Kako pojednostaviti matematički izraz. Online kalkulator.Pojednostavljenje polinoma.Množenje polinoma

Bilo koji jezik može izraziti istu informaciju različite reči i promet. Matematički jezik nije izuzetak. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama, jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju dalje različitim jezicima. Za nas je važno poređenje par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije se mogu izvesti na različitim jezicima. Ali, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati različito.

Na primjer: „Petar je prijatelj sa Vasjom“, „Vasja je prijatelj sa Petjom“, „Petar i Vasja su prijatelji“. Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza shvatili bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumemo šta u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Zar ne možemo to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci"... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu devojke. Uklanjamo "dječake": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti sa "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Mi smo pojednostavili ovu frazu. Pojednostaviti znači reći lakše, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se dešava i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Šta znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz sveg tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše dalje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispostavilo se da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze, uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očigledno će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete literalne izraze, morate izvršiti sve radnje koje su moguće.

Da li je uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi proračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za dalje proračune.

Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Rješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očigledno, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja da pojednostavite proračune.

Svojstva sabiranja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo sabiranja: zbir se ne mijenja od preuređivanja članova.

2. Asocijativno svojstvo sabiranja: da biste zbiru dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbira od broja: da biste oduzeli zbir od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbirom, morate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Hajde da vidimo kako zapravo radimo mentalne proračune.

Izračunati:

Rješenje

1) Zamislite kako

2) Hajde da predstavimo prvi množilac kao zbir bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvršiti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnom sumom:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Slijedite ove korake:

1) 2)

Rješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će svaki od tri vrste linoleum? (sl. 1)

Rice. 1. Ilustracija za stanje problema

Rješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupovinu linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodati u hodnik i zbrojiti rezultirajuće radove.

Poznato je da se u matematici ne može bez pojednostavljivanja izraza. Ovo je neophodno za ispravan i brza odlukaširok spektar problema, kao i razne vrste jednačina. Razmatrano pojednostavljenje podrazumijeva smanjenje broja radnji neophodnih za postizanje cilja. Kao rezultat toga, proračuni su značajno olakšani, a vrijeme je značajno ušteđeno. Ali kako pojednostaviti izraz? Za to se koriste utvrđeni matematički odnosi, koji se često nazivaju formulama ili zakoni koji vam omogućavaju da izraze napravite mnogo kraćim, čime se pojednostavljuju proračuni.

Nije tajna da danas nije teško pojednostaviti izraz na internetu. Evo linkova do nekih od popularnijih:

Međutim, to nije moguće sa svakim izrazom. Stoga ćemo detaljnije razmotriti tradicionalne metode.

Vađenje zajedničkog djelitelja

U slučaju kada u jednom izrazu postoje monomi koji imaju iste faktore, možete pronaći zbir koeficijenata sa njima, a zatim pomnožiti sa zajedničkim faktorom za njih. Ova operacija se još naziva i "oduzimanje zajedničkog djelitelja". Dosljedno korištenje ovu metodu, ponekad je moguće značajno pojednostaviti izraz. Algebra je, uostalom, općenito, kao cjelina, izgrađena na grupisanju i pregrupisavanju faktora i djelitelja.

Najjednostavnije formule za skraćeno množenje

Jedna od posljedica prethodno opisane metode su formule reduciranog množenja. Kako uz njihovu pomoć pojednostaviti izraze mnogo je jasnije onima koji ove formule nisu ni naučili napamet, ali znaju kako su izvedene, odnosno odakle dolaze, i, shodno tome, njihovu matematičku prirodu. U principu, prethodna tvrdnja važi za svu savremenu matematiku, od prvog razreda do viših smerova mašinskog i matematičkog smera. Razlika kvadrata, kvadrat razlike i zbir, zbir i razlika kocaka - sve ove formule se široko koriste u osnovnoj, kao i višoj matematici, u slučajevima kada je potrebno pojednostaviti izraz za rješavanje problema . Primjeri takvih transformacija mogu se lako pronaći u bilo kojem školskom udžbeniku iz algebre, ili, još jednostavnije, na ogromnom svjetskom webu.

Koreni stepena

Elementarna matematika, ako je pogledate u cjelini, nije naoružana s toliko načina na koje možete pojednostaviti izraz. Stepeni i radnje sa njima, po pravilu, su relativno laki za većinu studenata. Tek sada mnogi moderni školarci i studenti imaju znatnih poteškoća kada je potrebno pojednostaviti izraz s korijenima. I potpuno je neosnovano. Zato što se matematička priroda korijena ne razlikuje od prirode istih stupnjeva, s kojima, u pravilu, ima mnogo manje poteškoća. To je poznato Kvadratni korijen broja, varijable ili izraza nije ništa drugo do isti broj, varijabla ili izraz podignut na stepen jedne polovine, kubni korijen je isti na stepen jedne trećine, i tako dalje prema korespondenciji.

Pojednostavljivanje izraza s razlomcima

Razmotrite i uobičajeni primjer kako pojednostaviti izraz s razlomcima. U slučajevima kada su izrazi prirodne frakcije, trebali biste odabrati zajednički faktor iz nazivnika i brojnika, a zatim smanjiti razlomak za njega. Kada monomi imaju iste množitelje podignute na stepene, potrebno je pratiti jednakost potencija prilikom njihovog sabiranja.

Pojednostavljenje najjednostavnijih trigonometrijskih izraza

Nešto odvojeno je razgovor o tome kako pojednostaviti trigonometrijski izraz. Najširi dio trigonometrije je, možda, prva faza u kojoj će se studenti matematike susresti sa pomalo apstraktnim pojmovima, problemima i metodama za njihovo rješavanje. Ovdje postoje odgovarajuće formule, od kojih je prva osnovni trigonometrijski identitet. Imajući dovoljan matematički način razmišljanja, može se pratiti sistematsko izvođenje iz ovog identiteta svih glavnih trigonometrijski identiteti i formule, uključujući formule za razliku i zbir argumenata, dvostruke, trostruke argumente, formule redukcije i mnoge druge. Naravno, ovdje ne treba zaboraviti prve metode, poput vađenja zajedničkog faktora, koje se u potpunosti koriste uz nove metode i formule.

Da rezimiramo, evo nekoliko općih savjeta za čitatelje:

• Polinome treba faktorisati, odnosno predstaviti u obliku proizvoda određenog broja faktora – monoma i polinoma. Ako postoji takva mogućnost, potrebno je zajednički faktor izbaciti iz zagrada.
• Bolje je zapamtiti sve formule za skraćeno množenje bez izuzetka. Nema ih toliko, ali su osnova za pojednostavljivanje matematičkih izraza. Također ne treba zaboraviti na metodu isticanja savršenih kvadrata u trinomima, što je inverzno djelovanje jednoj od skraćenih formula za množenje.
• Sve postojeće razlomke u izrazu treba smanjiti što je češće moguće. Pri tome ne zaboravite da se smanjuju samo množitelji. Kada su imenilac i brojnik algebarski razlomci pomnožene istim brojem koji je različit od nule, vrijednosti razlomaka se ne mijenjaju.
• Općenito, svi izrazi se mogu transformirati akcijama ili lancem. Prva metoda je poželjnija, jer. rezultati međudejstava se lakše proveravaju.
• Vrlo često, u matematičkim izrazima, morate izdvojiti korijene. Treba imati na umu da se korijeni parnih stupnjeva mogu izdvojiti samo iz nenegativnog broja ili izraza, a korijeni neparnih stupnjeva mogu se u potpunosti izvući iz bilo kojeg izraza ili brojeva.

Nadamo se da će vam naš članak pomoći da u budućnosti shvatite matematičke formule i naučite kako ih primijeniti u praksi.

Često je u zadacima potrebno dati pojednostavljen odgovor. Iako su i pojednostavljeni i nepojednostavljeni odgovori tačni, vaš instruktor može smanjiti vašu ocjenu ako ne pojednostavite svoj odgovor. Štaviše, sa pojednostavljenim matematičkim izrazom je mnogo lakše raditi. Stoga je veoma važno naučiti kako pojednostaviti izraze.

Koraci

Ispravan redoslijed matematičkih operacija

1. Zapamtite ispravan redoslijed izvođenja matematičkih operacija. Prilikom pojednostavljivanja matematičkog izraza, mora se slijediti određeni redoslijed, jer neke matematičke operacije imaju prednost nad drugima i moraju se obaviti prve (u stvari, nepoštivanje ispravnog redoslijeda operacija će vas dovesti do pogrešnog rezultata). Zapamtite sljedeći redoslijed matematičkih operacija: izraz u zagradama, stepenovanje, množenje, dijeljenje, sabiranje, oduzimanje.

   • Imajte na umu da će vam poznavanje ispravnog redoslijeda operacija omogućiti da pojednostavite većinu najjednostavnijih izraza, ali da biste pojednostavili polinom (izraz s promjenljivom) morate znati posebne trikove (pogledajte sljedeći odjeljak).

2. Počnite rješavanjem izraza u zagradama. U matematici, zagrade označavaju da se priloženi izraz mora prvo procijeniti. Stoga, kada pojednostavljujete bilo koji matematički izraz, počnite rješavanjem izraza zatvorenog u zagradama (nije bitno koje operacije trebate izvesti unutar zagrada). Ali zapamtite da kada radite s izrazom zatvorenim u zagradama, trebate slijediti redoslijed operacija, to jest, pojmovi u zagradama se prvo množe, dijele, sabiraju, oduzimaju itd.

   • Na primjer, pojednostavimo izraz 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Ovdje počinjemo s izrazima u zagradama: 5 + 2 = 7 i 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Izraz u drugom paru zagrada se pojednostavljuje na 5 jer se prvo mora podijeliti 4/2 (prema ispravnom redoslijedu operacija). Ako ne slijedite ovaj redoslijed, dobit ćete pogrešan odgovor: 3 + 4 = 7 i 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Ako postoji još jedan par zagrada unutar zagrada, započnite pojednostavljenje rješavanjem izraza u unutrašnjim zagradama, a zatim prijeđite na rješavanje izraza u vanjskim zagradama.

3. Podigni na potenciju. Nakon što riješite izraze u zagradama, prijeđite na dizanje na stepen (zapamtite da stepen ima eksponent i bazu). Podignite odgovarajući izraz (ili broj) na stepen i zamenite rezultat u izraz koji vam je dat.

   • U našem primjeru, jedini izraz (broj) na stepenu je 3 2: 3 2 = 9. U izrazu koji vam je dat, zamijenite 9 umjesto 3 2 i dobit ćete: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Pomnožite. Zapamtite da se operacija množenja može označiti sljedećim simbolima: "x", "∙" ili "*". Ali ako nema simbola između broja i varijable (na primjer, 2x) ili između broja i broja u zagradama (na primjer, 4(7)), onda je to također operacija množenja.

   • U našem primjeru postoje dvije operacije množenja: 2x (dva puta x) i 4(7) (četiri puta sedam). Ne znamo vrijednost x, pa ćemo ostaviti izraz 2x kakav jeste. 4(7) \u003d 4 x 7 = 28. Sada možete prepisati izraz koji vam je dat ovako: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Podijelite. Zapamtite da se operacija dijeljenja može označiti sljedećim simbolima: "/", "÷" ili "-" (posljednji simbol možete vidjeti u razlomcima). Na primjer, 3/4 je tri podijeljeno sa četiri.

   • U našem primjeru više nema dijeljenja jer ste već podijelili 4 sa 2 (4/2) prilikom rješavanja izraza u zagradi. Stoga možete preći na sljedeći korak. Zapamtite da većina izraza nema sve matematičke operacije odjednom (samo neke od njih).

6. Uspravljanje. Kada dodajete pojmove izraza, možete početi s krajnjim (lijevim) pojmom ili prvo možete dodati one pojmove koji se lako sabiraju. Na primjer, u izrazu 49 + 29 + 51 +71 prvo je lakše dodati 49 + 51 = 100, zatim 29 + 71 = 100 i na kraju 100 + 100 = 200. Mnogo je teže sabrati ovako : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • U našem primjeru 2x + 28 + 9 + 5, postoje dvije operacije sabiranja. Počnimo s najekstremnijim (lijevim) pojmom: 2x + 28; ne možete sabrati 2x i 28 jer ne znate vrijednost x. Dakle, dodajte 28 + 9 = 37. Sada se izraz može prepisati na sljedeći način: 2x + 37 - 5.

7. Oduzmi. Ovo je posljednja operacija u pravi red izvoditi matematičke operacije. U ovoj fazi možete dodati i negativne brojeve, ili to možete učiniti u fazi dodavanja članova - to ni na koji način neće utjecati na konačni rezultat.

   • U našem primjeru 2x + 37 - 5, postoji samo jedna operacija oduzimanja: 37 - 5 = 32.

8. U ovoj fazi, nakon što ste obavili sve matematičke operacije, trebali biste dobiti pojednostavljeni izraz. Ali ako izraz koji vam je dat sadrži jednu ili više varijabli, zapamtite da će član s varijablom ostati onakav kakav jeste. Rješavanje (umjesto pojednostavljenja) izraza s promjenljivom uključuje pronalaženje vrijednosti te varijable. Ponekad se izrazi sa promenljivom mogu pojednostaviti korišćenjem posebne metode(vidi sljedeći odjeljak).

   • U našem primjeru, konačni odgovor je 2x + 32. Ne možete dodati dva člana dok ne znate vrijednost x. Jednom kada znate vrijednost varijable, lako možete pojednostaviti ovaj binom.

   Pojednostavljivanje složenih izraza

   1. Dodavanje sličnih članova. Zapamtite da možete oduzimati i sabirati samo slične članove, odnosno članove sa istom varijablom i istim eksponentom. Na primjer, možete dodati 7x i 5x, ali ne možete dodati 7x i 5x 2 (jer su eksponenti ovdje različiti).

      • Ovo pravilo se također primjenjuje na članove s više varijabli. Na primjer, možete dodati 2xy 2 i -3xy 2 , ali ne možete dodati 2xy 2 i -3x 2 y ili 2xy 2 i -3y 2 .
      • Razmotrimo primjer: x 2 + 3x + 6 - 8x. Ovdje su slični pojmovi 3x i 8x, tako da se mogu sabrati. Pojednostavljeni izraz izgleda ovako: x 2 - 5x + 6.

   2. Pojednostavite broj. U takvom razlomku i brojnik i imenilac sadrže brojeve (bez varijable). Brojčani razlomak se pojednostavljuje na nekoliko načina. Prvo, samo podijelite imenilac sa brojnikom. Drugo, razdijelite brojilac i nazivnik i poništite iste faktore (jer kada podijelite broj sam sa sobom, dobijete 1). Drugim riječima, ako i brojnik i nazivnik imaju isti faktor, možete ga odbaciti i dobiti pojednostavljeni razlomak.

      • Na primjer, razmotrite razlomak 36/60. Koristeći kalkulator, podijelite 36 sa 60 i dobijete 0,6. Ali ovaj razlomak možete pojednostaviti na drugi način tako što ćete rastaviti brojnik i imenilac: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Budući da je 6/6 \u003d 1, onda je pojednostavljeni razlomak: 1 x 6/10 = 6/10. Ali ovaj se razlomak također može pojednostaviti: 6/10 = (2x3) / (2 * 5) = (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Ako razlomak sadrži varijablu, možete smanjiti iste faktore s promjenljivom. Faktorite i brojnik i imenilac i poništite iste faktore čak i ako sadrže varijablu (zapamtite da ovdje isti faktori mogu, ali ne moraju sadržavati varijablu).

      • Razmotrimo primjer: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Ovaj izraz se može prepisati (faktorisati) kao: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Pošto je 3x član i u brojniku i u nazivniku, može se smanjiti da dobijete pojednostavljeni izraz: (x + 1)/(5 - x). Razmotrimo još jedan primjer: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Imajte na umu da ne možete poništiti nijedan izraz - poništavaju se samo isti faktori koji su prisutni i u brojniku i u nazivniku. Na primjer, u izrazu (x(x + 2))/x, varijabla (množitelj) "x" je i u brojniku i u nazivniku, tako da se "x" može smanjiti i dobiti pojednostavljeni izraz: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Međutim, u izrazu (x + 2)/x, varijabla "x" se ne može smanjiti (jer u brojniku "x" nije faktor).

   4. Otvorena zagrada. Da biste to učinili, pomnožite pojam izvan zagrade sa svakim članom u zagradi. Ponekad pomaže da se pojednostavi složeni izraz. Ovo se odnosi i na članove koji jesu primarni brojevi, i na članove koji sadrže varijablu.

      • Na primjer, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 i 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Imajte na umu da u frakcijskim izrazima zagrade nije potrebno otvarati ako i brojnik i nazivnik sadrže isti faktor. Na primjer, u izrazu (3(x 2 + 8)) / 3x ne morate širiti zagrade, jer ovdje možete smanjiti faktor 3 i dobiti pojednostavljeni izraz (x 2 + 8) / x. Sa ovim izrazom je lakše raditi; ako proširite zagrade, dobili biste sljedeći složeni izraz: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktorizirajte polinome. Koristeći ovu metodu, možete pojednostaviti neke izraze i polinome. Faktoring je suprotnost proširenju zagrada, odnosno izraz se piše kao proizvod dva izraza, od kojih je svaki u zagradi. U nekim slučajevima, faktoring vam omogućava da skratite isti izraz. U posebnim slučajevima (obično kvadratne jednačine) faktoring će vam omogućiti da riješite jednačinu.

      • Razmotrimo izraz x 2 - 5x + 6. On se rastavlja na faktore: (x - 3) (x - 2). Dakle, ako je, na primjer, dat izraz (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), onda ga možete prepisati kao (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), smanjite izraz (x - 2) i dobijete pojednostavljeni izraz (x - 3) / 2.
      • Faktoring polinoma se koristi za rješavanje (pronalaženje korijena) jednačina (jednačina je polinom izjednačen sa 0). Na primjer, uzmite u obzir jednačinu x 2 - 5x + 6 = 0. Faktorizirajući je u faktore, dobivate (x - 3) (x - 2) = 0. Pošto je bilo koji izraz pomnožen sa 0 0, možemo ga napisati ovako: x - 3 = 0 i x - 2 = 0. Dakle, x = 3 i x = 2, to jest, pronašli ste dva korijena date jednadžbe.

Pojednostavljivanje algebarskih izraza jedan je od ključeva učenja algebre i izuzetno korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljenje vam omogućava da svedete složeni ili dugi izraz na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijasti u matematici. Zadržavanje nekoliko jednostavna pravila, možete pojednostaviti mnoge od najčešćih tipova algebarskih izraza bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

1. Slični članovi. To su članovi sa varijablom istog reda, članovi sa istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju jednu varijablu u istoj mjeri, uključuju nekoliko identičnih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redosled pojmova u izrazu nije bitan.

   • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 su slični termini jer sadrže varijablu "x" drugog reda (u drugom stepenu). Međutim, x i x 2 nisu slični članovi, jer sadrže varijablu "x" različitog reda (prvi i drugi). Slično, -3yx i 5xz nisu slični članovi jer sadrže različite varijable.

2. Faktorizacija. Ovo je pronalaženje takvih brojeva, čiji proizvod vodi do originalnog broja. Svaki originalni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 se može razložiti na sljedeće nizove faktora: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, tako da možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori broj 12. Faktori su isti kao i djelitelji, odnosno brojevi kojima je djeljiv originalni broj.

   • Na primjer, ako želite da faktorirate broj 20, napišite ga ovako: 4×5.
   • Imajte na umu da se prilikom faktoringa varijabla uzima u obzir. Na primjer, 20x = 4(5x).
   • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli greške.

   • Zagrade
   • Stepen
   • Množenje
   • Division
   • Dodatak
   • Oduzimanje

   Casting Like Members

   1. Zapišite izraz. Protozoa algebarski izrazi(koji ne sadrže razlomke, korijene i tako dalje) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

      • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte slične članove (članove sa varijablom istog reda, članove sa istim varijablama ili slobodne članove).

      • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Termini 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prva). Također, 1 i -3 su slobodni članovi (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu, termini 2x i 4x slični su i članovi 1 i -3 takođe su slični.

   3. Dajte slične članove. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljivanje izraza.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepišite izraz uzimajući u obzir date članove. Dobićete jednostavan izraz sa manje pojmova. Novi izraz je jednak originalnom.

      • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno originalni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

   5. Posmatrajte redosled kojim se operacije izvode prilikom bacanja sličnih termina. U našem primjeru bilo je lako donijeti slične pojmove. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su članovi zatvoreni u zagrade, a prisutni su razlomci i korijeni, nije tako lako donijeti takve pojmove. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

      • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno odmah definirati 3x i 2x kao slične pojmove i citirati ih, jer prvo treba proširiti zagrade. Stoga izvršite operacije po njihovom redoslijedu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sad, kada izraz sadrži samo operacije sabiranja i oduzimanja, možete baciti slične pojmove.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Stavljanje u zagrade množitelja

   1. Pronađite najveći zajednički djelitelj (gcd) svih koeficijenata izraza. GCD je najveći broj kojim su djeljivi svi koeficijenti izraza.

      • Na primjer, razmotrite jednačinu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, gcd=3, budući da je bilo koji koeficijent ovog izraza djeljiv sa 3.

   2. Podijelite svaki član izraza sa gcd. Rezultirajući termini će sadržavati manje koeficijente nego u originalnom izrazu.

      • U našem primjeru, podijelite svaki izraz sa 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ispostavilo se izraz 3x2 + 9x-1. Nije jednak originalnom izrazu.

   3. Zapišite originalni izraz kao jednak proizvodu gcd puta rezultujućeg izraza. To jest, stavite rezultujući izraz u zagrade, a GCD izvucite iz zagrada.

      • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza izvlačenjem množitelja iz zagrada. Zašto samo izvaditi množitelj iz zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako da pojednostavite složene izraze, kao što su frakcioni izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora iz zagrada može pomoći da se riješite razlomka (od nazivnika).

      • Na primjer, razmotrite frakcijski izraz (9x 2 + 27x - 3)/3. Koristite zagrade da pojednostavite ovaj izraz.
        • Odvojite faktor 3 (kao što ste ranije radili): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Imajte na umu da i brojilac i imenilac sada imaju broj 3. Ovo se može smanjiti i dobićete izraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednak brojiocu, originalni izraz razlomaka se pojednostavljuje na: 3x2 + 9x-1.

   Dodatne tehnike pojednostavljenja

4. Razmotrimo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 se može razložiti na sljedeće faktore: 9 i 10, a od 9 uzeti kvadratni korijen (3) i izvaditi 3 ispod korijena.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pojednostavljivanje izraza sa potencijama. U nekim izrazima postoje operacije množenja ili dijeljenja pojmova sa stepenom. U slučaju množenja članova sa jednom osnovom, sabiraju se njihovi stepeni; u slučaju dijeljenja članova sa istom osnovom, njihovi stupnjevi se oduzimaju.

   • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). U slučaju množenja zbrojite eksponente, a u slučaju dijeljenja ih oduzmite.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje pojmova sa stepenom.
     • Množenje pojmova sa potencijama je ekvivalentno množenju pojmova sami po sebi. Na primjer, pošto je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ili x 8 .
     • Slično tome, podjela pojmova sa ovlastima je ekvivalentna podjela pojmova na sebe. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Budući da se slični članovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu smanjiti, proizvod dva "x", ili x 2, ostaje u brojniku.

• Uvijek budite svjesni znakova (plus ili minus) ispred izraza, jer mnogi ljudi imaju poteškoća pri odabiru pravog znaka.
• Zatražite pomoć ako je potrebna!
• Pojednostavljivanje algebarskih izraza nije lako, ali ako se dočepate, ovu vještinu možete koristiti cijeli život.

Uz pomoć bilo kojeg jezika možete izraziti istu informaciju različitim riječima i frazama. Matematički jezik nije izuzetak. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama, jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju na različitim jezicima. Za nas je važno poređenje par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije se mogu izvesti na različitim jezicima. Ali, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati različito.

Na primjer: „Petar je prijatelj sa Vasjom“, „Vasja je prijatelj sa Petjom“, „Petar i Vasja su prijatelji“. Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza shvatili bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo šta je u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Zar ne možemo to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci"... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu devojke. Uklanjamo "dječake": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti sa "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Mi smo pojednostavili ovu frazu. Pojednostaviti znači reći lakše, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se dešava i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Šta znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz sveg tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše dalje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispostavilo se da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze, uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očigledno će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete literalne izraze, morate izvršiti sve radnje koje su moguće.

Da li je uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi proračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za dalje proračune.

Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Rješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očigledno, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja da pojednostavite proračune.

Svojstva sabiranja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo sabiranja: zbir se ne mijenja od preuređivanja članova.

2. Asocijativno svojstvo sabiranja: da biste zbiru dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbira od broja: da biste oduzeli zbir od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbirom, morate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Hajde da vidimo kako zapravo radimo mentalne proračune.

Izračunati:

Rješenje

1) Zamislite kako

2) Hajde da predstavimo prvi množilac kao zbir bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvršiti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnom sumom:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Slijedite ove korake:

1) 2)

Rješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (sl. 1)

Rice. 1. Ilustracija za stanje problema

Rješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupovinu linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodati u hodnik i zbrojiti rezultirajuće radove.