeve i slova odvojeno:

Koeficijent je −1. Imajte na umu da se jedinica ne bilježi, jer se koeficijent 1 obično ne bilježi.

Ovi naizgled jednostavni zadaci mogu s nama odigrati vrlo okrutnu šalu. Često se ispostavi da je znak koeficijenta pogrešno postavljen: ili je minus izostavljen ili je, naprotiv, postavljen uzalud. Da biste izbjegli ove dosadne greške, mora se proučiti na dobrom nivou.

Termini u bukvalnim izrazima

Kada saberete nekoliko brojeva, dobijate zbir tih brojeva. Brojevi koji se sabiraju nazivaju se pojmovi. Može postojati nekoliko termina, na primjer:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Kada se izraz sastoji od članova, mnogo je lakše izračunati ga, jer je lakše sabirati nego oduzimati. Ali izraz može sadržavati ne samo zbrajanje, već i oduzimanje, na primjer:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

U ovom izrazu brojevi 3 i 5 se oduzimaju, a ne sabiraju. Ali ništa nas ne sprečava da oduzimanje zamijenimo sabiranjem. Tada ponovo dobijamo izraz koji se sastoji od pojmova:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nema veze što su brojevi -3 i -5 sada sa predznakom minus. Glavna stvar je da su svi brojevi u ovom izrazu povezani znakom sabiranja, odnosno izraz je zbroj.

Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) jednake su istoj vrijednosti - minus jedan

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dakle, vrijednost izraza neće patiti od činjenice da negdje zamjenjujemo oduzimanje sa sabiranjem.

Također možete zamijeniti oduzimanje sa sabiranjem u doslovnim izrazima. Na primjer, razmotrite sljedeći izraz:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Za bilo koje vrijednosti varijabli a b c d I s izrazi 7a + 6b - 3c + 2d - 4s I 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) će biti jednaka istoj vrijednosti.

Morate biti spremni na činjenicu da nastavnik u školi ili nastavnik na institutu može nazivati ​​pojmovima čak i one brojeve (ili varijable) koji to nisu.

Na primjer, ako je razlika napisana na ploči a-b, onda učitelj to neće reći a je minus, i b- odbitak. On će obje varijable nazvati jednom zajedničkom riječju - uslovi. A sve zbog izraza forme a-b matematičar vidi kako je zbir a + (−b). U ovom slučaju, izraz postaje zbir, a varijable a I (−b) postaju komponente.

Slični termini

Slični termini su termini koji imaju isti dio slova. Na primjer, razmotrite izraz 7a + 6b + 2a. Uslovi 7a I 2a imaju isti dio slova - promjenljiv a. Dakle, uslovi 7a I 2a su slični.

Obično se slični termini dodaju da bi se pojednostavio izraz ili riješila jednačina. Ova operacija se zove smanjenje sličnih termina.

Da biste dobili slične pojmove, potrebno je da saberete koeficijente ovih pojmova, a rezultat pomnožite zajedničkim slovnim dijelom.

Na primjer, dajemo slične pojmove u izrazu 3a + 4a + 5a. U ovom slučaju, svi pojmovi su slični. Sabiramo njihove koeficijente i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom - promjenljivom a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Takvi termini se obično daju u mislima i rezultat se odmah bilježi:

3a + 4a + 5a = 12a

Takođe, možete raspravljati i ovako:

Dodane su im 3 varijable a, još 4 varijable a i još 5 varijabli a. Kao rezultat, dobili smo 12 varijabli a

Razmotrimo nekoliko primjera smanjenja sličnih pojmova. S obzirom da je ova tema veoma važna, prvo ćemo detaljno zapisati svaki detalj. Unatoč činjenici da je ovdje sve vrlo jednostavno, većina ljudi pravi mnogo grešaka. Uglavnom zbog nepažnje, a ne neznanja.

Primjer 1 3a + 2a + 6a + 8 a

Dodajemo koeficijente u ovaj izraz i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

dizajn (3 + 2 + 6 + 8)×a ne možete zapisati, tako da ćemo odmah zapisati odgovor

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Primjer 2 Unesite slične termine u izraz 2a+a

Drugi mandat a napisano bez koeficijenta, a zapravo mu prethodi koeficijent 1 , koji ne vidimo zbog činjenice da nije zabilježen. Dakle, izraz izgleda ovako:

2a + 1a

Sada predstavljamo slične pojmove. To jest, dodajemo koeficijente i množimo rezultat zajedničkim slovnim dijelom:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Napišimo rješenje ukratko:

2a + a = 3a

2a+a, možete argumentirati na drugi način:

Primjer 3 Unesite slične termine u izraz 2a - a

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem:

2a + (−a)

Drugi mandat (−a) napisano bez koeficijenta, ali u stvari izgleda tako (−1a). Koeficijent −1 opet nevidljiv zbog činjenice da nije snimljen. Dakle, izraz izgleda ovako:

2a + (−1a)

Sada predstavljamo slične pojmove. Sabiramo koeficijente i množimo rezultat zajedničkim slovnim dijelom:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Obično se piše kraće:

2a − a = a

Dovođenje sličnih pojmova u izraz 2a−a Možete se raspravljati i na drugi način:

Postojale su 2 varijable a , oduzeta jedna varijabla a , kao rezultat je postojala samo jedna varijabla a

Primjer 4 Unesite slične termine u izraz 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Sada predstavljamo slične pojmove. Sabiramo koeficijente i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Napišimo rješenje ukratko:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Postoje izrazi koji sadrže nekoliko različitih grupa sličnih pojmova. Na primjer, 3a + 3b + 7a + 2b. Za takve izraze vrijede ista pravila kao i za ostale, odnosno zbrajanje koeficijenata i množenje rezultata zajedničkim slovnim dijelom. Ali kako bi se izbjegle greške, zgodno je podvući različite grupe pojmova različitim linijama.

Na primjer, u izrazu 3a + 3b + 7a + 2b oni termini koji sadrže varijablu a, mogu biti podvučeni jednom linijom, a oni pojmovi koji sadrže varijablu b, može se podvući s dvije linije:

Sada možemo donijeti slične uslove. To jest, zbrojite koeficijente i pomnožite rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom. Ovo se mora učiniti za obje grupe pojmova: za termine koji sadrže varijablu a i za termine koji sadrže varijablu b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Opet, ponavljamo, izraz je jednostavan, a slični pojmovi se mogu dati u umu:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Primjer 5 Unesite slične termine u izraz 5a - 6a - 7b + b

Oduzimanje zamjenjujemo sabiranjem gdje je to moguće:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Podvuci slične pojmove različitim linijama. Termini koji sadrže varijable a podvuci jednom linijom, a pojmovi sadržaj su varijable b, podvučen sa dvije linije:

Sada možemo donijeti slične uslove. To jest, dodajte koeficijente i pomnožite rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Ako izraz sadrži obične brojeve bez abecednih faktora, oni se dodaju zasebno.

Primjer 6 Unesite slične termine u izraz 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Hajde da predstavimo slične pojmove. Brojevi −5 I 7 nemaju bukvalne faktore, ali su slični pojmovi - samo ih treba sabrati. I termin 2bće ostati nepromijenjen, jer jedini u ovom izrazu ima faktor slova b, i nema se šta dodati:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Napišimo rješenje ukratko:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termini se mogu poredati tako da se oni pojmovi koji imaju isti slovni dio nalaze u istom dijelu izraza.

Primjer 7 Unesite slične termine u izraz 5t+2x+3x+5t+x

Pošto je izraz zbir nekoliko pojmova, to nam omogućava da ga procijenimo bilo kojim redoslijedom. Dakle, termini koji sadrže varijablu t, može se napisati na početku izraza, a pojmovi koji sadrže varijablu x na kraju izraza:

5t+5t+2x+3x+x

Sada možemo dodati slične pojmove:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Napišimo rješenje ukratko:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Zbir suprotnih brojeva je nula. Ovo pravilo važi i za doslovne izraze. Ako izraz sadrži iste pojmove, ali sa suprotnih znakova, onda se mogu eliminisati u fazi redukcije sličnih termina. Drugim riječima, jednostavno ih izbacite iz izraza jer je njihov zbir nula.

Primjer 8 Unesite slične termine u izraz 3t − 4t − 3t + 2t

Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Uslovi 3t I (−3t) su suprotne. Zbir suprotnih članova jednak je nuli. Ako uklonimo ovu nulu iz izraza, tada se vrijednost izraza neće promijeniti, pa ćemo je ukloniti. I mi ćemo ga ukloniti uobičajenim brisanjem uslova 3t I (−3t)

Kao rezultat, imaćemo izraz (−4t) + 2t. U ovaj izraz možete dodati slične pojmove i dobiti konačni odgovor:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Napišimo rješenje ukratko:

Pojednostavljivanje izraza

"pojednostavi izraz" a sljedeći je izraz koji treba pojednostaviti. Pojednostavite izraz znači učiniti ga jednostavnijim i kraćim.

U stvari, već smo se bavili pojednostavljenjem izraza pri redukciji razlomaka. Nakon redukcije, razlomak je postao kraći i lakši za čitanje.

Razmotrite sljedeći primjer. Pojednostavite izraz.

Ovaj zadatak se doslovno može shvatiti na sljedeći način: "Uradite sve što možete sa ovim izrazom, ali ga učinite jednostavnijim" .

U ovom slučaju možete smanjiti razlomak, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik razlomka sa 2:

Šta se još može učiniti? Možete izračunati rezultujući razlomak. Tada dobijamo decimalni broj 0,5

Kao rezultat toga, razlomak je pojednostavljen na 0,5.

Prvo pitanje koje sebi treba postaviti prilikom rješavanja takvih problema "šta se može učiniti?" . Jer postoje stvari koje možete, a postoje stvari koje ne možete.

Drugi važna tačka Ono što treba imati na umu je da se vrijednost izraza ne smije promijeniti nakon što se izraz pojednostavi. Vratimo se izrazu. Ovaj izraz je podjela koja se može izvršiti. Nakon ove podjele, dobijamo vrijednost ovog izraza, koja je jednaka 0,5

Ali mi smo pojednostavili izraz i dobili novi pojednostavljeni izraz. Vrijednost novog pojednostavljenog izraza je i dalje 0,5

Ali smo takođe pokušali da pojednostavimo izraz tako što smo ga izračunali. Kao rezultat, konačni odgovor je bio 0,5.

Dakle, koliko god pojednostavili izraz, vrijednost rezultirajućih izraza je i dalje 0,5. To znači da je pojednostavljenje izvršeno ispravno u svakoj fazi. To je ono čemu trebamo težiti kada pojednostavljujemo izraze - značenje izraza ne bi trebalo da pati od naših postupaka.

Često je potrebno pojednostaviti doslovne izraze. Za njih vrijede ista pravila pojednostavljenja kao i za numeričke izraze. Možete izvršiti bilo koju valjanu radnju, sve dok se vrijednost izraza ne promijeni.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1 Pojednostavite izraz 5,21 s × t × 2,5

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i odvojeno množiti slova. Ovaj zadatak je vrlo sličan onome koji smo razmatrali kada smo naučili odrediti koeficijent:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Dakle, izraz 5,21 s × t × 2,5 pojednostavljeno na 13.025st.

Primjer 2 Pojednostavite izraz −0,4×(−6,3b)×2

Drugi rad (−6.3b) može se prevesti u nama razumljiv oblik, odnosno napisan u obliku ( −6.3)×b , zatim posebno pomnožite brojeve i posebno pomnožite slova:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Dakle, izraz −0,4×(−6,3b)×2 pojednostavljeno na 5.04b

Primjer 3 Pojednostavite izraz

Napišimo ovaj izraz detaljnije kako bismo jasno vidjeli gdje su brojevi, a gdje slova:

Sada množimo brojeve odvojeno i posebno množimo slova:

Dakle, izraz pojednostavljeno na −abc. Ovo rješenje se može napisati kraće:

Prilikom pojednostavljivanja izraza, razlomci se mogu smanjiti u procesu rješavanja, a ne na samom kraju, kao što smo to učinili sa obični razlomci. Na primjer, ako u toku rješavanja naiđemo na izraz oblika , onda uopće nije potrebno izračunati brojilac i nazivnik i učiniti nešto ovako:

Razlomak se može smanjiti odabirom i faktora u brojniku i nazivniku i smanjenjem ovih faktora za njihov najveći zajednički djelitelj. Drugim riječima, koristite , u kojem ne opisujemo detaljno na što su podijeljeni brojilac i imenilac.

Na primjer, u brojiocu, faktoru 12 iu nazivniku, faktor 4 se može smanjiti za 4. Imamo na umu četiri, i dijeleći 12 i 4 sa ovim četiri, upisujemo odgovore pored ovih brojeva, imaju prethodno ih precrtao

Sada možete pomnožiti rezultirajuće male faktore. U ovom slučaju, nema ih mnogo i možete ih umnožiti u svom umu:

S vremenom ćete možda otkriti da prilikom rješavanja određenog problema izrazi počinju da se „debeljaju“, pa je preporučljivo da se naviknete na brze proračune. Ono što se može izračunati u umu mora se izračunati u umu. Ono što se može brzo rezati treba brzo da se iseče.

Primjer 4 Pojednostavite izraz

Dakle, izraz pojednostavljeno na

Primjer 5 Pojednostavite izraz

Zasebno množimo brojeve i posebno slova:

Dakle, izraz pojednostavljeno na mn.

Primjer 6 Pojednostavite izraz

Napišimo ovaj izraz detaljnije kako bismo jasno vidjeli gdje su brojevi, a gdje slova:

Sada množimo odvojeno brojeve i slova. Radi lakšeg izračunavanja, decimalni razlomak −6,4 i mješoviti broj može se pretvoriti u obične razlomke:

Dakle, izraz pojednostavljeno na

Rješenje za ovaj primjer može se napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:

Primjer 7 Pojednostavite izraz

Brojeve množimo posebno, a slova posebno. Radi lakšeg izračunavanja, mješoviti broj i decimalni razlomci 0,1 i 0,6 mogu se pretvoriti u obične razlomke:

Dakle, izraz pojednostavljeno na a b c d. Ako preskočite detalje, onda se ovo rješenje može napisati mnogo kraće:

Primijetite kako je razlomak smanjen. Novi množitelji, koji se dobiju smanjenjem prethodnih množitelja, također se mogu smanjiti.

Hajde sada da pričamo šta ne treba raditi. Prilikom pojednostavljivanja izraza, strogo je zabranjeno množenje brojeva i slova ako je izraz zbir, a ne proizvod.

Na primjer, ako želite pojednostaviti izraz 5a + 4b, onda se ne može napisati na sljedeći način:

Ovo je ekvivalentno činjenici da kada bismo od nas tražili da saberemo dva broja, mi bismo ih pomnožili umjesto da ih saberemo.

Prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijabli a I b izraz 5a+4b pretvara u jednostavan numerički izraz. Pretpostavimo varijable a I b imaju sljedeća značenja:

a = 2, b = 3

Tada će vrijednost izraza biti 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Prvo se vrši množenje, a zatim se zbrajaju rezultati. A ako bismo pokušali da pojednostavimo ovaj izraz množenjem brojeva i slova, dobili bismo sljedeće:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Ispada potpuno drugačije značenje izraza. U prvom slučaju se pokazalo 22 , u drugom slučaju 120 . To znači da je pojednostavljenje izraza 5a + 4b izvršeno pogrešno.

Nakon pojednostavljenja izraza, njegova vrijednost se ne bi trebala mijenjati sa istim vrijednostima varijabli. Ako se prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable u originalni izraz dobije jedna vrijednost, onda nakon pojednostavljenja izraza treba dobiti istu vrijednost kao prije pojednostavljenja.

Sa izrazom 5a + 4b zapravo se ništa ne može učiniti. Ne postaje lakše.

Ako izraz sadrži slične pojmove, onda se oni mogu dodati ako je naš cilj pojednostaviti izraz.

Primjer 8 Pojednostavite izraz 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ili kraće: 0,3a - 0,4a + a = 0.9a

Dakle, izraz 0,3a−0,4a+a pojednostavljeno na 0.9a

Primjer 9 Pojednostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete dodati slične pojmove:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ili kraće −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termin (−2,5b) ostao nepromijenjen, jer ga nije bilo čime presaviti.

Primjer 10 Pojednostavite izraz

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete dodati slične pojmove:

Koeficijent je bio radi lakšeg izračunavanja.

Dakle, izraz pojednostavljeno na

Primjer 11. Pojednostavite izraz

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete dodati slične pojmove:

Dakle, izraz pojednostavljeno na .

IN ovaj primjer imalo bi smisla prvo dodati prvi i posljednji koeficijent. U ovom slučaju dobili bismo kratko rješenje. To bi izgledalo ovako:

Primjer 12. Pojednostavite izraz

Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete dodati slične pojmove:

Dakle, izraz pojednostavljeno na .

Termin je ostao nepromijenjen, jer se nije imalo čemu dodati.

Ovo rješenje se može napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:

Kratko rješenje izostavlja korake zamjene oduzimanja sa sabiranjem i detaljan zapis o tome kako su razlomci svedeni na zajednički nazivnik.

Druga razlika je u tome što u detaljno rješenje odgovor izgleda , ali ukratko kao . Zapravo, to je isti izraz. Razlika je u tome što se u prvom slučaju oduzimanje zamjenjuje sabiranjem, jer na početku kada smo pisali rješenje u detaljan prikaz, zamijenili smo oduzimanje sa sabiranjem gdje god je to moguće, a ova zamjena je sačuvana za odgovor.

Identiteti. Identični jednaki izrazi

Nakon što smo pojednostavili bilo koji izraz, on postaje jednostavniji i kraći. Da bismo provjerili da li je izraz ispravno pojednostavljen, dovoljno je zamijeniti bilo koju vrijednost varijabli prvo u prethodni izraz koji je trebao biti pojednostavljen, a zatim u novi, koji je pojednostavljen. Ako je vrijednost u oba izraza ista, onda je izraz ispravno pojednostavljen.

Razmislite najjednostavniji primjer. Neka se traži da se izraz pojednostavi 2a × 7b. Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno pomnožiti brojeve i slova:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Provjerimo da li smo izraz ispravno pojednostavili. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje vrijednosti varijabli a I b prvo na prvi izraz koji je trebalo pojednostaviti, a zatim na drugi, koji je pojednostavljen.

Neka vrijednosti varijabli a , b bit će kako slijedi:

a = 4, b = 5

Zamijenite ih u prvom izrazu 2a × 7b

Sada zamijenimo iste vrijednosti varijabli u izraz koji je rezultat pojednostavljenja 2a×7b, naime u izrazu 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vidimo to kod a=4 I b=5 vrijednost prvog izraza 2a×7b i vrijednost drugog izraza 14ab jednaka

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Isto će se dogoditi i za sve druge vrijednosti. Na primjer, neka a=1 I b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Dakle, za bilo koje vrijednosti varijabli, izrazi 2a×7b I 14ab jednake su istoj vrijednosti. Takvi izrazi se nazivaju identično jednake.

To zaključujemo između izraza 2a×7b I 14ab možete staviti znak jednakosti, pošto su jednaki istoj vrijednosti.

2a × 7b = 14ab

Jednakost je svaki izraz koji je spojen znakom jednakosti (=).

I jednakost forme 2a×7b = 14ab pozvao identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli.

Drugi primjeri identiteta:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, zakoni matematike koje smo proučavali su identiteti.

Prave numeričke jednakosti su također identiteti. Na primjer:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Odlučivanje težak zadatak, da bi se olakšalo izračunavanje, složeni izraz je zamijenjen jednostavnijim izrazom koji je identično jednak prethodnom. Takva zamjena se zove identična transformacija izraza ili jednostavno konverzija izraza.

Na primjer, pojednostavili smo izraz 2a × 7b, i dobiti jednostavniji izraz 14ab. Ovo pojednostavljenje se može nazvati transformacijom identiteta.

Često možete pronaći zadatak koji kaže "dokaži da je jednakost identitet" i tada je data jednakost koju treba dokazati. Obično se ova jednakost sastoji od dva dijela: lijevog i desnog dijela jednakosti. Naš zadatak je da izvršimo identične transformacije sa jednim od dijelova jednakosti i dobijemo drugi dio. Ili izvršite identične transformacije sa oba dijela jednakosti i uvjerite se da oba dijela jednakosti sadrže iste izraze.

Na primjer, dokažimo da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.

Pojednostavite lijevu stranu ove jednakosti. Da biste to učinili, pomnožite brojeve i slova odvojeno:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2.5ab = 2.5ab

Kao rezultat male identične transformacije, lijeva strana jednakost je postala jednaka desnoj strani jednakosti. Tako smo dokazali da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.

Iz identičnih transformacija naučili smo sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti brojeve, smanjivati ​​razlomke, donositi slične članove, a također i pojednostavljivati ​​neke izraze.

Ali to su daleko od svih identičnih transformacija koje postoje u matematici. Postoji još mnogo identičnih transformacija. Videćemo ovo ponovo i ponovo u budućnosti.

Zadaci za samostalno rješavanje:

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj Vkontakte grupi i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Pojednostavljivanje algebarskih izraza jedan je od ključeva učenja algebre i izuzetno korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljenje vam omogućava da svedete složeni ili dugi izraz na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijasti u matematici. Zadržavanje nekoliko jednostavna pravila, možete pojednostaviti mnoge od najčešćih tipova algebarskih izraza bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

1. Slični članovi. To su članovi sa varijablom istog reda, članovi sa istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju jednu varijablu u istoj mjeri, uključuju nekoliko identičnih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redosled pojmova u izrazu nije bitan.

   • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 su slični termini jer sadrže varijablu "x" drugog reda (u drugom stepenu). Međutim, x i x 2 nisu slični članovi, jer sadrže varijablu "x" različitog reda (prvi i drugi). Slično, -3yx i 5xz nisu slični članovi jer sadrže različite varijable.

2. Faktorizacija. Ovo je pronalaženje takvih brojeva, čiji proizvod vodi do originalnog broja. Svaki originalni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 se može razložiti na sljedeće nizove faktora: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, pa možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori broj 12. Faktori su isti kao i djelitelji, odnosno brojevi kojima je djeljiv originalni broj.

   • Na primjer, ako želite da faktorirate broj 20, napišite ga ovako: 4×5.
   • Imajte na umu da se prilikom faktoringa varijabla uzima u obzir. Na primjer, 20x = 4(5x).
   • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli greške.

   • Zagrade
   • Stepen
   • Množenje
   • Division
   • Dodatak
   • Oduzimanje

   Casting Like Members

   1. Zapišite izraz. Protozoa algebarski izrazi(koji ne sadrže razlomke, korijene i tako dalje) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

      • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte slične članove (članove sa varijablom istog reda, članove sa istim varijablama ili slobodne članove).

      • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Termini 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prva). Također, 1 i -3 su slobodni članovi (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu, termini 2x i 4x slični su i članovi 1 i -3 takođe su slični.

   3. Navedite slične termine. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljivanje izraza.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepišite izraz uzimajući u obzir date pojmove. Dobićete jednostavan izraz sa manje pojmova. Novi izraz je jednak originalnom.

      • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno originalni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

   5. Posmatrajte redosled kojim se operacije izvode prilikom bacanja sličnih termina. U našem primjeru bilo je lako donijeti slične pojmove. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su članovi zatvoreni u zagrade i prisutni razlomci i korijeni, nije tako lako donijeti takve pojmove. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

      • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno odmah definirati 3x i 2x kao slične pojmove i citirati ih, jer prvo treba proširiti zagrade. Stoga izvršite operacije po njihovom redoslijedu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sad, kada izraz sadrži samo operacije sabiranja i oduzimanja, možete baciti slične pojmove.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Stavljanje u zagrade množitelja

   1. Pronađite najveći zajednički djelitelj (gcd) svih koeficijenata izraza. GCD je najveći broj kojim su djeljivi svi koeficijenti izraza.

      • Na primjer, razmotrite jednačinu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, gcd=3, budući da je bilo koji koeficijent ovog izraza djeljiv sa 3.

   2. Podijelite svaki član izraza sa gcd. Rezultirajući termini će sadržavati manje koeficijente nego u originalnom izrazu.

      • U našem primjeru, podijelite svaki izraz sa 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ispostavilo se izraz 3x2 + 9x-1. Nije jednak originalnom izrazu.

   3. Zapišite originalni izraz kao jednak proizvodu gcd puta rezultujućeg izraza. To jest, stavite rezultujući izraz u zagrade, a GCD izvucite iz zagrada.

      • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza izvlačenjem množitelja iz zagrada. Zašto samo izvaditi množitelj iz zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako da pojednostavite složene izraze, kao što su frakcioni izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora iz zagrada može pomoći da se riješite razlomka (od nazivnika).

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Koristite zagrade da pojednostavite ovaj izraz.
        • Odvojite faktor 3 (kao što ste ranije radili): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Imajte na umu da i brojilac i imenilac sada imaju broj 3. Ovo se može smanjiti i dobićete izraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednak brojiocu, originalni izraz razlomaka se pojednostavljuje na: 3x2 + 9x-1.

   Dodatne tehnike pojednostavljenja

4. Razmotrimo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 se može razložiti na sljedeće faktore: 9 i 10, te iz 9 izdvojiti Kvadratni korijen(3) i izvadite 3 ispod korijena.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pojednostavljivanje izraza sa potencijama. U nekim izrazima postoje operacije množenja ili dijeljenja pojmova sa stepenom. U slučaju množenja članova sa jednom osnovom, sabiraju se njihovi stepeni; u slučaju dijeljenja članova sa istom osnovom, njihovi stupnjevi se oduzimaju.

   • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). U slučaju množenja zbrojite eksponente, a u slučaju dijeljenja ih oduzmite.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje pojmova sa stepenom.
     • Množenje pojmova sa potencijama je ekvivalentno množenju pojmova sami po sebi. Na primjer, pošto je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ili x 8 .
     • Slično tome, podjela pojmova sa ovlastima je ekvivalentna podjela pojmova na sebe. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Budući da se slični članovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu smanjiti, proizvod dva "x", ili x 2, ostaje u brojniku.

• Uvijek budite svjesni znakova (plus ili minus) ispred izraza, jer mnogi ljudi imaju poteškoća pri odabiru pravog znaka.
• Zatražite pomoć ako je potrebna!
• Pojednostavljivanje algebarskih izraza nije lako, ali ako se dočepate, ovu vještinu možete koristiti cijeli život.

Bilo koji jezik može izraziti istu informaciju različite reči i promete. Matematički jezik nije izuzetak. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama, jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju dalje različitim jezicima. Za nas je važno poređenje par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije se mogu izvesti na različitim jezicima. Ali, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati različito.

Na primjer: „Petar je prijatelj sa Vasjom“, „Vasja je prijatelj sa Petjom“, „Petar i Vasja su prijatelji“. Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza shvatili bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumemo šta u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Zar ne možemo to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci"... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu devojke. Uklanjamo "dječake": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti sa "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Mi smo pojednostavili ovu frazu. Pojednostaviti znači reći lakše, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se dešava i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Šta znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz sveg tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše dalje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispostavilo se da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze, uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očigledno će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete literalne izraze, morate izvršiti sve radnje koje su moguće.

Da li je uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi proračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za dalje proračune.

Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Rješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očigledno, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja da pojednostavite proračune.

Svojstva sabiranja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo sabiranja: zbir se ne mijenja od preuređivanja članova.

2. Asocijativno svojstvo sabiranja: da biste zbiru dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbira od broja: da biste oduzeli zbir od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbirom, morate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Hajde da vidimo kako zapravo radimo mentalne proračune.

Izračunati:

Rješenje

1) Zamislite kako

2) Hajde da predstavimo prvi množilac kao zbir bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvršiti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnom sumom:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Slijedite ove korake:

1) 2)

Rješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će svaki od tri vrste linoleum? (sl. 1)

Rice. 1. Ilustracija za stanje problema

Rješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupovinu linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodati u hodnik i zbrojiti rezultirajuće radove.

Poznato je da se u matematici ne može bez pojednostavljivanja izraza. Ovo je neophodno za ispravan i brza odlukaširok spektar problema, kao i razne vrste jednačina. Razmatrano pojednostavljenje podrazumijeva smanjenje broja radnji neophodnih za postizanje cilja. Kao rezultat toga, proračuni su značajno olakšani, a vrijeme je značajno ušteđeno. Ali kako pojednostaviti izraz? Za to se koriste utvrđeni matematički odnosi, koji se često nazivaju formulama ili zakoni koji vam omogućavaju da izraze napravite mnogo kraćim, čime se pojednostavljuju proračuni.

Nije tajna da danas nije teško pojednostaviti izraz na internetu. Evo linkova do nekih od popularnijih:

Međutim, to nije moguće sa svakim izrazom. Stoga ćemo detaljnije razmotriti tradicionalne metode.

Vađenje zajedničkog djelitelja

U slučaju kada u jednom izrazu postoje monomi koji imaju iste faktore, možete pronaći zbir koeficijenata sa njima, a zatim pomnožiti sa zajedničkim faktorom za njih. Ova operacija se još naziva i "oduzimanje zajedničkog djelitelja". Dosljedno korištenje ovu metodu, ponekad je moguće značajno pojednostaviti izraz. Algebra je, uostalom, općenito, kao cjelina, izgrađena na grupisanju i pregrupisavanju faktora i djelitelja.

Najjednostavnije formule za skraćeno množenje

Jedna od posljedica prethodno opisane metode su formule reduciranog množenja. Kako uz njihovu pomoć pojednostaviti izraze mnogo je jasnije onima koji ove formule nisu ni naučili napamet, ali znaju kako su izvedene, odnosno odakle dolaze, i, shodno tome, njihovu matematičku prirodu. U principu, prethodna tvrdnja važi za svu savremenu matematiku, od prvog razreda do viših smerova mašinskog i matematičkog smera. Razlika kvadrata, kvadrat razlike i zbir, zbir i razlika kocaka - sve ove formule se široko koriste u osnovnoj, kao i višoj matematici, u slučajevima kada je potrebno pojednostaviti izraz za rješavanje problema . Primjeri takvih transformacija mogu se lako pronaći u bilo kojem školskom udžbeniku iz algebre, ili, još jednostavnije, na ogromnom svjetskom webu.

Koreni stepena

Elementarna matematika, ako je pogledate u cjelini, nije naoružana s toliko načina na koje možete pojednostaviti izraz. Stepeni i radnje sa njima, po pravilu, su relativno laki za većinu studenata. Tek sada mnogi moderni školarci i studenti imaju znatnih poteškoća kada je potrebno pojednostaviti izraz s korijenima. I potpuno je neosnovano. Zato što se matematička priroda korijena ne razlikuje od prirode istih stupnjeva, s kojima, u pravilu, ima mnogo manje poteškoća. Poznato je da kvadratni korijen broja, varijable ili izraza nije ništa drugo nego isti broj, promjenljiva ili izraz na stepen "jedne sekunde", kubni korijen je isti na stepen "jedna trećina", i tako dopisno.

Pojednostavljivanje izraza s razlomcima

Razmotrite i uobičajeni primjer kako pojednostaviti izraz s razlomcima. U slučajevima kada su izrazi prirodne frakcije, trebali biste odabrati zajednički faktor iz nazivnika i brojnika, a zatim smanjiti razlomak za njega. Kada monomi imaju iste množitelje podignute na stepene, potrebno je pratiti jednakost potencija prilikom njihovog sabiranja.

Pojednostavljenje najjednostavnijih trigonometrijskih izraza

Nešto odvojeno je razgovor o tome kako pojednostaviti trigonometrijski izraz. Najširi dio trigonometrije je, možda, prva faza u kojoj će se studenti matematike susresti sa pomalo apstraktnim pojmovima, problemima i metodama za njihovo rješavanje. Ovdje postoje odgovarajuće formule, od kojih je prva osnovni trigonometrijski identitet. Imajući dovoljan matematički način razmišljanja, može se pratiti sistematsko izvođenje iz ovog identiteta svih glavnih trigonometrijski identiteti i formule, uključujući formule za razliku i zbir argumenata, dvostruke, trostruke argumente, formule redukcije i mnoge druge. Naravno, ovdje ne treba zaboraviti prve metode, poput vađenja zajedničkog faktora, koje se u potpunosti koriste uz nove metode i formule.

Da rezimiramo, evo nekoliko općih savjeta za čitatelje:

• Polinome treba faktorisati, odnosno predstaviti u obliku proizvoda određenog broja faktora – monoma i polinoma. Ako postoji takva mogućnost, potrebno je zajednički faktor izbaciti iz zagrada.
• Bolje je zapamtiti sve formule za skraćeno množenje bez izuzetka. Nema ih toliko, ali su osnova za pojednostavljivanje matematičkih izraza. Također ne treba zaboraviti na metodu isticanja savršenih kvadrata u trinomima, što je inverzno djelovanje jednoj od skraćenih formula za množenje.
• Sve postojeće razlomke u izrazu treba smanjiti što je češće moguće. Pri tome ne zaboravite da se smanjuju samo množitelji. Kada su imenilac i brojnik algebarski razlomci pomnožene istim brojem koji je različit od nule, vrijednosti razlomaka se ne mijenjaju.
• Općenito, svi izrazi se mogu transformirati akcijama ili lancem. Prva metoda je poželjnija, jer. rezultati međudejstava se lakše proveravaju.
• Vrlo često, u matematičkim izrazima, morate izdvojiti korijene. Treba imati na umu da se korijeni parnih stupnjeva mogu izdvojiti samo iz nenegativnog broja ili izraza, a korijeni neparnih stupnjeva mogu se u potpunosti izvući iz bilo kojeg izraza ili brojeva.

Nadamo se da će vam naš članak pomoći da u budućnosti shvatite matematičke formule i naučite kako ih primijeniti u praksi.