Diskriminant za negativnu vrijednost. Viši diskriminirajući poredak

IN modernog društva sposobnost izvođenja operacija sa jednačinama koje sadrže promjenljivu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i široko se koristi u praksi u naučnom i tehničkom razvoju. Dokaz za to se može naći u dizajnu morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Koristeći takve proračune, određuju se putanje kretanja velikog broja tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratne jednačine koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektovanju i izgradnji objekata, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni na planinarenju, na sportskim događajima, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na njegove sastavne faktore

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratnom.

Ako govorimo jezikom formula, onda se navedeni izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u oblik kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadratu sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takvom polinomu nedostaje jedan od njegovih sastavnih članova, sa izuzetkom ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere s rješavanjem takvih problema, vrijednosti varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani, tačnije ax 2 i bx, najlakši način da pronađete x je stavljanjem varijable iz zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Zatim, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo je diktirano jednim od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih jednaka nuli.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod uticajem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke uzete kao ishodište koordinata. Ovdje se uzima matematička notacija sljedeći obrazac: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje prolazi od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema na više načina teški slučajevi. Pogledajmo primjere rješavanja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ovo kvadratni trinom je kompletan. Prvo, transformirajmo izraz i činimo ga faktorima. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x+1), (x-3) i (x+ 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da zadata jednačina ima tri korijena: -3; -1; 3.

Kvadratni korijen

Još jedan slučaj nepotpuna jednačina drugi red je izraz predstavljen jezikom slova na način da je desna strana konstruisana od komponenti ax 2 i c. Ovdje, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni termin se prenosi na desna strana, a nakon toga iz obje strane jednakosti izdvajamo Kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak mogu biti jednakosti koje uopće ne sadrže pojam sa, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada je desna strana negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio određen potrebom da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Trebalo bi razmotriti i primjere rješavanja kvadratnih jednačina zasnovanih na problemima ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaona parcela čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije ako znate da je njegova površina 612 m2.

Za početak, prvo napravimo potrebnu jednačinu. Označimo sa x širinu površine, tada će njena dužina biti (x+16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x(x+16), koji je, prema uslovima našeg zadatka, 612. To znači da je x(x+16) = 612.

Rješavanje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se raditi na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije jednak 0, pa se ovdje koriste različite metode.

Diskriminantno

Prije svega, napravimo potrebne transformacije izgled ovog izraza će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo bi mogao biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućava pronalaženje traženih količina u jednačini drugog reda, već i određuje količinu moguće opcije. Ako je D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminanta je jednaka: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo sugerira da naš problem ima odgovor. Ako znate k, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije parcele ne mogu mjeriti u negativnim veličinama, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18 +16=34, a obim 2(34+18)=104(m2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo naše proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijeva strana jednakosti, izvršićemo transformaciju, odnosno dobićemo oblik jednačine, koji se obično naziva standardnim, i izjednačićemo ga sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Zbrajanjem sličnih odredimo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. To znači da će naša jednadžba imati dva korijena. Izračunajmo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) A sada da riješimo misterije druge vrste.

Hajde da saznamo ima li ovdje korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili sveobuhvatan odgovor, smanjimo polinom na odgovarajući uobičajeni oblik i izračunajmo diskriminant. U gornjem primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer to uopće nije suština problema. U ovom slučaju, D = 16 - 20 = -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Pogodno je rješavati kvadratne jednadžbe koristeći gornje formule i diskriminant, kada se iz vrijednosti potonjeg uzme kvadratni korijen. Ali to se ne dešava uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobila po onom koji je živeo u 16. veku u Francuskoj i napravio briljantnu karijeru zahvaljujući njegovom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da se korijeni jednadžbe numerički sabiraju na -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristimo Vietin teorem, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Parabola graf i jednadžba

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takav odnos, nacrtan kao graf, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu pronaći pomoću formule koja je upravo data x 0 = -b/2a. I zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole, koja pripada osi ordinate.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera rješavanja kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Pogledajmo ih. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. Vrijedi i suprotno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je konstruisati graf.

Iz istorije

Koristeći jednadžbe koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima nisu samo pravili matematičke proračune i određivali površine geometrijskih figura. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za velika otkrića u oblastima fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što sugerišu savremeni naučnici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. To se dogodilo četiri veka pre naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se radikalno razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i ispali su mnogo primitivniji. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Nisu im bile poznate i druge suptilnosti koje zna svaki savremeni školarac.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije Baudhayama počeo je rješavati kvadratne jednačine. To se dogodilo oko osam vekova pre Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, za slična pitanja nekada su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svojim radovima koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Diskriminanta se, kao i kvadratne jednačine, počinje izučavati u predmetu algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednačinu možete riješiti pomoću diskriminanta i korištenjem Vietine teoreme. Metoda proučavanja kvadratnih jednačina, kao i diskriminantnih formula, prilično se neuspješno uči školarcima, kao i mnoge stvari u realnom obrazovanju. Dakle, školske godine prolaze, obrazovanje u 9-11 razredima zamijenjeno je "visokim obrazovanjem" i svi ponovo traže - "Kako riješiti kvadratnu jednačinu?", "Kako pronaći korijene jednačine?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminanta D kvadratne jednačine a*x^2+bx+c=0 je jednaka D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe zavise od predznaka diskriminanta (D):
D>0 – jednačina ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračunavanje diskriminanta je prilično jednostavna, tako da mnoge web stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakvu vrstu skripti još nismo smislili, pa ako neko zna kako to implementirati neka nam piše na e-mail Ova adresa el. pošte je zaštićena od spambotova. Morate imati omogućen JavaScript da biste ga vidjeli. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formule
Ako je koeficijent kvadratne varijable uparen, onda je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima, korijeni jednadžbe se nalaze pomoću formule

Drugi način pronalaženja korijena je Vietina teorema.

Teorema je formulirana ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektronskim izvorima. Međutim, da pojednostavimo, razmotrimo dio koji se odnosi na gornje kvadratne jednadžbe, odnosno jednadžbe oblika (a=1)
Suština Vietinih formula je da je zbir korijena jednačine jednak koeficijentu varijable uzete iz suprotan znak. Proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Vietin teorem se može napisati u formulama.
Izvođenje Vietine formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednačinu kroz jednostavne faktore
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Efikasno je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulima korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe prema Vietinoj teoremi imaju korijen




Do jednačine 4, analiza bi trebala izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, stoga korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi suprotnih predznaka. Zbir korijena je 7 (koeficijent varijable sa suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, prilagođavajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se čini da je to teško izvodljivo, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednačinama, ova tehnika će se pokazati efikasnijom od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i metoda pronalaženja rješenja jednačine je lišena praktičnog značenja - "Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednačina?", "Koje je fizičko značenje diskriminanta?"

Pokušajmo to shvatiti Šta diskriminant opisuje?

Na predmetu algebra izučavaju funkcije, šeme za proučavanje funkcija i konstruisanje grafa funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola, čija se jednadžba može napisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno tačke presjeka grafa funkcije sa apscisnom osom Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak kvadratne varijable odgovara da li će grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola sa granama nadole (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminanta veća od nule (D>0) parabola ima dvije točke sjecišta sa Ox osom.
Ako je diskriminanta nula (D=0) tada parabola na vrhu dodiruje x-osu.
I posljednji slučaj, kada je diskriminator manje od nule(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Koristeći diskriminant, rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku “Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi”.

Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? Ovo jednačine oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da bismo riješili potpunu kvadratnu jednačinu, trebamo izračunati diskriminanta D.

D = b 2 – 4ac.

U zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, zapisaćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminanta nula, tada je x = (-b)/2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. Riješite jednačinu x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odgovor: – 3,5; 1.

Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe koristeći dijagram na slici 1.

Koristeći ove formule možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednadžbu. Samo treba da budeš pažljiv jednačina je napisana kao polinom standardni pogled

A x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 i tada jednačina ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje za primjer 2 iznad).

Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (monom sa najvećim eksponentom treba da bude prvi, tj. A x 2 , zatim sa manje – bx a zatim slobodan član With.

Prilikom rješavanja reducirane kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako je u potpunoj kvadratnoj jednadžbi koeficijent na drugom članu paran (b = 2k), onda možete riješiti jednačinu koristeći formule date u dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 je jednako jedan i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješenje, ili se može dobiti dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom A, stoji na x 2 .

Na slici 3 prikazan je dijagram za rješavanje redukovanog kvadrata
jednačine. Pogledajmo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. Riješite jednačinu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu na slici 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3

Možete primijetiti da je koeficijent x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednačinu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i izvršivši podjelu, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x – 2 = 0 Riješite ovu jednačinu koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu
jednadžbe na slici 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odgovor: –1 – √3; –1 + √3.

Kao što vidite, prilikom rješavanja ove jednačine koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste temeljito savladali formule prikazane na dijagramu na slici 1, uvijek ćete moći riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Među cjelokupnim školskim programom algebre, jedna od najopsežnijih tema je tema kvadratnih jednačina. U ovom slučaju, kvadratna jednačina se shvata kao jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gde je a ≠ 0 (čitaj: a pomnoženo sa x na kvadrat plus be x plus ce je jednako nuli, gde a nije jednako nuli). U ovom slučaju glavno mjesto zauzimaju formule za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednadžbe navedenog tipa, što se podrazumijeva kao izraz koji omogućava da se utvrdi prisustvo ili odsustvo korijena kvadratne jednačine, kao i njihov broj (ako postoji).

Formula (jednačina) diskriminanta kvadratne jednačine

Općenito prihvaćena formula za diskriminantu kvadratne jednačine je sljedeća: D = b 2 – 4ac. Izračunavanjem diskriminanta pomoću navedene formule ne možete samo odrediti prisutnost i broj korijena kvadratne jednadžbe, već i odabrati metodu za pronalaženje ovih korijena, kojih ima nekoliko ovisno o vrsti kvadratne jednadžbe.

Šta to znači ako je diskriminanta nula \ Formula za korijene kvadratne jednadžbe ako je diskriminanta nula

Diskriminant je, kako slijedi iz formule, označen latinično pismo D. U slučaju kada je diskriminanta jednaka nuli, treba zaključiti da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, ima samo jedan korijen, koji se izračunava pomoću pojednostavljene formule . Ova formula se primjenjuje samo kada je diskriminanta nula i izgleda ovako: x = –b/2a, gdje je x korijen kvadratne jednačine, b i a su odgovarajuće varijable kvadratne jednačine. Da biste pronašli korijen kvadratne jednadžbe, trebate podijeliti negativnu vrijednost varijable b dvostrukom vrijednošću varijable a. Rezultirajući izraz će biti rješenje kvadratne jednačine.

Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću diskriminanta

Ako se pri izračunavanju diskriminanta po gornjoj formuli dobije pozitivna vrijednost (D je veći od nule), tada kvadratna jednadžba ima dva korijena, koji se izračunavaju pomoću sljedećih formula: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Najčešće se diskriminanta ne izračunava zasebno, već se radikalni izraz u obliku diskriminantne formule jednostavno zamjenjuje u vrijednost D iz koje se izdvaja korijen. Ako varijabla b ima parnu vrijednost, tada za izračunavanje korijena kvadratne jednadžbe oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, možete koristiti i sljedeće formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, gdje je k = b/2.

U nekim slučajevima, da biste praktično riješili kvadratne jednadžbe, možete koristiti Vietinu teoremu, koja kaže da je za zbir korijena kvadratne jednadžbe oblika x 2 + px + q = 0 vrijednost x 1 + x 2 = –p biće tačno, a za proizvod korena navedene jednačine – izraz x 1 x x 2 = q.

Može li diskriminant biti manji od nule?

Prilikom izračunavanja vrijednosti diskriminanta možete naići na situaciju koja ne spada ni u jedan od opisanih slučajeva – kada diskriminant ima negativnu vrijednost (odnosno manju od nule). U ovom slučaju, općenito je prihvaćeno da kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0, nema realne korijene, stoga će njeno rješenje biti ograničeno na izračunavanje diskriminanta, a gornje formule jer korijeni kvadratne jednadžbe u ovom slučaju neće biti primjenjivi. Istovremeno, u odgovoru na kvadratnu jednačinu piše da „jednačina nema pravi korijen“.

Video s objašnjenjima:

Sa ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednačinu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces rješenja na dva načina:
- korištenje diskriminanta
- korištenjem Vietine teoreme (ako je moguće).

Štaviše, odgovor se prikazuje kao tačan, a ne približan.
Na primjer, za jednačinu \(81x^2-16x-1=0\) odgovor je prikazan u sljedećem obliku:

Ovaj program može biti korisno za srednjoškolce u srednjim školama u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti rješavanja problema povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), itd.

Brojevi se mogu unositi kao cijeli ili razlomak.
Štoviše, razlomci se mogu unijeti ne samo u obliku decimale, već iu obliku običnog razlomka.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak se može odvojiti od cijelog dijela tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za unos običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U ovom slučaju, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, uvedeni izraz se prvo pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njeni korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednačina
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
izgleda kao
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednačini a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve jednačine se nazivaju kvadratne jednačine.

Definicija.
Kvadratna jednadžba naziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c je slobodni član.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a\neq 0\), najveća snaga varijable x je kvadrat. Otuda i naziv: kvadratna jednačina.

Imajte na umu da se kvadratna jednačina naziva i jednačina drugog stepena, jer je njena leva strana polinom drugog stepena.

Poziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent od x 2 jednak 1 data kvadratna jednačina. Na primjer, date kvadratne jednadžbe su jednačine
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednačina naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednačine -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Postoje tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje je \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje je \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi svakog od ovih tipova.

Da biste riješili nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), pomaknite njen slobodni član na desnu stranu i podijelite obje strane jednačine sa a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pošto je \(c \neq 0 \), onda \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako je \(-\frac(c)(a)>0\), tada jednačina ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) da riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 +bx=0 sa \(b \neq 0 \) faktoriramo njenu lijevu stranu i dobijemo jednačinu
\(x(ax+b)=0 \Strelica desno \levo\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \Strelica desno \levo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno.

To znači da nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako riješiti kvadratne jednadžbe u kojima su i koeficijenti nepoznanica i slobodni član različiti od nule.

Rešimo kvadratnu jednadžbu u opštem obliku i kao rezultat dobijemo formulu za korene. Ova formula se zatim može koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednačinu ax 2 +bx+c=0

Podijelivši obje strane sa a, dobijamo ekvivalentnu redukovanu kvadratnu jednačinu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformirajmo ovu jednačinu odabirom kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Strelica desno \)

Radikalni izraz se zove diskriminanta kvadratne jednačine ax 2 +bx+c=0 (“diskriminant” na latinskom - diskriminator). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći diskriminantnu notaciju, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje je \(D= b^2-4ac \)

Očigledno je da:
1) Ako je D>0, kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, u zavisnosti od vrijednosti diskriminanta, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili nema korijena (za D Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe koristeći ovaj formule, preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminanta i uporediti ga sa nulom;
2) ako je diskriminanta pozitivna ili jednaka nuli, onda koristite formulu za korijen ako je diskriminanta negativna, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadata kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbir korijena je 7, a proizvod je 10. Vidimo da je zbir korijena jednak drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim znak, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Svaka redukovana kvadratna jednadžba koja ima korijen ima ovo svojstvo.

Zbir korijena gornje kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu.

One. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 redukovane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\left\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)