Diferencijalne funkcije i parcijalne derivacije za lutke. Parcijalni izvod, potpuni diferencijalni FNP

Neka je funkcija definirana u nekoj (otvorenoj) domeni D bodova
dimenzionalni prostor, i
– tačka u ovoj oblasti, tj.
D.

Djelomično povećanje funkcije od mnogih varijabli za bilo koju varijablu je prirast koji će funkcija dobiti ako ovoj varijabli damo prirast, pod pretpostavkom da sve ostale varijable imaju konstantne vrijednosti.

Na primjer, djelomično povećanje funkcije promjenljivom će

Parcijalni izvod u odnosu na nezavisnu varijablu u tački
funkcije naziva se granica (ako postoji) omjera djelomičnog priraštaja
funkcije za povećanje
varijabla dok nastoji
na nulu:

Parcijalni izvod je označen jednim od simbola:

;
.

Komentar. Indeks u nastavku u ovim notacijama samo ukazuje na to koja od varijabli je derivacija uzeta, a nije povezana s kojom točkom
ovaj izvod se izračunava.

Izračunavanje parcijalnih izvoda nije ništa novo u poređenju sa izračunavanjem običnog izvoda, samo treba da zapamtite da kada diferencirate funkciju u odnosu na bilo koju promenljivu, sve ostale varijable se uzimaju kao konstante. Pokažimo to primjerima.

Primjer 1.Pronađite parcijalne izvode funkcije
.

Rješenje. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda funkcije
argumentom razmotriti funkciju kao funkcija samo jedne varijable , tj. vjerujemo u to ima fiksnu vrijednost. Kod fiksnog funkcija
je funkcija stepena argumenta . Koristeći formulu za diferenciranje funkcije snage, dobijamo:

Slično, kada se izračunava parcijalni izvod pretpostavljamo da je vrijednost fiksna , i razmotrite funkciju
kao eksponencijalna funkcija argumenta . Kao rezultat dobijamo:

Primjer 2. NIT parcijalni derivati I funkcije
.

Rješenje. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na datu funkciju smatraćemo je funkcijom jedne varijable , i izrazi koji sadrže , biće konstantni faktori, tj.
djeluje kao konstantni koeficijent sa funkcijom snage (
). Razlikovanje ovog izraza po , dobijamo:

Sada, naprotiv, funkcija smatra se funkcijom jedne varijable , dok izrazi sadrže , djeluju kao koeficijent
(
).Diferenciranje prema pravilima diferencijacije trigonometrijskih funkcija dobijamo:

Primjer 3. Izračunajte parcijalne izvode funkcija
u tački
.

Rješenje. Prvo ćemo pronaći parcijalne izvode ove funkcije u proizvoljnoj tački
njegov domen definicije. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na vjerujemo u to
su trajne.

kada se razlikuje po će biti trajna
:

i pri izračunavanju parcijalnih derivata u odnosu na i po , shodno tome, bit će konstantan, respektivno,
I
, tj.:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih derivata u tački
, zamjenjujući određene vrijednosti varijabli u njihove izraze. Kao rezultat dobijamo:

11. Parcijalne i potpune diferencijalne funkcije

Ako sada na djelomični prirast
primijeniti Lagrangeov teorem o konačnim inkrementima u varijabli , zatim, s obzirom kontinuirano dobijamo sljedeće relacije:

Gdje
,
– beskonačno mala količina.

Parcijalna diferencijalna funkcija po varijabli naziva se glavnim linearnim dijelom parcijalnog prirasta
, jednako umnošku parcijalnog izvoda u odnosu na ovu varijablu i prirast ove varijable, i označava se

Očigledno, parcijalni diferencijal se razlikuje od parcijalnog priraštaja za infinitezimal višeg reda.

Puno povećanje funkcije od mnogih varijabli naziva se inkrement koji će dobiti kada svim nezavisnim varijablama damo prirast, tj.

gde su svi
, zavise i zajedno sa njima teže nuli.

Ispod diferencijali nezavisnih varijabli pristao da implicira proizvoljno inkrementi
i odredi ih
. Dakle, izraz za parcijalni diferencijal će imati oblik:

Na primjer, parcijalni diferencijal By je definisan ovako:

Puni diferencijal
funkcija nekoliko varijabli naziva se glavnim linearnim dijelom ukupnog prirasta
, jednaka, tj. zbir svih njegovih parcijalnih diferencijala:

Ako je funkcija
ima kontinuirane parcijalne izvode

u tački
onda ona diferencibilan u datoj tački.

Kada je dovoljno mali za diferencibilnu funkciju
postoje približne jednakosti

pomoću kojih možete napraviti približne proračune.

Primjer 4.Naći potpuni diferencijal funkcije
tri varijable
.

Rješenje. Prije svega, nalazimo parcijalne izvode:

Primjećujemo da su one kontinuirane za sve vrijednosti
, mi nalazimo:

Za diferencijale funkcija mnogih varijabli, tačne su sve teoreme o svojstvima diferencijala, dokazane za slučaj funkcija jedne varijable, na primjer: ako I – kontinuirane funkcije varijabli
, koji ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na sve varijable, i I su proizvoljne konstante, onda:

(6)

Praktični rad br. 2

"Diferencijalna funkcija"

Svrha lekcije: Naučite rješavati primjere i probleme na ovu temu.

Teorijska pitanja (osnovna):

1. Primjena derivata za proučavanje funkcija na ekstremu.

2. Diferencijal funkcije, njeno geometrijsko i fizičko značenje.

3. Potpuni diferencijal funkcije više varijabli.

4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.

5. Približni proračuni.

6. Pronalaženje parcijalnih izvoda i totalnih diferencijala.

7. Primjeri upotrebe ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.

(samopriprema)

1. odgovarati na pitanja o temi časa;

2. rješavati primjere.

Primjeri

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Korištenje derivata za proučavanje funkcija

Uslov za povećanje funkcije y = f(x) na intervalu [a, b]

Uslov da se funkcija y=f(x) smanji na segmentu [a, b]

Uslov za maksimalnu funkciju y=f(x) na x=a

f"(a)=0 i f"" (a)<0

Ako su kod x=a derivacije f"(a) = 0 i f"(a) = 0, tada je potrebno proučiti f"(x) u blizini tačke x = a. Funkcija y=f( x) pri x=a ima maksimum, ako, prilikom prolaska kroz tačku x = a, derivacija f"(x) promijeni predznak sa "+" na "-", u slučaju minimuma - iz "-" na “+” Ako f"(x) ne promijeni predznak kada prolazi kroz tačku x = a, tada funkcija nema ekstrema

Funkcijski diferencijal.

Diferencijal nezavisne varijable jednak je njenom inkrementu:

Diferencijal funkcije y=f(x)

Diferencijal zbira (razlike) dvije funkcije y=u±v

Diferencijal proizvoda dviju funkcija y=uv

Diferencijal količnika dvije funkcije y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Povećanje funkcije

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

gdje je Δx: - prirast argumenta.

Približan izračun vrijednosti funkcije:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutnih i relativnih grešaka u indirektnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna greška rezultata mjerenja

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relativna greška rezultata mjerenja

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

DIFERENCIJALNA FUNKCIJA.

Diferencijal funkcije kao glavni dio inkrementa funkcije I. Usko povezan s konceptom derivacije je koncept diferencijala funkcije. Neka funkcija f(x) je kontinuiran za date vrijednosti X i ima derivat

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle je prirast funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Gdje a(Dx)® 0 at Dh® 0. Odredimo red beskonačno malog f¢(x)Dx Dx.:

Dakle, beskonačno mali f¢(x)Dx I Dx imaju isti red malenosti, tj f¢(x)Dx = O.

Odredimo red beskonačno malog a(Dh)Dh u odnosu na infinitezimalnu Dx:

Dakle, beskonačno mali a(Dh)Dh ima veći red malenosti u odnosu na infinitezimalnu Dx, to je a(Dx)Dx = o.

Dakle, beskonačno mali prirast Df diferencijabilna funkcija se može predstaviti u obliku dva pojma: infinitezimalna f¢(x)Dx istog reda malenosti sa Dx i beskonačno mali a(Dh)Dh viši red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx at Dh® 0 drugi član teži nuli „brže“ od prvog, tj a(Dx)Dx = o.

Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, zvao diferencijalna funkcija f(x) u tački X i označiti dy ili df(čitaj “de igrek” ili “de ef”). dakle,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analitičko značenje diferencijala je da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno u odnosu na prirast argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimal višeg reda male vrijednosti od Dx. stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.

Primjer. Izračunajte diferencijalnu vrijednost funkcije f(x) = x 3 + 2x, Kada X varira od 1 do 1,1.

Rješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:

Zamjenjivanje vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 I x = 1 u posljednjoj formuli, dobijamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.

PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.

Parcijalni derivati prvog reda. Parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentom X u predmetnoj tački (x;y) zove limit

ako postoji.

Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentom X označen je jednim od sljedećih simbola:

Slično, parcijalni izvod u odnosu na at označeno i definisano formulom:

Pošto je parcijalni izvod običan izvod funkcije jednog argumenta, nije teško izračunati. Da biste to učinili, morate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferencijacije, uzimajući u obzir u svakom slučaju koji od argumenata se uzima kao „konstantni broj“, a koji služi kao „varijabla diferencijacije“.

Komentar. Da biste pronašli parcijalni izvod, na primjer, u odnosu na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običan izvod funkcije f(x,y), smatrajući ovo drugo funkcijom jednog argumenta X, A at– konstanta; naći df/dy- obrnuto.

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije f(x,y) = 2x 2 + y 2 u tački P(1;2).

Rješenje. Brojanje f(x,y) funkcija jednog argumenta X i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

Uzimajući u obzir f(x;y) funkciju jednog argumenta y, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD UČENIKA:

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

Riješite sljedeće probleme:

1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata sa stranicom x=10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?

2. Zadata je jednačina kretanja tijela: y=t 3 /2+2t 2, gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Odrediti put s koji tijelo pređe za t=1,92 s od početka kretanja.

LITERATURA

1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M.: “Viša škola”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Per. sa engleskog M.: "Mir", 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbirka zadataka iz medicinske i biološke fizike - M.: “Viša škola”, 1987. P16-20.

Parcijalni derivat funkcije z = f(x, y promenljivom x Izvod ove funkcije pri konstantnoj vrijednosti varijable y naziva se, označava se sa ili z" x.

Parcijalni derivat funkcije z = f(x, y) promenljivom y naziva se derivacija u odnosu na y pri konstantnoj vrijednosti varijable y; označava se ili z" y.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na jednu varijablu definira se kao izvod te funkcije u odnosu na odgovarajuću varijablu, pod uvjetom da se preostale varijable drže konstantnim.

Puni diferencijal funkcija z = f(x, y) u nekoj tački M(X, y) naziva se izrazom

Gdje su i izračunate u tački M(x, y), a dx = , dy = y.

Primjer 1

Izračunajte ukupni diferencijal funkcije.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 u tački M(1; 2)

Rješenje:

1) Pronađite parcijalne izvode:

2) Izračunajte vrijednost parcijalnih derivata u tački M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Pitanja za samokontrolu:

1. Šta se naziva antiderivatom? Navedite svojstva antiderivata.

2. Šta se naziva neodređenim integralom?

3. Navedite svojstva neodređenog integrala.

4. Navedite osnovne formule integracije.

5. Koje metode integracije poznajete?

6. Koja je suština Newton–Leibnizove formule?

7. Dajte definiciju određenog integrala.

8. Koja je suština izračunavanja određenog integrala metodom zamjene?

9. Koja je suština metode izračunavanja određenog integrala po dijelovima?

10. Koja se funkcija naziva funkcijom dvije varijable? Kako se označava?

11. Koja se funkcija naziva funkcijom od tri varijable?

12. Koji skup se naziva domenom definicije funkcije?

13. Koristeći koje nejednačine možete definirati zatvoreno područje D na ravni?

14. Koliki je parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu x? Kako se označava?

15. Koliki je parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu y? Kako se označava?

16. Koji izraz se naziva totalni diferencijal funkcije

Tema 1.2 Obične diferencijalne jednadžbe.

Problemi koji vode do diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Opća i specifična rješenja. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Linearne homogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Praktična lekcija br. 7 “Pronalaženje općih i posebnih rješenja diferencijalnih jednadžbi sa odvojivim varijablama”*

Praktična lekcija br. 8 “Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe”

Praktična lekcija br. 9 “Rješavanje diferencijalnih jednadžbi 2. reda sa konstantnim koeficijentima”*

L4, poglavlje 15, str. 243 – 256

Smjernice

Transkript

1 PREDAVANJE N Totalni diferencijal, parcijalne derivacije i diferencijali višeg reda Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Parcijalni izvod višeg reda Diferencijali višeg reda 4 Derivati kompleksnih funkcija 4 Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Ako je funkcija z=f(,) diferencijabilna, tada je ukupni diferencijal dz je jednak dz= a +B () z z Primjećujući da je A=, B =, pišemo formulu () u sljedećem obliku z z dz= + () Proširimo koncept diferencijala funkcije na nezavisne varijable, stavljajući diferencijali nezavisnih varijabli jednaki su njihovim prirastima: d= ; d= Nakon ovoga, formula za ukupni diferencijal funkcije će imati oblik z z dz= d + d () d + d Primjer Neka je =ln(+) Tada je dz= d + d = Slično, ako je u=f( , n) je diferencijabilna funkcija od n nezavisnih n varijabli, tada je du= d (d =) = Izraz d z=f (,)d (4) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) s obzirom na na varijablu; izraz d z=f (,)d (5) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) u odnosu na varijablu (), (4) i (5) slijedi da je ukupni diferencijal funkcije je zbir njenih parcijalnih diferencijala: dz=d z+d z Imajte na umu da ukupan prirast funkcije z=f(,), uopšteno govoreći, nije jednak zbiru parcijalnih priraštaja If u tački (,) funkcija z=f(,) je diferencijabilna i diferencijal dz 0 u ovoj tački, tada se njen ukupni prirast z= z z + + α (,) + β (,) razlikuje od njenog linearnog dijela dz= z z + samo zbirom zadnjih članova α + β, koji su na 0 i 0 infinitezimali višeg reda od članova linearnog dijela. Stoga se kod dz 0 linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije naziva glavnim dijelom prirasta funkcije i koristi se približna formula z dz, koja će biti tačnija što su priraštaji argumenata manji u apsolutnoj vrijednosti,97 Primjer Izračunajte približno arctg(),0

2 Rješenje Razmotrimo funkciju f(,)=arctg() Primjenom formule f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, dobijamo arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] ili + + arctg() arctg() () + () Neka =, =, zatim =-0.0, =0.0 Dakle, (0.0 0.0 arctg) arctg() + (0.0) 0,0 = arktan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Može se pokazati da greška koja proizlazi iz primjene približne formule z dz ne prelazi broj = M (+), gdje je M najveći vrijednost apsolutnih vrijednosti drugih parcijalnih izvoda f (,), f (,), f (,) kada se argumenti mijenjaju iz na + i iz na + Djelomične derivacije višeg reda Ako je funkcija u =f(, z) ima parcijalni izvod u odnosu na jednu od varijabli u nekom (otvorenom) domenu D, tada pronađeni izvod, koji je i sama funkcija od, z, može zauzvrat imati parcijalne izvode u nekoj tački (0, 0, z 0) u odnosu na istu ili bilo koju drugu varijablu. Za originalnu funkciju u=f(, z), ovi derivati će biti parcijalni derivati drugog reda u odnosu na, z se označava na sljedeći način: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = ili u, u, u z z z Derivati trećeg, četvrtog i tako dalje reda se određuju na sličan način. naziva se mješoviti parcijalni izvod Primjer u= 4 z, tada je u =4 z ; u = 4 z ; u z = 4 z; u = z ; u =6 4 z ; u zz = 4 ; u = z ; u = z ; u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z Imajte na umu da se mješovite derivacije uzete u odnosu na iste varijable, ali u različitim redoslijedom, poklapaju sa svim funkcijama, općenito govoreći, ali se javlja u širokoj klasi funkcija. funkcija f(,) je definirana u (otvorenoj) domeni D,) u ovoj domeni postoje prve derivacije f i f, kao i druge mješovite derivacije f i f, i konačno,) ove posljednje izvode f i f , kao funkcije i, su neprekidne u nekoj tački (0, 0) domene D Tada u ovoj tački f (0, 0)=f (0, 0) Dokaz Razmotrimo izraz

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, gdje su različiti od nule, na primjer, pozitivni i toliko su mali da D sadrži cijeli pravougaonik [ 0, 0 +] Uvedemo pomoćnu funkciju iz: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, koja u intervalu [ 0, 0 +] zbog () ima a; derivacija: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= i stoga kontinuirana Sa ovom funkcijom f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0)) izraz W koji je jednako W= može se prepisati u obliku: ϕ (0 +) ϕ (0) W= Pošto su za funkciju ϕ() u intervalu [ 0, 0 +] svi uslovi Lagranževe teoreme zadovoljeni, može, koristeći formulu konačnog priraštaja, transformisati izraz W f tako: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 +θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Vidimo da je du također neka funkcija od, Ako pretpostavimo postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda drugog reda za u, tada će du imati kontinuirane parcijalne derivacije prvog reda i možemo govoriti o ukupnom diferencijalu ovog diferencijala du , d(du), koji se naziva diferencijal drugog reda (ili drugi diferencijal) od u; označava se sa d u Naglašavamo da se inkrementi d, d, d smatraju konstantnim i ostaju isti kada se prelazi s jednog diferencijala na sljedeći (a d, d će biti nule) Dakle, d u=d(du)=d( d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d ili d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Slično, definiran je diferencijal trećeg reda d u i tako dalje. Ako za funkciju u postoje kontinuirani parcijalni derivati svih redova do n-tog uključivo, tada je zajamčeno postojanje n-tog diferencijala Ali izrazi za njih postaju sve složeniji. Možete pojednostaviti oznaku Uzmimo "slovo u" iz zagrada u izrazu prvog diferencijala. Tada će oznaka biti simbolična: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u d n n u=(d + d) u, što treba shvatiti na sljedeći način: prvo, “polinom” u zagradama se, formalno, podiže na stepen prema; prema pravilima algebre, tada se svi rezultirajući pojmovi “množe” sa u (što se n dodaje brojiocima u), a tek nakon To znači da se svim simbolima vraćaju svoje značenje kao derivati i diferencijali u d) d u 4Izvodi od kompleksne funkcije Neka imamo funkciju u=f(, z) definiranu u domeni D, a svaka od varijabli, z, zauzvrat je funkcija varijable t u nekom intervalu: =ϕ(t), =ψ (t), z=λ(t) Neka, osim toga, kada se t promijeni, tačke (, z) ne prelaze granice područja D. Zamjenom vrijednosti i z u funkciju u dobijamo kompleks funkcija: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Pretpostavimo da u i z imaju kontinuirane parcijalne izvode u, u i u z i da postoje t, t i z t Tada možemo dokazati postojanje derivaciju kompleksne funkcije i izračunajmo je varijablu t, tada će z dobiti prirast, odnosno z, a funkcija u predstaviti prirast funkcije u u obliku: (ovo može se učiniti, budući da smo pretpostavili postojanje kontinuiranih količnik izvoda u, u i u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, gdje je α, β, χ 0 at, z 0 Podijelite obje strane jednakost po t, dobivamo u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Usmjerimo sada povećanje t na nulu: tada će z težiti nuli, budući da su funkcije z od t kontinuirane (pretpostavili smo postojanje izvoda t, t, z t), pa stoga α, β, χ također teže na nulu U granici dobijamo u t =u t +u t +u z z t () Vidimo da pod datim pretpostavkama, derivacija kompleksne funkcije zaista postoji Ako koristimo diferencijalnu notaciju, tada će du d d dz () imati oblik: = + + () dt dt dt z dt Razmotrimo sada slučaj zavisnosti , z u nekoliko varijabli t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) U Pored postojanja i kontinuiteta parcijalnih izvoda funkcije f(, z), ovdje pretpostavljamo postojanje izvoda funkcija, z po t i v. Ovaj slučaj se ne razlikuje bitno od onog koji je već razmatran, jer se prilikom izračunavanja parcijalnog izvod funkcije dvije varijable, popravljamo jednu od varijabli, a ostaje nam funkcija samo jedne varijable, formula () će biti ista z, a () treba prepisati u obliku: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Primjer u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funkcije više varijabli U mnogim pitanjima geometrije, prirodnih nauka i drugih disciplina treba se pozabaviti funkcijama dvije tri ili više varijabli Primjeri: Površina trokuta S a h gdje je a osnova

13. Parcijalni izvod višeg reda Neka = ima i definiran je na D O. Funkcije i se također nazivaju parcijalni izvodi prvog reda funkcije ili prvi parcijalni izvodi funkcije. i uopšte

Dodatak Definicija derivacije Neka i budu vrijednosti argumenta, i f) i f) - ((odgovarajuće vrijednosti funkcije f () Razlika se naziva povećanjem argumenta, a razlika je povećanje funkcije na segmentu,

Praktična nastava DIFERENCIJACIJA KOMPLEKSNIH I IMPLICITNIH FUNKCIJA Diferencijacija kompleksnih funkcija Diferencijacija implicitnih funkcija specificiranih jednom jednačinom Sistemi implicitnih i parametarski specificiranih

FUNKCIJE NEKOLIKO Varijabli Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti poznati koncept funkcionalne zavisnosti

6. Implicitne funkcije 6.1 Definicije, preliminarne informacije Zavisnost jedne varijable od druge (ili drugih) ne može se nužno izraziti korištenjem takozvanog eksplicitnog prikaza, kada

1. Osnovni pojmovi. Funkcije nekoliko varijabli. Proučavat ćemo funkciju nekoliko varijabli koristeći primjere funkcija dvije i tri varijable, budući da sve ove definicije i dobiveni rezultati

2.2.7. Primjena diferencijala za približne proračune. Diferencijal funkcije y = ovisi o x i glavni je dio prirasta x. Možete koristiti i formulu: dy d Tada je apsolutna greška:

Predavanje 9. Derivati i diferencijali višeg reda, njihova svojstva. Ekstremne tačke funkcije. Fermatove i Rolleove teoreme. Neka je funkcija y diferencibilna na nekom intervalu [b]. U ovom slučaju, njegov derivat

5 Tačka u kojoj F F F ili barem jedan od ovih izvoda ne postoji naziva se singularna tačka površine. U takvoj tački površina možda nema tangentnu ravan

DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i definitivni integral Neka je data funkcija y = f (), definisana na intervalu [, b], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA Osnovni pojmovi Diferencijalna jednačina je jednačina u kojoj se nepoznata funkcija pojavljuje pod predznakom izvoda ili diferencijala.

6. Diferencijal funkcije 1. Definicija i geometrijsko značenje DEFINICIJA. Funkcija y = f(x) naziva se diferencijabilna u tački x 0 ako se njen prirast u ovoj tački može zapisati kao zbir linearne

Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Da bismo izračunali površinu trokuta, poznata je Heronova formula S

~ 1 ~ FUNKCIJA MNOGE PROMJENLJIVE 3 Funkcija dvije varijable, domena definicije, metode definicije i geometrijsko značenje. Definicija: z f se naziva funkcijom dvije varijable, ako je svaki par vrijednosti,

Diferencijalne jednadžbe prvog reda riješene s obzirom na derivaciju Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja U općenitom slučaju, diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik F ()

Predavanje 3 Ekstremum funkcije više varijabli Neka je u domeni D definirana funkcija više varijabli u = f (x, x), a tom domenu pripada tačka x (x, x) = Funkcija u = f ( x, x) ima

Tema modula Funkcionalni nizovi i nizovi Svojstva uniformne konvergencije nizova i redova Potencijskog niza Predavanje Definicije funkcionalnih nizova i nizova Uniformno

9 Derivat i diferencijal 91 Osnovne formule i definicije za rješavanje problema Definicija Neka je funkcija y f () definirana na nekom f (Δ) f () Δy susjedstvu tačke Granica relacije na Δ Δ Δ, ako

1 Tema 1. Diferencijalne jednadžbe prvog reda 1.0. Osnovne definicije i teoreme Diferencijalna jednadžba prvog reda: nezavisna varijabla; y = y() potrebna funkcija; y = y() je njegov izvod.

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t Teorema Neka su funkcije diferencijabilne u nekoj tački N t t t i funkcija f diferencijabilna

MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG VAZDUHOPLOVSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinov MATEMATIČKI PRIRUČNIK za izučavanje discipline i testne zadatke

II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se

6 Problemi koji dovode do koncepta derivacije Neka se materijalna tačka kreće duž prave linije u jednom smjeru prema zakonu s f (t), gdje je t vrijeme, a s je put koji je prešao tačka u vremenu t Zabilježimo a određena tačka

Predavanje 3. Neodređeni integral. Antiderivativ i neodređeni integral U diferencijalnom računu, problem je riješen: datoj funkciji f(), pronaći njen izvod (ili diferencijal). Integralni račun

1 Predavanje 7 Derivati i diferencijali višeg reda Apstrakt: Uvodi se pojam diferencijabilne funkcije, daje se geometrijska interpretacija prvog diferencijala i dokazuje se njegova invarijantnost.

Funkcije nekoliko argumenata Koncept funkcije: svakom elementu x iz skupa X, prema nekom zakonu y = f(x), svakom paru brojeva dodjeljuje se jedinstvena vrijednost varijable y iz skupa Y.

Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni pojmovi Zavisnost = f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i različite primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.

I Definicija funkcije nekoliko varijabli Područje definicije Kada se proučavaju mnoge pojave, treba se pozabaviti funkcijama dvije ili više nezavisnih varijabli Na primjer, tjelesna temperatura u datom trenutku

Predavanje 8 Teoreme Ferma, Rollea, Cauchyja, Lagrangea i L'Hopitala Sažetak: Sve ove teoreme su dokazane i dati su primjeri otkrivanja nesigurnosti prema L'Hopitalovom pravilu. Definicija Funkcija y=f() dostiže

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Predavanje 4 Diferencijacija kompleksnih funkcija Implicitna diferencijacija Prisjetimo se pravila diferencijacije za funkcije jedne varijable, koja se naziva i pravilo lanca (v.

Odjeljak Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli Funkcija realnog argumenta Realni brojevi Pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodni brojevi Dodaj prirodnim brojevima

Radionica: “Diferencijalnost i diferencijal funkcije” Ako funkcija y f () ima konačan izvod u tački, tada se prirast funkcije u ovoj tački može predstaviti kao: y(,) f () () (), u kojima je

Predavanje: Diferencijalne jednadžbe th reda i njihova rješenja su jedno od najčešćih matematičkih sredstava

TEMA 1 DERIVAT FUNKCIJE DIFERENCIJAL FUNKCIJE PROGRAMSKA PITANJA: 11 Funkcionalna veza Granica funkcije 1 Derivat funkcije 1 Mehaničko fizičko i geometrijsko značenje derivacije 14 Osnovno

MINISTAR OBRAZOVANJA I NAUKE FEDERACIJE KIROSIJE FEDERALNA DRŽAVNA AUTONOMNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA "Nacionalna istraživanja

DISCIPLINA "VIŠA MATEMATIKA" predmet, semestar Dopisni predmet TEMA Matrična algebra Prilikom rješavanja ekonomskih zadataka koriste se metode ekonomsko-matematičkog modeliranja koje koriste rješenje

V.V. Žuk, A.M. Kamačkin Diferencijalnost funkcija više varijabli. Diferencijalnost funkcije u tački. Dovoljni uslovi za diferencijabilnost u smislu parcijalnih izvoda. Diferencijacija kompleksa

Poglavlje 4 Granica funkcije 4 1 KONCEPT GRANICA FUNKCIJE Ovo poglavlje se fokusira na koncept granice funkcije. Određuje se kolika je granica funkcije u beskonačnosti, a zatim granica u tački, granice

PREDAVANJE 23 KANONSKE TRANSFORMACIJE. LIOUVILLE TEOREMA O OČUVANJU FAZNOG VOLUMA. GENERACIJA FUNKCIJE SLOBODNE TRANSFORMACIJE Nastavimo proučavati kanonske transformacije. Prvo, prisjetimo se glavnog

Departman za matematiku i računarstvo Matematička analiza Nastavno-metodološki kompleks za studente visokog obrazovanja koji studiraju korišćenjem daljinskih tehnologija Modul 3 Diferencijalni račun funkcija jednog

55 je na beskonačno maloj količini višeg reda male veličine u poređenju sa ρ n (,), gdje ρ () + (), oni se mogu predstaviti u Peano obliku n R, ρ Primjer Napišite Taylorovu formulu na n sa

Tema Definitivni integral Definitivni integral Problemi koji vode do koncepta određenog integrala Problem izračunavanja površine krivolinijskog trapeza U koordinatnom sistemu Oxy dat je zakrivljeni trapez,

5 Redovi stepena 5 Redovi stepena: definicija, oblast konvergencije Funkcionalni nizovi oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) gde je, a, a, K, a ,k su neki brojevi koji se nazivaju brojevima potencijskog niza

Brojčani niz Brojčani niz Def Brojčani niz je numerička funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva x - opći član niza x =, x =, x =, x =,

Diferencijalne jednadžbe predavanje 4 Jednadžbe u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor Predavač Anna Igorevna Sherstneva 9. Jednačine u totalnim diferencijalima Jednačina d + d = 14 naziva se jednačina

Metalurški fakultet Katedra za višu matematiku RANOVI Metodološka uputstva Novokuznjeck 5 Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

Matematička analiza Sekcija: Funkcija više varijabli Tema: Diferencijabilnost FNP-ova (kraj. Parcijalni izvodi i diferencijali kompleksnih FNP-a. Diferencijacija implicitnih funkcija Predavač Rožkova S.V.

( Fermatova teorema - Darbouxova teorema - Rolleova teorema - Lagrangeova teorema teorema srednje vrijednosti - geometrijska interpretacija teoreme srednje vrijednosti - Cauchyjeva teorema - formula konačnog priraštaja - L'Hopitalovo pravilo

Poglavlje 4 Osnovne teoreme diferencijalnog računa Otkrivanje nesigurnosti Osnovne teoreme diferencijalnog računa Fermaova teorema (Pierre Fermat (6-665) francuski matematičar) Ako je funkcija y f

PREDAVANJE 7 DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 1 Koncept derivacije funkcije Razmotrite funkciju y=f() definisanu na intervalu (a; b) Uzmite bilo koju vrijednost x (a; b) i postavite argument

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije EE "Vitebsk State Technological University" Tema. "Redovi" Katedra za teorijsku i primijenjenu matematiku. razvijen od strane doc. E.B. Dunina. Basic

Predavanje 3 Taylor i Maclaurin serija Primjena nizova stepena Proširivanje funkcija u nizove stepena Taylor i Maclaurin serije Za primjene je važno biti u mogućnosti proširiti datu funkciju u niz stepena, te funkcije

58 Definitivni integral Neka je funkcija () data na intervalu. Funkciju ćemo smatrati neprekidnom, iako to nije potrebno izabrati proizvoljne brojeve na intervalu, 3, n-, koji zadovoljavaju uvjet:

Diferencijalne jednadžbe višeg reda. Konev V.V. Pregledi predavanja. Sadržaj 1. Osnovni pojmovi 1 2. Jednačine koje se mogu reducirati 2 3. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Predavanje 20 TEOREMA O FUNKCIJI KOMPLEKSA DERIVATA. Neka je y = f(u), i u= u(x). Dobijamo funkciju y ovisno o argumentu x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija iz funkcije ili složene funkcije.

Diferencijacija implicitno date funkcije Razmotrite funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo

Moskovski institut za avijaciju (Nacionalni istraživački univerzitet) Odsjek "Više matematike" Granice Derivati Funkcije nekoliko varijabli Metodološka uputstva i opcije testa

LABORATORIJSKI RAD 7 GENERALIZOVANE FUNKCIJE I. OSNOVNI POJMOVI I TEOREME Označimo sa D skup svih beskonačno diferencibilnih konačnih funkcija realne varijable. Ovo

Poglavlje 3. Proučavanje funkcija pomoću izvoda 3.1. Ekstremumi i monotonost Razmotrimo funkciju y = f (), definisanu na određenom intervalu I R. Kaže se da ima lokalni maksimum u tački

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kasikov,

Smjernice i opcije za istraživački rad na temu Funkcija više varijabli za studente smjera Dizajn. Ako je količina jedinstveno određena specificiranjem vrijednosti količina i, neovisno jedna o drugoj,

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRORAČUNSKE ZADATKE IZ KURSA VISOKE MATEMATIKE „OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE REDOVI DUPLI INTEGRALI” DIO TEMA NIZ Sadržaj Serija Brojne serije Konvergencija i divergencija

Ograničenje funkcije. Definicija ograničenja redoslijeda brojeva. Beskonačan niz brojeva (ili jednostavno niz brojeva) je funkcija f f (definirana na skupu svih).

Predavanje 19 DERIVAT I NJEGOVE PRIMJENE. DEFINICIJA DERIVATA. Neka nam je funkcija y=f(x), definirana na nekom intervalu. Za svaku vrijednost argumenta x iz ovog intervala, funkcija y=f(x)

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Količina se naziva funkcija varijabilnih veličina n ako je svakoj tački M n koja pripada određenom skupu X dodijeljena

PREDAVANJE N 7. Potencijalni redovi i Taylorovi redovi.. Snažni redovi..... Taylorov red.... 4. Proširivanje nekih elementarnih funkcija u Taylor i Maclaurin niz.... 5 4. Primjena stepena reda... 7 .Snaga

Predavanje 3 Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja skalarne jednačine Navod problema Glavni rezultat Razmotrimo Cauchyjev problem d f () d =, () = Funkcija f (,) je definirana u području G ravni (,

Federalna agencija za obrazovanje Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MIIGAiK) METODIČKA UPUTSTVA I ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD na predmetu VIŠA MATEMATIKA Numerička

Parcijalni izvod funkcije dvije varijable.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti možda najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, susreću sa parcijalnim izvedenicama u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek pojavljuje na ispitu.

Da biste efikasno proučili materijal u nastavku, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "obične" izvode funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? I Derivat kompleksne funkcije. Trebat će nam i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: – funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable najčešće predstavlja površinu u trodimenzionalnom prostoru (ravan, cilindar, sfera, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi profesor sa univerziteta nikada nije dao da otpišem i moja je „jača strana“.

Pređimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šoljica kafe i koji se bave nekim neverovatno teškim materijalom: parcijalni derivati su skoro isti kao i “obični” derivati funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika, koje ćemo sada upoznati:

...da, usput, za ovu temu sam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da „uvučete zube“ za samo nekoliko sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporiji:

Primjer 1

Pronađite parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:
ili – parcijalni izvod u odnosu na “x”
ili – djelomični izvod u odnosu na “y”

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “x”, varijabla se smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na izvršene radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradi ispod premijera sa indeksom.

Pažnja, važno! MI NE GUBIMO indekse tokom procesa rješenja. U ovom slučaju, ako nacrtate "crticu" negdje bez , onda ga nastavnik, u najmanju ruku, može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio tačke zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se mogu lako primijeniti u jednom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga stavljamo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma - "sedam".

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Hajde da pojednostavimo, ili, kako ja volim da kažem, „podesimo“ odgovor.

Sad . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “y”, tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu izvlačimo konstantu iz predznaka derivacije, u drugom ne možemo ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Promenimo mentalno sve "X" u tabeli u "ja". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U suštini, parcijalni derivati 1. reda liče "obični" derivat:

- Ovo funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i, respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strminu "uzpona" i "kosina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru ose ordinata.

! Bilješka : Ovo se odnosi na smjernice koje paralelno koordinatne ose.

U svrhu boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku na ravni i izračunajmo vrijednost funkcije ("visine") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA površini).

Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata „X“ nam govori o tome opadajući funkcionira u tački u smjeru ose apscise. Drugim riječima, ako napravimo mali, mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), onda ćemo se spustiti niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne ose:

Izvod u odnosu na “y” je pozitivan, dakle, u tački u smjeru ose funkcija povećava. Pojednostavljeno rečeno, ovdje nas čeka uspon.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u odgovarajućem pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo– što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru ose apscise je strmiji od "planine" u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da sa tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje točke na datoj površini) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Stoga postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "pejzažu" površine ako je moguće u svakoj tački domenu definicije ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo na tehničku stranu problema.

Hajde da sistematizujemo elementarna primenjena pravila:

1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i primjenjuju se za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) pomoću koje se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne izvode drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:
ili – drugi izvod u odnosu na “x”
ili – drugi izvod u odnosu na “Y”
ili - mješovito izvedenica od “x po igri”
ili - mješovito izvedenica od "Y"

Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo, pronađimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".

Isto tako:

U praktičnim primjerima, možete se fokusirati na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Pronađite drugi izvod u odnosu na “x”.
Bez izuma, uzmimo i ponovo ga razlikovati sa "x":

Isto tako:

Treba napomenuti da prilikom pronalaženja morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih proveravale.

Drugi derivati također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u tački. Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".

Hajdemo bolje u složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Pronađite parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: , pored “X” nije zabranjeno u zagradi napisati da je konstanta. Ova napomena može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Sve konstante uzimamo izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Uzimamo sve konstante iz predznaka izvoda, u ovom slučaju, konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dviju funkcija lijevo, stoga moramo koristiti pravilo za diferenciranje proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni obavljeni ispravno.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcija dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, trebate samo glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je pisati diferencijalne znakove u brojiocima:

I prema uzastopnim zahtjevima čitalaca, kompletan diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

Pažljivo pronađemo "jednoslovne" derivate 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto čini teškim, kasnije se uvijek možete vratiti na derivate, nakon što savladate tehniku diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Pogledajmo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije.

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo za diferenciranje zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od “x” – samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da je umjesto nje data funkcija - bitno je da je to ovdje proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", i stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži “Y”, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od “x”, što znači da se smatra konstantom i pretvara se na nulu. Za treći pojam koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, za olakšanje ću vam ispričati stari vic o Mehmatovu:

Jednog dana se u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela je sve razlikovati. Sve funkcije su raštrkane na sve strane, niko ne želi da se transformiše! I samo jedna funkcija ne bježi. Izvodica joj prilazi i pita:

- Zašto ne pobegneš od mene?

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na potenciju X", a ti mi nećeš ništa!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu se varate, ja ću vas razlikovati po "Y", pa bi trebalo da budete nula.

Ko je shvatio vic, savladao je derivate, barem do nivoa "C").

Primjer 8