Istraživački rad: “Istorija nastanka kvadratnih jednačina.”
Iz istorije kvadratnih jednačina Autor: učenica 9. „A“ razreda Svetlana Radčenko Rukovodilac: Alabugina I.A. nastavnik matematike MBOU „Srednja škola br. 5 Guryevsk“ Kemerovska oblast Predmetna oblast prezentacije: matematika Napravljeno da pomogne nastavniku Ukupno 20 slajdova Sadržaj Uvod………………………………………………………… …………… ……………3 Iz istorije nastanka kvadratne jednačine Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu………………………………….4 Kvadratne jednadžbe u Indiji………………………………………………………………………5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khorezmi……………………………………………………6 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe………….7 Kvadratne jednadžbe u Evropa Xll – XVIII stoljeće ………………………………………….8 3. Kvadratne jednadžbe danas……………………………………………………….10 Metodologija za proučavanje kvadratnih jednačina………………………………………………11 10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi………………………………………….12 Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi………… ………………13 Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi ……………………………..14 Rješavanje zadatih kvadratnih jednadžbi ……………………………………………15 4. Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema…………………………………………………………………………………………………….16 5. Zaključak. …………………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Spisak referenci ………… ……………………………………………………… 19 2 Uvod Smatrajte nesrećnim taj dan ili sat u kojem niste naučili ništa novo, niste ništa dodali svom obrazovanju. Jan Amos Komenski 3 Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Široko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Kvadratne jednačine zauzimaju vodeće mjesto u školskom kursu algebre. Mnogo vremena u školskom kursu matematike posvećeno je njihovom učenju. U osnovi, kvadratne jednadžbe služe specifičnim praktičnim svrhama. Većina problema o prostornim oblicima i kvantitativnim odnosima u stvarnom svijetu svodi se na rješavanje razne vrste jednadžbe, uključujući kvadratne. Savladavajući načine za njihovo rješavanje, ljudi pronalaze odgovore na razna pitanja iz nauke i tehnologije. Iz istorije nastanka kvadratnih jednačina Drevni Babilon: već oko 2000 godina pre nove ere, Babilonci su znali kako da rešavaju kvadratne jednačine. Poznate su metode za rješavanje potpunih i nepotpunih kvadratnih jednadžbi. Na primjer, u Drevnom Babilonu su riješene sljedeće kvadratne jednačine: 4 Indija Problemi riješeni kvadratnim jednadžbama nalaze se u raspravi o astronomiji "Aryabhattiam", koju je napisao indijski astronom i matematičar Aryabhatta 499. godine. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta, iznio je univerzalno pravilo za rješavanje kvadratne jednačine svedene na njen kanonski oblik: ax2+bx=c; Štaviše, pretpostavljeno je da svi koeficijenti u njemu, osim „a“, mogu biti negativni. Pravilo koje je formulisao naučnik u suštini se poklapa sa savremenim. 5 Kvadratne jednadžbe u Al-Khorezmi: U algebarskoj raspravi Al-Khorezmi, data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način: „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.; „Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. ax2 = c; “Korijeni su jednaki broju”, tj. ax = c; "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax2 + c = bx; „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c; “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c = ax2. 6 Kako je Diofant sastavljao i rešavao kvadratne jednačine: Jedan od najunikatnijih starogrčkih matematičara bio je Diofant iz Aleksandrije. Ni godina rođenja ni datum Diofantove smrti nisu razjašnjeni; Veruje se da je živeo u 3. veku. AD Od Diofantovih djela najvažnije je Aritmetika, od kojih je do danas sačuvano 13 knjiga samo 6. Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepeni. Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje. 7 Kvadratne jednačine u Evropi u 12.-17. veku: Italijanski matematičar Leonard Fibonači samostalno je razvio neke nove algebarske primere rešavanja problema i bio je prvi u Evropi koji je uveo negativne brojeve. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bh = s za sve moguće kombinacije predznaka i koeficijenata b, c formulisao je u Evropi 1544. Michael Stiefel. 8 Francois Viet Francuski matematičar F. Viet (1540-1603), uveo sistem algebarskih simbola, razvio osnove elementarne algebre. Bio je jedan od prvih koji je brojeve označavao slovima, što je značajno razvilo teoriju jednačina. Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opšti pogled Viet ga ima, ali Viet je prepoznao samo pozitivne korijene. 9 Kvadratne jednačine danas Sposobnost rješavanja kvadratnih jednačina služi kao osnova za rješavanje drugih jednačina i njihovih sistema. Učenje rješavanja jednadžbi počinje s njihovim najjednostavnijim tipovima, a program određuje postupno gomilanje i njihovih vrsta i „fonda“ identičnih i ekvivalentnih transformacija, uz pomoć kojih možete svesti proizvoljnu jednadžbu na najjednostavniju. U tom pravcu treba graditi i proces razvoja generalizovanih tehnika za rešavanje jednačina u školskom kursu algebre. U srednjoškolskom matematičkom kursu učenici se suočavaju sa novim klasama jednačina, sistema ili sa detaljnim proučavanjem već poznatih jednačina. posvećena metodama rješavanja kvadratnih jednačina, koje postaju poseban predmet proučavanja. Ovu temu karakteriše velika dubina izlaganja i bogatstvo veza uspostavljenih uz njenu pomoć u nastavi, te logična valjanost izlaganja. Stoga zauzima izuzetan položaj u nizu jednačina i nejednačina. Važna tačka u proučavanju kvadratnih jednačina je razmatranje Vietine teoreme, koja navodi postojanje veze između korena i koeficijenata redukovane kvadratne jednačine. Poteškoće savladavanja Vietine teoreme nastaju zbog nekoliko okolnosti. Prije svega, potrebno je uzeti u obzir razliku između direktne i inverzne teoreme. 11 10 načina rješavanja kvadratnih jednačina: Faktoriranje lijeve strane jednačine. Metoda za odabir cijelog kvadrata. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću formule. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Rješavanje jednadžbi metodom “bacanja” Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. Grafičko rješenje kvadratne jednadžbe. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću šestara i ravnala. 12 Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednačina 1) ako jednačina ima oblik ax2 = 0, tada ima jedan korijen x = 0; 2) ako jednačina ima oblik ax2 + bx = 0, tada se koristi metoda faktorizacije: x (ax + b) = 0; to znači ili x = 0 ili ax + b = 0. Kao rezultat, dobijamo dva korijena: x1 = 0; x2 = 3) ako jednačina ima oblik ax2 + c = 0, onda se transformiše u oblik ax2 = - c, a zatim x2.= U slučaju kada je -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdje je m>0, jednadžba x2 = m ima dva korijena. 13 Algoritam za rješavanje potpune kvadratne jednačine. To su jednadžbe oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b, c dati brojevi, a ≠ 0, x je nepoznanica. Svaka potpuna kvadratna jednadžba se može pretvoriti u oblik kako bi se odredio broj korijena kvadratne jednadžbe i pronašli ti korijeni. Razmatraju se sljedeći slučajevi rješavanja potpunih kvadratnih jednačina: D< 0, D = 0, D >0. 1. Ako je D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, tada kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0 ima dva korijena, koji se nalaze po formulama: ; 14 Rješenje reduciranih kvadratnih jednadžbi F. Vietin teorem: Zbir korijena redukovane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Drugim riječima, ako su x1 i x2 korijeni jednačine x2 +px + q = 0, tada je x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Inverzna teorema Vietinoj teoremi: Ako formule (*) vrijede za brojeve x1, x2, p, q, tada su x1 i x2 korijeni jednadžbe x2 + px + q = 0. 15 Praktične primjene kvadratnih jednadžbi za rješavanje primijenjenih problema Bhaskar (1114-1185) - najveći indijski matematičar i astronom 12. stoljeća. Bio je na čelu astronomske opservatorije u Ujjainu. Bhaskara je napisao raspravu "Siddhanta-shiromani" ("Kruna učenja"), koja se sastoji od četiri dijela: "Lilavati" je posvećen aritmetici, "Bizhaganita" - algebri, "Goladhaya" - sferi, "Granhaganita" - teorija kretanja planeta. Bhaskara je dobio negativne korijene jednadžbi, iako je sumnjao u njihov značaj. Posjeduje jedan od najranijih dizajna vječnog motora. 16 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. vijeka. Bhaskara: Bhaskarino rješenje pokazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni. 17 Zaključak Razvoj nauke o rješavanju kvadratnih jednačina prošao je dug i trnovit put. Tek nakon djela Stiefela, Viete, Tartaglie, Cardana, Bombellija, Girarda, Descartesa i Newtona, nauka o rješavanju kvadratnih jednačina prihvatila je moderan izgled. Značaj kvadratnih jednačina nije samo u eleganciji i kratkoći rješavanja problema, iako je i to vrlo važno. Jednako je važno da se kao rezultat upotrebe kvadratnih jednadžbi u rješavanju problema često otkrivaju novi detalji, mogu se napraviti zanimljive generalizacije i pojašnjenja, što sugerira analiza rezultirajućih formula i relacija. Proučavajući literaturu i internet resurse vezane za istoriju razvoja kvadratnih jednačina, zapitao sam se: „Šta je motivisalo naučnike koji su živeli u tako teškom vremenu da se bave naukom, čak i pod pretnjom smrću?“ Vjerovatno je, prije svega, radoznalost ljudskog uma, koja je ključ razvoja nauke. Pitanja o suštini svijeta, o mjestu čovjeka na ovom svijetu progone misli, radoznale, inteligentne ljude u svakom trenutku. Ljudi su oduvijek nastojali razumjeti sebe i svoje mjesto u svijetu. Pogledajte u sebe, možda vaša prirodna radoznalost pati jer ste se prepustili svakodnevici i lijenosti? Sudbine mnogih naučnika su 18 primjera koje treba slijediti. Nisu sva imena poznata i popularna. Razmislite o tome: kakav sam prema ljudima koji su mi bliski? Ali najvažnije je kako se osjećam o sebi, da li sam vrijedan poštovanja? Razmislite o tome... Literatura 1. Zvavich L.I. “Algebra 8. razred”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ enciklopedijski rječnik mladi matematičar”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Algebra 8. razred”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Hvala tebi za pažnju 20
Predstavnici raznih civilizacija: Drevni Egipat, Drevni Babilon, Ancient Greece, Ancient India, Ancient China, Srednjovjekovni Istok, Evropa ovladao tehnikama rješavanja kvadratnih jednačina.
Po prvi put, matematičari starog Egipta uspjeli su riješiti kvadratnu jednačinu. Jedan od matematičkih papirusa sadrži sljedeći problem:
“Pronađi stranice polja u obliku pravougaonika ako je njegova površina 12, a dužine jednake njegovoj širini.” „Dužina polja je 4“, piše na papirusu.
Prošli su milenijumi, a negativni brojevi su ušli u algebru. Rješavajući jednačinu x²= 16, dobijamo dva broja: 4, –4.
Naravno, u egipatskom problemu uzeli bismo X = 4, pošto dužina polja može biti samo pozitivna veličina.
Izvori koji su do nas došli ukazuju da su drevni naučnici imali neke opšte tehnike za rešavanje problema sa nepoznatim količinama. Pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina izneseno u babilonskim tekstovima u suštini je isto kao i moderno, ali nije poznato kako su Babilonci „došli ovako daleko“. Ali u gotovo svim pronađenim papirusima i klinopisnim tekstovima dati su samo problemi s rješenjima. Autori su svoje numeričke proračune samo povremeno dopunili štedljivim komentarima kao što su: „Vidi!“, „Uradi ovo!“, „Pronašao si pravog!“
Grčki matematičar Diofant je sastavio i riješio kvadratne jednačine. Njegova Aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.
Problemi sa sastavljanjem kvadratnih jednačina nalaze se već u astronomskoj raspravi “Aria-bhatiam”, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta.
Još jedan indijski naučnik Brahmagupta (7. vek) je naveo opšte pravilo rješavanje kvadratnih jednadžbi oblika ax² + bx = c.
U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce pomračuje zvijezde svojim sjajem, tako ucen covek pomračiće slavu drugog narodne skupštine, predlaganje i rješavanje algebarskih zadataka.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.
Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. bhaskari:
Jato žustrih majmuna
Pojevši do mile volje, zabavio sam se.
Osmi dio njih na trgu se zabavljao na čistini.
I dvanaestorica na lozama...počeše da skaču, visi...
Koliko je majmuna bilo?
Reci mi, u ovom paketu?
Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.
Najstariji kineski matematički tekstovi koji su došli do nas datiraju s kraja 1. stoljeća. BC. U II veku. BC. Matematika u devet knjiga je napisana. Kasnije, u 7. veku, uvršten je u zbirku „Deset klasičnih rasprava“, koja se proučavala dugi niz vekova. Rasprava "Matematika u devet knjiga" objašnjava kako se izvlači Kvadratni korijen koristeći formulu za kvadrat zbira dva broja.
Metoda se zvala "Tian Yuan" (bukvalno " nebeski element") - ovako su Kinezi označavali nepoznatu količinu.
Prvi priručnik za rješavanje problema koji je postao široko poznat bio je rad bagdadskog naučnika iz 9. stoljeća. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Riječ "al-jabr" vremenom se pretvorila u dobro poznatu riječ "algebra", a sam al-Horezmijevo djelo postalo je polazna tačka u razvoju nauke o rješavanju jednačina. Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji šest vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:
-kvadrata jednakih korijena, odnosno ah ² = bh;
-kvadrati jednaki broj, odnosno ah ² = s;
-korijeni su jednaki broju, odnosno ax = c;
-kvadrati i brojevi su jednaki korijenima, odnosno ah ²+ s = bh;
-kvadrati i korijeni su jednaki broju, odnosno ah ² + bh = s;
-korijeni i brojevi su jednaki kvadratima, odnosno bx + c = ax ²;
Al-Khwarizmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.
Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u Knjizi Abacus, koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi uveo negativne brojeve. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz “Knjige Abakusa” bili su uključeni u gotovo sve evropske udžbenike 16.-17. i dijelom 18. vijeka.
Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x ² + bh = s, za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b i s formulisao je u Evropi tek 1544. godine M. Stiefel.
Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali je također prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih i negativnih korijena, oni se uzimaju u obzir. Tek u 17. veku, zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rešavanja kvadratnih jednačina dobija svoj savremeni oblik.
Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i zemljani radovi vojnog karaktera, kao i razvojem same astronomije i matematike. Babilonci su bili u stanju da reše kvadratne jednačine oko 2000 godina pre naše vere. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinopisnim tekstovima, pored nepotpunih, postoje, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe: Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, poklapa se sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tamo pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi predstavljaju samo probleme s rješenjima iznesenim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babiloniji, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode rješavanje kvadratnih jednačina.
Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednadžbe „Nađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a njihov proizvod 96, Diofant razlaže na sljedeći način: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki. da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio 96, već 100. Dakle, jedan od njih bi bio više od polovine njihovi iznosi, tj. 10+X, drugi je manji, tj. 10-X. Razlika između njih je 2X Dakle X=2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje X = -2 ne postoji za Diofanta, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve. JEDNAČINA: ili:
Kvadratne jednačine u Indiji Problemi o kvadratnim jednadžbama se takođe nalaze u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta, izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik: ax² +bx=c, a>0 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka Bhaskare Jato žustrih majmuna , pojevši do mile volje, zabavili se. Osmi dio njih na trgu sam se zabavljao na čistini. I dvanaest na loze... Počeli su da skaču dok su bili... Koliko je majmuna bilo, recite mi, u ovom jatu? Jednačina koja odgovara zadatku: Baskara piše u obliku: Dodato lijeva strana na kvadrat, 0 Jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka Bhaskare Jato žustrih majmuna, pojevši do mile volje, zabavilo se. Osmi dio njih na trgu sam se zabavljao na čistini. I dvanaest na loze... Počeli su da skaču dok su bili... Koliko je majmuna bilo, recite mi, u ovom jatu? Jednadžba koja odgovara problemu: Baskara piše pod oblikom: Dopunio lijevu stranu na kvadrat,"> 
Kvadratne jednadžbe u staroj Aziji Ovako je srednjoazijski naučnik al-Khwarizmi riješio ovu jednačinu: On je napisao: „Pravilo je: udvostručite broj korijena, x = 2x 5, dobijete pet u ovom zadatku, pomnožite 5 sa ovim jednakim tome će biti dvadeset pet, 5 ·5=25 dodaj ovo na trideset devet, biće šezdeset četiri, 64 uzmi korijen iz ovoga, biće osam, 8 i oduzmi od ovoga polovinu broja korijena, odnosno pet, 8-5 će ostati 3 ovo će biti korijen kvadrata koji sam tražio." Šta je sa drugim korijenom? Drugi korijen nije pronađen, jer negativni brojevi nisu bili poznati. x x = 39
Kvadratne jednačine u Evropi XIII-XVII vijeka. Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2+inx+c=0 je u Evropi formulisano tek 1544. godine od strane Stifela. Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi u Evropi prvi put su izrečene 1202. godine od strane talijanskog matematičara Leonarda Fibonaccija. Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je od Viètea, ali Viète je prepoznao samo pozitivne korijene. Tek u 17. veku. zahvaljujući radovima Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik
O Vietinoj teoremi Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednačine i njenih korijena, koja nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako je B + D pomnoženo sa A-A jednako BD, tada je A jednako B i jednako D." Da bismo razumjeli Vietu, treba zapamtiti da A, kao i svako samoglasničko slovo, znači nepoznato (naš x), dok su samoglasnici B, D koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, gornja Vieta formulacija znači: Ako data kvadratna jednadžba x 2 +px+q=0 ima realne korijene, tada je njihov zbir jednak -p, a proizvod je jednak q, tj. x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (zbir korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu ).
Metoda faktorizacije dovodi opštu kvadratnu jednačinu u oblik: A(x)·B(x)=0, gdje su A(x) i B(x) polinomi u odnosu na x. Cilj: Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada; Korištenje skraćenih formula za množenje; Metoda grupisanja. Metode: Primjer:
Korijeni kvadratne jednadžbe: Ako je D>0, ako je D 0, ako je D"> 0, ako je D"> 0, ako je D" title="Korijeni kvadratne jednadžbe: ako je D>0, ako je D"> title="Korijeni kvadratne jednadžbe: Ako je D>0, ako je D"> !}
X 1 i x 2 su korijeni jednadžbe. Rješavanje jednadžbi pomoću Vietine teoreme X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, što znači da korijeni imaju različiti znakovi X 1 + X 2 = – 3, što znači da je korijen sa većim modulom negativan. Izborom nalazimo korijene: X 1 = – 5, X 2 = 2 Na primjer:
0, teoremom inverznom Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene originalne jednadžbe: 2.5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednačine" title="Riješi jednačinu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član 2 - 11y +30= 0. D>0, prema teoremi inverznoj Vietinoj teoremi, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednačine: 2.5. Odgovor: 2.5;" class="link_thumb"> 14 !} Riješite jednačinu: 2x x +15 = 0. Prenesite koeficijent 2 na slobodni član y y +30= 0. D>0, prema teoremi inverznoj Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5;6, tada povratak na korijene izvorne jednadžbe: 2, 5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješavanje jednačina metodom “baci”. 0, teoremom inverznom Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene originalne jednadžbe: 2.5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednačine "> 0, prema teoremi inverznoj Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene originalne jednačine: 2,5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje: Rješenje jednadžbi metodom "transfera". > 0, teoremom inverznom Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene originalne jednačine: 2.5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednačine" title="Riješi jednačinu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesimo koeficijent 2 na slobodni član 2 - 11y +30= 0. D>0, prema teoremi inverznoj Vietinoj teoremi, dobivamo korijene: 5;6, zatim se vraćamo na korijene izvorne jednačine: 2.5. Odgovor: 2.5;"> title="Riješite jednačinu: 2x 2 - 11x +15 = 0. Prenesite koeficijent 2 na slobodni član y 2 - 11y +30= 0. D>0, po teoremi inverznoj Vietinoj teoremi, dobijamo korijene: 5; 6, onda se vraćamo na korijene originalnih jednačina: 2.5; 3. Odgovor: 2,5; 3. Rješenje jednačine"> !}
Ako je u kvadratnoj jednadžbi a+b+c=0, tada je jedan od korijena jednak 1, a drugi po Vietinoj teoremi jednak je drugom po Vietinoj teoremi jednak je ako je u kvadratnoj jednadžbi a+c=b , tada je jedan od korijena jednak (-1), a drugi prema Vietinoj teoremi jednak Primjer: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, odgovor: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, odgovor: 1;
Grafička metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe Bez korištenja formula, kvadratna jednačina se može riješiti grafički. Da bismo to uradili, napravićemo dva grafikona: X Y X 01 Y012 Odgovor: Apscise tačaka preseka grafova biće koreni jednačine. Ako se grafovi sijeku u dvije tačke, onda jednačina ima dva korijena. Ako se grafovi sijeku u jednoj tački, onda jednačina ima jedan korijen. Ako se grafovi ne sijeku, onda jednačina nema korijena. 1)y=x2 2)y=x+1
Rješavanje kvadratnih jednačina pomoću nomograma Ovo je stara i nezasluženo zaboravljena metoda rješavanja kvadratnih jednačina, smještena na str. Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbe Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe iz njenih koeficijenata. Za jednadžbu, nomogram daje korijene
Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi U stara vremena, kada je geometrija bila razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu rješavane algebarski, već geometrijski. Ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednačinu: ili Izrazi i geometrijski predstavljaju isti kvadrat, a originalna jednadžba je ista jednačina. Gde dobijamo šta, ili
Zaključak Ovi načini rješavanja zaslužuju pažnju, jer nisu svi prikazani u školskim udžbenicima matematike; savladavanje ovih tehnika pomoći će učenicima da uštede vrijeme i efikasno rješavaju jednačine; treba u brzo rešenje zbog upotrebe test sistema prijemnih ispita;
Iz istorije kvadratnih jednačina.a) Kvadratne jednačine u starom Babilonu
Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena, još u antičko doba, bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina zemljišnih parcela i iskopnih radova vojnog karaktera, kao i kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednačine su se mogle riješiti oko 2000. godine prije Krista. Babilonci. Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:
x 2 + x = , x 2 – x = 14
Pravilo za rješavanje ovih jednačina, postavljeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinopisni tekstovi daju samo probleme s rješenjima izloženim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.
Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.
Diofantova aritmetika ne sadrži sistematski prikaz algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih konstruisanjem jednačina različitih stepena.
Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.
Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.
Zadatak 2. “Pronađi dva broja, znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96.”
Diofant obrazlaže ovako: iz uslova zadatka proizilazi da traženi brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda njihov proizvod ne bi bio jednak 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od polovina njihovog zbira, tj. 10 + x. Drugi je manji, tj. 10 - x. Razlika između njih je 2x. Otuda jednačina:
(10+x)(10-x) =96,
ili
100 -x 2 = 96.
Otuda je x = 2. Jedan od traženih brojeva je 12, drugi je 8. Rešenje x = - 2 ne postoji za Diofanta, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.
Ako ovaj problem riješite odabirom jednog od traženih brojeva kao nepoznatog, možete doći do rješenja jednadžbe:
Jasno je da biranjem polurazlike traženih brojeva kao nepoznate, Diofant pojednostavljuje rješenje; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine.
b) Kvadratne jednačine u Indiji.
Problemi o kvadratnim jednačinama nalaze se već u astronomskoj raspravi „Arijabhattiam“, koju je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), postavio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik
Oh 2 + bx = c, a > 0
U jednadžbi su koeficijenti osim A, može biti negativan. Brahmaguptino pravilo je u suštini isto kao i naše.
Javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni u Indiji. Jedna od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učen čovjek zasjeniti svoju slavu na javnim skupovima predlažući i rješavajući algebarske probleme.” Problemi su često predstavljani u poetskom obliku.
Ovo je jedan od problema poznatog indijskog matematičara iz 12. veka. Bhaskars.
Zadatak 3.
Bhaskarino rješenje ukazuje da je autor znao da su korijeni kvadratnih jednadžbi dvovrijedni.
Jednačina koja odgovara problemu 3 je:
Bhaskara piše pod maskom:
x 2 - 64x = - 768
i, da dovršimo lijevu stranu ove jednadžbe na kvadrat, dodamo 32 2 na obje strane, a zatim dobijemo:
x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x 1 = 16, x 2 = 48.
c) Kvadratne jednadžbe od Al-Khorezmija
Al-Khwarizmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor broji 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:
„Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax 2 = bx.
„Kvadrati su jednaki brojevima“, tj. sjekira 2 = c.
“Korijeni su jednaki broju”, tj. ax = c.
„Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, tj. ax 2 + c = bx.
„Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax 2 + bx = c.
“Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax 2.
Dajemo primjer.
Zadatak 4. „Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen” (što znači korijen jednačine x 2 + 21 = 10x).
Rješenje: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen iz 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobijete 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što daje 7, ovo je također korijen.
Al-Khorezmijeva rasprava je prva knjiga koja je došla do nas, a koja sistematski postavlja klasifikaciju kvadratnih jednačina i daje formule za njihovo rješavanje.
d) Kvadratne jednačine u Evropi u 13.-17. veku.
Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na al-Khwarizmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abacus", koju je 1202. napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike kako iz islamskih zemalja tako i iz antičke Grčke, odlikuje se potpunošću i jasnoćom izlaganja. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi problemi iz knjige Abacus korišćeni su u gotovo svim evropskim udžbenicima 16.-17. i dijelom XVIII.
Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik
x 2 + bx = c,
za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenta b, With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.
Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u općem obliku dostupno je u Vieti, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Osim pozitivnih, u obzir se uzimaju i negativni korijeni. Tek u 17. veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, metoda rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.
Poreklo algebarskih metoda za rešavanje praktičnih problema povezano je sa naukom antički svijet. Kao što je poznato iz istorije matematike, značajan dio problema matematičke prirode, koje su rješavali egipatski, sumerski, vavilonski prepisivači-kalkulatori (XX-VI vijek prije nove ere), bio je računske prirode. Međutim, i tada su se s vremena na vrijeme javljali problemi u kojima se željena vrijednost neke veličine određivala određenim indirektnim uvjetima koji su zahtijevali, sa naše moderne tačke gledišta, sastav jednačine ili sistema jednačina. U početku su se za rješavanje takvih problema koristile aritmetičke metode. Nakon toga su se počeli formirati počeci algebarskih koncepata. Na primjer, babilonski kalkulatori su bili u stanju riješiti probleme koji se mogu smanjiti sa stanovišta moderna klasifikacija na jednačine drugog stepena. Stvorena je metoda za rješavanje riječnih zadataka, koja je kasnije poslužila kao osnova za izolaciju algebarske komponente i njeno samostalno proučavanje.
Ovo istraživanje je sprovedeno u drugoj eri, prvo od strane arapskih matematičara (VI-X vek nove ere), koji su identifikovali karakteristične radnje pomoću kojih su jednačine svedene na standardni pogled dovodeći slične članove, prenoseći članove iz jednog dijela jednačine u drugi s promjenom predznaka. A zatim od evropskih matematičara renesanse, koji su kao rezultat dugog traganja stvorili jezik moderne algebre, upotrebu slova, uvođenje simbola za aritmetičke operacije, zagrade itd. Na prelazu iz 16. 17. vijeka. algebra kao poseban dio matematike, sa svojim predmetom, metodom i područjima primjene, već je formirana. Njegov dalji razvoj, sve do našeg vremena, sastojao se od poboljšanja metoda, proširenja obima primjene, razjašnjavanja pojmova i njihovih veza sa pojmovima drugih grana matematike.
Dakle, s obzirom na važnost i prostranost materijala povezanog s konceptom jednačine, njegovo proučavanje u savremenim metodama matematika je povezana sa tri glavna područja njenog nastanka i funkcionisanja.
