Grafički zadaci. Rješavanje grafičkih zadataka u pripremi za Jedinstveni državni ispit

Preuzmite rad sa prezentacijom.

CILJ PROJEKTNOG RADA:

CILJEVI RADA:

Problem fizike

U metodičkoj i nastavnoj literaturi pod obrazovnim fizičkim zadacima podrazumijevaju se odgovarajuće odabrane vježbe, čija je osnovna svrha proučavanje fizičkih pojava, formiranje pojmova, razvijanje fizičkog mišljenja učenika i usađivanje sposobnosti primjene znanja u praksi.

Podučavanje učenika rješavanju fizičkih problema jedan je od najtežih pedagoških problema. Mislim da je ovaj problem veoma relevantan. Moj projekat ima za cilj da reši dva problema:

1. Pomoć u poučavanju školaraca sposobnosti rješavanja grafičkih zadataka;

2. Uključiti učenike u ovu vrstu rada.

Rješavanje i analiza problema omogućava vam da shvatite i zapamtite osnovne zakone i formule fizike, stvorite ideju o njihovim karakterističnim karakteristikama i granicama primjene. Problemi razvijaju vještine korištenja općih zakona materijalnog svijeta za rješavanje konkretnih pitanja od praktičnog i obrazovnog značaja. Sposobnost rješavanja problema je najbolji kriterij za procjenu dubine proučavanja programskog materijala i njegove asimilacije.

U istraživanjima za utvrđivanje stepena u kojem su učenici ovladali pojedinačnim operacijama koje su uključene u sposobnost rješavanja problema, utvrđeno je da 30-50% učenika u različitim razredima ukazuje na nedostatak takvih vještina.

Nesposobnost rješavanja problema jedan je od glavnih razloga za smanjenje uspjeha u proučavanju fizike. Istraživanja su pokazala da je nesposobnost samostalnog rješavanja problema glavni razlog neredovnog ispunjavanja domaćih zadataka. Samo mali dio učenika savladava sposobnost rješavanja zadataka, što smatraju jednim od najvažnijih uslova za poboljšanje kvaliteta znanja iz fizike.

Ovakvo stanje prakse učenja može se objasniti nedostatkom jasnih zahtjeva za formiranje ove vještine, nedostatkom unutrašnje motivacije i kognitivnog interesovanja kod učenika.

Rješavanje problema u procesu nastave fizike ima višestruke funkcije:

• Ovladavanje teorijskim znanjem.
• Ovladavanje pojmovima o fizičkim pojavama i veličinama.
• Mentalni razvoj, kreativno mišljenje i posebne sposobnosti učenika.
• Upoznaje studente sa dostignućima nauke i tehnologije.
• Razvija naporan rad, upornost, volju, karakter i odlučnost.
• To je sredstvo za praćenje znanja, vještina i sposobnosti učenika.

Grafički zadatak.

Grafički zadaci su oni zadaci u procesu rješavanja kojih se koriste grafikoni, dijagrami, tabele, crteži i dijagrami.

Na primjer:

1. Konstruirajte graf putanje ravnomjernog kretanja ako je v = 2 m/s ili jednoliko ubrzanog kretanja ako je v 0 = 5 m/s i a = 3 m/s 2 .

2. Koje pojave karakteriše svaki deo grafikona...

3. Koje se tijelo brže kreće

4. U kom području se tijelo brže kretalo?

5. Odredite pređenu udaljenost iz grafikona brzine.

6. U kom dijelu kretanja je tijelo mirovalo. Brzina se povećavala i smanjivala.

Rješavanje grafičkih zadataka pomaže u razumijevanju funkcionalnog odnosa između fizičkih veličina, razvijanju vještina rada sa grafovima i razvijanju sposobnosti rada sa skalama.

Na osnovu uloge grafova u rješavanju problema, mogu se podijeliti u dvije vrste: - problemi čiji se odgovor na pitanje može naći kao rezultat konstruiranja grafa; - zadaci za koje se odgovor može pronaći analizom grafikona.

Grafički zadaci se mogu kombinovati sa eksperimentalnim.

Na primjer:

Pomoću čaše napunjene vodom odredite težinu drvenog bloka...

Priprema za rješavanje grafičkih zadataka.

Za rješavanje grafičkih zadataka student mora poznavati različite vrste funkcionalnih ovisnosti, što podrazumijeva ukrštanje grafova sa osama i grafova međusobno. Morate razumjeti kako se zavisnosti razlikuju, na primjer, x = x 0 + vt i x = v 0 t + na 2 /2 ili x = x m sinω 0 t i x = - x m sinω 0 t; x =x m sin(ω 0 t+ α) i x =x m cos (ω 0 t+ α), itd.

Plan pripreme treba da sadrži sljedeće dijelove:

· a) Ponoviti grafove funkcija (linearne, kvadratne, stepene) · b) Saznajte kakvu ulogu grafovi imaju u fizici, koje informacije nose. · c) Sistematizirati fizičke probleme prema značaju grafova u njima. · d) Proučavajte metode i tehnike za analizu fizičkih grafova · e) Razvijte algoritam za rješavanje grafičkih problema u različitim granama fizike · f) Otkrijte opći obrazac u rješavanju grafičkih zadataka. Da biste savladali metode rješavanja problema, potrebno je riješiti veliki broj različitih vrsta problema, poštujući princip - „Od jednostavnog do složenog“. Počevši od jednostavnih, savladajte metode rješavanja, uporedite, generalizirajte različite probleme kako na osnovu grafikona tako i na osnovu tabela, dijagrama, dijagrama. Treba obratiti pažnju na označavanje veličina duž koordinatnih osa (jedinice fizičkih veličina, prisustvo višestrukih ili višestrukih prefiksa), skalu, vrstu funkcionalne zavisnosti (linearna, kvadratna, logaritamska, trigonometrijska, itd.), uglovi nagiba grafova, tačke preseka grafova sa koordinatnim osa ili grafovi među sobom. Problemima sa inherentnim "greškama" potrebno je pristupiti posebno pažljivo, kao i problemima sa fotografijama vaga mjernih instrumenata. U tom slučaju potrebno je pravilno odrediti vrijednost podjele mjernih instrumenata i precizno očitati vrijednosti mjerenih veličina. U problemima geometrijske optike posebno je važno pažljivo i precizno konstruirati zrake i odrediti njihove sjecišta sa osama i međusobno.

Kako riješiti probleme sa grafikom

Ovladavanje općim algoritmom za rješavanje fizičkih problema

1. Sprovođenje analize stanja problema sa identifikacijom sistemskih zadataka, pojava i procesa opisanih u problemu, uz utvrđivanje uslova za njihovu nastanak

2. Kodiranje uslova problema i procesa rješavanja na različitim nivoima:

a) kratka izjava o uslovima problema;

b) izradu crteža i električnih dijagrama;

c) izvođenje crteža, grafikona, vektorskih dijagrama;

d) pisanje jednačine (sistema jednačina) ili konstruisanje logičkog zaključka

3. Identifikacija odgovarajuće metode i metoda za rješavanje konkretnog problema

4. Primena opšteg algoritma za rešavanje problema različitih tipova

Rješavanje problema počinje čitanjem uslova. Morate biti sigurni da su učenicima jasni svi pojmovi i koncepti u ovom stanju. Nejasni pojmovi se pojašnjavaju nakon prvog čitanja. Istovremeno, potrebno je istaknuti koja se pojava, proces ili svojstvo tijela opisuje u problemu. Zatim se ponovo čita problem, ali sa istaknutim podacima i potrebnim količinama. I tek nakon toga se vrši kratko snimanje stanja problema.

Planiranje

Radnja orijentacije omogućava sekundarnu analizu percipiranih uslova zadatka, kao rezultat čega se identifikuju fizičke teorije, zakoni, jednačine koje objašnjavaju određeni zadatak. Zatim se identifikuju metode za rešavanje problema jedne klase i pronalazi optimalna metoda za rešavanje ovog problema. Rezultat aktivnosti učenika je plan rješenja, koji uključuje lanac logičkih radnji. Prati se ispravnost radnji za izradu plana za rješavanje problema.

Proces rješenja

Prvo, potrebno je razjasniti sadržaj već poznatih radnji. Radnja orijentacije u ovoj fazi uključuje još jednom isticanje metode rješavanja problema i razjašnjavanje vrste problema koji se rješava metodom postavljanja uslova. Sljedeći korak je planiranje. Predviđena je metoda za rješavanje problema, aparatura (logička, matematička, eksperimentalna) uz pomoć koje je moguće izvršiti njegovo dalje rješavanje.

Analiza rješenja

Posljednja faza procesa rješavanja problema je provjera dobivenog rezultata. Opet se provodi istim radnjama, ali se sadržaj radnji mijenja. Radnja orijentacije je otkrivanje suštine onoga što treba provjeriti. Na primjer, rezultati rješenja mogu biti vrijednosti koeficijenata, fizičke konstantne karakteristike mehanizama i strojeva, pojava i procesa.

Rezultat koji se dobije rješavanjem problema mora biti vjerodostojan i u skladu sa zdravim razumom.

Prevalencija grafičkih zadataka u mašinama za kompjutersku simulaciju u zadacima Jedinstvenog državnog ispita

Naše istraživanje

A. Analiza grešaka pri rješavanju grafičkih zadataka

Analiza rješavanja grafičkih problema pokazala je da se javljaju sljedeće česte greške:

Greške u čitanju grafikona;

Greške u operacijama s vektorskim veličinama;

Greške pri analizi izoprocesnih grafova;

Greške u grafičkoj zavisnosti električnih veličina;

Greške pri konstruisanju po zakonima geometrijske optike;

Greške u grafičkim zadacima o kvantnim zakonima i fotoelektričnom efektu;

Greške u primjeni zakona atomske fizike.

B. Sociološko istraživanje

Kako bismo saznali koliko su učenici upoznati sa grafičkim zadacima, sproveli smo sociološko istraživanje.

Učenicima i nastavnicima naše škole postavili smo sljedeća pitanja: profili:

1. 1. Šta je grafički zadatak?

a) problemi sa slikama;

b) zadatke koji sadrže dijagrame, dijagrame;

c) Ne znam.

1. 2. Čemu služe grafički zadaci?

b) razvijanje sposobnosti za pravljenje grafikona;

c) Ne znam.

3. Možete li riješiti grafičke probleme?

a) da; b) ne; c) nisam siguran ;

4. Želite li naučiti kako rješavati grafičke probleme?

A) da ; b) ne; c) Teško mi je odgovoriti.

Intervjuisano je 50 ljudi. Kao rezultat ankete dobijeni su sljedeći podaci:

ZAKLJUČCI:

1. Kao rezultat rada na projektu „Grafički zadaci“, proučavali smo karakteristike grafičkih zadataka.
2. Proučavali smo karakteristike metodologije rješavanja grafičkih zadataka.
3. Analizirali smo tipične greške.
4. Provedeno sociološko istraživanje.

Odraz aktivnosti:

1. Bilo nam je zanimljivo raditi na problemu grafičkih zadataka.
2. Naučili smo kako provoditi istraživačke aktivnosti, upoređivati ​​i suprotstavljati rezultate istraživanja.
3. Utvrdili smo da je vladanje metodama za rješavanje grafičkih problema neophodno za razumijevanje fizičkih pojava.
4. Saznali smo da je vladanje metodama rješavanja grafičkih zadataka neophodno za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita.

Problemi ovog tipa uključuju one u kojima su svi ili dio podataka specificirani u obliku grafičkih ovisnosti između njih. U rješavanju takvih problema mogu se razlikovati sljedeće faze:

Faza 2 - saznajte iz datog grafikona između kojih veličina postoji odnos; saznati koja je fizička veličina nezavisna, odnosno argument; koja je količina zavisna, tj. funkcija; odrediti po vrsti grafa o kojoj se vrsti zavisnosti radi; saznati šta je potrebno - definirati funkciju ili argument; ako je moguće, zapišite jednačinu koja opisuje dati graf;

Faza 3 - označite datu vrijednost na osi apscise (ili ordinate) i vratite okomicu na sjecište sa grafikom. Spustite okomicu od točke presjeka na os ordinate (ili apscise) i odredite vrijednost željene količine;

Faza 4 - evaluacija dobijenog rezultata;

Faza 5 - zapišite odgovor.

Čitanje koordinatnog grafa znači da iz grafa treba odrediti: početnu koordinatu i brzinu kretanja; zapisati koordinatnu jednačinu; utvrđuje vrijeme i mjesto sjednice organa; odrediti u kom trenutku tijelo ima datu koordinatu; odrediti koordinate koje tijelo ima u određenom trenutku vremena.

Problemi četvrtog tipa - eksperimentalni . To su problemi u kojima je za pronalaženje nepoznate količine potrebno eksperimentalno izmjeriti dio podataka. Predlaže se sljedeća radna procedura:

Faza 2 – utvrditi koji fenomen, zakon leži u osnovi iskustva;

Faza 3 - razmislite o eksperimentalnom dizajnu; utvrdi listu instrumenata i pomoćnih predmeta ili opreme za izvođenje eksperimenta; razmislite o slijedu eksperimenta; ako je potrebno, izraditi tabelu za bilježenje rezultata eksperimenta;

Faza 4 - izvršite eksperiment i upišite rezultate u tabelu;

Faza 5 - izvršite potrebne proračune, ako je potrebno u skladu sa uslovima problema;

Faza 6 - razmislite o dobijenim rezultatima i zapišite odgovor.

Konkretni algoritmi za rješavanje problema kinematike i dinamike imaju sljedeći oblik.

Algoritam za rješavanje kinematičkih zadataka:

Faza 2 - zapišite numeričke vrijednosti datih količina; izraziti sve količine u SI jedinicama;

Faza 3 - napravite šematski crtež (putorija kretanja, vektori brzine, ubrzanja, pomaka itd.);

Faza 4 - izaberite koordinatni sistem (trebalo bi da izaberete sistem tako da jednačine budu jednostavne);

Faza 5 - sastaviti osnovne jednačine za dato kretanje koje odražavaju matematički odnos između fizičkih veličina prikazanih na dijagramu; broj jednačina mora biti jednak broju nepoznatih veličina;

Faza 6 - rešiti sastavljeni sistem jednačina u opštem obliku, u slovnoj notaciji, tj. dobiti formulu izračuna;

Faza 7 - odaberite sistem mjernih jedinica (“SI”), zamijenite nazive jedinica u formuli izračuna umjesto slova, izvršite radnje sa nazivima i provjerite da li rezultat rezultira jedinicom mjerenja željene količine;

Faza 8 - izraziti sve date količine u odabranom sistemu jedinica; zamijenite u formule za izračunavanje i izračunajte vrijednosti potrebnih količina;

Faza 9 - analizirajte rješenje i formulirajte odgovor.

Uspoređujući redoslijed rješavanja zadataka u dinamici i kinematici, moguće je vidjeti da su neke točke zajedničke za oba algoritma, što pomaže da se bolje upamte i uspješnije primjene pri rješavanju problema.

Algoritam za rješavanje dinamičkih problema:

Faza 2 - zapisati uslov zadatka, izražavajući sve količine u SI jedinicama;

Faza 3 - napravite crtež koji pokazuje sve sile koje djeluju na tijelo, vektore ubrzanja i koordinatne sisteme;

Faza 4 - zapišite jednadžbu drugog Newtonovog zakona u vektorskom obliku;

Faza 5 - zapišite osnovnu jednadžbu dinamike (jednadžbinu drugog Newtonovog zakona) u projekcijama na koordinatne osi, uzimajući u obzir smjer koordinatnih osa i vektora;

Faza 6 - pronađite sve količine uključene u ove jednačine; zamjena u jednačine;

Faza 7 - rješavanje problema u opštem obliku, tj. riješiti jednačinu ili sistem jednačina za nepoznatu veličinu;

Faza 8 - provjerite dimenziju;

Faza 9 - dobiti numerički rezultat i povezati ga sa stvarnim vrijednostima.

Algoritam za rješavanje problema o toplinskim pojavama:

Faza 1 - pažljivo pročitajte opis problema, saznajte koliko tijela je uključeno u izmjenu topline i koji se fizički procesi dešavaju (na primjer, zagrijavanje ili hlađenje, topljenje ili kristalizacija, isparavanje ili kondenzacija);

Faza 2 - ukratko zapišite uslove problema, dopunjujući potrebne tabelarne vrijednosti; izraziti sve veličine u SI sistemu;

Faza 3 - zapišite jednadžbu ravnoteže topline uzimajući u obzir predznak količine topline (ako tijelo prima energiju, onda stavite znak "+", ako ga tijelo daje, stavite znak "-");

Faza 4 - zapišite potrebne formule za izračunavanje količine topline;

Faza 5 - zapišite rezultirajuću jednačinu u opštem obliku u odnosu na tražene količine;

Faza 6 - provjerite dimenziju rezultirajuće vrijednosti;

Faza 7 - izračunajte vrijednosti potrebnih količina.

RAČUNSKI I GRAFIČKI RADOVI

Posao br. 1

UVOD OSNOVNI POJMOVI MEHANIKE

Ključne točke:

Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u odnosu na druga tijela ili promjena položaja dijelova tijela tokom vremena.

Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije u ovom problemu mogu zanemariti.

Fizičke veličine mogu biti vektorske i skalarne.

Vektor je veličina koju karakteriše numerička vrijednost i smjer (sila, brzina, ubrzanje, itd.).

Skalar je veličina koju karakteriše samo numerička vrijednost (masa, zapremina, vrijeme, itd.).

Putanja je linija duž koje se tijelo kreće.

Prijeđeni put je dužina putanje tijela koje se kreće, oznaka - l, SI jedinica: 1 m, skalar (ima magnitudu, ali nema smjer), ne određuje jednoznačno konačni položaj tijela.

Pomak je vektor koji povezuje početni i kasniji položaj tijela, oznaka - S, mjerna jedinica u SI: 1 m, vektor (ima modul i smjer), jednoznačno određuje konačni položaj tijela.

Brzina je vektorska fizička veličina jednaka omjeru kretanja tijela i vremenskog perioda u kojem se to kretanje dogodilo.

Mehaničko kretanje može biti translatorno, rotaciono i oscilatorno.

Progresivna Kretanje je kretanje u kojem se bilo koja prava linija koja je čvrsto povezana s tijelom kreće, ostajući paralelna sama sa sobom. Primjeri translacijskog kretanja su kretanje klipa u cilindru motora, kretanje kabine panoramskog točka itd. Za vrijeme translacijskog kretanja, sve točke krutog tijela opisuju iste putanje i u svakom trenutku imaju iste brzine i ubrzanja.

Rotacijski Kretanje apsolutno krutog tijela je kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću u ravninama okomitim na fiksnu pravu liniju, tzv. osa rotacije, i opisati krugove čiji centri leže na ovoj osi (rotori turbina, generatori i motori).

Oscilatorno kretanje je kretanje koje se periodično ponavlja u prostoru tokom vremena.

Referentni sistem je kombinacija referentnog tijela, koordinatnog sistema i metode mjerenja vremena.

Referentno tijelo- svako tijelo odabrano proizvoljno i konvencionalno koje se smatra nepokretnim, u odnosu na koje se proučava lokacija i kretanje drugih tijela.

Koordinatni sistem sastoji se od pravaca identifikovanih u prostoru – koordinatnih osa koje se seku u jednoj tački, koja se naziva ishodište i odabrani jedinični segment (skala). Za kvantitativno opisivanje kretanja potreban je koordinatni sistem.

U kartezijanskom koordinatnom sistemu, položaj tačke A u datom trenutku u odnosu na ovaj sistem je određen sa tri koordinate x, y i z, ili radijus vektor.

Putanja kretanja materijalne tačke je linija opisana ovom tačkom u prostoru. U zavisnosti od oblika putanje, kretanje može biti direktno I krivolinijski.

Kretanje se naziva ravnomernim ako se brzina materijalne tačke ne menja tokom vremena.

Akcije sa vektorima:

Brzina– vektorska veličina koja pokazuje smjer i brzinu kretanja tijela u prostoru.

Svaki mehanički pokret ima apsolutne i relativne prirode.

Apsolutno značenje mehaničkog kretanja je da ako se dva tijela približe ili udalje jedno od drugog, onda će se približiti ili udaljiti u bilo kojem referentnom okviru.

Relativnost mehaničkog kretanja je da:

1) nema smisla govoriti o kretanju bez navođenja referentnog tijela;

2) u različitim referentnim sistemima isto kretanje može izgledati drugačije.

Zakon sabiranja brzina: Brzina tijela u odnosu na fiksni referentni okvir jednaka je vektorskom zbiru brzine istog tijela u odnosu na pokretni referentni okvir i brzine sistema koji se kreće u odnosu na stacionarni.

Kontrolna pitanja

1. Definicija mehaničkog kretanja (primjeri).

2. Vrste mehaničkog kretanja (primjeri).

3. Koncept materijalne tačke (primjeri).

4. Uslovi pod kojima se tijelo može smatrati materijalnom tačkom.

5. Kretanje naprijed (primjeri).

6. Šta uključuje referentni okvir?

7. Šta je ravnomjerno kretanje (primjeri)?

8. Šta se zove brzina?

9. Zakon sabiranja brzina.

Dovršite zadatke:

1. Puž je puzao pravo 1 m, zatim je napravio okret, opisujući četvrtinu kruga polumjera 1 m, i puzao dalje okomito na prvobitni smjer kretanja još 1 m. Napravi crtež, izračunaj prijeđenu udaljenost i modul pomaka, ne zaboravite da na crtežu pokažete vektor kretanja puža.

2. Automobil u pokretu napravio je polukružno okretanje, opisujući pola kruga. Napravite crtež koji prikazuje putanju i kretanje automobila u trećini vremena skretanja. Koliko puta je put pređen u navedenom vremenskom periodu veći od modula vektora odgovarajućeg pomaka?

3. Može li se skijaš na vodi kretati brže od čamca? Može li se čamac kretati brže od skijaša?

Grafičke zagonetke

1. Povežite četiri tačke sa tri linije bez podizanja ruku i vratite se na početnu tačku.

. .

1. Povežite devet tačaka sa četiri linije bez podizanja ruke.

. . .

. . .

. . .

1. Pokažite kako izrezati pravougaonik s linijama od 4 i 9 jedinica na dva jednaka dijela tako da kada se dodaju formiraju kvadrat.

1. Kocka, obojana sa svih strana, bila je izrezana kao što je prikazano na sl.

a) Koliko kocki ćete dobiti?

Uopšte niste farbani?

b) Koliko je kockica obojeno

Hoće li biti jedna ivica?

c) Koliko će kockica imati

Jesu li obojene dvije ivice?

d) Koliko je kockica obojeno?

Hoće li biti tri strane?

e) Koliko je kockica obojeno?

Hoće li biti četiri strane?

Situacijski, dizajn

I tehnološki izazovi

Zadatak. Kuglice tri veličine se pod uticajem sopstvene težine kotrljaju niz nagnutu tacnu u neprekidnom mlazu. Kako kontinuirano sortirati loptice u grupe ovisno o veličini?

Rješenje. Potrebno je razviti dizajn uređaja za kalibraciju.

Kuglice, nakon što su napustile pladanj, kotrljaju se dalje duž klinastog merača. Na mjestu gdje se širina proreza poklapa sa prečnikom kuglice, ona pada u odgovarajući prijemnik.

Zadatak. Junaci jedne naučnofantastične priče, umjesto hiljada potrebnih rezervnih dijelova, u let kreću sintisajzer-mašinom koja može sve. Prilikom slijetanja na drugu planetu, brod je oštećen. Za popravku vam je potrebno 10 identičnih dijelova. Ovdje se ispostavlja da sintisajzer radi sve u jednoj kopiji. Kako pronaći izlaz iz ove situacije?

Rješenje. Morate naručiti sintisajzer da se sam proizvodi. Drugi sintisajzer im daje još jedan itd.

Odgovori na grafičke zagonetke.

1. . .

2. . . .

. . .

. . .

Ako problem linearnog programiranja ima samo dvije varijable, onda se može riješiti grafički.

Razmotrimo problem linearnog programiranja s dvije varijable i :
(1.1) ;
(1.2)
Ovdje postoje proizvoljni brojevi. Zadatak može biti ili pronaći maksimum (max) ili pronaći minimum (min). Sistem ograničenja može sadržavati i znakove i znakove.

Izgradnja domena izvodljivih rješenja

Grafička metoda rješavanja problema (1) je sljedeća.
Prvo crtamo koordinatne osi i odabiremo razmjer. Svaka od nejednakosti sistema ograničenja (1.2) definiše poluravninu ograničenu odgovarajućom pravom linijom.

Dakle, prva nejednakost
(1.2.1)
definira poluravninu omeđenu pravom linijom. S jedne strane ove prave linije, a sa druge strane. Na samoj pravoj liniji. Da bismo saznali na kojoj strani vrijedi nejednakost (1.2.1), biramo proizvoljnu tačku koja ne leži na pravoj. Zatim zamjenjujemo koordinate ove tačke u (1.2.1). Ako nejednakost vrijedi, tada poluravnina sadrži odabranu tačku. Ako nejednakost ne vrijedi, tada se poluravnina nalazi na drugoj strani (ne sadrži odabranu tačku). Zasjeniti poluravninu za koju vrijedi nejednakost (1.2.1).

Isto radimo i za preostale nejednakosti sistema (1.2). Na ovaj način dobijamo zasjenjene poluravnine. Tačke oblasti izvodljivih rješenja zadovoljavaju sve nejednakosti (1.2). Stoga je grafički područje izvodljivih rješenja (ADA) presjek svih konstruiranih poluravni. Zasjenjenje ODR-a. To je konveksan poligon čija lica pripadaju konstruisanim pravim linijama. Također, ODF može biti neograničena konveksna figura, segment, zraka ili prava linija.

Može se pojaviti i slučaj da poluravnine ne sadrže zajedničke tačke. Tada je domen izvodljivih rješenja prazan skup. Ovaj problem nema rješenja.

Metoda se može pojednostaviti. Ne morate zasjeniti svaku poluravninu, već prvo konstruirajte sve ravne linije
(2)
Zatim odaberite proizvoljnu tačku koja ne pripada nijednoj od ovih linija. Zamenimo koordinate ove tačke u sistem nejednačina (1.2). Ako su sve nejednakosti zadovoljene, tada je područje izvodljivih rješenja ograničeno konstruiranim pravim linijama i uključuje odabranu tačku. Osjenčamo područje izvodljivih rješenja duž granica linija tako da uključuje odabranu tačku.

Ako barem jedna nejednakost nije zadovoljena, odaberite drugu tačku. I tako sve dok se ne pronađe jedna tačka čije koordinate zadovoljavaju sistem (1.2).

Pronalaženje ekstrema ciljne funkcije

Dakle, imamo zasjenjenu regiju izvodljivih rješenja (ADS). Ograničena je isprekidanom linijom koja se sastoji od segmenata i zraka koji pripadaju konstruisanim pravim linijama (2). ODS je uvijek konveksan skup. Može biti ili ograničen skup ili neograničen u nekim smjerovima.

Sada možemo tražiti ekstremum funkcije cilja
(1.1) .

Da biste to učinili, odaberite bilo koji broj i napravite pravu liniju
(3) .
Radi pogodnosti daljeg predstavljanja, pretpostavljamo da ova prava linija prolazi kroz ODR. Na ovoj liniji ciljna funkcija je konstantna i jednaka . takva prava linija se zove linija na nivou funkcije. Ova ravna linija dijeli ravan na dvije poluravnine. Na jednoj poluravni
.
Na drugom poluravnu
.
Odnosno, na jednoj strani prave (3) ciljna funkcija raste. I što dalje pomjerimo tačku od prave linije (3), vrijednost će biti veća. S druge strane prave linije (3), ciljna funkcija opada. I što dalje pomjerimo tačku od prave (3) na drugu stranu, to će vrijednost biti manja. Ako povučemo pravu liniju paralelnu liniji (3), tada će nova prava linija također biti linija nivoa ciljne funkcije, ali s drugom vrijednošću.

Dakle, da bi se pronašla maksimalna vrijednost ciljne funkcije, potrebno je povući pravu liniju paralelnu pravoj liniji (3), što je dalje moguće od nje u smjeru povećanja vrijednosti, i koja prolazi kroz barem jednu tačku od ODD. Za pronalaženje minimalne vrijednosti ciljne funkcije potrebno je povući pravu liniju paralelnu pravoj liniji (3) i što dalje od nje u smjeru opadanja vrijednosti, a koja prolazi kroz barem jednu tačku ODD-a.

Ako je ODR neograničen, onda može nastati slučaj kada se takva direktna linija ne može povući. Odnosno, bez obzira na to kako uklonimo pravu liniju sa linije (3) u smjeru povećanja (opadanja), prava će uvijek prolaziti kroz ODR. U ovom slučaju može biti proizvoljno veliko (malo). Dakle, ne postoji maksimalna (minimalna) vrijednost. Problem nema rješenja.

Razmotrimo slučaj kada ekstremna prava paralelna sa proizvoljnom linijom oblika (3) prolazi kroz jedan vrh ODR poligona. Iz grafa određujemo koordinate ovog vrha. Tada se maksimalna (minimalna) vrijednost ciljne funkcije određuje formulom:
.
Rješenje problema je
.

Takođe može postojati slučaj kada je prava linija paralelna sa jednom od lica ODR-a. Tada prava linija prolazi kroz dva vrha ODR poligona. Određujemo koordinate ovih vrhova. Da biste odredili maksimalnu (minimalnu) vrijednost funkcije cilja, možete koristiti koordinate bilo kojeg od ovih vrhova:
.
Problem ima beskonačno mnogo rješenja. Rješenje je bilo koja točka koja se nalazi na segmentu između točaka i , uključujući točke i sebe.

Primjer rješavanja problema linearnog programiranja grafičkom metodom

Zadatak

Kompanija proizvodi haljine dva modela A i B. Koriste se tri vrste tkanina. Za izradu jedne haljine modela A potrebno je 2 m tkanine prve vrste, 1 m tkanine druge vrste, 2 m tkanine treće vrste. Za izradu jedne haljine modela B potrebno je 3 m tkanine prve vrste, 1 m tkanine druge vrste, 2 m tkanine treće vrste. Zalihe tkanine prvog tipa su 21 m, drugog tipa - 10 m, trećeg tipa - 16 m. Ispuštanje jednog proizvoda tipa A donosi prihod od 400 den. jedinica, jedan proizvod tip B - 300 den. jedinice

Napravite proizvodni plan koji kompaniji daje najveći prihod. Riješite problem grafički.

Rješenje

Označite varijable i broj proizvedenih haljina, modela A i B, respektivno. Tada će količina potrošene tkanine prve vrste biti:
(m)
Potrošena količina tkanine druge vrste bit će:
(m)
Potrošena količina tkanine treće vrste bit će:
(m)
Pošto broj proizvedenih haljina ne može biti negativan
i .
Prihod od proizvedenih haljina će biti:
(den. jedinice)

Tada ekonomsko-matematički model problema ima oblik:

Rešavamo ga grafički.
Nacrtamo koordinatne osi i .

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Povucite pravu liniju kroz tačke (0; 7) i (10,5; 0).

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 10) i (10; 0).

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 8) i (8; 0).

Osjenčamo područje tako da tačka (2; 2) padne u zasjenjeni dio. Dobijamo četvorougao OABC.

(A1.1) .
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 4) i (3; 0).

Dalje primjećujemo da budući da su koeficijenti i ciljne funkcije pozitivni (400 i 300), ona raste kako i raste. Povlačimo pravu liniju paralelnu pravoj liniji (A1.1), što je dalje moguće od nje u smjeru povećanja , i koja prolazi kroz barem jednu tačku četverougla OABC. Takva prava prolazi kroz tačku C. Iz konstrukcije određujemo njene koordinate.
.

Rješenje problema: ;

Odgovori

.
Odnosno, da bi se ostvario najveći prihod potrebno je napraviti 8 haljina modela A. Prihod će biti 3200 den. jedinice

Primjer 2

Zadatak

Riješite grafički problem linearnog programiranja.

Rješenje

Rešavamo ga grafički.
Nacrtamo koordinatne osi i .

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 6) i (6; 0).

Gradimo pravu liniju.
Odavde.
U .
U .
Povucite pravu liniju kroz tačke (3; 0) i (7; 2).

Gradimo pravu liniju.
Gradimo pravu liniju (os apscisa).

Područje dopuštenih rješenja (ADA) ograničeno je konstruiranim pravim linijama. Da bismo saznali na kojoj strani, primjećujemo da tačka pripada ODR-u, budući da zadovoljava sistem nejednakosti:

Osjenčamo područje duž granica konstruisanih linija tako da tačka (4; 1) padne u zasjenjeni dio. Dobijamo trougao ABC.

Gradimo proizvoljnu liniju nivoa ciljne funkcije, na primjer,
.
U .
U .
Nacrtajte ravnu liniju kroz tačke (0; 6) i (4; 0).
Budući da se ciljna funkcija povećava s povećanjem i , povlačimo pravu liniju paralelnu liniji nivoa i što je dalje moguće od nje u smjeru povećanja , i koja prolazi kroz barem jednu točku trokuta ABC. Takva prava prolazi kroz tačku C. Iz konstrukcije određujemo njene koordinate.
.

Rješenje problema: ;

Odgovori

Primjer bez rješenja

Zadatak

Riješite grafički problem linearnog programiranja. Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije cilja.

Rješenje

Zadatak rješavamo grafički.
Nacrtamo koordinatne osi i .

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Povucite pravu liniju kroz tačke (0; 8) i (2,667; 0).

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 3) i (6; 0).

Gradimo pravu liniju.
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (3; 0) i (6; 3).

Prave linije su koordinatne ose.

Područje dopuštenih rješenja (ADA) ograničeno je konstruiranim pravim linijama i koordinatnim osa. Da bismo saznali na kojoj strani, primjećujemo da tačka pripada ODR-u, budući da zadovoljava sistem nejednakosti:

Osjenčamo područje tako da tačka (3; 3) padne u zasjenjeni dio. Dobijamo neograničeno područje ograničeno izlomljenom linijom ABCDE.

Gradimo proizvoljnu liniju nivoa ciljne funkcije, na primjer,
(A3.1) .
U .
U .
Nacrtajte pravu liniju kroz tačke (0; 7) i (7; 0).
Budući da su koeficijenti i pozitivni, raste s povećanjem i .

Da biste pronašli maksimum, morate povući paralelnu liniju, koja je što je dalje moguće u smjeru povećanja , i koja prolazi kroz barem jednu tačku područja ABCDE. Međutim, pošto je područje neograničeno na strani velikih vrijednosti i , takva ravna linija se ne može povući. Bez obzira koju pravu liniju povučemo, uvijek će postojati tačke u regiji koje su udaljenije u smjeru povećanja i . Stoga ne postoji maksimum. možete ga učiniti velikim koliko želite.

Tražimo minimum. Pravu liniju povlačimo paralelnu pravoj liniji (A3.1) i što dalje od nje u smjeru opadanja , i koja prolazi kroz barem jednu tačku područja ABCDE. Takva prava prolazi kroz tačku C. Iz konstrukcije određujemo njene koordinate.
.
Minimalna vrijednost funkcije cilja:

Odgovori

Ne postoji maksimalna vrijednost.
Minimalna vrijednost
.

Upisan bez položenih ispita. Čak i u naše vrijeme, ova zagonetka se smatra jednim od najboljih načina za testiranje pažnje i logike razmišljanja.

Pa, hajde da počnemo!

1. Koliko turista živi u ovom kampu?
2. Kada su stigli ovdje: danas ili prije nekoliko dana?
3. Šta su koristili da su došli ovamo?
4. Koliko je udaljeno od kampa do najbližeg sela?
5. Odakle duva vjetar: sjever ili jug?
6. Koje je sada doba dana?
7. Gdje je Šura otišla?
8. Ko je dežurao juče (recimo po imenu)?
9. Koji je danas dan u kom mjesecu?

odgovori:

• Četiri. Ako bolje pogledate, možete vidjeti: pribor za jelo za 4 osobe, a na dežurnoj listi su 4 imena.
• Ne danas, sudeći po paučini između drveta i šatora, momci su stigli prije nekoliko dana.
• Na brodu. U blizini drveta su vesla.
• br. Na slici je kokoška, ​​što znači da je selo negde u blizini.
• Sa juga. Na šatoru se nalazi zastavica kojom se može odrediti na koju stranu vjetar duva. Na slici je drvo: grane su s jedne strane kraće, a s druge duže. Kao pravilo,
• drveće na južnoj strani ima duže grane.
• Jutro. Na osnovu prethodnog pitanja odredili smo gdje je sjever jug, sada možemo razumjeti gdje je istok zapad i pogledati sjene koje bacaju objekti.
• On hvata leptire. Iza šatora se vidi mreža.
• Kolya. Danas Kolya traži nešto u rancu sa slovom „K“, Šura hvata leptire, a Vasja fotografiše prirodu (jer se iz ranca vidi stativ sa slovom „B“).
• To znači da je Petya danas na dužnosti, a jučer je, prema spisku, bio dežuran Kolya.
• 8. avgust. Sudeći po spisku, pošto Petja danas dežura, broj je 8. A pošto je lubenica na čistini, znači avgust.

Prema statistikama, samo 7% odgovara tačno na sva pitanja.

Zagonetka je zaista vrlo složena da biste tačno odgovorili na sva pitanja, morate razumjeti neke aspekte, i naravno, morate koristiti logiku i pažnju. Misteriju komplicira još uvijek ne baš kvalitetna slika. Želim ti uspjeh.

Gledajući sliku, odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Koliko dugo se momci bave turizmom?
2. Da li su upoznati sa domaćom ekonomijom?
3. Je li rijeka plovna?
4. U kom pravcu teče?
5. Kolika je dubina i širina rijeke kod najbliže puške?
6. Koliko će vremena biti potrebno da se veš osuši?
7. Koliko će još rasti suncokret?
8. Da li je turistički kamp udaljen od grada?
9. Kojim su prevozom momci stigli ovdje?
10. Vole li ljudi knedle na ovim mjestima?
11. Jesu li novine svježe? (Novine od 22. avgusta)
12. Za koji grad leti avion?

odgovori:

• Očigledno, nedavno: iskusni turisti neće podići šator u udubini.
• Po svoj prilici, ne baš dobro: riba nije očišćena s glave, nezgodno je prišiti dugme s predugačkim koncem, morate sjekirom sjekiru na trupcu rezati granu.
• Navigable. O tome svjedoči i navigacijski jarbol koji stoji na obali.
• S lijeva na desno. Zašto? Pogledajte odgovor na sljedeće pitanje.
• Plovni znak na obali rijeke postavlja se na strogo definiran način. Ako gledate sa strane rijeke, onda na desnoj strani uz potok postoje znakovi koji pokazuju širinu rijeke na najbližoj puščici, a lijevo su znakovi koji pokazuju dubinu. Dubina rijeke je 125 cm (pravougaonik je 1 m, veliki krug je 20 cm, a mali krug je 5 cm), širina rijeke je 30 m (veliki krug je 20 m i 2 mala kruga su po 5 m). Takvi se znakovi postavljaju 500 m prije rolne.
• Ne zadugo. Duva vjetar: plovci štapova za pecanje nosili su se protiv struje.
• Suncokret je očigledno slomljen i zaglavljen u zemlju, jer njegova „kapa“ nije okrenuta suncu, a slomljena biljka neće više rasti.
• Ne dalje od 100 km, na većoj udaljenosti antena bi imala složeniji dizajn.
• Momci, po svoj prilici, imaju bicikle: na zemlji je ključ za bicikle.
• br. Ovdje vole knedle. Koliba od blata, piramidalna topola i velika nadmorska visina sunca iznad horizonta (63° - u sjeni suncokreta) pokazuju da je ovo ukrajinski pejzaž.
• Sudeći po visini sunca iznad horizonta, to se dešava u junu. Za Kijev, na primjer, 63° je najveća ugaona visina sunca. To se dešava tek u podne 22. juna. Novine su datirane u avgustu - tako da su barem prošle godine.
• Ne sve. Avion obavlja poljoprivredne radove.

Šezdesetih godina prošlog veka, ovo je vrsta problema koji su učenici drugog razreda tražili da reše.

Gledajući sliku, odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Da li parobrod ide gore ili niz rijeku?
2. Koje je doba godine prikazano ovdje?
3. Je li rijeka duboka na ovom mjestu?
4. Koliko je pristanište?
5. Da li je na desnoj ili lijevoj obali rijeke?
6. Koje doba dana je umjetnik prikazao na crtežu?

odgovori:

• Drveni trouglovi na koje su postavljene bove uvijek su usmjereni protiv struje. Parobrod plovi rijekom.
• Slika prikazuje jato ptica; lete u obliku ugla, jedna strana kraća od druge: to su ždralovi. Migracija ždralova se dešava u proljeće i jesen. Gdje je jug možete reći po krošnjama drveća na rubu šume: one uvijek postaju deblje na strani okrenutoj prema jugu. Ždralovi lete u pravcu juga. To znači da slika prikazuje jesen.
• Rijeka na ovom mjestu je plitka: mornar, koji stoji na pramcu parobroda, motkom mjeri dubinu plovnog puta.
• Očigledno, brod je privezan za mol: grupa putnika, uzeli svoje stvari, spremala se za silazak s broda.
• Odgovarajući na pitanje 1, odredili smo u kom smjeru rijeka teče. Da biste označili gdje je desna, a gdje lijeva obala rijeke, morate stajati licem okrenutim prema toku. Znamo da je brod privezan za mol. Vidi se da se putnici spremaju za izlazak sa strane sa koje gledate na crtež. To znači da je najbliži mol na desnoj obali rijeke.
• Na bovama su lampioni; obucite ih pred veče i skinite ih rano ujutro. Vidi se da pastiri tjeraju stado u selo. Iz ovoga dolazimo do zaključka da slika pokazuje kraj dana.

Gledajući sliku, odgovorite na sljedeća pitanja:

1. U koje doba godine je prikazan ovaj stan?
2. Koji mjesec?
3. Ide li dječak kojeg vidite sada u školu ili je na raspustu?
4. Da li stan ima tekuću vodu?
5. Ko živi u ovom stanu osim oca i sina koje vidite na slici?
6. Koje je zanimanje vašeg oca?

odgovori:

• Stan je prikazan zimi: dječak u filcanim čizmama; peć je zagrijana, što pokazuje otvoreni otvor za ventilaciju.
• Mjesec decembar: otvorena je posljednja stranica kalendara.
• Prvih 7 brojeva je precrtano na kalendaru: već su prošli. Zimski praznici počinju kasnije. Dakle, dječak ide u školu.
• Da stan ima tekuću vodu, ne biste morali koristiti umivaonik, koji je prikazan na slici.
• Lutke ukazuju da u porodici postoji devojčica, verovatno predškolskog uzrasta.
• Cijev i čekić za slušanje pacijenata ukazuju na to da je otac po zanimanju ljekar.

Sovjetske logičke zagonetke: 8 pitanja za pažnju

Još jedna sovjetska misterija, ova će biti teža od prethodne. Samo 4% ljudi može tačno odgovoriti na svih 8 pitanja.

Gledajući sliku, odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Koje doba dana je prikazano na slici?
2. Da li crtež prikazuje rano proljeće ili kasnu jesen?
3. Je li ova rijeka plovna?
4. U kom smjeru teče rijeka: jug, sjever, zapad ili istok?
5. Je li rijeka duboka blizu obale na kojoj se nalazi brod?
6. Ima li u blizini most preko rijeke?
7. Koliko je daleko željeznica odavde?
8. Da li dizalice lete na sjever ili jug?

odgovori:

• Pregledavši sliku, vidite da se njiva seje (traktor sa sejalicom i kolica žita). Kao što znate, sjetva se vrši u jesen ili rano proljeće. Jesenja sjetva se obavlja kada na drveću još ima lišća. Na slici su drveće i grmlje potpuno goli. Treba zaključiti da je umjetnik prikazao rano proljeće.
• U proljeće ždralovi lete s juga na sjever.
• Plutače, odnosno znakovi koji označavaju plovni put, postavljaju se samo na plovnim rijekama.
  Plutača je postavljena na drveni plovak, čiji je ugao uvijek usmjeren prema toku rijeke.
• Utvrdivši po letu ždralova gdje je sjever i pazeći na položaj trougla sa bovom, nije teško zaključiti da na ovom mjestu rijeka teče od sjevera ka jugu.
• Smjer sjene drveta pokazuje da je sunce na jugoistoku. U proleće, na ovoj strani neba sunce se pojavljuje u 8 - 10 sati ujutru.
• Željeznički kondukter sa fenjerom ide prema čamcu; on očigledno živi negdje blizu stanice.
• Mostovi i stepenice koje vode do rijeke, kao i čamac sa putnicima govore da je na ovom mjestu uspostavljen stalni transport preko rijeke. Ovdje je potreban jer u blizini nema mosta.
• Na obali vidite dječaka sa štapom za pecanje. Samo kada pecate na dubokim mjestima možete pomaknuti plovak toliko daleko od udice.
  Ako vam se svidjela ova zagonetka, probajte drugu

Sovjetska logička zagonetka o željeznici (pored puta)

Gledajući sliku, odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Koliko je vremena ostalo do mladog mjeseca?
2. Hoće li uskoro doći noć?
3. Kojem godišnjem dobu crtež pripada?
4. U kom pravcu teče rijeka?
5. Je li plovni?
6. Koliko brzo se kreće voz?
7. Prije koliko vremena je prethodni voz prošao ovdje?
8. Koliko dugo će automobilu trebati da putuje prugom?
9. Za šta bi se vozač sada trebao pripremiti?
10. Ima li most u blizini?
11. Postoji li aerodrom u ovom području?
12. Da li je lako mašinovođama nadolazećih vozova da uspore voz na ovoj dionici?
13. Duva li vjetar?

odgovori:

• Malo. Mjesec je star (možete vidjeti njegov odraz u vodi).
• Ne uskoro. Stari mjesec je vidljiv u zoru.
• Jesen. Na osnovu položaja sunca, lako je shvatiti da ždralovi lete na jug.
• Rijeke koje teku na sjevernoj hemisferi imaju strmu desnu obalu. To znači da rijeka teče od nas do horizonta.
• Navigable. Bove su vidljive.
• Voz je zaustavljen. Donje oko semafora svijetli - crveno.
• Nedavno. On je sada na najbližoj lokaciji za blokiranje.
• Putokaz pokazuje da je ispred željezničkog prelaza.
• Za kočenje. Putokaz pokazuje da je pred nama strm spust.
• Vjerovatno postoji. Postoji znak koji obavezuje vozača da zatvori ventilacioni otvor.
• Na nebu je trag aviona koji je napravio petlju. Akrobatika je dozvoljena samo u blizini aerodroma.
• Znak u blizini željezničke pruge ukazuje da će nadolazeći vozovi morati da se penju uz stepenicu. Neće ga biti teško usporiti.
• Duva. Dim lokomotive se širi, ali je voz, kao što znamo, nepomičan.

Ovo su sovjetske logičke zagonetke u slikama (SSSR zagonetke za djecu). Jeste li svi uspjeli? - Mislim da je malo verovatno! Ali to je ipak bilo dobro potrošeno vrijeme!

Pišite komentare, možda imate pitanja ili nove zagonetke od vas.